Transform laplace dan penerapannya dalam penyelesaian masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan khususnya pada getaran pegas - USD Repository

  

TRANSFORM LAPLACE DAN PENERAPANNYA DALAM

PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL

LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

KHUSUSNYA PADA GETARAN PEGAS

Skripsi

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

  

Oleh:

Marselina Kartika

NIM. 031414028

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

HALAMAN PERSEMBAHAN

  “…, berdirilah teguh, jangan goyah, dan giatlah selalu dalam pekerjaan Tuhan! Sebab kamu tahu, bahwa dalam persekutuan dengan Tuhan jerih payahmu tidak sia-sia.” (1 Korintus 15:58) “ Pengalaman membuat engkau mampu untuk mengenal sebuah kesalahan bilamana engkau melakukannya lagi “ (Franklin P. Jones)

  “ Jangan sekali-kali putus asa, tapi jika engkau putus asa juga, teruslah bekerja dalam keputusasaan itu “ (Edmund Barke)

  Dengan penuh kasih aku persembahkan karya mungilku ini untuk : Tuhan Yesus dan Bunda Maria

  Papa, Mama, dan Adikku tersayang yang selalu menjadi penyemangatku Segenap keluarga di Bangka dan di Jawa

  Rekan-rekan mahasiswa/i PMAT ’03 dan sahabat-sahabatku Almamaterku,Universitas Sanata Dharma

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

  Ada berbagai metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial. Salah satunya adalah metode transform Laplace. Transform Laplace dari suatu fungsi f (t ) adalah fungsi F (s )

  ∞

_st

−

  yang dinyatakan oleh L f ( t ) F ( s ) e f ( t ) dt . Jika L f ( t ) F ( s ) maka f (t )

  { } = = { } = ∫

  disebut invers transform Laplace dari F (s ) dan secara simbolis ditulis

  − ¹ L f (t ) = { F ( s ) } .

  Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan yaitu dengan mengambil transform Laplace dari kedua ruas persamaan diferensial. Dengan menggunakan sifat linearitas transform Laplace, teorema transform Laplace dari turunan, dan kondisi awal yang diberikan akan diperoleh persamaan aljabar dalam s. Kemudian kita selesaikan persamaan aljabar tersebut. Selanjutnya untuk menentukan penyelesaian masalah nilai awal adalah dengan menggunakan invers transform Laplace.

  Persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan mempunyai penerapan pada getaran pegas. Dalam penerapan ini, untuk mendapatkan persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan dari getaran pegas tersebut kita terapkan hukum Hooke dan hukum Newton II. Untuk menentukan persamaan perpindahan benda dari getaran pegas dapat digunakan metode transform Laplace dengan langkah-langkah yang sama seperti yang dikemukakan di atas.

  

ABSTRACT

  There are some methods that can be used to determine the solution of the initial value problem of a differential equation. One of them is the Laplace transform method. Laplace transform of function f (t ) is function F (s ) stated by

  ∞ _st −

  L

  f ( t ) F ( s ) e f ( t ) dt . If L f ( t ) F ( s ) then f (t ) is called the inverse { } = = { } =

  ∫ ₁ −

  L Laplace transform of F (s ) and symbolically it is written f (t ) = F ( s ) { } .

  Steps for solving the initial value problem of a second order linear differential equation with constant coefficients are obtained by taking the Laplace transform of both sides of the differential equation. By using the linear property of the Laplace transform, the theorem of the Laplace transform of derivatives and the initial condition that is given, we will get an algebraic equation in s. Then we solve the algebraic equation. Next, to determine the solution of the initial value problem we use the inverse Laplace transform.

  Second order linear differential equation with constant coefficients have an application in spring vibration. In this application, in order to get a second order linear differential equation with constant coefficients of the spring vibration we apply the Hooke law and the second Newton law. To determine the equation for the object displacement in the spring vibration, we can use the Laplace transform method with the same steps as mentioned above.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur ke hadirat Allah Bapa di Surga karena penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Transform Laplace dan Penerapannya dalam Penyelesaian Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan Khususnya pada Getaran Pegas”. Skripsi ini penulis susun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Selama penyusunan skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis alami. Namun dengan bantuan berbagai pihak semua kesulitan dan hambatan tersebut dapat teratasi. Untuk itu, dalam kesempatan ini penulis dengan tulus hati ingin mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada :

  1. Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu menjaga, melindungi, dan menuntun langkahku. Puji syukur atas segala berkat dan anugerah yang telah kuterima.

