Soal Latihan dan Pembahasan Trigonometri

1

Trigonometri
1.

Diketahui segitiga ABC dengan sudut B= 45• dan CT garis tinggi dari titik C. Jika BC = a
dan AT = 52 a 2 maka tentukan AC !
Jawab :

C
a

45•

A
5
2

a 2

AC =

T

CT
⇔ CT =
a

sin 45 =

B

1
2

a 2

( 52 a 2 ) 2 + ( 12 a 2 ) 2 = a 13

2. A dan B titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat
ACB = 45 . Jika jarak CB = p dan CA = 2 p 2 , maka tentukan panjang terowongan !

Jawab :

B
p

45

C

2p 2
A

AB = AC + BC − 2 AC.BC cos 45
2

2

2

AB 2 = 8 p 2 + p 2 − 2.2 p 2 . p. 12 2 = 5 p 2 ⇒ AB = p 5

3.




Tentukan nilai sin 270 . cos 135 . tan135

sin 150 . cos 225

Jawab :

sin 270. cos135. tan 135 − 1.(− 12 2 ).(− 1) (− 1)(− 1)
=
=
= 2
1
1
1
sin 150. cos 225
.(

−
2
)
2
2
2
4.

Jika sin x =

1
5

5 maka tentukan cos x − 5 cos( π2 + x) + 2 sin(π − x)

Jawab :

5
2 5
⇒ cos x =

5
5
π
cos x − 5 cos( 2 + x) + 2 sin(π − x) = cos x − 5(− sin x) + 2 sin x

sin x =

= cos x + 7 sin x =

2 5
5 9
+ 7
=
5
5
5
5

2

5.

2
Jika tan x = 1 dim ana 0 < x < 90 maka tentukan x !

1 + sec x

Jawab :

sin 2 x
1
tan x = 1 + sec x ⇔
= 1+
. cos 2 x
2
cos x
cos x
2
2 cos x + cos x − 1 = 0 ⇔ (2 cos x − 1)(cos x + 1) = 0
1

cos x = ⇒ x = 60
2
cos x = − 1 ⇒ x = 180 (tidak memenuhi karena 0 < x < 90 )
2

Y

6.

Tentukan persamaan kurva di samping !

2

0

X

π

π

3

-2

Jawab :

7.

y = − a cos bx
2 − (− 2)
a=
= 2
2
4
π
2
b= 3 =
2π
3
Jadi y = − 2 cos 23 x

Dalam segitiga siku-siku ABC, diketahui panjang sisi BC = a dan ∠ ABC = β . Tentukan
panjang garis tinggi AD !
Jawab :

C
D

A

β

B

AB
⇔ AB = a cos β
a
AD
sin β =
⇔ AD = AB sin β = a sin β cos β

AB
cos β =

3

8.

Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p, AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, sudut
B = β maka tentukan panjang DE !
Jawab :

C

D

E

β
B

A

AD = p sin β cos β
sin ∠ DAC = sin β =
9.

DE
⇔ DE = AD sin β = p sin 2 β cos β
AD

Untuk memperpendek lintasan A menuju C melalui B dibuat jalan pintas dari A langsung
ke C. Jika AB = a dan BC = 3a, sedangkan ∠ ABC = 120 , maka tentukan panjang AC !
Jawab :

AC 2 = a 2 + 9a 2 − 2.a.3a. cos120
AC 2 = 13a 2
AC = a 13

10. Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi AB = 10 cm, AC = 12 cm dan sin B = 4/5.
Tentukan nilai cos C !
Jawab :

10. 54 2
12
10
=
⇔ sin C =
=
sin B sin C
12
3
cos C =

1 − sin 2 C =

1 − ( 23 ) 2 =

1
3

5

11. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 3, AB = 2 dan sudut A = 60 . Tentukan nilai cos C !
Jawab :

BC 2 = 4 + 9 − 2.2.3 cos 60 = 7 ⇒ BC =
2. 12 3
7
2
=
⇔
sin
C
=
=
sin 60 sin C
7
cos C =

1 − sin 2 C =

1−

7

3
7

3 2
=
7
7 7

12. Sebuah segitiga ABC diketahui AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm.Tentukan nilai cos B
Jawab :

cos B =

6 2 + 52 − 4 2 3
=
2.6.5
4

4

13. Pada segitiga ABC diketahui a+ b = 10, sudut A = 30

dan sudut B = 45 .Tentukan

panjang sisi b !
Jawab :

a + b = 10 ⇔ a = 10 − b .........(1)
a
b
a sin 45 (10 − b) sin 45
=
⇔ b=
=
sin 30 sin 45
sin 30
sin 30
b = 10 2 − b 2
(1 +
b=

