Latihan Soal OSK OSP Matematika SMA 2016

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
KOMBINATORIKA
1.

How many integers are there from 1 through 9999 that have distinct digits ?

2.

Determine the coefficient of 𝑥 5 𝑦 5 𝑧 5 in (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)20 .

3.

A juggling bag contains 5 yellow, 4 orange, and 5 white juggling balls. A juggler
selects 1, 3, or 5 yellow balls; 2, 3, or 4 orange balls; and 1, 4, or 5 white balls.
Assuming that balls of the same color are identical,in how many ways can 10 balls
be selected ?

5.

Berapakah banyaknya pembagi dari 302003 yang tidak dapat dibagi dengan 202000 ?

6.

In how many ways can a committee of k persons with a chairman be from a set of n

4.

What is the value of the constant term in the expansion of (𝑥 2 +

1

𝑥2

− 2)10

people?
7.

8.

Determine the number of ordered pairs of positive integers (𝑎, 𝑏) such that the least

common multiple of 𝑎 and 𝑏 is 23 57 1113 .

Tentukan banyaknya kombinasi 50-digit yang dibentuk dari {0, 1, 2, …., 9} dimana
setiap digit muncul paling sedikit dua kali.

9.

Tentukan 𝑥, 𝑦 sedemikian sehingga

(100
) + 2(100
) + 4(100
) + ⋯ + 2100 (100
) = 𝑥𝑦
0
1
2
100

10. Claudia has cans of paint in eight different colors. She wants to paint the four unit

squares of a 2 𝑥 2 board in such a way that neighboring unit squares are painted in
different colors. Determine the number of distinct coloring schemes Claudia can

make. Two coloring schemes are considered the same if one can be obtained from
the other by rotation.
11. Determine the number of functions 𝑓 ∶ {1, 2, . . . , 1999} → {2000, 2001, 2002, 2003}
satisfying the condition that 𝑓(1) + 𝑓(2)+. . . + 𝑓(1999) is odd.

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
12. The PEA mathematics department is to hold a meeting to discuss pedagogy. After a
long conversation among 23 members of the department, they decide to split into 5
groups of three and 2 groups of four to continue their discussion. In how many
ways can this be done?
13. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4×64×6 dengan beberapa ruas garis,
Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang
tanpa sudut siku-siku pada gambar tersebut.

14. Sebanyak (𝑛 + 1) bilangan dipilih dari himpunan (1, 2, 3, 4, 5, … , 2𝑛). Buktikan
bahwa pasti terdapat 2 bilangan dengan sesilih n.

15. Diberikan 𝐻 ⊂ {1, 2, 3, 4, … , 100} dengan |𝐻| = 10. Tunjukkan bahwa selalu ada dua
himpunan bagian tak kosong dari H yang saling asing, dimana jumlah semua
bilangan anggota dari kedua himpunan bagian tersebut sama.
16. Misalkan subset A memiliki 84 anggota dari { 1, 2, 3, 4, ..., 169} sehingga tidak ada
dua elemen yang memiliki jumlah 169. Buktikan bahwa A mengandung sebuah
bilangan kuadrat.
17. Diberikan 2012 titik berbeda A1, A2, ... , A2012 di bidang Cartesius.
Untuk sebarang permutasi B1, B2, ..., B2012 dari A1, A2, ..., A2012, didefinisikan
bayangan dari titik P terhadap permutasi tersebut sebagai berikut :
Titik P dirotasikan 180° dengan pusat B1 menghasilkan titik P1,
titik P1 dirotasikan 180° dengan pusat B2 menghasilkan titik P2,
...