  2. Bapak Drs. A. Tutoyo, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah membimbing, mengarahkan dengan sabar, menyediakan waktu, dan memberikan masukan serta kritikan yang berharga kepada penulis selama proses penyusunan skripsi ini.

  3. Bapak Dr. St. Suwarsono selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan bantuan selama penulis menempuh kuliah serta atas masukan dan kritikan yang bermanfaat untuk penyempurnaan skripsi ini.

  4. Bapak Drs. Al. Haryono selaku Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2003 dan selaku dosen penguji yang selalu membimbing dan memberikan kemudahan- kemudahan selama penulis menempuh kuliah serta atas masukan dan kritikan yang bermanfaat untuk penyempurnaan skripsi ini.

  5. Segenap dosen JPMIPA, khususnya dosen-dosen Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik, membagi pengetahuan dan pengalaman yang sangat bermanfaat kepada penulis.

  6. Bapak Sunardjo dan Bapak Sugeng di sekretariat JPMIPA atas segala keramahan, bantuan, dan kerja samanya dalam membantu penulis selama kuliah hingga penyelesaian skripsi ini.

  7. Papa Venantius Widiyanto, Mama Petronella Ratnawati, dan adikku tersayang Benediktus Raditya atas doa yang tak pernah kunjung henti, cinta, kasih sayang, perhatian, kesempatan, nasehat, dan dorongan yang diberikan baik secara materiil maupun spiritual. Kalian adalah semangatku untuk menyelesaikan skripsi ini. Semoga skripsiku ini dapat menjadi hadiah kecil yang membanggakan.

  8. Sahabat terbaikku, Mbak Wr, Era, dan Heni yang selalu jadi tempat curhatku, terima kasih atas bantuan, semangat, perhatian, masukan, dan kritikan yang sangat berarti. Teman yang baik tidak selalu memberi ciuman dan pelukan tapi terkadang juga tamparan agar aku sadar dan bangkit dari kesalahan. Terima kasih

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL i

  HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii HALAMAN PENGESAHAN iii

  HALAMAN PERSEMBAHAN iv

  PERNYATAAN KEASLIAN KARYA v ABSTRAK vi

  ABSTRACT

  vii KATA PENGANTAR viii

  DAFTAR ISI xi

BAB I PENDAHULUAN

  7 C. Batasan Masalah

  7 D. Tujuan Penulisan

  1 B. Rumusan Masalah

  8 F. Sistematika Penulisan

  8 BAB II TRANSFORM LAPLACE

   10 A. Pengertian Transform Laplace

  10 B. Sifat-Sifat Transform Laplace

  22 C. Invers Transform Laplace

  26 D. Transform Laplace dari Turunan dan Integral

  29 E. Konvolusi Dua Fungsi f(t) dan g(t)

  34 F. Aplikasi Transform Laplace dalam Menyelesaikan Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan

  40

   1 A. Latar Belakang

  8 E. Metode Penulisan

BAB III PENERAPAN TRANSFORM LAPLACE DALAM PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN KONSTAN PADA GETARAN PEGAS

   60 A. Getaran Tak Teredam

  63 B. Getaran Teredam

  70 C. Getaran Terpaksa Tak Teredam

   79 D. Getaran Terpaksa Teredam

  88 BAB IV PENUTUP

   100

  DAFTAR PUSTAKA 102

  LAMPIRAN 103

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau

  diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan dengan banyak cara. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel bebas maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Bentuk umum persamaan diferensial biasa : _{2 3 n}

  dy d y d y d y f ( x , y , , , ,..., ) = , _{2 3 n} dx dx dx dx

  dengan x menyatakan variabel bebas dan y menyatakan variabel tak bebas. Sedangkan jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Bentuk umum persamaan diferensial parsial : _{2 2 2 n}

  ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z

  f ( x , y , z , , , , , ,..., ) = , ₂

_{2 n}

  ∂ x ∂ y ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ y dengan x dan y menyatakan variabel bebas, sedangkan z menyatakan variabel tak bebas. Contoh persamaan diferensial :

  dy

  = 2 xy (1)

  dx

  2 d ^{2 y dy} + x ₂ 3 x − 2 y = (2) dx dx u u

  ∂ ∂

• = (3) ∂ x ∂ y
_{2 2} ∂ u ∂ u ₂ + = + ₂ 1 x (4)

  ∂ t ∂ x Persamaan (1) dan (2) merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan (3) dan (4) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.

