Makalah Relasi Antara Dua Himpunan
MAKALAH
RELASI ANTARA DUA HIMPUNAN
1.
2.
3.
4.
5.
Disusun Oleh :
Kelompok 3
Yuanda Ramadan Sobbirin
Muhammad Ade Safitri
Arman
Pipit Marselaningsih
Indah Lestari
14601040011
14601040012
14601040013
14601040015
14601040016
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BORNEO TARAKAN
2015
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas
berkat, rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah
pengantar dasar kimia kami yang berjudul “Relasi Antara Dua Himpunan”
dengan tepat waktu. Adapun yang nanti akan kami bahas di dalam
makalah ini adalah tentang pengertian antara dua himpunan, cara
menyatakan relasi antara dua himpunan, banyaknya relasi antara dua
himpunan, macam relasi, dan relasi ekivalen dan partisi.
Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sebanyak-banyaknya
terutama kepada Ibu Nurmala R., M.Pd selaku dosen pembimbing mata
kuliah Pengantar Dasar Matematika beserta teman-teman dan rekan
sekalian yang turut terlibat secara langsung maupun tidak langsung dalam
terselesainya makalah ini.
Kami menyadari makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh
sebab itu, diharapkan kritik dan saran pembaca demi kesempurnaan
makalah
kami
untuk
kedepannya.
Mudah-mudahan
makalah
ini
bermanfaat bagi kita semua terutama bagi mahasiswa yang mempelajari
materi ini.
Tarakan, 6 April 2015
Penyusun
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................
i
DAFTAR ISI ....................................................................................................
ii
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar
belakang
..................................................................................................
1
I.2 Rumusan
Masalah
..................................................................................................
2
I.3 Tujuan
Pembahasan
..................................................................................................
2
I.4 Manfaat
Pembahasan
..................................................................................................
2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
..................................................................................................
3
2.2 Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
..................................................................................................
6
2.3 Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
..................................................................................................
14
2.4 Macam Relasi
..................................................................................................
16
2.5 Relasi Ekivalen dan Partisi
..................................................................................................
21
2
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
..................................................................................................
27
3.2 Kritik
dan
Saran
................................................................................................
`27
DAFTAR
PUSTAKA
........................................................................................................................
28
LAMPIRAN
........................................................................................................................
29
3
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu sains dapat berbentuk ilmu terapan jika
diimplementasikan pada cabang ilmu lain. Relasi adalah salah satu
bagian dari pengantar dasar matematika. Dimana relasi merupakan
suatu hubungan. Dalam kehidupan sehari-hari pasti ada suatu
hubungan yang terjadi. Misal “sekumpulan anak-anak kecil yang
sedang bermain dan setiap anak memegang balon berbagai warna”.
Dari ini dapat diberikan pengertian bahwa anak-anak kecil yang
mempunyai hubungan dengan balon berbagai warna yang mereka
pegang. Sebelumnya telah dipelajari materi tentang himpunan.
Himpunan adalah sekumpulan benda atau obyek yang dididefinisikan
dengan jelas. Disini terdapat dua himpunan, yang pertama adalah
himpunan anak-anak kecil dan yang kedua adalah himpunan balon
berbagai warna.
Relasi digunakan untuk menyatakan suatu hubungan antara dua
himpunan.
Relasi
merupakan
teori
dasar
dalam
pembahasan
pengantar dasar matematika. Maka perlu untuk membahas relasi. Baik
dari definisi relasi antara dua himpunan ,cara menyatakan relasi antara
dua himpunan, banyaknya relasi antara dua himpunan, macammacam relasi, dan hubungan relasi ekivalen dan partisi.
Oleh karena relasi
tersebut menjadi salah satu dasar dalam
pembahasan pengantar dasar matematika, maka penulis berkeinginan
untuk membuat makalah yang berjudul “Relasi” yang diharapkan dapat
menambah pengetahuan mengenai relasi serta dapat mengenal relasi
secara lebih jelas lagi.
1
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan?
1.2.2 Bagaimana Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan?
1.2.3 Bagaimana Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan?
1.2.4 Apa Macam Relasi?
1.2.5 Bagaimana Relasi Ekivalen dan Partisi?
1.3 Tujuan Penulisan
1.3.1 Mengetahui Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
1.3.2 Mengetahui Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
1.3.3 Mengetahui Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
1.3.4 Mengetahui Macam Relasi
1.3.5 Mengetahui Relasi Ekivalen dan Partisi
1.4 Manfaat Penulisan
1.4.1 Agar kita tahu Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
1.4.2 Agar kita tahu Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
1.4.3 Agar kita tahu Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
1.4.4 Agar kita tahu Macam Relasi
1.4.5 Agar kita tahu Relasi Ekivalen dan Partisi
2
BAB 2
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan
ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara
konkrit maupun secara matematis.
Relasi merupakan hubungan antara anggota suatu himpunan
(domain) dengan himpunan lainnya (kodomain), baik himpunan yang
sama maupun himpunan yang berbeda.
Definisi : Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama
dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah dari A×B.
Contoh 1
Misalnya ada empat anak yaitu Fajar, Dian, Toni, dan Nani ditanya
apakah mereka gemar bermain catur, voli, atau tenis. Jawaban
mereka:
Fajar dan Dian gemar bermain catur,
Toni dan Nani gemar bermain voli,
Fajar dan Toni gemar bermain tenis
Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan :
1. Himpunan anak
A = {Fajar, Dian, Toni, Nani}
2. Himpunan permainan
B = {Catur, Voli, Tenis}
3
Kedua himpunan
A
dan B dihubungkan dengan hubungan
gemar bermain. Hubungan gemar bermain dari himpunan A ke
himpunan B dapat digambar sebagai berikut.
Gambar 1.1 menunjukkan suatu cara untuk menyatakan
hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B. Hubungan itu
adalah gemar bermain. Gambar 1.1 disebut diagram panah.
Perhatikanlah bahwa suatu relasi mempunyai arah pada diagram
panah ditunjukkan dengan anak panah.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa :
Suatu hubungan atau relasi dari
himpunan A ke himpunan B
adalah pemasangan anggotaanggota A dengan anggotaanggota B.
