SOAL OSP MATEMATIKA SMA 2015
SELEKSI TINGKAT PROPINSI
CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2015
MATEMATIKA SMA/MA
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian
kedua terdiri dari 5 soal uraian.
2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4. Untuk soal bagian pertama:
(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta
memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai
hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak
di sebelah kanan setiap soal.
5. Untuk soal bagian kedua:
(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,
Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai kepada jawaban akhir tersebut.
(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6. Tuliskan jawaban Anda dengan menggunakan tinta, kecuali gambar dan ilustrasi.
7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.
Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah
pengawas memberi tanda.
9. Selamat bekerja.
1
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
BAGIAN PERTAMA
1. Jumlah dari semua bilangan real x yang memenuhi
√
x2 − 2x = 2 + x x2 − 4x
adalah .....
2. Banyaknya bilangan bulat n, sehingga n + 1 merupakan faktor dari n2 + 1
adalah .....
3. Dalam suatu pesta, setiap pria berjabat tangan dengan pria lain hanya sekali.
Demikian juga, setiap wanita hanya berjabat tangan sekali dengan wanita lain
yang hadir dalam pesta tersebut. Tidak ada yang berjabat tangan antara pria
dan wanita dalam pesta tersebut. Jika banyaknya pria yang hadir dalam pesta
lebih banyak dari wanita dan jumlah jabat tangan antara pria atau wanita ada
7 jabat tangan. Banyaknya pria yang hadir dalam pesta tersebut adalah......
4. Diberikan segitiga ABC, melalui titik D yang terletak pada sisi BC ditarik
garis DE dan DF berturut-turut sejajar dengan AB dan AC, (E pada AC,
F pada AB). Jika luas segitiga DEC sama dengan 4 kali luas segitiga BDF ,
maka perbandingan luas segitiga AEF dengan luas segitiga ABC adalah.........
5. Jika f adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real dan berlaku
3f (x) − 2f (2 − x) = x2 + 8x − 9
untuk semua bilangan real x, maka nilai f (2015) adalah ......
6. Banyaknya pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi
1
1
1
+
=
a b+1
2015
adalah .......
7. Ada 10 orang, lima laki-laki dan lima perempuan, termasuk sepasang
pengantin. Seorang tukang foto yang bukan salah satu di antara 10 orang
tersebut akan megambil gambar enam orang di antara mereka, termasuk kedua pengantin, dengan tidak ada dua laki-laki maupun dua perempuann yang
berdekatan. Banyaknya cara adalah ......
8. Panjang sisi-sisi segitiga merupakan bilangan bulat berurutan, dan sudut
terbesar dua kali sudut terkecil. Nilai cosinus sudut terkecil adalah .........
2
9. Diberikan dua suku banyak kuadrat berbeda f (x) = x2 + ax + b dan
g(x) = x2 + cx + d yang memenuhi f (20) + f (15) = g(20) + g(15). Jumlah
dari semua bilangan real x yang memenuhi f (x) = g(x) sama dengan ......
10. Diberikan a dan b bilangan bulat positif dengan
53
a
4
< < .
201
b
15
Nilai b terkecil yang mungkin adalah.......
11. Misalkan pada suatu laboratorium terdapat 20 komputer dan 15 printer.
Kabel digunakan untuk menghubungkan komputer dan printer. Sayangnya,
satu printer hanya dapat melayani satu komputer pada suatu waktu
bersamaan. Diinginkan 15 komputer selalu dapat menggunakan printer pada
waktu bersamaan. Banyaknya kabel yang diperlukan untuk menghubungkan
komputer dan printer minimal ada sebanyak ......
12. Diberikan segitiga ABC dengan M pertengahan BC, dan pada sisi AB dipilih
AC
titik N sehingga N B = 2N A. Jika ∠CAB = ∠CM N , maka nilai dari BC
adalah......
13. Diberikan barisan a0 , a1 , a2 , . . . dengan a0 = 2, a1 =
8
dan
3
am an = am+n − am−n
untuk setiap bilangan asli m, n dengan m ≥ n. Banyaknya bilangan asli n
yang memenuhi
1
an − 3 n >
2015
adalah ......
14. Untuk bilangan real x, notasi ⌊x⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang
tidak lebih besar dari x; sedangkan ⌈x⌉ menyatakan bilangan bulat terkecil
yang tidak lebih kecil dari x. Bilangan real x yang memenuhi
⌊x⌋2 − 3x + ⌈x⌉ = 0
adalah ......
