Artikel Arifin Aji Nugroho M0114005
PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN KASUS
KAMBUH: MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED
RECOVERED
Arifin Aji Nugroho, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Indikator penanggulangan TB yaitu angka prevalensi, angka insiden, dan
mortalitas. Ketiga indikator tersebut dipengaruhi banyaknya penderita TB. Pemodelan matematika dapat digunakan untuk mengamati perubahan banyaknya penderita TB.
Dalam artikel ini, model penyebaran penyakit TB dengan memperhatikan vaksinasi dan
kambuh yaitu model susceptible vaccinated infected recovered (SV IR) dengan kasus kambuh diturunkan dan diterapkan di Indonesia. Model tersebut berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Estimasi parameter ditentukan berdasarkan data
tahun 2004-2014. Keakuratan model diukur berdasarkan eror relatif tahun 2015-2016.
Mutlak eror relatif yang terjadi cukup kecil yaitu kurang dari 0.06 sehingga model cukup
akurat dan dapat digunakan untuk menentukan prediksi angka prevalensi, angka insiden,
dan mortalitas TB di Indonesia. Selama 2017-2035, ketiga indikator tersebut mengalami
penurunan dengan rata-rata persentase penurunan per tahun yaitu 1.90% untuk angka
prevalensi dan mortalitas TB serta 1.68% untuk angka insiden TB.
Kata Kunci: insiden, kambuh, mortalitas, prevalensi, SVIR, TB
1. Pendahuluan
Tuberkulosis (TB) merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri
Mycobacterium tuberculosis. Penyakit ini ditularkan melalui bakteri yang menyebar
ke udara dalam bentuk percikan dahak (droplet) karena batuk, bersin, atau meludah.
Penyakit ini umumnya menyerang organ paru-paru, tetapi juga dapat menyerang
organ lain seperti sistem limfa, otak, tulang belakang, dan ginjal (Kemenkes RI [4]).
Pada tahun 2015, WHO [12] melaporkan terjadi 10.4 juta kasus baru TB di
dunia. 60% kasus baru tersebut terjadi di India, Indonesia, China, Nigeria, Pakistan,
dan Afrika Selatan. Selain itu, penyakit TB juga masuk dalam 10 daftar penyebab
kematian terbesar di dunia pada tahun 2015 versi WHO [12]. Tercatat terjadi 1.4
juta kematian karena TB dan 0.4 juta kematian karena TB yang positif HIV.
Pencegahan TB dilakukan melalui vaksinasi Bacillus Calmette-Geurin (BCG).
Sedangkan, penanganan TB dilakukan melalui Directly Observed Treatment Shortcourse (DOTS ) yaitu pengawasan langsung dalam minum obat (Tim Pusdatin [9]).
Dalam proses pengobatan ini, penderita terkadang tidak disiplin dalam menjalaninya
karena merasa sudah sembuh. Dengan demikian, bakteri penyebab TB tidak benarbenar hilang dari tubuh dan hanya melemah yang memungkinkan penderita yang
telah sembuh dapat terinfeksi kembali (kambuh).
1
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Vaksinasi dan kasus kambuh merupakan dua faktor yang memengaruhi penyebaran penyakit TB. Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk
mengetahui penyebaran penyakit TB yang diamati berdasarkan perubahan banyaknya penderita TB. Enagi dan Ibrahim [2] dan Shahid et al. [7] telah meneliti model
penyebaran penyakit TB dengan memperhatikan vaksinasi BCG. Model tersebut oleh Shahid et al. [7] disebut model vaccinated susceptible infected recovered
(V SIR). Pada model tersebut, sasaran vaksinasi BCG adalah individu yang baru
lahir.
Berbeda dengan Enagi dan Ibrahim [2] dan Shahid et al. [7], dengan memperhatikan waktu pelaksanaan vaksinasi BCG yaitu beberapa hari setelah kelahiran
sampai bayi berusia satu bulan sehingga pada penelitian ini bayi baru lahir digolongkan sebagai individu sehat namun rentan terinfeksi TB (susceptible) dan sasaran
vaksinasinya adalah kelompok individu susceptible. Dengan memperhatikan hal
tersebut, dikonstruksikan model susceptible vaccinated infected recovered (SV IR).
Selain itu juga diperhatikan kasus kambuh TB yang terjadi sehingga lebih lanjut
diteliti model SV IR dengan kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB. Selanjutnya model diterapkan pada penyebaran penyakit TB di Indonesia, kemudian
diukur keakuratannya. Penyelesaian model digunakan untuk memprediksi angka
prevalensi, angka insiden dan angka kematian (mortalitas) TB di Indonesia.
2. Model SIR
Pada tahun 1989, Hethcote [3] memperkenalkan tiga model dasar dalam epidemiologi. Salah satu diantaranya adalah model susceptible infected recovered (SIR).