4
Contoh 2
Diketahui: Cinta dan Dina suka makan Soto
Nina dan Dani suka makan Mie
Dani suka makan Bakso
Penyelesaiannya: Terdapat 2 himpunan yaitu:
A = Himpunan siswa
A = {Cinta, Dina, Dani, Nina}
B = Himpunan Makanan
B = {Soto, Mie, Bakso}
Gambar 1.2
AB
Cinta•
Dina•
Dani•
Nina•
• Soto
• Mie
• Bakso
5
Contoh 3
Dikelas 8 SMP terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran
tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :
Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
Vita menyukai pelajaran IPA, dan
Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa inggris
2.2 Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi faktor
dari himpunan A ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi
tersebut dengan tiga cara yaitu:
1) Dengan diagram panah
ada gambar 1.2, 2 dikawankan dengan 4 ditulis 2→4, ini berarti 2
faktor dari 4.
6
2) Dengan himpunan pasangan berurutan
Perhatikanlah gambar 1.2. 2→6 ini berarti 2 faktor dari 6 dan
dapat ditulis dengan pasangan berurutan (2,6). Jika relasi faktor
dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R, maka jelas
2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6 atau (2,6)
∈
R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau
(2,4)
∈
∈
R, 3R6 atau (3,6)
R, tetapi 2 tidak berelasi
dengan 5 atau dapat ditulis 2 R 5 atau (2,5) ∉ R. Dengan
demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan
berurutan yaitu:
R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}
Dengan
cara
lain
dapat
dijelaskan
pula
bahwa
jika
ditentukan x ∈ A dan y ∈ B maka relasi faktor dari tersebut
dapat dinyatakan dengan kalimat terbuka x faktor dari y.
Pengganti
pernyataan
"x"
dengan
yang
"2"
dan
"y"
dengan
"6"
didapat
benar, sehingga pasangan berurutan (2,6)
merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y.
Tetapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat
pernyataan yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari
kalimat terbuka x faktor dari y. Jika relasi faktor dari himpunan A
ke himpunan B dinyatakan dengan R maka himpunan
pasangan
berurutan
(x,y)
yang
menghasilkan
semua
pernyataan
yang benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka
R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}
7
3) Dengan grafik Cartesius
Gambar 1.3
Koordinat
titik-titik pada gambar
1.3 menyatakan anggota-
anggota pasangan berurutan dari relasi R (faktor dari).
Contoh 1
Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}.
R: M→N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat
terbuka x dua kali y dengan X
∈ M, y
∈ N. Nyatakanlah relasi
tersebut:
a. dengan diagram panah
b. dengan himpunan pasangan berurutan
c. dengan grafik Cartesius
Penyelesaian:
a. dengan diagram panah
b. dengan himpunan pasangan berurutan
8
R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}
c. dengan grafik Cartesius
Contoh 2
Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang
lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :
Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
Vita menyukai pelajaran IPA, dan
Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa ingris
Buatlah relasi dari soal diatas dan disajikan menggunakan diagram
panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
9
Jawab :
Untuk
mempermudah
menjawab
persoalan
diatas
gunakanlah
permisalan seperti : Himpunan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri},
Himpunan B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika,
IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang
menghubungkan himpunan A ke B.
Diagram panah
10
Diagram Cartesius
Himpunan pasangan berurutan
Himpunan pasangan berurutan dari soal diatas adalah {(Buyung, IPS),
(Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA),
(Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}
11
Contoh 3
Ani gemar makan Bakso dan Nasi goreng
Irfan gemar makan Mie Ayam
Arman gemar makan Nasi Goreng, dan Coto
Ahmad gemar makan Ikan bakar
Ade gemar makan Bakso
Dari penyataan di atas kita dapat menentukan dua himpunan yaitu
A = (Ani, Irfan, Arman, Ahmad, Erwin)
B = (Bakso, Nasi goreng, Mie ayam, Coto, Ikan Bakar)
Dari kedua himpunan di atas dihubungkan dengan relasi himpunan A
dan himpunan B yaitu “gemar makan”.
Diagram panah
12
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
Himpunan pasangan berurutan adalah {(Ani,Bakso), (Ani,NasiGoreng),
(Irfan,MieAyam), (Arman,Nasi Goreng), (Arman,Coto),
(Ahmad,IkanBakar), (Erwin,Bakso)}
13
2.3 Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
Jika R: A→B adalah relasi dari A ke B. n(A) = 3, dan n(B) = 2
maka banyaknya relasi R tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Misalkan A = {1,3,5} maka n(A) = 3,
B = {a,b} maka n(B) = 2
AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(AxB) = 6 = 3x2.
Jika R1 = {(1,a)} jelas R1 (AxB) dan R1 relasi dari A ke B.
Jika R2 = {(1,a),(2,b)} jelas R2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B.;
Jika R0 = {} jelas R0 (AxB) dan R0 bukan relasi dari A ke B.
Jika R6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R6 (AxB) dan
R6 relasi dari A ke B.
Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa:
1. Jika R relasi dari A ke B maka R ⊂ (AxB)
2. Jika R(AxB) dan R≠ ∅ maka R relasi dari A ke B
Kita tahu bahwa n(AxB) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota
6
himpunan kuasa = 2 = 2
Karena untuk R ≠∅
3x2
maka R relasi dari A ke B maka banyaknya
6
relasi R dari A ke B ada 2 - 1. Dengan demikian dapat kita katakan
bahwa jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan n(A) = 3, n(B) = 3
maka banyaknya relasi R sebanyak 2
3x3
- 1. Secara umum dapat
dikatakan bahwa:
Jika R: A→B adalah relasi
dari A ke B dan n(A) = k,
n(B) = l maka banyaknya
kxl
relasi R = 2
-1
Contoh 1
14
Diketahui R: M→N adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4
dan n(N)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut.
Penyelesaian:
n(M)=4 dan n(N)=3.