15. Suatu lingkaran memotong segitiga samasisi ABC pada enam titik yang
berbeda. Keenam titik komposisinya, setiap dua titik terletak pada
sisi segitiga, sehingga : B, D, E, C; C, F, G, A, dan A, H, J, B berturut-turut
segaris. Jika AG = 2, GF = 13, F C = 1, dan HJ = 7, maka panjang DE
adalah .........
3
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
16. Pada gambar terdapat segitiga sebanyak ......
✡❅
❏
❅
✡
❏
✚❏
❅ ✚
✡❩
❩
✚ ✧
✡❜
✧❏
❜ ❩❩✚❅
✧
❅
✡❍❍❜❜✚
❩✧ ✟✟❏
✡❛❛ ❍❍
❩✟❅✦✦❏
✚❜✧✟
✧
❜ ❩✦❅
❛✚
❏
✡
❍
✟
❛
❜✦❩
✧
✚ ✟
❍✦
❛✟
❜ ❩❅ ❏
❛
❍
✦
✡
✚✧✧
❛
❜
✦
✟✦
❛❍
✡ ✚✧✟✦
❜❩❅ ❏
❛❍
✟✦
❛❍
❜❩❅❏
✚✧
✡✚ ✧
❛❍
✦
✟
❜❩
❛❍
✦
✟
✦
✧
❛❍
❜
❏
✡✧
✟
❛❅
❩
✚✦
❜
❍
✟
❛❅
✦
❏
❍
✚
✦
✧
✟
✡
❛
❩
❜
17. Misalkan M dan m berturut turut merupakan nilai a terbesar dan terkecil
sehingga berlaku
2
3
2
x − 2ax − a − ≤ 1
4
untuk setiap x ∈ [0, 1]. Nilai dari M − m adalah ......
18. Semua bilangan bulat n sehingga
9n + 1
n+3
merupakan kuadrat suatu bilangan rasional adalah .......
19. Himpunan A bagian dari {1, 2, . . . , 15} dikatakan baik, jika untuk setiap a ∈ A
berlaku a − 1 ∈ A atau a + 1 ∈ A. Banyaknya himpunan bagian dengan lima
anggota dari {1, 2, . . . , 15} yang baik ada sebanyak .......
20. Diberikan segitiga samakaki ABC, dengan AB = AC = b, BC = a, dan
∠BAC = 100o . Jika BL garis bagi ∠ABC, maka nilai AL + BL adalah ........
4
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
BAGIAN KEDUA
Soal 1. Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5}. Misalkan F = {A1 , A2 , A3 , ..., Am }, dengan Ai ⊆ X dan
anggota Ai sebanyak 2, untuk i = 1, 2, ..., m. Tentukan m minimum sehingga untuk sebarang
B ⊆ X, dengan B beranggota sebanyak 3, terdapat anggota F yang termuat di B. Buktikan jawab
Anda.
Jawaban:
5
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 2. Tentukan semua tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan
(x + 1)2 = x + y + 2
(y + 1)2 = y + z + 2
(z + 1)2 = z + x + 2.
Jawaban:
6
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 3. Diberikan segitiga samakaki ABC, dengan AB = AC. Misalkan D titik pada segmen BC
sehingga BD = 2DC. Misalkan pula bahwa P titik pada segmen AD sehingga: ∠BAC = ∠BP D.
Buktikan bahwa ∠BAC = 2∠DP C.
Jawaban:
7
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 4. Misalkan p1 , p2 , . . . , pn barisan aritmetika dengan beda b > 0 dan pi prima untuk setiap
i = 1, 2, . . . , n.
1. Jika p1 > n, tunjukkan bahwa setiap bilangan prima p dengan p ≤ n, maka p membagi habis b.
2. Berikan contoh barisan aritmetika p1 , p2 , . . . , p10 , dengan beda positif dan pi prima untuk
i = 1, 2, . . . , 10.
Jawaban:
8
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 5. Diberikan himpunan yang terdiri 22 bilangan bulat, A = {±a1 , ±a2 , . . . , ±a11 }. Tunjukkan
bahwa terdapat himpunan bagian S dari A yang sekaligus mempunyai sifat berikut:
1. Untuk setiap i = 1, 2, . . . , 11 paling banyak hanya satu di antara ai atau −ai merupakan anggota
S
2. Jumlah semua bilangan di S habis dibagi 2015.
Jawaban:
9
CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2015
MATEMATIKA SMA/MA
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian
kedua terdiri dari 5 soal uraian.
