LATIHAN STATISTIK DESKRIPTIF 664 AMIK BS

PERTEMUAN 2
NOTASI SIGMA, DISTRIBUSI FREKUENSI DAN UKURAN GEJALA PUSAT DATA
YANG TIDAK DIKELOMPOKAN
1.1. Simbol Sigma
n

X

Rumus

1

dibaca sigma xi, i dari 1 s/d n

i 1

Aturan penjumlahan :
Ex Soal : X1 = 5, X2 = 7, X3 = 4, X4 = 6, X5 = 3
Y1 = 4, Y2 = 8, Y3 = 10, Y4 = 2, Y5 = 1
Z 1 = 2, Z2 = 4, Z3 = 6, Z4 = 5, Z5 = 7
k/a = 10

n

a.

 ( Xi  Yi  Zi) =
i 1

n

 Xi +
i 1

n

 Yi +
i 1

n

 Zi

i 1

5

Jwb :

 ( Xi  Yi  Zi) = (X +Y +Z )+(X +Y +Z )+(X +Y +Z ) + (X +Y +Z ) + (X +
1

1

1

2

2

2

3

3

3

i 1

Y5 + Z5)
= (5+4+2) + (7+8+4) + (4+10+6) + (6+2+5) + (3+1+7)
= 74
n

b.



n

kXi = k

i 1



Xi , k = bilangan konstan

i 1

5

Jwb

:


i 1

5

10Xi = 10

 Xi
i 1

= 10(5+7+4+6+3)
= 250
n

c.

k

= k+k+k+……+k = nk

i 1

Jwb

: 10 = nk (1*10) atau 10+10+10+….10 dst jika k = banyak

4

4

4

5

n

d.

 Xi 

k) 2 =

i 1

n



(Xi2 – 2kXi +k2).

i 1

5

Jwb :

 ( Xi  10)

2

= ( X1-10)2 + (X2-10)2 + (X3 + 10)2 + (X4 + 10)2 +

i 1

(X5 + 10)2.
= (5 – 10)2 + (7 – 10)2 + (4 – 10)2 + (6 – 10)2 + (3 – 10)2

= 135
n

e.



n

(Yi - a – bXi) =

i 1


i 1

n

(Yi – na - b  Xi )
i 1

Jwb :
5



n

(Yi - a – bXi) =

i 1


i 1

5

(Yi – na - b  Xi )
i 1

= (4 + 8 + 10 + 2 + 1) - na - b(5+7+4+6+3)
= 25 – na - b(25) = 25 - (5)(10) - b(25)
= 25 – 50 – 25b = -25 – 25b
= -25 = 25b

b = 1.

1.2. Penyusunan Distribusi Frekuensi
a. Mamba array data atau data terurut (bila diperlukan)
b. Menentukan range (jangkauan) : selisih antara nilai yang terbesar dengan nilai yang
terkecil. R = Xmax - Xmin
c. Menentukan banyaknya kelas dengan mempergunakan rumus Struges.
K = 1 + 3,3 log N dimana K = banyaknya kelas dan N = Jumlah data yang diobservasi
d. Menentukan

2

1.3. Jenis Distribusi Frekuensi
Contoh Soal :
Di data mentah ( belum dikelompokan ) nilai ujian statistik 50 mahasiswa sebagai

berikut :
55
34
66
73
25

48
80
32
38
37

22
68
64
30
69

49
42
47
44
71

78
73
76
54
52

59
51
58
57
25

Jawab :
1. Buatlah array data atau data terurut
22, 25, 25, 27, 30, 32, 32, 34, 35, 37
38, 41, 42, 44, 45, 47, 47, 48, 49, 51
51, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 57, 57, 58
59, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 68, 68, 69
71, 72, 73, 73, 75, 76, 76, 78, 80, 86
2. Menentukan range (jangkauan )
R = Xmax - Xmin
R = 86 – 22
= 64
3. Menentukan banyaknya kelas.
K = 1 + 3,3 Log n
= 1 + 3,3 log 50
= 1 + 3,3 (1,7)
= 6,61 dibulatkan menjadi 7
1.

Menetukan Interval Kelas
I = R/K
= 64/6,61
= 9,68

10

Tabel distribusi frekuensi :
Interval kelas
20 – 29

Tally/Turus
IIII

Frekuensi
4

3

27
76
75
72
47

41
45
60
67
63

68
32
35
51
59

54
53
57
86
64

2.