  Persamaan diferensial dibedakan menurut tingkat (orde) dan menurut derajatnya. Orde persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Derajat adalah pangkat dari derivatif tingkat tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial biasa orde satu dan berderajat satu, sedangkan persamaan (2) merupakan persamaan diferensial biasa orde dua dan berderajat satu.

  Persamaan (3) merupakan persamaan diferensial parsial orde satu dan berderajat satu, sedangkan persamaan (4) merupakan persamaan diferensial parsial orde dua dan berderajat satu.

  Persamaan diferensial biasa masih bisa dibagi lagi menjadi 2 kelompok besar, yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.

  Persamaan diferensial biasa tingkat n disebut linear dalam y jika persamaan diferensial dapat ditulis dalam bentuk : _{( ) n n − 1}

  a ( x ) y a ( x ) y L a ( x ) y ′ a ( x ) y f ( x ) (5) _{n n 1 1} + + + + = − di mana a , a , L , a dan f adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval x dan _{1 n}

  

a ( x ) ≠ pada interval itu. Fungsi a (x ) disebut fungsi-fungsi koefisien. Jadi,

_{n n}

  persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika syarat-syarat berikut dipenuhi :

  1. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar yang terjadi hanya berpangkat satu.

  2. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya atau dua atau lebih derivatif.

  ′, ′′ 3. Tidak ada fungsi transendental dari y , y y , dan seterusnya. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut persamaan diferensial non linear. Jika pada persamaan (5) f ( x ) = , maka persamaan itu disebut persamaan diferensial linear homogen. Tetapi jika f ( x ) ≠ , maka persamaan itu disebut persamaan diferensial linear non homogen. Jika koefisien a ( x ), a ( x ), L , a ( x ) _{1 n} adalah konstan, maka persamaan (5) disebut persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan, sedangkan jika koefisien-koefisiennya berupa variabel maka persamaan (5) disebut persamaan diferensial linear dengan koefisien variabel.

  Persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan mempunyai penerapan pada getaran pegas. Untuk lebih memahami penerapan persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan pada getaran pegas, perhatikan contoh berikut.

  Contoh : Sebuah benda bermassa m tergantung dari keadaan seimbang pada bawah sejauh jarak tertentu dengan pengandaian tak ada gesekan seperti gambar di bawah ini :

  

k

m x

  Jika x menyatakan perpindahan benda dari keadaan seimbang dan F menyatakan gaya pengembalian pegas maka berdasarkan hukum Hooke F kx . Dengan menggunakan hukum Newton II, F ma di

  = − =

  mana m adalah massa benda, a adalah percepatan benda, dan F adalah gaya yang bekerja pada benda dengan massa m maka kita mempunyai hubungan : ₂

  d x m = − kx ₂ dt ₂ d x

  atau m + kx = . ₂

  dt

  Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien konstan. Persamaan karakteristiknya dapat

  ω c c v ω + − = ₂ = v c ω

  1 . _{2 1}

  ω ω

  c c x

  ) cos sin ( _{2 1}

  ) cos sin ( ω ω ω ω

  = v x ′ . t c t c t x _{2 1}

  ) sin cos ( ω ω + = disubstitusikan ke ) (

  ) sin cos ( _{2 1} + c c x = .

  ditulis dalam variabel r yaitu ² = + k mr yang mempunyai akar-akar ± = r

  ) sin cos ( ω ω + = disubstitusikan ke ) ( x x = .

  t c t c t x _{2 1}

  Penyelesaian dari masalah nilai awal di atas dapat diperoleh dengan mensubstitusikan penyelesaian umum ke dalam kondisi awal ini.

  Persamaan tersebut menyatakan perpindahan benda pada saat t. Untuk menentukan penyelesaian khususnya kita harus mengetahui titik awal dan kecepatan awal dari benda yaitu : ) ( x x = , ) ( v x = ′ .