Hethcote [3] membagi populasi (N ) menjadi tiga kelompok individu yaitu kelompok
individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit (susceptible/S), kelompok individu
terinfeksi penyakit (infected /I), dan kelompok individu sembuh dan memiliki kekebalan permanen (recovered /R).
Masih menurut Hethcote [3], dalam model SIR diasumsikan hanya terdapat
satu penyakit dalam populasi dan populasi diasumsikan konstan sehingga laju kelahiran dan laju kematian bernilai sama yaitu µ. Selain itu, juga diasumsikan individu yang lahir adalah individu sehat yang rentan terhadap penyakit. Banyaknya
kelahiran adalah sebesar µN sehingga banyaknya individu S bertambah sebesar µN .
2
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Setiap kelompok individu S, I, dan R terdapat kematian sehingga banyaknya individu S, I, R berturut-turut berkurang sebesar µS, µI, dan µR. Kelompok individu
S dapat terinfeksi penyakit setelah melakukan kontak dengan kelompok individu I.
Jika β adalah besarnya laju kontak, maka banyaknya individu S berkurang sebesar β SI
dan banyaknya individu I bertambah sebesar β SI
. Kelompok individu
N
N
I dimungkinkan untuk sembuh dan memiliki kekebalan permanen. Jika γ adalah
besarnya laju kesembuhan, maka banyaknya individu I berkurang sebesar γI dan
banyaknya individu R bertambah sebesar γI. Dengan demikian, secara lengkap
model SIR ditulis sebagai
SI
dS
= µN − β
− µS
dt
N
dI
SI
= β
− γI − µI
dt
N
dR
= γI − µR
dt
(2.1)
dengan S(0) ≥ 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0, µ, β, γ > 0. Model (2.1) merupakan sistem
persamaan diferensial nonlinier orde satu.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model SV IR dengan Kasus Kambuh. Tiga indikator yang diperhatikan
dalam penanggulangan TB yaitu angka prevalensi, angka kesakitan (insiden), dan
angka kematian (mortalitas). Angka prevalensi TB merupakan proporsi banyaknya
penderita TB terhadap jumlah penduduk suatu wilayah pada periode waktu tertentu. Sedangkan angka insiden TB merupakan proporsi banyaknya penderita baru
dan kambuh terhadap jumlah penduduk suatu wilayah yang berisiko terinfeksi TB
pada periode waktu tertentu (Kemenkes RI [5]). Ketiga indikator tersebut biasanya
dinyatakan dalam per 100000 penduduk (Sutopo, dkk. [8]). Besarnya nilai ketiga indikator tersebut dipengaruhi oleh banyaknya penderita TB. Pemodelan matematika
dapat digunakan untuk mengamati perubahan banyaknya penderita TB dari waktu
ke waktu. Model ini kemudian disebut model penyebaran penyakit TB.
Penyakit TB memiliki karakteristik penularan terjadi melalui kontak langsung
antara individu rentan dengan penderita TB. Selain itu, TB juga termasuk penyakit
3
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
yang dapat disembuhkan. Karakteristik tersebut secara matematis dapat dimodelkan sebagai model SIR. Asumsi populasi konstan pada model SIR (2.1) tidak sesuai
dengan keadaan sekarang sehingga pada penelitian ini diasumsikan populasi tidak
konstan. Adanya asumsi tersebut mengakibatkan laju kelahiran dan laju kematian
bernilai tidak sama. Jika θ menyatakan laju kelahiran maka banyaknya kelahiran
sebesar µN berubah menjadi sebesar θN .
Terkait dengan indikator penanggulangan TB yaitu mortalitas sehingga pada
penelitian ini kematian dibedakan menjadi dua macam yaitu kematian karena TB
dan kematian selain karena TB (alami). Jika δ menyatakan laju kematian karena TB, maka banyaknya individu I berkurang sebesar δI dan jika µ menyatakan
laju kematian alami, maka banyaknya masing-masing individu S, I, R, berkurang
sebesar µS, µI, dan µR.
Upaya pencegahan penyakit TB dilakukan melalui vaksinasi BCG. Vaksin
ini diberikan pada bayi berusia di bawah satu bulan dengan dosis pemberian yaitu
0.01ml sebanyak satu kali (Pusdiklatnakes [6]). Shahid et al. [7] mendefinisikan
individu yang telah memperoleh vaksinasi BCG sebagai vaccinated (V ). Dengan
memperhatikan masa pemberian vaksin tersebut, bayi yang baru lahir diasumsikan
sehat namun rentan terinfeksi TB (susceptible). Dengan demikian, sasaran vaksinasi
merupakan kelompok individu S. Jika α menyatakan laju vaksinasi BCG, maka
banyaknya individu S berkurang sebesar αS dan banyaknya individu V bertambah
sebesar αS.