2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4. Untuk soal bagian pertama:
(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta
memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai
hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak
di sebelah kanan setiap soal.
5. Untuk soal bagian kedua:
(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,
Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai kepada jawaban akhir tersebut.
(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6. Tuliskan jawaban Anda dengan menggunakan tinta, kecuali gambar dan ilustrasi.
7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.
Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah
pengawas memberi tanda.
9. Selamat bekerja.
1
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
BAGIAN PERTAMA
1. Jumlah dari semua bilangan real x yang memenuhi
√
x2 − 2x = 2 + x x2 − 4x
adalah .....
2. Banyaknya bilangan bulat n, sehingga n + 1 merupakan faktor dari n2 + 1
adalah .....
3. Dalam suatu pesta, setiap pria berjabat tangan dengan pria lain hanya sekali.
Demikian juga, setiap wanita hanya berjabat tangan sekali dengan wanita lain
yang hadir dalam pesta tersebut. Tidak ada yang berjabat tangan antara pria
dan wanita dalam pesta tersebut. Jika banyaknya pria yang hadir dalam pesta
lebih banyak dari wanita dan jumlah jabat tangan antara pria atau wanita ada
7 jabat tangan. Banyaknya pria yang hadir dalam pesta tersebut adalah......
4. Diberikan segitiga ABC, melalui titik D yang terletak pada sisi BC ditarik
garis DE dan DF berturut-turut sejajar dengan AB dan AC, (E pada AC,
F pada AB). Jika luas segitiga DEC sama dengan 4 kali luas segitiga BDF ,
maka perbandingan luas segitiga AEF dengan luas segitiga ABC adalah.........
5. Jika f adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real dan berlaku
3f (x) − 2f (2 − x) = x2 + 8x − 9
untuk semua bilangan real x, maka nilai f (2015) adalah ......
6. Banyaknya pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi
1
1
1
+
=
a b+1
2015
adalah .......
7. Ada 10 orang, lima laki-laki dan lima perempuan, termasuk sepasang
pengantin. Seorang tukang foto yang bukan salah satu di antara 10 orang
tersebut akan megambil gambar enam orang di antara mereka, termasuk kedua pengantin, dengan tidak ada dua laki-laki maupun dua perempuann yang
berdekatan. Banyaknya cara adalah ......
8. Panjang sisi-sisi segitiga merupakan bilangan bulat berurutan, dan sudut
terbesar dua kali sudut terkecil. Nilai cosinus sudut terkecil adalah .........
2
9. Diberikan dua suku banyak kuadrat berbeda f (x) = x2 + ax + b dan
g(x) = x2 + cx + d yang memenuhi f (20) + f (15) = g(20) + g(15). Jumlah
dari semua bilangan real x yang memenuhi f (x) = g(x) sama dengan ......
10. Diberikan a dan b bilangan bulat positif dengan
53
a
4
< < .
201
b
15
Nilai b terkecil yang mungkin adalah.......
11. Misalkan pada suatu laboratorium terdapat 20 komputer dan 15 printer.
Kabel digunakan untuk menghubungkan komputer dan printer. Sayangnya,
satu printer hanya dapat melayani satu komputer pada suatu waktu
bersamaan. Diinginkan 15 komputer selalu dapat menggunakan printer pada
waktu bersamaan. Banyaknya kabel yang diperlukan untuk menghubungkan
komputer dan printer minimal ada sebanyak ......
12. Diberikan segitiga ABC dengan M pertengahan BC, dan pada sisi AB dipilih
AC
titik N sehingga N B = 2N A. Jika ∠CAB = ∠CM N , maka nilai dari BC
adalah......
13. Diberikan barisan a0 , a1 , a2 , . . . dengan a0 = 2, a1 =
8
dan
3
am an = am+n − am−n
untuk setiap bilangan asli m, n dengan m ≥ n. Banyaknya bilangan asli n
yang memenuhi
1
an − 3 n >
2015
adalah ......
14. Untuk bilangan real x, notasi ⌊x⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang
tidak lebih besar dari x; sedangkan ⌈x⌉ menyatakan bilangan bulat terkecil
yang tidak lebih kecil dari x. Bilangan real x yang memenuhi
⌊x⌋2 − 3x + ⌈x⌉ = 0
adalah ......
