PD Linear Orde n Homogen dengan Koefisien Konstan
PD Linear Orde n Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum
dengan a0 , a1 , a2 ,… , an konstanta real.
Diberikan operator diferensial
d
dx
dy
Dy =
dx
D=
D 2 y = DDy =
Dn y =
d ⎛d
⎜
dx ⎝ dx
2
⎞ d y
y⎟ = 2
⎠ dx
dny
dx n
Jadi, PD (4.23) dapat ditulis menjadi
a0 D n y + a1 D n −1 y + … + an −1 Dy + an y = 0
atau
(a D
n
0
+ a1 D n −1 + … + an −1 D + an ) y = 0
(4.24)
Adakah suatu fungsi f sedemikian sehingga jika hasil penjumlahan dari f dan turunan-turunannya
yang dikalikan dengan konstanta maka nilainya adalah nol???
Selanjutnya, untuk persamaan karakteristik PD (4.23) terdapat empat kemungkinan, yaitu:
1. Akar-akar persamaan karakteristik real dan berlainan
Katakan m = m1 , m = m2 ,… , m = mn adalah akar-akar real dan berlainan dari f ( m ) = 0 .
PU dari (4.23) adalah y = c1e m1 x + c2 e m2 x + … + cn e mn x .
Contoh: Selesaikan PD berikut
2.
Akar-akar persamaan karakteristik real dan ada yang sama
Katakan m1 = m2 ,… , mk = m ≠ mk +1 ≠ mk + 2 ≠ … ≠ mn adalah akar-akar dari f ( m ) = 0 .
PU dari (4.23) adalah
Contoh: Tentukan PU dari PD
3.
4.
Akar-akar persamaan karakteristik kompleks dan berlainan
Akar-akar persamaan karakteristik kompleks dan sama
Bentuk umum
dengan a0 , a1 , a2 ,… , an konstanta real.
Diberikan operator diferensial
d
dx
dy
Dy =
dx
D=
D 2 y = DDy =
Dn y =
d ⎛d
⎜
dx ⎝ dx
2
⎞ d y
y⎟ = 2
⎠ dx
dny
dx n
Jadi, PD (4.23) dapat ditulis menjadi
a0 D n y + a1 D n −1 y + … + an −1 Dy + an y = 0
atau
(a D
n
0
+ a1 D n −1 + … + an −1 D + an ) y = 0
(4.24)
Adakah suatu fungsi f sedemikian sehingga jika hasil penjumlahan dari f dan turunan-turunannya
yang dikalikan dengan konstanta maka nilainya adalah nol???
Selanjutnya, untuk persamaan karakteristik PD (4.23) terdapat empat kemungkinan, yaitu:
1. Akar-akar persamaan karakteristik real dan berlainan
Katakan m = m1 , m = m2 ,… , m = mn adalah akar-akar real dan berlainan dari f ( m ) = 0 .
PU dari (4.23) adalah y = c1e m1 x + c2 e m2 x + … + cn e mn x .
Contoh: Selesaikan PD berikut
2.
Akar-akar persamaan karakteristik real dan ada yang sama
Katakan m1 = m2 ,… , mk = m ≠ mk +1 ≠ mk + 2 ≠ … ≠ mn adalah akar-akar dari f ( m ) = 0 .
PU dari (4.23) adalah
Contoh: Tentukan PU dari PD
3.
4.
Akar-akar persamaan karakteristik kompleks dan berlainan
Akar-akar persamaan karakteristik kompleks dan sama