Banyaknya relasi R ada = 2
4x3
- 1 = 4095
Contoh 2
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal},
hitunglah banyaknya relasi tersebut
Penyelesaian:
A = {2, 3}, n(A) = 2
B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5
Banyaknya relasi R ada = 2
2x5
- 1 = 1023
Contoh 3
Jika A = {x|–2 < x < 2, x є Z} dan B = {x | x bilangan prima < 6},
hitunglah banyaknya relasi
Penyelesaian:
A = {x|–2 < x < 2, x є Z} = {-1, 0, 1}, n(A) = 3
B = {x | x bilangan prima < 6} = {2, 3, 5}, n(A) = 3
Banyaknya relasi R ada = 2
3x3
- 1 = 511
15
2.4 Macam-macam Relasi
a. Relasi Refleksif
Definisi 1.1
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut relasi
refleksif jika dan hanya jika
∀ a ∈ A , maka (a,a)
∈ R.
Dari definisi 1.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam
himpunan A disebut bukan relasi refleksif jika dan hanya jika
∃ a ∈ A, dan (a,a) ∉ R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi
R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R1 tersebut
bersifat refleksif.
Contoh 2
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R2 = {(x,y) │x kelipatan y, x, y ∈ B}.
Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat
refleksif.
Contoh 3
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R3 = {(x,y│x + y < 10, x, y ∈ A}.
Maka R3 ={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi
R3 tersebut tidak bersifat refleksif.
16
b. Relasi Simetris
Definisi 1.2
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut relasi
simetris jika (a,b) ∈ R,
maka berarti (b,a) ∈ R
Dari definisi 1.2 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam
himpunan A disebut bukan relasi simetris jika (a,b) ∈ R dan
(b,a) ∉
R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi
R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R1 tersebut
bersifat simetris.
Contoh 2
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R2 = { (x,y) │ x kelipatan y , x, y
∈ Z}
R2= {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R2 tersebut tidak bersifat
simetris karena (4,2)
∈ R2 tetapi (2,4)
∉ R 2.
17
Contoh 3
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan
A = {1,3,5} sedemikian sehingga:
R1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)}
R2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)}
R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
Apakah R1, R2, R3 relasi simetris atau bukan?
Penyelesaian:
R1 bukan relasi simetris sebab (3,5)
tetapi (5,3) ∉
∈
R1
R1.
R2 relasi simetris.
R3 relasi simetris.
18
c. Relasi Transitif
Definisi 1.3
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut
relasi transitif jika (a,b)
(b,c)
R dan
R maka berarti (a,c)
R
Dari definisi 1.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam
himpunan A disebut bukan relasi transitif jika (a,b) ∈ R dan (b,c)
∈ R tetapi (a,c) ∉ R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}.
Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) ,
(3,3)} Relasi R1 tersebut bersifat transitif.
Contoh 2
Relasi R2 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang
didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak bersifat transitif,
karena terdapat (1,2)
∈
R2 dan (2,3)
∈
R2, tetapi (1,3) ∉
R 2.
Contoh 3
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A =
{1,3,5} sedemikian sehingga:
a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)}
b. R2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)}
c. R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
19
Apakah R1, R2, dan R3 relasi transitif atau bukan?
Penyelesaian :
a) R1 bukan relasi transitif sebab
(3,1) R1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) ∉ R1.
b) R2 relasi transitif sebab
(1,3) R2 dan (3,1) R2 maka (1,1) R2;
(3,1) R2 dan (1,3) R2 maka (3,3) R2;
(1,1) R2 dan (1,3) R2 maka (1,3) R2;
(3,1) R2 dan (1,1) R2 maka (3,1) R2;
(1,3) R2 dan (3,3) R2 maka (1,3) R2;
c) R3 relasi transitif.
d. Relasi Ekivalen
Definisi 1.4
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut relasi
ekivalen jika berlaku syarat:
a. Refleksi
a ∈ A maka (a,a)
b. Simetris artinya jika (a,b)
berarti (b,a)
R
R maka
R;dan
c. Transitif artinya jika (a,b)
R dan
(b,c) ∈ R,maka berarti (a,c) ∈
R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}.
Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}
Relasi R1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh
karena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen.
20
21
Contoh 2
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R2 = { (x,y)│x kelipatan y , x, y ∈ Z } maka
R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut tidak bersifat
simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.
Contoh 3
Diketahui himpunan A = {0, 2, 4}, relasi R di dalam himpunan A
dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris,
dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.
2.5 Relasi Ekivalen dan Partisi
a. Partisi Himpunan
Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh
sebagai berikut. Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A1={1,2,3}, A2 =
{4,5,6,7}, A3 ={8,9,10}.
Koleksi himpunan A = {A1, A2, A3} mempunyai dua sifat yaitu:
1). A1 ∪ A2 ∪ A3 = A
2).
A1
∩ A2 =
∅ , A1
∩ A3 =
∅ , A2
∩ A3 =
.
Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A.
22
Contoh 1
Diketahui N = {x l x bilangan asli}. N1={1,5,9,17,...},
N2={2,6,10,14,...}, N3={3,7,11,15,...), N4=(4,8,12,16,...).
Apakah koleksi (N1, N2, N3, N4) partisi dari N.
Penyelesaian:
Koleksi {N1, N2, N3, N4} mempunyai sifat:
1. N1 ∪ N2 ∪ N3
2. N1 ∩ N2 = ,
∪ N4 = N
N 1 ∩ N3 = ,
N1
∩
N4 = .
N2
∩ N3 = ,
N2
∩ N4 = ,
dan N3
∩ N4 =
Jadi koleksi {N1, N2, N3, N4} merupakan partisi dari N.
Contoh 2
Diketahui N = {x l x bilangan kelipatan 2}. B1={2,6,10,...},
B2={4,16,18,...}, dan B3={8,12,14,...)
Apakah koleksi (B1, B2, B3) partisi dari B.
Penyelesaian:
Koleksi {B1, B2, B3} mempunyai sifat:
1. B1
2. B1
∪ B2 ∪ B 3 = B
∩ B2 = ,
B1
∩
B3 = ,
B2
∩
B3 = .
Jadi koleksi {B1, B2, B3} merupakan partisi dari B.
23
Contoh 3
Diketahui N = {x l x bilangan prima}. N1={3,7,19,...},
N2={2,5,23,...}, N3={11,13,17,...), N4=(29,31,37,...).
Apakah koleksi (N1, N2, N3, N4) partisi dari N.
Penyelesaian:
Koleksi {N1, N2, N3, N4} mempunyai sifat:
1. N1 ∪ N2 ∪ N3
2. N1 ∩ N2 = ,
∪ N4 = N
N 1 ∩ N3 = ,
N1
∩
N4 = .