Pada kondisi terbaiknya, vaksin BCG memiliki efikasi sebesar 80% yang efektif mencegah TB selama 15 tahun (CDC [1]). Hal tersebut menunjukkan bahwa
pencegahan ini tidak sepenuhnya memberikan perlindungan secara total sehingga
dimungkinkan individu tersebut menjadi rentan kembali terhadap infeksi TB. Jika λ
adalah laju efektifitas vaksin BCG, maka banyaknya individu V berkurang sebesar
λV dan banyaknya individu S bertambah sebesar λV . Selain itu, kelompok individu V juga dapat mengalami kematian sehingga banyaknya individu V berkurang
sebesar µV .
Penyakit TB merupakan penyakit yang dimungkinkan kambuh. Hal tersebut
dapat terjadi apabila pengobatan tidak dijalankan secara disiplin oleh penderita TB.
4
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Hal tersebut mengakibatkan bakteri penyebab TB tidak benar-benar hilang dari
tubuh dan hanya melemah yang kemudian dapat aktif kembali untuk menginfeksi.
Dengan memperhatikan hal tersebut, perlu didefinisikan ulang kelompok individu R
yaitu kelompok individu yang sembuh dari TB. Jika σ menyatakan laju kekambuhan
TB, maka banyaknya individu R berkurang sebesar σR dan banyaknya individu I
bertambah sebesar σR. Dengan demikian, secara lengkap model SV IR dengan
kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB dapat dituliskan sebagai
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
= θN − β
SI
− (µ + α)S + λV
N
= αS − (λ + µ)V
= β
SI
− (γ + µ + δ)I + σR
N
(3.1)
= γI − (σ + µ)R
dengan S(0) ≥ 0, V (0) ≥ 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0 dan θ, β, γ, µ, δ, α, λ, σ > 0. Kedelapan parameter tersebut berturut-turut menyatakan laju kelahiran, laju kontak,
laju kesembuhan, laju kematian alami, laju kematian karena TB, laju vaksinasi
BCG, laju efektifitas vaksin BCG, dan laju kekambuhan. Model (3.1) merupakan
sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian model (3.1) dapat
digunakan untuk menentukan angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB.
3.2. Penerapan. Model (3.1) diterapkan pada penyebaran TB di Indonesia. Data
yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari Profil Kesehatan Indonesia [9],
World Bank [10], dan WHO [11] tahun 2004-2016 meliputi jumlah penduduk, crude
birth rate, crude death rate, banyaknya kasus baru dan kambuh TB, banyaknya kematian karena TB, banyaknya individu yang baru mendapatkan vaksinasi BCG,
dan banyaknya individu yang baru sembuh dari TB. Berdasarkan data tersebut, ditentukan banyaknya masing-masing kelompok individu S, V , I, dan R. Selanjutnya,
data tahun 2004-2014 digunakan untuk mengestimasi parameter model, sedangkan
data tahun 2015-2016 digunakan untuk mengukur keakuratan model.
Berdasarkan data tahun 2004-2014, diperoleh nilai laju kelahiran (θ) sebesar
0.02108, laju kontak (β) sebesar 0.34080, laju kesembuhan (γ) sebesar 0.16001, laju
5
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
kematian alami (µ) sebesar 0.00663, laju kematian karena TB (δ) sebesar 0.13198,
laju vaksinasi BCG (α) sebesar 0.02120, dan laju kekambuhan TB (σ) sebesar
0.00522. Sedangkan nilai laju efektifitas vaksin BCG (λ) ditentukan berdasarkan
masa efektifitas vaksin yaitu 15 tahun sehingga diperoleh λ sebesar 1/15 ≈ 0.06667.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter tersebut ke model (3.1) diperoleh
model SV IR dengan kasus kambuh untuk penyebaran TB di Indonesia yaitu
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
= 0.02108N − 0.34080
SI
− 0.02783S + 0.06667V
N
= 0.02120S − 0.0733V
= 0.34080
SI
− 0.29862I + 0.00522R
N
(3.2)
= 0.16001I − 0.01185R
Model (3.2) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang
secara analitik sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu ditentukan penyelesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Nilai awal
yang digunakan mengacu pada banyaknya kelompok individu S, V , I, dan R pada
tahun 2004 (t = 0). Berdasarkan data, diketahui nilai awal untuk masing-masing
kelompok individu yaitu
S(0) = 217890382
V (0) = 4169722
I(0) = 985000
R(0) = 119545.