2 )b = 10 2
10 2 1 −
.
1+ 2 1−

2
= 10( 2 −
2

2)

14. Dari segitiga ABC diketahui α = 30 dan β = 60 . Jika a+ c = 6 maka tentukan panjang b
Jawab :

∠ C = 90
c
a
1
1
=
⇔ a = c sin 30 = (6 − a ). = 3 − a ⇔ a = 2


sin 90
sin 30
2
2
1
2. 3
a
b
=
⇔ b = 21
= 2 3


sin 30
sin 60
2

15. Suatu segitiga dengan panjang sisi-sisinya 2, 3 dan 4 satuan. Tentukan luasnya !
Jawab :

s=

2+ 3+ 4 9
=
2
2

L=

s ( s − a)( s − b)( s − c) =

9
2

( 92 − 2)( 92 − 3)( 92 − 4) =

3
4

15

16. Diketahui luas segitiga ABC 24 cm 2 . Jika AC = 8 cm dan AB = 12 cm,

maka tentukan cos

∠ A !
Jawab :

L=
24 =

1
2

. AC. AB.sin ∠ A
1
2

.8.12.sin ∠ A ⇔ sin ∠ A = 30

cos ∠ A = cos 30 =

1
2

3

17. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 8 3 cm, ∠ B = 120 dan ∠ C = 30 . Tentukan luas

segitiga ABC !
Jawab :

∠ A = 180 − (120 + 30 ) = 30
8 3. 12
8 3
AB
=
⇔
AB
=
= 8
1
sin 120 sin 30
3
2
Luas ∆ ABC =

1
2

. AB. AC sin ∠ A =

1
2

.8.8 3 sin 30 = 16 3 cm 2

5

18. Tentukan nilai

sin 2 45.sin 2 60 + cos 2 45. cos 2 60
tan 30. tan 60

Jawab :

( 12 2 ) 2 .( 12 3 ) 2 + ( 12 2 ) 2 .( 12 ) 2
1
3

3. 3

=

1
2

19. Tentukan nilai cos 2 30 − sin 2 135 + 8 sin 45. cos135
Jawab :

( 12 3 ) 2 − ( 12 2 ) 2 + 8.( 12 2 )(−

20. Jika tan x = - 3

1
2

2 ) = − 3 34

dan x sudut tumpul, maka tentukan cos x !

Jawab :

tan x = − 3 ⇒ x = 120
cos x = cos120 = −


21. Jika sin θ = −
Jawab :

1
4

(karena x tumpul )

1
2

dan tan θ > 0 maka tentukan cosθ

Karena sin θ < 0 dan tan θ > 0 maka θ

x < 0 dan y < 0
1 y
sin θ = − = ⇒ x = − 15
4 r
x
1
cosθ = = −
15
r
4

22. Jika tan x =

1
2

!
di kuadran III sehingga

maka tentukan 2 sin x + sin (x + π2 ) + cos ( π -x)

Jawab :

tan x =

1
1
⇒ sin x =
2
5

dan cos x =

2
5

2 sin x + sin( x + π2 ) + cos(π − x) = 2 sin x + cos x − cos x = 2 sin x = 2.
23. Jika

π
2

< x < π dan tan x = a maka tentukan nilai (sin x + cos x) 2

Jawab :

tan x = a → sin x =

(sin x + cos x) = 

2

a
a2 + 1
a
a2 + 1

+

dan cos x =
2

1
a2 + 1


a 2 + 2a + 1
 =

a2 + 1
a2 + 1 
1

1
2
=
5
5 5

6

24. Jika tan 2 x + 1 = a 2

maka tentukan sin 2 x

Jawab :

sin 2 x cos 2 x
+
= a2
2
2
cos x cos x
1
1
= a 2 ⇔ cos 2 x = 2
2
cos x
a
1
a2 − 1
sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − 2 =
a
a2
tan 2 x + 1 = a 2 ⇔

25. Jika sudut α dan β

lancip, sin α =

3
7
dan sin β =
maka tentukan cos (α + β ) !
5
25

Jawab :

3
4
⇒ cosα =
5
5
7
24
sin β =
⇒ cos β =
25
25

sin α =

cos (α + β ) = cosα cos β − sin α sin β =

26. Dalam segitiga ABC, jika tan A =

4 24 3 7
3
. − . =
5 25 5 25 5

3
4
dan tan B =
maka tentukan sin C !
4
3

Jawab :