N2
∩ N3 = ,
N2
∩ N4 = ,
dan N3
∩ N4 =
Jadi koleksi {N1, N2, N3, N4} merupakan partisi dari N.
b. Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen
Sebelum
dibicarakan
hubungan
antara
partisi
dan
relasi
ekivalen, maka pada uraian berikut akan dibicarakan a kongruen
b modulo m.
Definisi 1.5
Misalkan a dan b bilangan asli,
m bilangan asli, maka dikatakan
a kongruen b modulo m ditulis a
b (mod.m) jika a-b=km
dengan k bilangan bulat
24
Contoh 1
Untuk m=3, maka:
4 kongruen 1 modulo 3
Ditulis 4 1 (mod.3) sebab 4-1= 1(3)
10 kongruen 1 modulo 3
Ditulis 10 ≅ 1 (mod.3) sebab 10-1 = 3 (3)
20 kongruen 2 modulo 3
Ditulis 20 2 (mod.3) sebab 20-2 = 6 (3)
2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2
7 (mod.3) sebab 2-7 k(3)
dengan k bilangan bulat.
Contoh 2
Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:N→N adalah relasi di
dalam himpunan N yang didefinisikan dengan
a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen. Bukti:
1.
∀ a ∈ A maka a ≅ a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat
refleksif).
2. Jika a ≅ b (mod.m) maka:
a-b = k(m)
-b+a = k(m)
b-a = -k(m)
Jadi, b ≅ a (mod.m) (simetris)
25
3. Jika a ≅ b (mod.m) dan b ≅ c (mod. m) maka:
a-b = k1(m)
b-c = k2(m)
a-c = (k1 + k2)(m)
a-c = k(m)
Jadi a ≅ c (mod.m) (sifat transitif).
Jadi R relasi ekivalen.
Contoh 3
Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam
himpunan N yang didefinisikan dengan “a
≅
b (mod.3)” dengan
a,b ∈ N. Tunjukkan bahwa N dipecah menjadi partisi.
Penyelesaian:
Jika N1 = {x|x ≅ 1 (mod. 3)} maka
N1 = {1,4,7,...},
Jika N2 = {x|x ≅ 2 (mod. 3)} maka
N2 = {2,5,8,...},
Jika N3 = {x|x ≅ 3 (mod. 3)} maka
N3 = {3,6,9,...},
Jika N4 = {x|x ≅ 4 (mod. 3)} maka
N4 = {1,4,7,…},
Jika N5 = {x|x ≅ 5 (mod. 3)} maka
N5 = {2,5,8,...},
Jika N6 = {x|x ≅ 6 (mod. 3)} maka
26
N6 = {3,6,9,...}.
Ternyata N1=N4= {1,4,7,…}
N2=N5= {2,5,8,…}
N3=N6= {3,6,9,…}
Perhatikan koleksi (N1, N2, N3). Jelas bahwa :
2. N1 ∪ N2 ∪ N3 = N
3. N1 ∩ N2 = ∅ , N1 ∩ N3 ¿ ∅ , N2 ∩ N3 ¿ ∅
Jadi N dipecah menjadi partisi.
Contoh 4
Diketahui N = himpunan bilangan asli. N1 = {1,3,5,7,...} dan
N2={2,4,6,8,...}. R relasi di dalam himpunan N.
a. Apakah koleksi {N1,N2} partisi dari N?
b. Tentukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2}
Penyelesaian:
a. N1 N2= N dan N1 N2 = .
Jadi koleksi {N1,N2} partisi dari N.
b.
N1 = {1,3,5,7,…} = {x|x ≅ 1 (mod. 2)}
N2 = (2,4,6.8,...) = {x|x ≅ 2 (mod. 2)}
Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2} adalah
"a ≅ b (mod. 2)" dengan
a,b ∈ N
Dari contoh 3 dan 4 dapat disimpulkan
Jika diketahui R relasi di dalam himpunan N
maka :
1. Jika R relasi himpunan ekivalen maka
himpunan N terpecah menjadi partisi
2. Jika himpunan N dipecah menjadi partisi
maka relasi R adalah relasi ekivalen
27
BAB 3
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan penjelasan di atas, kami menyimpulkan bahwa suatu
hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
pemasangan anggota- anggota A dengan anggota- anggota B. Cara
menyatakan relasi antara dua himpunan ada tiga, yaitu dengan
diagram panah, dengan himpunan pasangan berurutan, dan dengan
grafik Cartesius. Sedangkan untuk mengetahui banyaknya relasi
antara dua himpunan adalah jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan
n(A) = k, n(B) = l maka banyaknya relasi R = 2
kxl
. Macam dari relasi,
antara lain relasi refleksif, relasi simetris, relasi transitif, relasi ekivalen,
dan relasi partisi.
Hubungan antara relasi ekivalen dan partisi adalah jika diketahui R
relasi di dalam himpunan N dan R relasi ekivalen maka himpunan N
terpecah menjadi partisi; dan jika himpunan N dipecah menjadi partisi
maka relasi R adalah relasi ekivalen.
3.2 Saran
Bagi pembaca disarankan supaya makalah ini dapat dijadikan
sebagai media pembelajaran dalam rangka peningkatan pemahaman
tentang usaha dan energi. Dan bagi penulis-penulis lain diharapkan
agar
makalah
ini
dapat
dikembangan
lebih
lanjut
guna
menyempurnakan makalah yang telah dibuat sebelumnya.
27
DAFTAR PUSTAKA
Sugiarto dan Isti Hidayah. 2011. Bahan Ajar Pengantar Dasar Matematika
(PDM). Semarang : Universitas Negeri Semarang.
Situs Web
http://relasidanfungsi.weebly.com/macam-macam-penyajian-relasi.html
https://www.google.co.id/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&uact=8&ved=0CC8Q
FjAD&url=http%3A%2F%2Fdina_indarti.staff.gunadarma.ac.id
%2FDownloads%2Ffiles
%2F28365%2Frelasi.pdf&ei=Q7ojVdG6L8equQT8u4DABQ&usg=AFQjCN
FgH9MQNdKiqPioRIGMQC6HK6qV8w
RELASI ANTARA DUA HIMPUNAN
1.
2.