(3.3)
Selanjutnya ditentukan penyelesaian model (3.2) dengan syarat awal (3.3)
dalam kurun waktu 12 tahun pertama (2005-2016). Penyelesaian pada tahun ke-11
dan ke-12 dibandingkan dengan data tahun 2015-2016. Selain itu, pada tahun yang
sama juga dapat dibandingkan insiden (kasus baru dan kambuh) TB. Eror relatif
untuk kelompok individu I dan insiden TB ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Eror relatif kelompok individu I dan insiden TB
Tahun
I
Insiden TB
2015 -0.01163 -0.02103
2016 -0.05235
0.05543
6
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa mutlak eror relatif untuk kelompok individu I dan insiden TB bernilai kurang dari 0.06 sehingga model (3.2) dapat
dikatakan cukup akurat. Angka prevalensi dan mortalitas TB dipengaruhi oleh
banyaknya individu I sehingga prediksi angka prevalensi dan mortalitas TB dapat
ditentukan. Selain itu juga dapat ditentukan prediksi angka insiden TB. Prediksi
angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia pada tahun 20172035 ditunjukkan dalam Gambar 1.
450
400
397
Angka Prevalensi
359
350
325
296
300
250
200
150
Angka Insiden
140
100
52
128
Mortalitas
50
2017
2020
117
108
47
43
39
2025
2030
2035
Tahun
Gambar 1. Prediksi angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas
TB di Indonesia tahun 2017-2035
Berdasarkan Gambar 1 terlihat ketiga indikator penanggulangan TB mengalami penurunan dari tahun ke tahun dengan rata-rata persentase penurunan setiap
tahunnya adalah 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas TB serta 1.68% untuk
angka insiden TB.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diambil tiga kesimpulan.
(1) Model SV IR dengan kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB yaitu
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
= θN − β
SI
− (µ + α)S + λV
N
= αS − (λ + µ)V
= β
SI
− (γ + µ + δ)I + σR
N
= γI − (σ + µ)R
7
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
dengan S(0) ≥ 0, V (0) ≥ 0, I(0) > 0, dan R(0) ≥ 0, serta θ, β, γ, µ, δ, α, λ, σ
bernilai positif.
(2) Model SV IR dengan kasus kambuh diterapkan pada penyebaran TB di
Indonesia dengan estimasi parameter menggunakan data tahun 2004-2014.
Penyelesaian model dibandingkan dengan data tahun 2015-2016. Berdasarkan
eror relatifnya, model SV IR dengan kasus kambuh untuk penyebaran TB di
Indonesia cukup akurat sehingga model dapat digunakan untuk memprediksi
angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia.
(3) Angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia pada tahun
2017-2035 mengalami penurunan dari tahun ke tahun dengan rata-rata persentase penurunan per tahun yaitu 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas
TB serta 1.68% untuk angka insiden TB.
Daftar Pustaka
1. CDC, The Role of BCG Vaccine in the Prevention and Control of Tuberculosis in United
State: A Joint Statement by the Advisory Council for the Elimination of Tuberculosis and the
Advisory Committee on Immunization Pratices, MMWR 45 (1996), No. RR–4.
2. Enagi, A.I. and M.O. Ibrahim, Preventing Mother to Child Transmission of Tuberculosis Using
Bacillus Calmette-Geurin Vaccine: A Deterministic Modelling Approach, Research Journal of
Mathematics and Statistics 3 2 (2011), 67–71.
3. Hethcote, H. W., Three Basic Epidemiological Models, Applied Mathematical Ecology 18
(1989), 119–144.
4. Kemenkes RI [Kementerian Kesehatan Republik Indonesia], Pedoman Nasional Pengendalian
Tuberkulosis, 2011.
5. Kemenkes RI [Kementerian Kesehatan Republik Indonesia], Pedoman Penanggulangan
Tuberkulosis, 2016.
6. Pusat Pendidikan dan Pelatihan Tenaga Kesehatan, Buku Ajar Imunisasi, 2014.
7. Shahid, M., N. Khan, M. Hussain, M.L. Ali, and A. Mansoor, Vaccinated Susceptible
Infected and Recovered (VSIR) Mathematical Model to Study the Effect of Bacillus CalmetteGeurin Vaccine and the Disease Stability Analysis, International Journal of Mathematical,
Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering 9 (2015), No. 2.
8. Sutopo, Agus, Dian Fitriana Arthati, and Utari Azalika Rahmi, Kajian Indikator Sustainable
Development Goals (SDGs), Badan Pusat Statistik, Jakarta, 2014.
9. Tim Pusdatin [Pusat Data dan Informasi], Profil Kesehatan Indonesia, Kementerian Kesehatan
Republik Indonesia, 2006-2017.
10. World Bank, Birth and Death Rate, Crude, 2017.
11. WHO [World Health Organization], Global Health Observatory Data Repository:Tuberculosis,
2017.