  = ω maka penyelesaian umumnya : t c t c t x _{2 1} ) sin cos ( ω ω + = .

  m k i . Jika m k

• c c x =
₁ = x c t c t c t x ₂ 1<
• − = ′
• − = ′ . 1 .
_{2 1}

  v c = ₂

  ω Sehingga didapat penyelesaian khususnya :

  v ω ω . x ( t ) = + x cos t sin t

  ω Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa dalam menentukan penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial kita perlu mengetahui kondisi awalnya.

  Persamaan diferensial beserta kondisi awal tersebut dinamakan masalah nilai awal. Metode-metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dari persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan misalnya metode reduksi, metode koefisien tak tentu, metode variasi parameter, dan lain-lain. Tetapi ada salah satu metode yang berbeda dengan metode lainnya yaitu metode transform Laplace.

  Dalam menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial, biasanya yang pertama dilakukan adalah menentukan penyelesaian umumnya. Setelah memperoleh penyelesaian umum, kita menggunakan syarat-syarat awal yang diberikan untuk mencari penyelesaian khusus yang diinginkan. Melalui transform Laplace, kita dapat menyelesaikan masalah nilai awal tanpa mencari penyelesaian umumnya terlebih dahulu.

  Transform Laplace didefinisikan sebagai berikut : misalkan f (t ) suatu fungsi dari t yang terdefinisikan untuk t maka transfom Laplace dari f (t )

  &gt;

  yang dinyatakan oleh L { } f (t ) , didefinisikan sebagai

  ∞ _st −

  ∫

  L { } f ( t ) = F ( s ) = e f ( t ) dt , untuk s &gt; .

  Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh transform Laplace secara teoritik dan penerapan transform Laplace dalam menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan khususnya pada getaran pegas.

  B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah membahas transform Laplace dan bagaimana penerapan transform Laplace dalam menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan khususnya pada getaran pegas.

  C. Batasan Masalah

  Dalam skripsi ini, permasalahan yang akan dibahas dibatasi pada penggunaan transform Laplace dalam menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan. Untuk penerapan transform Laplace penulis akan membahas bagaimana transform Laplace digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan khususnya pada getaran pegas.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan ini adalah untuk lebih memahami transform Laplace secara teoritik dan penerapan transform Laplace dalam menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan khususnya pada getaran pegas.

  E. Metode Penulisan

  Metode yang akan digunakan dalam membahas topik tersebut adalah metode studi pustaka.

  F. Sistematika Penulisan

  Penulisan ini terbagi dalam beberapa bab, yakni :

  BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan

  BAB II Transform Laplace A. Pengertian Transform Laplace B. Sifat-Sifat Transform Laplace C. Invers Transform Laplace D. Transform Laplace dari Turunan dan Integral E. Konvolusi Dua Fungsi f(t) dan g(t) F. Aplikasi Transform Laplace dalam Menyelesaikan Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan BAB III Penerapan Transform Laplace dalam Penyelesaian Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan pada Getaran Pegas A. Getaran Tak Teredam

  B. Getaran Teredam

  C. Getaran Terpaksa Tak Teredam

  D. Getaran Terpaksa Teredam

  BAB IV PENUTUP

BAB II TRANSFORM LAPLACE A. Pengertian Transform Laplace Definisi (transform Laplace) : Misalkan ) (t f suatu fungsi dari t yang

  Contoh 1 : Tentukan transform Laplace dari ( 1 ) = t f , &gt; t .

  ) dt e 1 ( lim

  ∫ − ∞ → ^{T st T}

  =

  ) 1 ( dt e ^st

  ∫ ∞ −

  =

  1

  {}

  Dengan menggunakan definisi transform Laplace maka L

  terdefinisikan untuk &gt; t maka transfom Laplace dari ) (t f yang dinyatakan oleh L

  { } ) (t f , didefinisikan sebagai

  Jadi, transform Laplace bergantung pada ada tidaknya nilai limit.

  ∞ − = ^{T st} _T ^st ) dt t f e dt t f e ( lim ) ( .

  ∫ ∫ − ∞ →

  Integral pada definisi transform Laplace merupakan bentuk integral tak wajar sehingga untuk mengerjakan integral tak wajar ini kita kerjakan :

  &gt; s .