3.
4.
5.
Disusun Oleh :
Kelompok 3
Yuanda Ramadan Sobbirin
Muhammad Ade Safitri
Arman
Pipit Marselaningsih
Indah Lestari
14601040011
14601040012
14601040013
14601040015
14601040016
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BORNEO TARAKAN
2015
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas
berkat, rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah
pengantar dasar kimia kami yang berjudul “Relasi Antara Dua Himpunan”
dengan tepat waktu. Adapun yang nanti akan kami bahas di dalam
makalah ini adalah tentang pengertian antara dua himpunan, cara
menyatakan relasi antara dua himpunan, banyaknya relasi antara dua
himpunan, macam relasi, dan relasi ekivalen dan partisi.
Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sebanyak-banyaknya
terutama kepada Ibu Nurmala R., M.Pd selaku dosen pembimbing mata
kuliah Pengantar Dasar Matematika beserta teman-teman dan rekan
sekalian yang turut terlibat secara langsung maupun tidak langsung dalam
terselesainya makalah ini.
Kami menyadari makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh
sebab itu, diharapkan kritik dan saran pembaca demi kesempurnaan
makalah
kami
untuk
kedepannya.
Mudah-mudahan
makalah
ini
bermanfaat bagi kita semua terutama bagi mahasiswa yang mempelajari
materi ini.
Tarakan, 6 April 2015
Penyusun
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................
i
DAFTAR ISI ....................................................................................................
ii
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar
belakang
..................................................................................................
1
I.2 Rumusan
Masalah
..................................................................................................
2
I.3 Tujuan
Pembahasan
..................................................................................................
2
I.4 Manfaat
Pembahasan
..................................................................................................
2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
..................................................................................................
3
2.2 Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
..................................................................................................
6
2.3 Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
..................................................................................................
14
2.4 Macam Relasi
..................................................................................................
16
2.5 Relasi Ekivalen dan Partisi
..................................................................................................
21
2
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
..................................................................................................
27
3.2 Kritik
dan
Saran
................................................................................................
`27
DAFTAR
PUSTAKA
........................................................................................................................
28
LAMPIRAN
........................................................................................................................
29
3
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu sains dapat berbentuk ilmu terapan jika
diimplementasikan pada cabang ilmu lain. Relasi adalah salah satu
bagian dari pengantar dasar matematika. Dimana relasi merupakan
suatu hubungan. Dalam kehidupan sehari-hari pasti ada suatu
hubungan yang terjadi. Misal “sekumpulan anak-anak kecil yang
sedang bermain dan setiap anak memegang balon berbagai warna”.
Dari ini dapat diberikan pengertian bahwa anak-anak kecil yang
mempunyai hubungan dengan balon berbagai warna yang mereka
pegang. Sebelumnya telah dipelajari materi tentang himpunan.
Himpunan adalah sekumpulan benda atau obyek yang dididefinisikan
dengan jelas. Disini terdapat dua himpunan, yang pertama adalah
himpunan anak-anak kecil dan yang kedua adalah himpunan balon
berbagai warna.
Relasi digunakan untuk menyatakan suatu hubungan antara dua
himpunan.
Relasi
merupakan
teori
dasar
dalam
pembahasan
pengantar dasar matematika. Maka perlu untuk membahas relasi. Baik
dari definisi relasi antara dua himpunan ,cara menyatakan relasi antara
dua himpunan, banyaknya relasi antara dua himpunan, macammacam relasi, dan hubungan relasi ekivalen dan partisi.
Oleh karena relasi
tersebut menjadi salah satu dasar dalam
pembahasan pengantar dasar matematika, maka penulis berkeinginan
untuk membuat makalah yang berjudul “Relasi” yang diharapkan dapat
menambah pengetahuan mengenai relasi serta dapat mengenal relasi
secara lebih jelas lagi.
1
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan?
1.2.2 Bagaimana Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan?
1.2.3 Bagaimana Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan?
1.2.4 Apa Macam Relasi?
1.2.5 Bagaimana Relasi Ekivalen dan Partisi?
1.3 Tujuan Penulisan
1.3.1 Mengetahui Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
1.3.2 Mengetahui Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
1.3.3 Mengetahui Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
1.3.4 Mengetahui Macam Relasi
1.3.5 Mengetahui Relasi Ekivalen dan Partisi
1.4 Manfaat Penulisan
1.4.1 Agar kita tahu Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
1.4.2 Agar kita tahu Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
1.4.3 Agar kita tahu Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
1.4.4 Agar kita tahu Macam Relasi
1.4.5 Agar kita tahu Relasi Ekivalen dan Partisi
2
BAB 2
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan
Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan
ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara
konkrit maupun secara matematis.
Relasi merupakan hubungan antara anggota suatu himpunan
(domain) dengan himpunan lainnya (kodomain), baik himpunan yang
sama maupun himpunan yang berbeda.
Definisi : Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama
dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah dari A×B.
Contoh 1
Misalnya ada empat anak yaitu Fajar, Dian, Toni, dan Nani ditanya
apakah mereka gemar bermain catur, voli, atau tenis. Jawaban
mereka:
Fajar dan Dian gemar bermain catur,
Toni dan Nani gemar bermain voli,
Fajar dan Toni gemar bermain tenis
Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan :
1. Himpunan anak
A = {Fajar, Dian, Toni, Nani}
2. Himpunan permainan
B = {Catur, Voli, Tenis}
3
Kedua himpunan
A
dan B dihubungkan dengan hubungan
gemar bermain. Hubungan gemar bermain dari himpunan A ke
himpunan B dapat digambar sebagai berikut.
Gambar 1.1 menunjukkan suatu cara untuk menyatakan
hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B. Hubungan itu
adalah gemar bermain. Gambar 1.1 disebut diagram panah.
Perhatikanlah bahwa suatu relasi mempunyai arah pada diagram
panah ditunjukkan dengan anak panah.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa :
Suatu hubungan atau relasi dari
himpunan A ke himpunan B
adalah pemasangan anggotaanggota A dengan anggotaanggota B.