12. WHO [World Health Organization], Global Tuberculosis Report, 2016.
8
2018
KAMBUH: MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED
RECOVERED
Arifin Aji Nugroho, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Indikator penanggulangan TB yaitu angka prevalensi, angka insiden, dan
mortalitas. Ketiga indikator tersebut dipengaruhi banyaknya penderita TB. Pemodelan matematika dapat digunakan untuk mengamati perubahan banyaknya penderita TB.
Dalam artikel ini, model penyebaran penyakit TB dengan memperhatikan vaksinasi dan
kambuh yaitu model susceptible vaccinated infected recovered (SV IR) dengan kasus kambuh diturunkan dan diterapkan di Indonesia. Model tersebut berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Estimasi parameter ditentukan berdasarkan data
tahun 2004-2014. Keakuratan model diukur berdasarkan eror relatif tahun 2015-2016.
Mutlak eror relatif yang terjadi cukup kecil yaitu kurang dari 0.06 sehingga model cukup
akurat dan dapat digunakan untuk menentukan prediksi angka prevalensi, angka insiden,
dan mortalitas TB di Indonesia. Selama 2017-2035, ketiga indikator tersebut mengalami
penurunan dengan rata-rata persentase penurunan per tahun yaitu 1.90% untuk angka
prevalensi dan mortalitas TB serta 1.68% untuk angka insiden TB.
Kata Kunci: insiden, kambuh, mortalitas, prevalensi, SVIR, TB
1. Pendahuluan
Tuberkulosis (TB) merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri
Mycobacterium tuberculosis. Penyakit ini ditularkan melalui bakteri yang menyebar
ke udara dalam bentuk percikan dahak (droplet) karena batuk, bersin, atau meludah.
Penyakit ini umumnya menyerang organ paru-paru, tetapi juga dapat menyerang
organ lain seperti sistem limfa, otak, tulang belakang, dan ginjal (Kemenkes RI [4]).
Pada tahun 2015, WHO [12] melaporkan terjadi 10.4 juta kasus baru TB di
dunia. 60% kasus baru tersebut terjadi di India, Indonesia, China, Nigeria, Pakistan,
dan Afrika Selatan. Selain itu, penyakit TB juga masuk dalam 10 daftar penyebab
kematian terbesar di dunia pada tahun 2015 versi WHO [12]. Tercatat terjadi 1.4
juta kematian karena TB dan 0.4 juta kematian karena TB yang positif HIV.
Pencegahan TB dilakukan melalui vaksinasi Bacillus Calmette-Geurin (BCG).
Sedangkan, penanganan TB dilakukan melalui Directly Observed Treatment Shortcourse (DOTS ) yaitu pengawasan langsung dalam minum obat (Tim Pusdatin [9]).
Dalam proses pengobatan ini, penderita terkadang tidak disiplin dalam menjalaninya
karena merasa sudah sembuh. Dengan demikian, bakteri penyebab TB tidak benarbenar hilang dari tubuh dan hanya melemah yang memungkinkan penderita yang
telah sembuh dapat terinfeksi kembali (kambuh).
1
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Vaksinasi dan kasus kambuh merupakan dua faktor yang memengaruhi penyebaran penyakit TB. Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk
mengetahui penyebaran penyakit TB yang diamati berdasarkan perubahan banyaknya penderita TB. Enagi dan Ibrahim [2] dan Shahid et al. [7] telah meneliti model
penyebaran penyakit TB dengan memperhatikan vaksinasi BCG. Model tersebut oleh Shahid et al. [7] disebut model vaccinated susceptible infected recovered
(V SIR). Pada model tersebut, sasaran vaksinasi BCG adalah individu yang baru
lahir.
Berbeda dengan Enagi dan Ibrahim [2] dan Shahid et al. [7], dengan memperhatikan waktu pelaksanaan vaksinasi BCG yaitu beberapa hari setelah kelahiran
sampai bayi berusia satu bulan sehingga pada penelitian ini bayi baru lahir digolongkan sebagai individu sehat namun rentan terinfeksi TB (susceptible) dan sasaran
vaksinasinya adalah kelompok individu susceptible. Dengan memperhatikan hal
tersebut, dikonstruksikan model susceptible vaccinated infected recovered (SV IR).
Selain itu juga diperhatikan kasus kambuh TB yang terjadi sehingga lebih lanjut
diteliti model SV IR dengan kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB. Selanjutnya model diterapkan pada penyebaran penyakit TB di Indonesia, kemudian
diukur keakuratannya. Penyelesaian model digunakan untuk memprediksi angka
prevalensi, angka insiden dan angka kematian (mortalitas) TB di Indonesia.
2. Model SIR
Pada tahun 1989, Hethcote [3] memperkenalkan tiga model dasar dalam epidemiologi. Salah satu diantaranya adalah model susceptible infected recovered (SIR).