30 – 39

IIIII II

7

40 - 49

IIIII III

8

50 – 59

IIIII IIIII II

12

60 – 69

IIIII IIII

9

70 – 79

IIIII III

8

80 - 89

II

2

Menentukan batas –batas kelas :
-

Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 (skala terkecil )
= 20 – 0,5 = 19,5
= 30 – 0,5 = 29,5 dst

-

Tepi atas kelas

= batas atas kelas + 0,5 (skala terkecil )
= 29 + 0,5 = 29,5
= 39 + 0,5 = 39,5

-

Panjang interval kelas = Tepi atas kelas – Tepi bawah kelas
= 29,5 – 19,5 = 10
= 39,5 – 29,5 = 10 dst

3.

Jenis Distribusi Frekuensi
a.

Distribusi frekuensi kumulatif
“Suatu daftar yang memuat frekuensi – frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui
banyaknya observasi yang ada diatas/dibawah suatu nilai ttt”

b.

Distribusi frekuensi relatif
“Perbandingan dari pada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi
seluruhnya & dinyatakan dalam persen”.

c.

Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari : (dari atas)
“Suatu total frekuensi dari semua nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada
masing-masing interval kelas”

d.

Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari : (dari bawah )
“Semua total frekuensi dari semua nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada
masing-masing interval kelasnnya”

4

e.

Distribusi frekuensi kumulatif persentasi
“Suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi”

Buatlah Distribusi Frekeunsi nilai statistik dari 50 Mahasiswa BSI Yogyakarta
Interval

Mid Point

Frekuensi

FKKD

FKLD

FKR(relatif)

Kelas
20 - 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 - 89

/Nilai tengah ( X )
24,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5

(F)
4
7
8
12
9
8
2
 f = 50

4
11
19
31
40
48
50

50
46
39
31
19
10
2

0,08
0,14
0,16
0,24
0,18
0,16
0,4

Tentukan diagram Hitogram, Poligon dan Ogive
1. Tabel Histogram
~ Suatu histogram berdiri atas satu
kumpulan batang persegi panjang
yang masing2 mempunyai ciri:
a.
Alas pada sumbu mendatar
(x) yang lebar kelas interval.
b.
Luas yang sebanding
dengan frekuensi kelas.

Latihan Soal :
Data hasil ujian mata Kuliah Statistika dari 60 Mahasiswa BSI sebagai berikut :
23 60
80 77
52 10

79
81
64

32
95
75

57
41
78

74
65
25

52
92
80

70
85
98

82
55
81

5

36
76
67

41 71
60 78
34 67

83
89
17

54
76
82

64
84
69

72
48
74

88
84
63

62
90
80

74
15
85

43
79
61

Ditanyakan :
1. Buatlah tabel Distribusi Frekuensi yang berisi kelas interval, & Mid Point serta
Frekuensi Relatif.
2. Buatlah tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari,

kurang dari, Frekuensi

Kumulatif Relatif

DATA BELUM DIKELOMPOKAN
1. Rata-rata hitung (mean ) adalah nilai yang mewakili sekelompok data
Rumus : x =  =
=

1
N

N

 xi
i 1

1
( X1 + X2 + X3 + …+ Xn)
N

Xi = nilai pengamatan (data) ke-i
N = banyaknya data

 = dibaca Myu yaitu simbol rata-rata sebenarnya yang disebut parameter.
Contoh :
a). Rata – rata penjualan suatu perusahaan selama 10 tahun terakhir.
X1 = 50

X6 = 90

X2 = 60

X7 = 100

X3 = 40

X8 = 65

X4 = 70

X9 = 75

X5 = 80

X10 = 85

1
Jawab :  =

N

=

N

 xi
i 1

1
(715) = 71,5
10

Jadi rata-rata hasil penjualan 71,5 jt.