  , untuk

  = = ) ( ) ( ) ( dt t f e s F t f ^st

  { } ∫ ∞ −

  L

  Dengan menggunakan definisi di atas, kita dapat mencari transform Laplace dari beberapa fungsi elementer.

  T − st

  ⎡ ⎤

  e

  = lim − _{T → ∞} ⎢ ⎥

  s

  ⎣ ⎦ _sT

  − ⎛ e 1 ⎞ _{T ⎜⎜ ⎟⎟} + = lim −

  → ∞ s s

  ⎝ ⎠

  1 =

  s

  1 Jadi, L { } 1 = , di mana s &gt; .

  s Contoh 2 : Tentukan transform Laplace dari f ( t ) = t , t &gt; .

  Dengan menggunakan definisi transform Laplace maka

  ∞ _st −

  L

  {} t e tdt

  =

  ∫ _{T st} −

  = _{T → ∞ ∫} lim e tdt Kita gunakan pengintegralan parsial. _st

  −

  Misalkan : u = t dv = e dt

  1

  − st du = dt v = − e s

  sehingga _{T T} ⎧ ⎫

  1

  1 ⎪

  L

  {} t = lim ⎡− te e dt ^{st st ⎪} _{T → ∞ ∫} ⎨ ⎬ s s

• − ⎤ −

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎩ ⎪⎭ _{T T} ⎧ ⎫

  1

  1 ⎪ st st ⎪

  − ⎤ ⎡ − ⎤

  = lim ⎡− te − e _{T → ∞} ⎨ ⎬ ₂

  ⎧ 1 sT 1 sT 1 ⎫ ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤

• = lim − Te − e − _{T → ∞}

  ⎨ ⎬ _{2 2}

  s s s

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎩ ⎭ ⎧ 1 sT 1 sT 1 ⎫

  − ⎤ ⎡ − ⎤

  = lim ⎡− Te − e − _{T → ∞} ⎨ ⎬ _{2 2}

  s s s

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎩ ⎭ 1 sT

  1

  1 ⎡ − ⎤

  −

• = lim − Te − e _{T → ∞}
₂ ^sT ₂

  s s s

  ⎢⎣ ⎥⎦

  1 = ₂

  s

  1 = Jadi, L t , di mana s &gt; .

  { } ₂ s _n Contoh 3 : Tentukan transform Laplace dari f ( t ) = t , t &gt; .

  Dengan menggunakan definisi transform Laplace maka _{n st n} ∞ − L

  t e t dt

  =

  { } ∫ _{T st n}

  −

  = lim e t dt _{T ∫}

  → ∞ Kita gunakan pengintegralan parsial. _{n st} −

  Misalkan : u = t dv = e dt _{n 1 st}

  1

  − − du = nt dt v = − e s

  Sehingga _{T T T} ⎧ ⎫ 1 n st n st n ¹

  − ⎪ − ⎤ − − ⎪ ^{st n} + lim e t dt = lim ⎡− t e e t dt _{T ∫ T ∫} ⎨ ⎬

  → ∞ → ∞ s s

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎩ ⎪⎭

  T _T

  1

  − ⎤ − − ^{n n st st n 1}

• = lim ⎡− t e lim e t dt _{T → ∞ T → ∞ ∫}

  s s

  ⎢⎣ ⎥⎦ _T

  1 ⎡ ⎤ n

^{n sT st n}

¹

− − −

  = lim − T e lim e t dt _{T T} + +

  ∫ → ∞ → ∞ s s

  ⎢⎣ ⎥⎦ _T n

  − −

• = lim e t dt _{T ∫}
^{st n 1}

  → ∞ _T s n

  − st n − ¹

  = lim e t dt _{T ∫}

  → ∞ _{n n st n T} s _{1 n n 1} − − −

  L L

  t = lim e t dt t =

  { } { } _{T ∫} → ∞ s s

  Apabila n diganti dengan n − _{n 1 n −} 1 maka 1 n ²

  − −

  L L

  t t { } = { } s _{n n n −}

  1 n ²

  −

  L sehingga L t = t ⋅

  { } { } s s n ( n −

  1 ) n ²

  −

  L = t ₂ { }

  s

  Jika diteruskan akan didapat _{n n n − n − ⋅ ⋅} ( 1 )( 2 ) L

  3

  2

  1 L L

  t = t { } { } _n s

  1 di mana n ( n − 1 )( n − 2 ) L 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! dan L t = L {} 1 =

  { } _{n n !} s

  1 n ! ⎛ ⎞ Jadi, L t = = , di mana s &gt; .