4
Contoh 2
Diketahui: Cinta dan Dina suka makan Soto
Nina dan Dani suka makan Mie
Dani suka makan Bakso
Penyelesaiannya: Terdapat 2 himpunan yaitu:
A = Himpunan siswa
A = {Cinta, Dina, Dani, Nina}
B = Himpunan Makanan
B = {Soto, Mie, Bakso}
Gambar 1.2
AB
Cinta•
Dina•
Dani•
Nina•
• Soto
• Mie
• Bakso
5
Contoh 3
Dikelas 8 SMP terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran
tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :
Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
Vita menyukai pelajaran IPA, dan
Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa inggris
2.2 Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan
Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi faktor
dari himpunan A ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi
tersebut dengan tiga cara yaitu:
1) Dengan diagram panah
ada gambar 1.2, 2 dikawankan dengan 4 ditulis 2→4, ini berarti 2
faktor dari 4.
6
2) Dengan himpunan pasangan berurutan
Perhatikanlah gambar 1.2. 2→6 ini berarti 2 faktor dari 6 dan
dapat ditulis dengan pasangan berurutan (2,6). Jika relasi faktor
dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R, maka jelas
2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6 atau (2,6)
∈
R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau
(2,4)
∈
∈
R, 3R6 atau (3,6)
R, tetapi 2 tidak berelasi
dengan 5 atau dapat ditulis 2 R 5 atau (2,5) ∉ R. Dengan
demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan
berurutan yaitu:
R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}
Dengan
cara
lain
dapat
dijelaskan
pula
bahwa
jika
ditentukan x ∈ A dan y ∈ B maka relasi faktor dari tersebut
dapat dinyatakan dengan kalimat terbuka x faktor dari y.
Pengganti
pernyataan
"x"
dengan
yang
"2"
dan
"y"
dengan
"6"
didapat
benar, sehingga pasangan berurutan (2,6)
merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y.
Tetapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat
pernyataan yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari
kalimat terbuka x faktor dari y. Jika relasi faktor dari himpunan A
ke himpunan B dinyatakan dengan R maka himpunan
pasangan
berurutan
(x,y)
yang
menghasilkan
semua
pernyataan
yang benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka
R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}
7
3) Dengan grafik Cartesius
Gambar 1.3
Koordinat
titik-titik pada gambar
1.3 menyatakan anggota-
anggota pasangan berurutan dari relasi R (faktor dari).
Contoh 1
Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}.
R: M→N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat
terbuka x dua kali y dengan X
∈ M, y
∈ N. Nyatakanlah relasi
tersebut:
a. dengan diagram panah
b. dengan himpunan pasangan berurutan
c. dengan grafik Cartesius
Penyelesaian:
a. dengan diagram panah
b. dengan himpunan pasangan berurutan
8
R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}
c. dengan grafik Cartesius
Contoh 2
Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang
lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :
Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
Vita menyukai pelajaran IPA, dan
Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa ingris
Buatlah relasi dari soal diatas dan disajikan menggunakan diagram
panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
9
Jawab :
Untuk
mempermudah
menjawab
persoalan
diatas
gunakanlah
permisalan seperti : Himpunan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri},
Himpunan B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika,
IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang
menghubungkan himpunan A ke B.
Diagram panah
10
Diagram Cartesius
Himpunan pasangan berurutan
Himpunan pasangan berurutan dari soal diatas adalah {(Buyung, IPS),
(Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA),
(Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}
11
Contoh 3
Ani gemar makan Bakso dan Nasi goreng
Irfan gemar makan Mie Ayam
Arman gemar makan Nasi Goreng, dan Coto
Ahmad gemar makan Ikan bakar
Ade gemar makan Bakso
Dari penyataan di atas kita dapat menentukan dua himpunan yaitu
A = (Ani, Irfan, Arman, Ahmad, Erwin)
B = (Bakso, Nasi goreng, Mie ayam, Coto, Ikan Bakar)
Dari kedua himpunan di atas dihubungkan dengan relasi himpunan A
dan himpunan B yaitu “gemar makan”.
Diagram panah
12
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
Himpunan pasangan berurutan adalah {(Ani,Bakso), (Ani,NasiGoreng),
(Irfan,MieAyam), (Arman,Nasi Goreng), (Arman,Coto),
(Ahmad,IkanBakar), (Erwin,Bakso)}
13
2.3 Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
Jika R: A→B adalah relasi dari A ke B. n(A) = 3, dan n(B) = 2
maka banyaknya relasi R tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Misalkan A = {1,3,5} maka n(A) = 3,
B = {a,b} maka n(B) = 2
AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(AxB) = 6 = 3x2.
Jika R1 = {(1,a)} jelas R1 (AxB) dan R1 relasi dari A ke B.
Jika R2 = {(1,a),(2,b)} jelas R2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B.;
Jika R0 = {} jelas R0 (AxB) dan R0 bukan relasi dari A ke B.
Jika R6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R6 (AxB) dan
R6 relasi dari A ke B.
Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa:
1. Jika R relasi dari A ke B maka R ⊂ (AxB)
2. Jika R(AxB) dan R≠ ∅ maka R relasi dari A ke B
Kita tahu bahwa n(AxB) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota
6
himpunan kuasa = 2 = 2
Karena untuk R ≠∅
3x2
maka R relasi dari A ke B maka banyaknya
6
relasi R dari A ke B ada 2 - 1. Dengan demikian dapat kita katakan
bahwa jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan n(A) = 3, n(B) = 3
maka banyaknya relasi R sebanyak 2
3x3
- 1. Secara umum dapat
dikatakan bahwa:
Jika R: A→B adalah relasi
dari A ke B dan n(A) = k,
n(B) = l maka banyaknya
kxl
relasi R = 2
-1
Contoh 1
14
Diketahui R: M→N adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4
dan n(N)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut.
Penyelesaian:
n(M)=4 dan n(N)=3.
Banyaknya relasi R ada = 2
4x3
- 1 = 4095
Contoh 2
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal},
hitunglah banyaknya relasi tersebut
Penyelesaian:
A = {2, 3}, n(A) = 2
B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5
Banyaknya relasi R ada = 2
2x5
- 1 = 1023
Contoh 3
Jika A = {x|–2 < x < 2, x є Z} dan B = {x | x bilangan prima < 6},
hitunglah banyaknya relasi
Penyelesaian:
A = {x|–2 < x < 2, x є Z} = {-1, 0, 1}, n(A) = 3
B = {x | x bilangan prima < 6} = {2, 3, 5}, n(A) = 3
Banyaknya relasi R ada = 2
3x3
- 1 = 511
15
2.4 Macam-macam Relasi
a. Relasi Refleksif
Definisi 1.1
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut relasi
refleksif jika dan hanya jika
∀ a ∈ A , maka (a,a)
∈ R.