3
3
4
⇒ sin A =
dan cos A =
4
5
5
4
4
3
tan B = ⇒ sin B =
dan cos B =
3
5
5

sin C = sin(180 − ( A + B)) = sin( A + B)
3 3 4 4
= sin A cos B + cos A sin B = . + . = 1
5 5 5 5
tan A =

27. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, diketahui sin A.sin B =

2
dan sin( A − B) = 5a ,
5

maka tentukan a !
Jawab :

A + B = 90 ⇔ A = 90 − B
2
2
2
sin A sin B = ⇔ sin (90 − B) sin B = ⇔ cos B sin B =
5
5
5
4
3
sin 2 B = ⇒ cos 2 B =
5
5
3
3
sin ( A − B) = 5a ⇔ sin (90 − B − B) = cos 2 B = 5a ⇔
= 5a ⇔ a =
5
25
28. Diketahui sin α cosα =
Jawab :

8
1
1
−
. Tentukan
25
sin α cosα

!

7

1
1
−
= x maka :
sin α cosα
cosα − sin α
 cosα − sin α
= x⇒ 
sin α cosα
 sin α cosα
1 − 2. 258
1 − 2 sin α cos β
2
=
x
⇒
=
(sin α cosα ) 2
( 258 ) 2

Misal

29. Sederhanakan
Jawab :

2


2
 = x

x2 ⇔ x =

15
8

sin (a − b)
!
tan a − tan b

sin a cos b − cos a sin b
cos a cos b
= (sin a cos b − cos a sin b)(
)
sin a
sin b
− cos b
sin a cos b − cos a sin b
cos a
= cos a cos b

30. Jika α , β dan γ

menyatakan besar sudut-sudut segitiga ABC dengan
tan α = − 3 dan tan β = 1 maka tentukan tan γ !

Jawab :

tan γ = tan (180 − (α + β )) = − tan (α + β ) = −
= −

tan α + tan β
1 − tan α tan β

− 3+ 1
1
=
1 − (− 3).1 2

31.
θ

Tentukan sin 2 θ
p

q

Jawab :

q

sin 2θ = 2 sin θ cosθ = 2

32. Jika tan 12 x = t

p + q
2

2

.

p
p + q
2

2

2 pq
p2 + q2

=

maka tentukan sin x !

Jawab :

tan 12 x = t ⇒ sin 12 x =

t

dan cos 12 x =

1

t +1
t +1
t
1
2t
sin x = 2 sin 12 x cos 12 x = 2.
.
= 2
2
2
t +1 t +1 t +1
2

2

8

33. Diketahui tan x =

4 
(0 < x < 90 ) . Tentukan nilai cos 3x + cos x !
3

Jawab :

4
4
3
⇒ sin x = dan cos x =
3
5
5
cos 3 x + cos x = 2 cos 2 x cos x = 2(2 cos2 x − 1) cos x = 4 cos3 x − 2 cos x
3
3
42
= 4( )3 − 2( ) = −
5
5
125
tan x =

34. Jika θ
Jawab :

sudut lancip yang memenuhi 2 cos 2 θ = 1 + 2 sin 2θ maka tentukan tanθ !
1
2 tan θ
1
⇔
=
2
2
1 − tan θ
2
2
tan θ + 4 tan θ − 1 = 0 ⇒ tan θ = 5 − 2

cos 2θ = 2 sin 2θ ⇔ tan 2θ =

2
35. Jika 3 cos 2 x + 4 sin ( π2 − 2 x ) − 4 = 0

Jawab :

maka tentukan cos x !

(3 cos 2 x − 2)(cos 2 x + 2) = 0
cos 2 x =

2
2
⇔ 2 cos 2 x − 1 = ⇔ cos x = ±
3
3

36. Bila sin x − cos x = p

1
6

30

maka tentukan sin 2x !