  ⎜ ⎟

  { } ^{n n 1}

  ∫ − ∞ → ^{T st T} kt e sin lim dt

  =

  =

  { } kt sin = ∫ ∞ − sin kt e ^st dt

  Dengan menggunakan definisi transform Laplace maka L

  

Contoh 5: Tentukan transform Laplace dari kt t f sin ) ( = , &gt; t .

  1 , di mana a s &gt; .

  { } ^at e = − a s

  1 Jadi, L

  − a s

  =

  1 lim ^{) (}

  − − ∞ → a s a s e ^{T a s} _T

  ⎣ ⎡ −

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  − − ∞ →

  Contoh 4 : Tentukan transform Laplace dari ^at = e t f ) ( , &gt; t .

  − −

  ⎢ ⎣ ⎡

  lim ⎥ ⎦ ⎤

  a s e ^{) (}

  = ^{T t a s} _T

  ^{) (} dt e lim

  ∫ − − ∞ → ^{T t a s T}

  =

  ∫ ∞ − − ) ( dt e ^{t a s}

  =

  ∫ ∞ − dt e e ^{at st}

  =

  { } ^at e

  Dengan menggunakan definisi transform Laplace maka L

• − −
• ⎥⎦ ⎤

  

− −

  sin sin

  ⎢⎣ ⎡−

  ∫ − − − ^{T st T st T st} ktdt e k s kt e k k s kt e k

  sin sin

  1 cos

  1 =

  ∫ − − −

  − ⎥⎦ ⎤

  ⎢⎣ ⎡

  − ⎥⎦ ⎤

  ⎢⎣ ⎡− ^{T st T st T st}

  kt e k s kt e k k s kt e k ^{2 2}

  1 cos

  ⎢⎣ ⎡

  1

  dt

  Tambahkan kedua ruas dengan

  ∫ − ^{T st}

kt e

k s ₂ ² sin dt

  akan diperoleh

  ∫ −

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  kt e k s ₂ ² sin 1 dt = ^{T st}

^T

^st kt e k k s kt e k sin

  1 cos 1 ⎥⎦

  ⎤ ⎢⎣ ⎡ −

  

⎥⎦

⎤

⎢⎣ ⎡−

  − ⎥⎦ ⎤

  ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

  Untuk mencari

  kt e k s kt e k

  ∫ − ^{T st} kt e sin dt kita gunakan pengintegralan parsial.

  Misalkan : ^st

  e u −

  = kt dv sin = dt

  dt se du ^st −

  − = kt

  k v cos

  1 − = sehingga

  ∫ − ^{T st} kt e sin dt =

  ∫ − −

  − ⎥⎦ ⎤

  ⎢⎣ ⎡− ^{T st T st}

  cos cos

  ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫

  1

  dt

  Untuk mencari

  ∫ − ^{T st} kt e cos dt kita gunakan pengintegralan parsial.

  Misalkan : ^st

  e u −

  = kt dv cos = dt

  ^{− st} dt se du

  − = kt

  