Dari definisi 1.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam
himpunan A disebut bukan relasi refleksif jika dan hanya jika
∃ a ∈ A, dan (a,a) ∉ R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi
R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R1 tersebut
bersifat refleksif.
Contoh 2
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R2 = {(x,y) │x kelipatan y, x, y ∈ B}.
Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat
refleksif.
Contoh 3
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R3 = {(x,y│x + y < 10, x, y ∈ A}.
Maka R3 ={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi
R3 tersebut tidak bersifat refleksif.
16
b. Relasi Simetris
Definisi 1.2
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut relasi
simetris jika (a,b) ∈ R,
maka berarti (b,a) ∈ R
Dari definisi 1.2 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam
himpunan A disebut bukan relasi simetris jika (a,b) ∈ R dan
(b,a) ∉
R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi
R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R1 tersebut
bersifat simetris.
Contoh 2
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R2 = { (x,y) │ x kelipatan y , x, y
∈ Z}
R2= {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R2 tersebut tidak bersifat
simetris karena (4,2)
∈ R2 tetapi (2,4)
∉ R 2.
17
Contoh 3
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan
A = {1,3,5} sedemikian sehingga:
R1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)}
R2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)}
R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
Apakah R1, R2, R3 relasi simetris atau bukan?
Penyelesaian:
R1 bukan relasi simetris sebab (3,5)
tetapi (5,3) ∉
∈
R1
R1.
R2 relasi simetris.
R3 relasi simetris.
18
c. Relasi Transitif
Definisi 1.3
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut
relasi transitif jika (a,b)
(b,c)
R dan
R maka berarti (a,c)
R
Dari definisi 1.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam
himpunan A disebut bukan relasi transitif jika (a,b) ∈ R dan (b,c)
∈ R tetapi (a,c) ∉ R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}.
Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) ,
(3,3)} Relasi R1 tersebut bersifat transitif.
Contoh 2
Relasi R2 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang
didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak bersifat transitif,
karena terdapat (1,2)
∈
R2 dan (2,3)
∈
R2, tetapi (1,3) ∉
R 2.
Contoh 3
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A =
{1,3,5} sedemikian sehingga:
a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)}
b. R2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)}
c. R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
19
Apakah R1, R2, dan R3 relasi transitif atau bukan?
Penyelesaian :
a) R1 bukan relasi transitif sebab
(3,1) R1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) ∉ R1.
b) R2 relasi transitif sebab
(1,3) R2 dan (3,1) R2 maka (1,1) R2;
(3,1) R2 dan (1,3) R2 maka (3,3) R2;
(1,1) R2 dan (1,3) R2 maka (1,3) R2;
(3,1) R2 dan (1,1) R2 maka (3,1) R2;
(1,3) R2 dan (3,3) R2 maka (1,3) R2;
c) R3 relasi transitif.
d. Relasi Ekivalen
Definisi 1.4
Misalkan R suatu relasi di dalam
himpunan A maka R disebut relasi
ekivalen jika berlaku syarat:
a. Refleksi
a ∈ A maka (a,a)
b. Simetris artinya jika (a,b)
berarti (b,a)
R
R maka
R;dan
c. Transitif artinya jika (a,b)
R dan
(b,c) ∈ R,maka berarti (a,c) ∈
R.
Contoh 1
Diketahui A = {1, 2, 3}.
Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}
Relasi R1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh
karena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen.
20
21
Contoh 2
Diketahui B = {2, 4, 5}. Pada B didefinisikan relasi
R2 = { (x,y)│x kelipatan y , x, y ∈ Z } maka
R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut tidak bersifat
simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.
Contoh 3
Diketahui himpunan A = {0, 2, 4}, relasi R di dalam himpunan A
dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris,
dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.
2.5 Relasi Ekivalen dan Partisi
a. Partisi Himpunan
Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh
sebagai berikut. Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A1={1,2,3}, A2 =
{4,5,6,7}, A3 ={8,9,10}.
Koleksi himpunan A = {A1, A2, A3} mempunyai dua sifat yaitu:
1). A1 ∪ A2 ∪ A3 = A
2).
A1
∩ A2 =
∅ , A1
∩ A3 =
∅ , A2
∩ A3 =
.
Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A.
22
Contoh 1
Diketahui N = {x l x bilangan asli}. N1={1,5,9,17,...},
N2={2,6,10,14,...}, N3={3,7,11,15,...), N4=(4,8,12,16,...).
Apakah koleksi (N1, N2, N3, N4) partisi dari N.
Penyelesaian:
Koleksi {N1, N2, N3, N4} mempunyai sifat:
1. N1 ∪ N2 ∪ N3
2. N1 ∩ N2 = ,
∪ N4 = N
N 1 ∩ N3 = ,
N1
∩
N4 = .
N2
∩ N3 = ,
N2
∩ N4 = ,
dan N3
∩ N4 =
Jadi koleksi {N1, N2, N3, N4} merupakan partisi dari N.
Contoh 2
Diketahui N = {x l x bilangan kelipatan 2}. B1={2,6,10,...},
B2={4,16,18,...}, dan B3={8,12,14,...)
Apakah koleksi (B1, B2, B3) partisi dari B.
Penyelesaian:
Koleksi {B1, B2, B3} mempunyai sifat:
1. B1
2. B1
∪ B2 ∪ B 3 = B
∩ B2 = ,
B1
∩
B3 = ,
B2
∩
B3 = .
Jadi koleksi {B1, B2, B3} merupakan partisi dari B.
23
Contoh 3
Diketahui N = {x l x bilangan prima}. N1={3,7,19,...},
N2={2,5,23,...}, N3={11,13,17,...), N4=(29,31,37,...).
Apakah koleksi (N1, N2, N3, N4) partisi dari N.
Penyelesaian:
Koleksi {N1, N2, N3, N4} mempunyai sifat:
1. N1 ∪ N2 ∪ N3
2. N1 ∩ N2 = ,
∪ N4 = N
N 1 ∩ N3 = ,
N1
∩
N4 = .
