PRA A*-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET.

PRA A*-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET

SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA

OLEH :
WELLY RAHMAYANI
BP. 0810432029

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2012

ABSTRAK
Misalkan sistem matematika (A, , , (·)∼) adalah Pra A*-

Aljabar, bila
anggota-anggotanya memenuhi sifatsifat tertentu. Untuk selanjutnya, sistem
(A, , , (·)∼) ditulis A yang menyatakan Pra A*-Aljabar.
Misal dide nisikan senter dari A adalah B(A) = {x ∈ A | x x∼ =

1},
maka B(A) adalah aljabar Boolean.
Misalkan dide nisikan sebuah relasi terurut parsial pada Pra A
*-Aljabar
yaitu ”
” ( yang anggotaanggotanya memenuhi sifat re eksif, antisimetri, dan
transitif) maka x
y jika dan hanya jika y x = x y = x. Himp
unan A
bersamasama dengan relasi terurut parsial pada A dinamakan dengan poset.
Pada skripsi ini dikaji struktur aljabar dari Pra A*Aljabar, dimana untuk
setiap Pra A*Aljabar dengan unsur identitas 1 berlaku x 1 = x x∼, x 0 =
x x∼, x (x∼ x) = x, (x x∼) y = (x y) (x∼ y), (x∼ x) x = x,
(x y) z = (x z) (x∼ y z), jika y ∈ B(A) maka x x∼ y = x x∼, ∀x ∈ A,
dan x (x y) = x (x y) = x jika dan hanya jika x, y ∈ B(A).
Selanjutnya, pada skripsi ini juga dikaji sifat-sifat Pra A*Aljabar sebagai
sebuah poset adalah sup{x, x∼} = x x∼, inf{x, x∼} = x x∼, inf{x, y} = x
y,
sup{x, y} = x y, jika x, y ∈ B(A) maka x y
x x∼, jika x

y maka untuk
sebarang x ∈ A memenuhi z x
z y, dan z x
z y.
Kata Kunci: aljabar Boolean, Poset, Pra A*-Aljabar.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

vii

ABSTRAK

ix

DAFTAR ISI

x

DAFTAR TABEL

xii

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2

Perumusan Masalah

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.4

Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

LANDASAN TEORI

3

2.1

Aljabar Boolean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2

Poset (P artially Ordered Set)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

PRA A*-ALJABAR SEBAGAI SEBUAH POSET
3.1

Struktur Aljabar dari Pra A*-Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.2

Pra A*-Aljabar sebagai Sebuah Poset . . . . . . . . . . . . . . . .15

KESIMPULAN

7

21

x

DAFTAR PUSTAKA

23

xi

DAFTAR TABEL

3.1.1

Operasi Biner pada A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

3.1.2

Operasi Biner pada A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.1.3

Operasi ∼ pada A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

xii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah
Gagasan Pra A*-Aljabar pertama kali diperkenalkan pada tahun 2000 oleh

J.Venkateswara Rao. Pra A*-Aljabar merupakan suatu sistem matematika (A, , , (·)∼)
dimana A adalah himpunan tak kosong, dengan (meet) dan (join) adalah
operasi-operasi biner, dan (·)∼ (tilda) adalah operasi tunggal, yang anggotaanggotanya memenuhi sifat-sifat: x∼∼ = x, x x = x, x y = y x, (x y)∼ =
x∼ y∼, x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) (x z), dan (x y) = x (x∼ y).
Misalkan dide nisikan sebuah relasi terurut parsial pada Pra A*-Aljabar
yaitu ”

” ( yang anggota-anggotanya memenuhi sifat re eksif, antisimetri, dan

transitif) maka x

y jika dan hanya jika y x = x y = x. Himpunan A

bersama-sama dengan relasi terurut parsial pada A dinamakan dengan poset.
Pada tulisan ini akan dikaji tentang struktur aljabar dari Pra A*-Aljabar
dan sifat-sifat Pra A*-Aljabar sebagai sebuah poset.

1.2

Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, maka yang menjadi permasalah-

an dalam penulisan ini adalah:

1. Bagaimana struktur aljabar dari Pra A*-Aljabar?
2. Bagaimana sifat-sifat Pra A*-Aljabar sebagai sebuah Poset?

1.3

Tujuan
Adapun tujuan dari tulisan ini adalah untuk mengkaji struktur aljabar dari

Pra A*-Aljabar dan sifat-sifat Pra A*-Aljabar sebagai sebuah Poset.

1.4

Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan skripsi ini yaitu Bab I merupakan pendahu-

luan yang berisikan latar belakang, perumusan masalah, tujuan penulisan, dan
sistematika penulisan. Bab II merupakan landasan teori yang akan digunakan
dalam menyelesaikan permasalahan pada skripsi ini. Bab III merupakan pembahasan mengenai struktur aljabar dari Pra A*-Aljabar dan sifat-sifat Pra A*Aljabar sebagai sebuah Poset. Bab IV merupakan kesimpulan dari pembahasan.

2