k

v sin

  1 = didapat

  ∫ − ^{T st} kt e sin dt =

• ^{T st}

  ⎛ ⎞ k s st ^{2 2 T}

1 st s

1 st
• T T

  − − ⎤ ⎡ − ⎤ ₂ e sin kt dt = ⎡− e cos kt − e sin kt ⎜⎜ ⎟⎟

  ∫

k k k

k

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ _T ⎝ ⎠ _{2 T T}

  ⎧ ⎫ _{st ⎪ st ⎤ ⎡ st ⎤ ⎪}

  k

  1 s

  1

  − − −

  ⎡−

  e sin kt dt = e cos kt − e sin kt _{2 2} ⎨ ⎬ ∫

k k k

s k

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

• ⎪⎩ ⎪⎭ maka
_{2 T T} ⎧ ⎫

  k

  1 st s 1 st ⎪ − ⎤ ⎡ − ⎤ ⎪

  L

  sin kt = lim ⎡− e cos kt e sin kt { } −

  → ∞ ^T s k k k k ^{2 2 ⎨ ⎬}

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

• ₂

  ⎪⎩ ⎪⎭ _{T T} ⎧ ⎫

  k

  1 st s 1 st ⎪ − ⎤ ⎡ − ⎤ ⎪

  = lim ⎡− e cos kt − e sin kt

  s k k k k ^{2 2 ⎨ ⎬ T}

• → ∞

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ₂ ⎪⎩ ⎪⎭

  k ⎧

  1 sT 1 s 1 sT ⎫ ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤

• = lim − e cos kT − e sin kT − ⎨

  ⎬

• s k k k k k
^{2 2 T → ∞}

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ₂ ⎩ ⎭

  k ⎧

  1 1 s ⎫ ⎡ ⎤ ⎤

  − −

• = lim − e cos kT − e sin kT ^{sT ⎡ sT}

  ⎨ ⎬

  k k s k k ^{2 2 T 2}

• → ∞

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ₂ ⎩ ⎭

  k ⎧

  1 1 s ⎫ ⎡ sT ⎤ ⎡ ⎤

• − −

  = lim − e cos kT − lim e sin kT ^sT

  s k k k k ^{2 2 ⎨ T T 2 ⎬}

• → ∞ → ∞

  ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ₂ ⎩ ⎭

  k

  1 =

  ⋅

• s k k
^{2 2} k

  =

• s k
^{2 2} k Jadi, L { sin kt } = , di mana s &gt; . ² 2<
• s k

  Contoh 6 : Tentukan transform Laplace dari f ( t ) cosh kt , t .

  = &gt; ^{kt − kt} +

  e e Kita ketahui bahwa cosh kt = untuk k &gt; .

  2 Dengan menggunakan definisi transform Laplace maka

  ∞ − st

  L =

  { cosh kt } e cosh kt dt ∫

  ∞ − ⎛ e e ⎞ ^{kt kt} +

  − st

  = e dt

  ⎜⎜ ⎟⎟ ∫

  2 ⎝ ⎠ _T 1 st kt kt − −

  = lim e e e dt _{T ∫} ( ) +

  → ∞

2 T T

  ⎛ ⎞

  1

  − − − ^{st kt st kt} +

  = lim e e dt e e dt _{T → ∞ ⎜⎜ ∫ ∫ ⎟⎟}

  2 ⎝ ⎠ _{T T}

  ⎛ ⎞

  1

  − − − ^{( s k ) t ( s k ) t} +

• = lim e dt lim e dt _{T ∫ T ∫}

  ⎜⎜ → ∞ → ∞ ⎟⎟

  2 ⎝ ⎠ _{( s k ) t ( s k ) t T T}

  − − − ⎛ ⎞

• 1 ⎡ e ⎤ ⎡ e ⎤ ⎜ ⎟
• = lim − lim − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟
• → ∞ → ∞

  2 s − k s k ^{T T} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

  − − −

^{( s k ) t ( s k ) t}

• 1 ⎡ e

  ⎛ ⎞

  1 ⎤ ⎡ e 1 ⎤ − − + + + = lim lim

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜⎜ ^{T T} ⎟⎟

  → ∞ → ∞

  2 s − k s − k s k s k + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  ⎝ ⎠

  1

  1

  1 ⎛ ⎞

• = ⎜ ⎟
• 2 s − k s k

  ⎝ ⎠ 1 s k s − k

• ⎛ ⎞

  = ⎜ ⎟ _{2 2} 2 s − k

  ⎝ ⎠

  1

  2

  s

  ⎛ ⎞ =

  ⎜ ⎟ _{2 2}

  2

  s − k

  ⎝ ⎠

  s

  = _{2 2}

  s − k s

  Jadi, L { cosh kt } = , di mana s &gt; k . _{2 2}

  s − k

  Transform Laplace yang dihasilkan dari contoh-contoh tersebut dapat dirangkum menjadi sebuah tabel yang disebut tabel transform Laplace. Tetapi tabel ini tidak hanya berisi contoh-contoh di atas karena masih ada transform Laplace yang lain dan tidak mungkin untuk dibahas satu persatu. Jadi, transform Laplace dari beberapa fungsi elementer lainnya dapat dilihat dalam tabel transform Laplace pada lembar lampiran.

  Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat bahwa transform Laplace dari suatu fungsi selalu ada untuk s &gt; . Untuk hal tersebut terdapat teorema eksistensi transform Laplace. Tetapi terlebih dahulu akan dibicarakan mengenai pengertian fungsi kontinu sepotong-sepotong dan fungsi berorde eksponensial.