15. Suatu lingkaran memotong segitiga samasisi ABC pada enam titik yang
berbeda. Keenam titik komposisinya, setiap dua titik terletak pada
sisi segitiga, sehingga : B, D, E, C; C, F, G, A, dan A, H, J, B berturut-turut
segaris. Jika AG = 2, GF = 13, F C = 1, dan HJ = 7, maka panjang DE
adalah .........
3
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
16. Pada gambar terdapat segitiga sebanyak ......
✡❅
❏
❅
✡
❏
✚❏
❅ ✚
✡❩
❩
✚ ✧
✡❜
✧❏
❜ ❩❩✚❅
✧
❅
✡❍❍❜❜✚
❩✧ ✟✟❏
✡❛❛ ❍❍
❩✟❅✦✦❏
✚❜✧✟
✧
❜ ❩✦❅
❛✚
❏
✡
❍
✟
❛
❜✦❩
✧
✚ ✟
❍✦
❛✟
❜ ❩❅ ❏
❛
❍
✦
✡
✚✧✧
❛
❜
✦
✟✦
❛❍
✡ ✚✧✟✦
❜❩❅ ❏
❛❍
✟✦
❛❍
❜❩❅❏
✚✧
✡✚ ✧
❛❍
✦
✟
❜❩
❛❍
✦
✟
✦
✧
❛❍
❜
❏
✡✧
✟
❛❅
❩
✚✦
❜
❍
✟
❛❅
✦
❏
❍
✚
✦
✧
✟
✡
❛
❩
❜
17. Misalkan M dan m berturut turut merupakan nilai a terbesar dan terkecil
sehingga berlaku
2
3
2
x − 2ax − a − ≤ 1
4
untuk setiap x ∈ [0, 1]. Nilai dari M − m adalah ......
18. Semua bilangan bulat n sehingga
9n + 1
n+3
merupakan kuadrat suatu bilangan rasional adalah .......
19. Himpunan A bagian dari {1, 2, . . . , 15} dikatakan baik, jika untuk setiap a ∈ A
berlaku a − 1 ∈ A atau a + 1 ∈ A. Banyaknya himpunan bagian dengan lima
anggota dari {1, 2, . . . , 15} yang baik ada sebanyak .......
20. Diberikan segitiga samakaki ABC, dengan AB = AC = b, BC = a, dan
∠BAC = 100o . Jika BL garis bagi ∠ABC, maka nilai AL + BL adalah ........
4
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
BAGIAN KEDUA
Soal 1. Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5}. Misalkan F = {A1 , A2 , A3 , ..., Am }, dengan Ai ⊆ X dan
anggota Ai sebanyak 2, untuk i = 1, 2, ..., m. Tentukan m minimum sehingga untuk sebarang
B ⊆ X, dengan B beranggota sebanyak 3, terdapat anggota F yang termuat di B. Buktikan jawab
Anda.
Jawaban:
5
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 2. Tentukan semua tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan
(x + 1)2 = x + y + 2
(y + 1)2 = y + z + 2
(z + 1)2 = z + x + 2.
Jawaban:
6
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 3. Diberikan segitiga samakaki ABC, dengan AB = AC. Misalkan D titik pada segmen BC
sehingga BD = 2DC. Misalkan pula bahwa P titik pada segmen AD sehingga: ∠BAC = ∠BP D.
Buktikan bahwa ∠BAC = 2∠DP C.
Jawaban:
7
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 4. Misalkan p1 , p2 , . . . , pn barisan aritmetika dengan beda b > 0 dan pi prima untuk setiap
i = 1, 2, . . . , n.
1. Jika p1 > n, tunjukkan bahwa setiap bilangan prima p dengan p ≤ n, maka p membagi habis b.
2. Berikan contoh barisan aritmetika p1 , p2 , . . . , p10 , dengan beda positif dan pi prima untuk
i = 1, 2, . . . , 10.
Jawaban:
8
Nama: .................................... Kelas: ........
Sekolah: ......................................................
Soal 5. Diberikan himpunan yang terdiri 22 bilangan bulat, A = {±a1 , ±a2 , . . . , ±a11 }. Tunjukkan
bahwa terdapat himpunan bagian S dari A yang sekaligus mempunyai sifat berikut:
1. Untuk setiap i = 1, 2, . . . , 11 paling banyak hanya satu di antara ai atau −ai merupakan anggota
S
2. Jumlah semua bilangan di S habis dibagi 2015.
Jawaban:
9