Jawab :

(sin x − cos x) 2 = p 2 ⇔ 1 − sin 2 x = p 2 ⇔ sin 2 x = 1 − p 2

37. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos (A+ C) = k maka tentukan sin A + cos B
Jawab :
Karena C = 90 maka :
cos (A+C) = -sin A = k atau sin A = -k
cos (A+C) = cos(180  -B) = -cos B = k atau cos B = -k
sin A + cos B = -k – k = -2k
38. Jika α dan β

cos (α + β )
cos (α − β )
Jawab :

sudut lancip, cos (α − β ) =

1
2

3 dan cosα cos β =

1
maka tentukan
2

9

cos (α − β ) =

1
3
2

1
1
1
1
+ sin α sin β =
3 ⇔ sin α sin β =
3−
2
2
2
2
1 1
1
1
cos (α + β ) = cosα cos β − sin α sin β = − ( 3 − ) = 1 −
3
2 2
2
2
cos (α + β ) 1 − 12 3 2
= 1
=
3− 1
cos (α − β )
3
3
2
cosα cos β + sin α sin β =

39. Jika α

sudut lancip dan sin 12 α =

Jawab :

cosα = 1 − 2 sin 2 12 α = 1 − 2.
tan α =
40. Jika sin ( A −

π
4

x2 − 1
=
1

x− 1
maka tentukan tan α !
2x
x− 1 1
=
2x
x

x2 − 1

) − 5 cos ( A − π4 ) = 0 maka tentukan tan A !

Jawab :

sin A cos π4 − cos A sin π4 = 5(cos A cos π4 + sin A sin π4 )
− 2 2 sin A = 3 2 cos A
sin A
3 2
3
= tan A =
= −
cos A
2
− 2 2

41. Tentukan nilai 2 cos 35 cos 25 − 2 sin 30 sin 20 − 2 cos 35 sin 5

!

Jawab :

cos 60 + cos10 + (cos 50 − cos10 ) − (sin 40 − sin 30 )
= 1 + cos 50 − sin 40
= 1 + cos 50 − cos 50 = 1

42. Diketahui sin α + cosα =

1
dan 0 ≤ α ≤ 180 . Tentukan nilai sin α − cosα
5

Jawab :

1
1
24
⇔ 1 + 2 sin α cosα =
⇔ 2 sin α cosα = −
25
25
25
Misal sin α − cosα = x maka :

(sin α + cosα ) 2 =

(sin α − cosα ) 2 = x 2 ⇔ 1 − 2 sin α cosα = x 2
24
7
1 − (−
) = x2 ⇒ x =
25
5

!

10

43. Jika p – q = cos A dan

2 pq = sin A maka tentukan p 2 + q 2 !

Jawab :

( p − q) 2 = cos 2 A ⇔ p 2 + q 2 = 2 pq + cos 2 A = sin 2 A + cos 2 A = 1

44. Jika 2 sin 2 x + 3 cos x = 0 dan 0 ≤ x ≤ 180

maka tentukan x !

Jawab :

2 (1 − cos 2 x) + 3 cos x = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(cos x − 2) = 0
1
cos x = − ⇒ x = 120
2
45. Jika

x memenuhi 2 (sin x)2 + 3 sin x − 2 = 0 dan −

Jawab :

π
2

< x<

π
2

maka tentukan cos x !

(2 sin x − 1)(sin x + 2) = 0
1
1
sin x = ⇒ x = 30 ⇒ cos x =
3
2
2

46. Jika 0 < x < π

dan x memenuhi persamaan tan 2 x − tan x − 6 = 0 maka tentukan sin x !

Jawab :

(tan x − 3)(tan x + 2) = 0
3
tan x = 3 ⇒ sin x =
10
10
2
tan x = − 2 ⇒ sin x =
5
5
47. Nyatakan 3 cos x − sin x dengan k cos ( x − α ) !
Jawab :

k=

( 3 ) 2 + (− 1) 2 = 2

tan α =

−1
11
π
⇒ α =
6
3

Jadi 3 cos x − sin x = 2 cos ( x −

48. Tentukan nilai x antara 0

11
6

π)

dan 360 yang memenuhi persamaan 3 cos x + sin x =

Jawab :

2 cos ( x − 30 ) = 2 ⇔ cos ( x − 30 ) = cos 45
x − 30 = 45 + k .360 atau x − 30 = − 45 + k .360
x = 75 + k .360 atau x = − 15 + k .360
k = 0 ⇒ x = 75
k = 1 ⇒ x = 345

2

11

49. Jika tan x sin x − cos x = sin x

maka tentukan tan x !

Jawab :

sin x (tan x − 1) = cos x ⇔ tan 2 x − tan x − 1 = 0
tan x =

1±

5
2

50. Tentukan persamaan kurva di bawah ini !
Y
2

0

π
3

2π

X

-2

Jawab :

y = 2 sin ( x − 30 ) = 2(sin x cos 30 − cos x sin 30 ) =

3 sin x − cos x