6

b). Terdapat lima orang didalam kelas kecil dan seorang instruktur tertatik untuk
mengetahui rata-rata umur mereka.selama yang dihitung adalah semua o rang
didalam kelas dinamakan populasi.5 umur mahasiswa itu adalah: 21,19,25,2 0 dan
22 th.
1
(x 1 + x 2 +x 3 +x 4 +x 5 ).
N
1
107
= ( 21 + 19 + 25 + 20 + 22 )=
= 21,4
5
5

Jwb: x =  =

1
N

n

x

i

=

Ket: x = nilai pengamatan (data) ke - i.
N = banyaknya data
 = rata-rata hitung
i

2. Rata-rata ukur/geometri dari sejumlah nilai N, nilai data adalah akar pangkat N dari hasil
kali masing – masing nilai dari kelompok tersebut :
G=N

xi.xi.xi.....xn

atau Log G =

( log xi)
N

Contoh :
a). Cari rata-rata ukur dari data : X1 = 2, X2 = 4, X3 = 8
Jwb :
G = 3 ( 2).(4).(8)
=

3

64 = 4 atau

Log G =

1
(log X1 + log X2 + log X3)
3

=

1
( log 2 + log 4 + log 8 )
3

=

1
(0,3010 + 0,6021 + 0,9031)
3

Log G =

1
(1,8062) = 0,6021
3

G antilog = 0,6021 = 4

7

G = antilog

b). Diketahui sekelompok data hasil pengukuran adalah 1, 2,4,8,16,32 berapa rata-rata
geometri kelompok angka itu:
G= n Xi. Xi. Xi..... Xn atau Log N =

 log Xi
N

Jwb:G= 6 1.2..4.8.16.32
= 6 32768 =5,6567
Atau
1
6

Log G = (log1  log 2  log 4  log 8  log16  log 32).
1
6

Log G = (0,00  0.30103  0,60206  0,90309  1,20412  1,50515)
1
6

= (4,5154) 0,75257
G antilog=0,75257=5,66

3.

Rata-rata harmoni dari seperangkat data X1, X2, X3, …Xn adalah kebalikan rata-rata
hitung.
Contoh :
a).

Seorang pedagang batik dipekalongan memperoleh hasil penjualan sebesar Rp.
100.000 per minggu dengan rincian sebagai berikut :
a. Minggu ke I dapat dijual 10 helai seharga 10.000/helai
b. Minggu ke II dapat dijual 25 helai seharga 4.000/helai
c. Minggu ke III dapat dijual 20 helai seharga 5.000/helai
d. Minggu ke IV dapat dijual 40 helai seharga 2.500/helai

Hitunglah rata-rata harmonis.

8

Jawab ;
Rh =

4
400.000

4.210,53
1
1
1
1
95



10.000 4.000 5.000 2.500

Jadi harga rata-rata batik perhelai adalah Rp.4.210,53 (rata-rata harmoni jarang
digunakan)

b). Jika kita mengeluarkan uang Rp 12.000,- untuk buku dgn harga Rp.100,-/buku
Jika kita mengeluarkan uang Rp12.000,- untuk buku dgn harga Rp.200,-/buku
Jika kita mengeluarkan uang Rp 12.000,- untuk buku dng harga Rp.300,-/buku
Jika kita mengeluarkan uang Rp 12.000,-untuk buku dgn harga Rp.400,-/buku
Tunjukan bahwa rata-rata harmoni dari 1,2,3,4 akan memberikan dengan tepat harga
rata-rata yang dibayarkan untuk buku-buku tersebut.
Jawab:

N
1
Rh=

i 1 x
i
N

4
1
1
1
1
=



100 200 300 400
4

= 120
12.000



60
40
30


12.000 12.000 12.000

4
192
12.000
= 250
(4 x
=192)
250
12.000

Jdi rata-rata perbuku = Rp.192,.3. Rata-rata tertimbang. Jika nilai data Xi mempunyai timbangan Wi, adalah
X

=

 Xi.Wi
 Wi

W = tertimbang

9

Example :
a). Seorang Mahasiswa Bina Sarana Informatika menempuh ujian mata kuliah Metode
Riset (3 sks), Akuntasi (5 sks&prakt), Pengantar Manajemen (3 sks), Praktek Bahasa
Inggris (1 sks). Ternyata hasilnya menunjukan bahwa nilai Metode Riset = 82,
Akuntansi 86, Pengantar manajemen = 90, Praktek Bahasa Inggris = 70. Hitunglah
nilai rata-rata tertimbang hasil ujian tersebut.
Jawab :
X