Hethcote [3] membagi populasi (N ) menjadi tiga kelompok individu yaitu kelompok
individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit (susceptible/S), kelompok individu
terinfeksi penyakit (infected /I), dan kelompok individu sembuh dan memiliki kekebalan permanen (recovered /R).
Masih menurut Hethcote [3], dalam model SIR diasumsikan hanya terdapat
satu penyakit dalam populasi dan populasi diasumsikan konstan sehingga laju kelahiran dan laju kematian bernilai sama yaitu µ. Selain itu, juga diasumsikan individu yang lahir adalah individu sehat yang rentan terhadap penyakit. Banyaknya
kelahiran adalah sebesar µN sehingga banyaknya individu S bertambah sebesar µN .
2
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Setiap kelompok individu S, I, dan R terdapat kematian sehingga banyaknya individu S, I, R berturut-turut berkurang sebesar µS, µI, dan µR. Kelompok individu
S dapat terinfeksi penyakit setelah melakukan kontak dengan kelompok individu I.
Jika β adalah besarnya laju kontak, maka banyaknya individu S berkurang sebesar β SI
dan banyaknya individu I bertambah sebesar β SI
. Kelompok individu
N
N
I dimungkinkan untuk sembuh dan memiliki kekebalan permanen. Jika γ adalah
besarnya laju kesembuhan, maka banyaknya individu I berkurang sebesar γI dan
banyaknya individu R bertambah sebesar γI. Dengan demikian, secara lengkap
model SIR ditulis sebagai
SI
dS
= µN − β
− µS
dt
N
dI
SI
= β
− γI − µI
dt
N
dR
= γI − µR
dt
(2.1)
dengan S(0) ≥ 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0, µ, β, γ > 0. Model (2.1) merupakan sistem
persamaan diferensial nonlinier orde satu.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model SV IR dengan Kasus Kambuh. Tiga indikator yang diperhatikan
dalam penanggulangan TB yaitu angka prevalensi, angka kesakitan (insiden), dan
angka kematian (mortalitas). Angka prevalensi TB merupakan proporsi banyaknya
penderita TB terhadap jumlah penduduk suatu wilayah pada periode waktu tertentu. Sedangkan angka insiden TB merupakan proporsi banyaknya penderita baru
dan kambuh terhadap jumlah penduduk suatu wilayah yang berisiko terinfeksi TB
pada periode waktu tertentu (Kemenkes RI [5]). Ketiga indikator tersebut biasanya
dinyatakan dalam per 100000 penduduk (Sutopo, dkk. [8]). Besarnya nilai ketiga indikator tersebut dipengaruhi oleh banyaknya penderita TB. Pemodelan matematika
dapat digunakan untuk mengamati perubahan banyaknya penderita TB dari waktu
ke waktu. Model ini kemudian disebut model penyebaran penyakit TB.
Penyakit TB memiliki karakteristik penularan terjadi melalui kontak langsung
antara individu rentan dengan penderita TB. Selain itu, TB juga termasuk penyakit
3
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
yang dapat disembuhkan. Karakteristik tersebut secara matematis dapat dimodelkan sebagai model SIR. Asumsi populasi konstan pada model SIR (2.1) tidak sesuai
dengan keadaan sekarang sehingga pada penelitian ini diasumsikan populasi tidak
konstan. Adanya asumsi tersebut mengakibatkan laju kelahiran dan laju kematian
bernilai tidak sama. Jika θ menyatakan laju kelahiran maka banyaknya kelahiran
sebesar µN berubah menjadi sebesar θN .
Terkait dengan indikator penanggulangan TB yaitu mortalitas sehingga pada
penelitian ini kematian dibedakan menjadi dua macam yaitu kematian karena TB
dan kematian selain karena TB (alami). Jika δ menyatakan laju kematian karena TB, maka banyaknya individu I berkurang sebesar δI dan jika µ menyatakan
laju kematian alami, maka banyaknya masing-masing individu S, I, R, berkurang
sebesar µS, µI, dan µR.
Upaya pencegahan penyakit TB dilakukan melalui vaksinasi BCG. Vaksin
ini diberikan pada bayi berusia di bawah satu bulan dengan dosis pemberian yaitu
0.01ml sebanyak satu kali (Pusdiklatnakes [6]). Shahid et al. [7] mendefinisikan
individu yang telah memperoleh vaksinasi BCG sebagai vaccinated (V ). Dengan
memperhatikan masa pemberian vaksin tersebut, bayi yang baru lahir diasumsikan
sehat namun rentan terinfeksi TB (susceptible). Dengan demikian, sasaran vaksinasi
merupakan kelompok individu S. Jika α menyatakan laju vaksinasi BCG, maka
banyaknya individu S berkurang sebesar αS dan banyaknya individu V bertambah
sebesar αS.