  Definisi (fungsi kontinu sepotong-sepotong) : Sebuah fungsi f (t ) disebut

  kontinu sepotong-sepotong pada sebuah interval terhingga a , b jika f (t )

  [ ]

  kontinu di setiap titik pada interval a , b selain di sejumlah titik tertentu di mana

  [ ] f (t ) diskontinu serta memiliki limit kanan dan limit kiri yang berhingga.

  1 , ⎧ &lt; t &lt;

  2 Contoh 7 : Sebuah fungsi f (t ) didefinisikan dengan f (t ) = .

  ⎨ 2 ,

  t &gt;

  2

  ⎩ Fungsi ) f (t kontinu pada selang ( , 2 ) karena pada selang tersebut fungsi f (t ) bernilai 1. Demikian pula pada selang (

  2 , ∞ fungsi ) f (t ) kontinu karena fungsi

  f (t ) bernilai 2. Dan pada t = 2 terdapat dua limit yaitu f (

  2 − ) = lim f ( t ) = _{t 2 −}

  1

  →

  2

  2 ) = lim f ( t ) = + f ( _{t 2 +}

  → Jadi, fungsi f (t ) tersebut kontinu sepotong-sepotong pada &lt; t &lt; ∞ . ₂

  ⎧ t ,

  ≤ t &lt;

  1

  ⎪

  Contoh 8 : Perlihatkan bahwa f ( t )

  2 t , kontinu sepotong- = −

  1 ≤ t &lt;

  2

  ⎨ ⎪ 3 ,

  − t

  2 ≤ t ≤

  3

  ⎩ sepotong dalam selang tertutup ,

  3 .

  [ ] ₂ Fungsi ) f (t kontinu dalam selang , 1 ) karena pada selang itu f ( t ) = , ) t f (t [

  juga kontinu dalam selang

  1 , 2 ) . Demikian juga pada selang 2 , 3 . Pada t = 1 , [ [ ] f (

  1 − ) = lim f ( t ) = + _{t 1 t} 1 dan f ( 1 ) = lim f ( t ) = _{1 + −}

  1 . Sedangkan pada t =

  2 terdapat → →

  2 ) lim ( ) dan ( 2 ) lim ( ) 1 . Jadi, fungsi (t )

  f − = f t = f = f t = f _{t →}

_{2 t →}

_{− +}

₂ kontinu sepotong-sepotong dalam selang .
• dua limit, yaitu (

  ≤ t ≤

  3 Definisi (fungsi berorde eksponensial) : Sebuah fungsi f (t ) adalah fungsi

  α , M, dan T sedemikian hingga berorde eksponensial jika ada bilangan real _t

  α f ( t ) Me , untuk t ≥ T .

  ≤

  kt Contoh 9 : Sebuah fungsi f ( t ) = e sin bt termasuk fungsi berorde

  eksponensial dengan α = k karena menurut definisi fungsi berorde eksponensial _{kt kt kt}

  − − e f ( t ) = e e sin bt = sin bt yang terbatas untuk semua t.

  Contoh 10 : Setiap fungsi yang terbatas adalah fungsi berorde eksponensial seperti sin bt dan cos bt dengan = .

  α _{t 3} Contoh 11 : Fungsi yang dinyatakan dengan rumus f ( t ) = e tidak _{3 3}

  − α t − α t t t − α t

  termasuk fungsi berorde eksponensial karena e f ( t ) = e e = e menjadi α . tak berhingga jika t → ∞ untuk berapapun nilai

  Teorema (eksistensi transform Laplace) : Jika sebuah fungsi f (t )

  α , maka kontinu sepotong-sepotong pada selang [ , ∞ ) dan berorde eksponensial transform Laplace ada untuk α .

  s &gt; _T ∞ _{st st st} ∞ − − −

• Bukti : e f ( dt t ) dapat kita bagi dua menjadi e f ( t ) dt e f ( t ) dt . _{T st T}

  ∫ ∫ ∫ −

  Integral pertama yaitu e f ( t ) dt ada karena f (t ) kontinu sepotong-sepotong

  ∫

  dalam interval , T . Untuk membuktikan bahwa integral kedua juga konvergen

  [ ]