=

 Xi.Wi
 Wi

82(3)  86(5)  90(3)  70(2)
3532

= 83,54
Jadi nilai rata-rata tertimbang mahasiswa adalah : 83,54
b). Seorang mahasiswa BSI yang mengikuti ujian akhir semester 5 matakuliah yang
memiliki bobot kredit berbeda. Nilai ujian itu seperti dibawah ini :
Mata kuliah

Bobot Kredit

nilai

Bobot x nilai

Statistik dskriptif

2

82

164

P.Manajemen

3

80

240

P.Sim

3

77

231

Logika&algoritma

3

90

270

PPN I

4

88

352
1.257

 Wi 15
Jawab:
X

=

 Xi.Wi
 Wi

W = tertimbang/nilai pembobot
Xi = nilai data ke-i

4. Median (Med) adalah ukuran niali pusat
 Untuk N Ganjil :

10

“Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan N ganjil, maka selalu dapat ditulis :
N = 2k +1 atau

k=

n 1
2

Med = Xk+1
Contoh :


Ada 7 karyawan dengan upah per minggu masing-masing Rp.20.000,Rp.80.000,-, Rp.75.000,- , Rp.60.000,-, Rp.85.000,- Rp.45.000, 50.000,-. Tentukan
median upah karyawan.
Jwb :
1. Urutkan dahulu dari terkecil ke terbesar
Rp.20.000, Rp.45.000, Rp.50.000, Rp.60.000, Rp.75.000, Rp.80.00, Rp.85.000
2. Tentukan nilai k dari 7 =2k+1
K=

7 1
=3
2

Jadi Median = Xk+1 = X3+1 =X4 = Rp.60.000,Jika diketahui sekelompok data seperti berikut :



8, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 8, 9, 7 berapa mediannya ?
Langkah-langkahnya :
1. Urutkan data dari nilai terkecil sampai nilai terbesar.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9.
2. Carilah nilai yang terletak ditengah-tengah yaitu data
k=

n  1 (13  1)
6
=
2
2

Medk+1= Med6+1 = 7 yaitu 5
3. Tentukan nilai yang terletak pada urutan ke 7 yaitu = 5.


Nilai ujian statistik dari 2 mahasiswa BSI masing-masing adalah sbb:
85, 75, 35, 55, 40, 90, 65, 60, 70, 95, 45.

Jawab :
1. Urutkan data 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 75, 85, 90.

11

n  1 (11  1)
5
=
2
2

k=

2. Medk+1= Med5+1 = 6 yaitu (65)
 Untuk N Genap :
N = 2k
1
(Xk + Xk+1)
2

Med =

Contoh : Ada 8 karyawan dan upahnya dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut :
20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90 berapa nilai mediannnya ?.
Jawab :
Urutkan X1= 20, X2= 45, X3= 50, X4= 60, X5 =75, X6 = 80, X7= 85,
X8= 90.
Rumus : N = 2k
8 = 2k ke 4
Med =

1
( Xk + Xk+1 )
2

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8

=

1
( X4 + X4+1)
2

=

1
( 60 +75 ) = 67,5
2

Jadi median upah karyawan = 67.500,-

5. Modus adalah nilai paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.
Contoh :
Interval
20 – 29

Frekuensi
4

30 – 39

7

40 – 49

8

12

50 – 59

12

60 – 69

9

70 – 79

8

80 – 89

2

6. Kuartil adalah fraktil yang membagi data menjadi 4 bagian.
Q1 =

i ( n  1)
4

i = 1,2,3,……dst.

Contoh : Berikut ini adalah data upah perminggu dalam ribuan rupiah :
Yaitu : 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 ( n = 13) carilah nilai Q 1, Q2,
Q3
Jawab : Data urutkan :
30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100.
Q1=

i (n  1)
4

Q1 =

1(13  1)
= 3,5
4

Jadi Q1=

Q2 =
=

1
1
(X3 + X4) =
(40+45) = 42,5
2
2

2(13  1)
4
28
= 7 atau X7
4

Jadi Q2 nilai = 60 letak X7

7. Desil adalah fraktil yang membagi seperangkat data menjadi sepuluh.
D1 = nilai yang ke

i ( n  1)
10

i = 1, 2, 3,……..,9

Contoh ; Berdasarkan data diatas Hitunglah D1, D2, D3
Jawab : D1 = nilai ke
Jadi nilai D1 =

1(13  1)
14
=
= 1,4
10
10

1
(30+35) = 32,5
2

13