Pada kondisi terbaiknya, vaksin BCG memiliki efikasi sebesar 80% yang efektif mencegah TB selama 15 tahun (CDC [1]). Hal tersebut menunjukkan bahwa
pencegahan ini tidak sepenuhnya memberikan perlindungan secara total sehingga
dimungkinkan individu tersebut menjadi rentan kembali terhadap infeksi TB. Jika λ
adalah laju efektifitas vaksin BCG, maka banyaknya individu V berkurang sebesar
λV dan banyaknya individu S bertambah sebesar λV . Selain itu, kelompok individu V juga dapat mengalami kematian sehingga banyaknya individu V berkurang
sebesar µV .
Penyakit TB merupakan penyakit yang dimungkinkan kambuh. Hal tersebut
dapat terjadi apabila pengobatan tidak dijalankan secara disiplin oleh penderita TB.
4
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Hal tersebut mengakibatkan bakteri penyebab TB tidak benar-benar hilang dari
tubuh dan hanya melemah yang kemudian dapat aktif kembali untuk menginfeksi.
Dengan memperhatikan hal tersebut, perlu didefinisikan ulang kelompok individu R
yaitu kelompok individu yang sembuh dari TB. Jika σ menyatakan laju kekambuhan
TB, maka banyaknya individu R berkurang sebesar σR dan banyaknya individu I
bertambah sebesar σR. Dengan demikian, secara lengkap model SV IR dengan
kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB dapat dituliskan sebagai
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
= θN − β
SI
− (µ + α)S + λV
N
= αS − (λ + µ)V
= β
SI
− (γ + µ + δ)I + σR
N
(3.1)
= γI − (σ + µ)R
dengan S(0) ≥ 0, V (0) ≥ 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0 dan θ, β, γ, µ, δ, α, λ, σ > 0. Kedelapan parameter tersebut berturut-turut menyatakan laju kelahiran, laju kontak,
laju kesembuhan, laju kematian alami, laju kematian karena TB, laju vaksinasi
BCG, laju efektifitas vaksin BCG, dan laju kekambuhan. Model (3.1) merupakan
sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian model (3.1) dapat
digunakan untuk menentukan angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB.
3.2. Penerapan. Model (3.1) diterapkan pada penyebaran TB di Indonesia. Data
yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari Profil Kesehatan Indonesia [9],
World Bank [10], dan WHO [11] tahun 2004-2016 meliputi jumlah penduduk, crude
birth rate, crude death rate, banyaknya kasus baru dan kambuh TB, banyaknya kematian karena TB, banyaknya individu yang baru mendapatkan vaksinasi BCG,
dan banyaknya individu yang baru sembuh dari TB. Berdasarkan data tersebut, ditentukan banyaknya masing-masing kelompok individu S, V , I, dan R. Selanjutnya,
data tahun 2004-2014 digunakan untuk mengestimasi parameter model, sedangkan
data tahun 2015-2016 digunakan untuk mengukur keakuratan model.
Berdasarkan data tahun 2004-2014, diperoleh nilai laju kelahiran (θ) sebesar
0.02108, laju kontak (β) sebesar 0.34080, laju kesembuhan (γ) sebesar 0.16001, laju
5
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
kematian alami (µ) sebesar 0.00663, laju kematian karena TB (δ) sebesar 0.13198,
laju vaksinasi BCG (α) sebesar 0.02120, dan laju kekambuhan TB (σ) sebesar
0.00522. Sedangkan nilai laju efektifitas vaksin BCG (λ) ditentukan berdasarkan
masa efektifitas vaksin yaitu 15 tahun sehingga diperoleh λ sebesar 1/15 ≈ 0.06667.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter tersebut ke model (3.1) diperoleh
model SV IR dengan kasus kambuh untuk penyebaran TB di Indonesia yaitu
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
= 0.02108N − 0.34080
SI
− 0.02783S + 0.06667V
N
= 0.02120S − 0.0733V
= 0.34080
SI
− 0.29862I + 0.00522R
N
(3.2)
= 0.16001I − 0.01185R
Model (3.2) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang
secara analitik sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu ditentukan penyelesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Nilai awal
yang digunakan mengacu pada banyaknya kelompok individu S, V , I, dan R pada
tahun 2004 (t = 0). Berdasarkan data, diketahui nilai awal untuk masing-masing
kelompok individu yaitu
S(0) = 217890382
V (0) = 4169722
I(0) = 985000
R(0) = 119545.