N2
∩ N3 = ,
N2
∩ N4 = ,
dan N3
∩ N4 =
Jadi koleksi {N1, N2, N3, N4} merupakan partisi dari N.
b. Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen
Sebelum
dibicarakan
hubungan
antara
partisi
dan
relasi
ekivalen, maka pada uraian berikut akan dibicarakan a kongruen
b modulo m.
Definisi 1.5
Misalkan a dan b bilangan asli,
m bilangan asli, maka dikatakan
a kongruen b modulo m ditulis a
b (mod.m) jika a-b=km
dengan k bilangan bulat
24
Contoh 1
Untuk m=3, maka:
4 kongruen 1 modulo 3
Ditulis 4 1 (mod.3) sebab 4-1= 1(3)
10 kongruen 1 modulo 3
Ditulis 10 ≅ 1 (mod.3) sebab 10-1 = 3 (3)
20 kongruen 2 modulo 3
Ditulis 20 2 (mod.3) sebab 20-2 = 6 (3)
2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2
7 (mod.3) sebab 2-7 k(3)
dengan k bilangan bulat.
Contoh 2
Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:N→N adalah relasi di
dalam himpunan N yang didefinisikan dengan
a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen. Bukti:
1.
∀ a ∈ A maka a ≅ a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat
refleksif).
2. Jika a ≅ b (mod.m) maka:
a-b = k(m)
-b+a = k(m)
b-a = -k(m)
Jadi, b ≅ a (mod.m) (simetris)
25
3. Jika a ≅ b (mod.m) dan b ≅ c (mod. m) maka:
a-b = k1(m)
b-c = k2(m)
a-c = (k1 + k2)(m)
a-c = k(m)
Jadi a ≅ c (mod.m) (sifat transitif).
Jadi R relasi ekivalen.
Contoh 3
Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam
himpunan N yang didefinisikan dengan “a
≅
b (mod.3)” dengan
a,b ∈ N. Tunjukkan bahwa N dipecah menjadi partisi.
Penyelesaian:
Jika N1 = {x|x ≅ 1 (mod. 3)} maka
N1 = {1,4,7,...},
Jika N2 = {x|x ≅ 2 (mod. 3)} maka
N2 = {2,5,8,...},
Jika N3 = {x|x ≅ 3 (mod. 3)} maka
N3 = {3,6,9,...},
Jika N4 = {x|x ≅ 4 (mod. 3)} maka
N4 = {1,4,7,…},
Jika N5 = {x|x ≅ 5 (mod. 3)} maka
N5 = {2,5,8,...},
Jika N6 = {x|x ≅ 6 (mod. 3)} maka
26
N6 = {3,6,9,...}.
Ternyata N1=N4= {1,4,7,…}
N2=N5= {2,5,8,…}
N3=N6= {3,6,9,…}
Perhatikan koleksi (N1, N2, N3). Jelas bahwa :
2. N1 ∪ N2 ∪ N3 = N
3. N1 ∩ N2 = ∅ , N1 ∩ N3 ¿ ∅ , N2 ∩ N3 ¿ ∅
Jadi N dipecah menjadi partisi.
Contoh 4
Diketahui N = himpunan bilangan asli. N1 = {1,3,5,7,...} dan
N2={2,4,6,8,...}. R relasi di dalam himpunan N.
a. Apakah koleksi {N1,N2} partisi dari N?
b. Tentukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2}
Penyelesaian:
a. N1 N2= N dan N1 N2 = .
Jadi koleksi {N1,N2} partisi dari N.
b.
N1 = {1,3,5,7,…} = {x|x ≅ 1 (mod. 2)}
N2 = (2,4,6.8,...) = {x|x ≅ 2 (mod. 2)}
Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2} adalah
"a ≅ b (mod. 2)" dengan
a,b ∈ N
Dari contoh 3 dan 4 dapat disimpulkan
Jika diketahui R relasi di dalam himpunan N
maka :
1. Jika R relasi himpunan ekivalen maka
himpunan N terpecah menjadi partisi
2. Jika himpunan N dipecah menjadi partisi
maka relasi R adalah relasi ekivalen
27
BAB 3
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan penjelasan di atas, kami menyimpulkan bahwa suatu
hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
pemasangan anggota- anggota A dengan anggota- anggota B. Cara
menyatakan relasi antara dua himpunan ada tiga, yaitu dengan
diagram panah, dengan himpunan pasangan berurutan, dan dengan
grafik Cartesius. Sedangkan untuk mengetahui banyaknya relasi
antara dua himpunan adalah jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan
n(A) = k, n(B) = l maka banyaknya relasi R = 2
kxl
. Macam dari relasi,
antara lain relasi refleksif, relasi simetris, relasi transitif, relasi ekivalen,
dan relasi partisi.
Hubungan antara relasi ekivalen dan partisi adalah jika diketahui R
relasi di dalam himpunan N dan R relasi ekivalen maka himpunan N
terpecah menjadi partisi; dan jika himpunan N dipecah menjadi partisi
maka relasi R adalah relasi ekivalen.
3.2 Saran
Bagi pembaca disarankan supaya makalah ini dapat dijadikan
sebagai media pembelajaran dalam rangka peningkatan pemahaman
tentang usaha dan energi. Dan bagi penulis-penulis lain diharapkan
agar
makalah
ini
dapat
dikembangan
lebih
lanjut
guna
menyempurnakan makalah yang telah dibuat sebelumnya.
27
DAFTAR PUSTAKA
Sugiarto dan Isti Hidayah. 2011. Bahan Ajar Pengantar Dasar Matematika
(PDM). Semarang : Universitas Negeri Semarang.
Situs Web
http://relasidanfungsi.weebly.com/macam-macam-penyajian-relasi.html
https://www.google.co.id/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&uact=8&ved=0CC8Q
FjAD&url=http%3A%2F%2Fdina_indarti.staff.gunadarma.ac.id
%2FDownloads%2Ffiles
%2F28365%2Frelasi.pdf&ei=Q7ojVdG6L8equQT8u4DABQ&usg=AFQjCN
FgH9MQNdKiqPioRIGMQC6HK6qV8w