(3.3)
Selanjutnya ditentukan penyelesaian model (3.2) dengan syarat awal (3.3)
dalam kurun waktu 12 tahun pertama (2005-2016). Penyelesaian pada tahun ke-11
dan ke-12 dibandingkan dengan data tahun 2015-2016. Selain itu, pada tahun yang
sama juga dapat dibandingkan insiden (kasus baru dan kambuh) TB. Eror relatif
untuk kelompok individu I dan insiden TB ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Eror relatif kelompok individu I dan insiden TB
Tahun
I
Insiden TB
2015 -0.01163 -0.02103
2016 -0.05235
0.05543
6
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa mutlak eror relatif untuk kelompok individu I dan insiden TB bernilai kurang dari 0.06 sehingga model (3.2) dapat
dikatakan cukup akurat. Angka prevalensi dan mortalitas TB dipengaruhi oleh
banyaknya individu I sehingga prediksi angka prevalensi dan mortalitas TB dapat
ditentukan. Selain itu juga dapat ditentukan prediksi angka insiden TB. Prediksi
angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia pada tahun 20172035 ditunjukkan dalam Gambar 1.
450
400
397
Angka Prevalensi
359
350
325
296
300
250
200
150
Angka Insiden
140
100
52
128
Mortalitas
50
2017
2020
117
108
47
43
39
2025
2030
2035
Tahun
Gambar 1. Prediksi angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas
TB di Indonesia tahun 2017-2035
Berdasarkan Gambar 1 terlihat ketiga indikator penanggulangan TB mengalami penurunan dari tahun ke tahun dengan rata-rata persentase penurunan setiap
tahunnya adalah 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas TB serta 1.68% untuk
angka insiden TB.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diambil tiga kesimpulan.
(1) Model SV IR dengan kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB yaitu
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
= θN − β
SI
− (µ + α)S + λV
N
= αS − (λ + µ)V
= β
SI
− (γ + µ + δ)I + σR
N
= γI − (σ + µ)R
7
2018
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis . . .
A. A. Nugroho, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
dengan S(0) ≥ 0, V (0) ≥ 0, I(0) > 0, dan R(0) ≥ 0, serta θ, β, γ, µ, δ, α, λ, σ
bernilai positif.
(2) Model SV IR dengan kasus kambuh diterapkan pada penyebaran TB di
Indonesia dengan estimasi parameter menggunakan data tahun 2004-2014.
Penyelesaian model dibandingkan dengan data tahun 2015-2016. Berdasarkan
eror relatifnya, model SV IR dengan kasus kambuh untuk penyebaran TB di
Indonesia cukup akurat sehingga model dapat digunakan untuk memprediksi
angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia.
(3) Angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia pada tahun
2017-2035 mengalami penurunan dari tahun ke tahun dengan rata-rata persentase penurunan per tahun yaitu 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas
TB serta 1.68% untuk angka insiden TB.
Daftar Pustaka
1. CDC, The Role of BCG Vaccine in the Prevention and Control of Tuberculosis in United
State: A Joint Statement by the Advisory Council for the Elimination of Tuberculosis and the
Advisory Committee on Immunization Pratices, MMWR 45 (1996), No. RR–4.
2. Enagi, A.I. and M.O. Ibrahim, Preventing Mother to Child Transmission of Tuberculosis Using
Bacillus Calmette-Geurin Vaccine: A Deterministic Modelling Approach, Research Journal of
Mathematics and Statistics 3 2 (2011), 67–71.
3. Hethcote, H. W., Three Basic Epidemiological Models, Applied Mathematical Ecology 18
(1989), 119–144.
4. Kemenkes RI [Kementerian Kesehatan Republik Indonesia], Pedoman Nasional Pengendalian
Tuberkulosis, 2011.
5. Kemenkes RI [Kementerian Kesehatan Republik Indonesia], Pedoman Penanggulangan
Tuberkulosis, 2016.
6. Pusat Pendidikan dan Pelatihan Tenaga Kesehatan, Buku Ajar Imunisasi, 2014.
7. Shahid, M., N. Khan, M. Hussain, M.L. Ali, and A. Mansoor, Vaccinated Susceptible
Infected and Recovered (VSIR) Mathematical Model to Study the Effect of Bacillus CalmetteGeurin Vaccine and the Disease Stability Analysis, International Journal of Mathematical,
Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering 9 (2015), No. 2.
8. Sutopo, Agus, Dian Fitriana Arthati, and Utari Azalika Rahmi, Kajian Indikator Sustainable
Development Goals (SDGs), Badan Pusat Statistik, Jakarta, 2014.
9. Tim Pusdatin [Pusat Data dan Informasi], Profil Kesehatan Indonesia, Kementerian Kesehatan
Republik Indonesia, 2006-2017.
10. World Bank, Birth and Death Rate, Crude, 2017.
11. WHO [World Health Organization], Global Health Observatory Data Repository:Tuberculosis,
2017.
12. WHO [World Health Organization], Global Tuberculosis Report, 2016.
8
2018