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
titik P2011 dirotasikan 180° dengan pusat B2012 menghasilkan titik P2012.
Selanjutnya, titik P2012 dikatakan sebagai bayangan dari titik P terhadap permutasi
B1, B2, . . . , B2012. Misalkan N adalah banyak bayangan titik P yang berbeda terhadap
semua permutasi dari A1, A2, ... , A2012.
Tentukanlah nilai terbesar yang mungkin bagi N.
18. Suppose the ppositive integer n is odd. First Al writes the numbers 1, 2, 3, ..., 2n on
the blackboard. Then he picks any two numbers a,b erases them, and writes instead,
|a-b|. Prove that an odd number will remain at the end.
19. Sekumpulan n orang duduk pada n buah kursi yang telah ditentukan dalam suatu
acara. Kemudian orang-orang tersebut diharuskan untuk berpindah tempat duduk
1 kali. Berapa banyaknya kemungkinan ?
20. Buktikan bahwa
∑𝑛𝑘=1

(−1)𝑘−1 𝑛
(𝑘 )
𝑘

1

= 1 + + ⋯+
2

1

𝑛

21. Diketahui suatu papan catur seperti pada gambar. Dapatkah suatu biji catur kuda
berangkat dari suatu petak melewati setiap petak yang lain hanya satu kali dan
kembali ke tempat semula ? Jelaskan jawab anda !

Penjelasan : Langkah catur kuda berbentuk L, yaitu dari kotak asal :


2(dua) kotak ke kanan/kiri dan 1(satu) kotak ke depan/belakang; atau



2(dua) kotak ke depan/belakang dan 1 (satu) kotak ke kanan/kiri.

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
ALJABAR
1.

2.

𝜋

Untuk 0 < 𝑥 < , hitung jumlah deret tak hingga dari
2
cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 sin2 𝑥 + cos 𝑥 sin3 𝑥 + ⋯

Misalkan 𝑓(𝑥) adalah polinomial berderajat 8, dan 𝑓(𝑚) =

3.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tentukan 𝑓(10).

4.

Tentukan nilai dari 𝑓(1998).

Tentukan semua solusi bilangan bulat dari persamaan

5.

𝑥 + 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 .

Diketahui 𝑓(1) = 1 dan 𝑓(𝑥) =

𝑥+1
𝑥−1

1

𝑚

untuk 𝑚 =

(𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯ + 𝑓(𝑥 − 1)).

Selesaikan sistem persamaan berikut:
𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦

6.

7.

8.

9.

𝑥2 + 𝑦2 = 8

Tentukan semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan
𝑥 2 + 30𝑥 + 250 =

200

.

𝑦 2 +10𝑦+33

Diketahui 𝑎2 + 𝑏 2 = 5, dan 𝑐 2 + 𝑑2 = 5. Tentukan nilai maksimum dari 𝑎𝑐 +
𝑏𝑑.

Misalkan 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah bilangan real positif dengan sifat 𝑥𝑦𝑧 = 1. Nilai terkecil

dari (𝑥 + 2𝑦)(𝑦 + 2𝑧)(𝑥𝑧 + 1) tercapai saat 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 bernilai ...

Diberikan barisan bilangan rasional {𝑎𝑘 }, 𝑘 ∈ 𝑁 yang didefinisikan dengan 𝑎1 = 2

dan 𝑎𝑛+1 =

𝑎𝑛 −1

𝑎𝑛 +1

, 𝑛 ∈ 𝑁. Nilai 𝑎2016 adalah ...

10. Misalkan a dan b bilangan yang memenuhi

𝑎3 − 3𝑎2 + 5𝑎 = 4 dan 𝑏 3 − 3𝑏 2 + 5𝑏 = 2, hitung nilai a+b.

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
11. Tentukan semua nilai 𝑘 yang mungkin sehingga tidak ada pasangan bilangan real
(𝑥, 𝑦) yang memenuhi sistem persamaan
𝑥 2 + 𝑦 2 = 0 (𝑥 − 𝑘)2 + 𝑦 2 = 1

12. Banyaknya bilangan real 𝑥 yang memenuhi persamaan
𝑥4 − 2𝑥3 + 5𝑥2 − 176𝑥 + 2016 = 0 adalah ⋅⋅⋅

13. Jika 𝑥1, 𝑥2,⋅⋅⋅, 𝑥2016 bilangan real, maka nilai terkecil dari

𝑐𝑜𝑠 𝑥1 𝑠𝑖𝑛 𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 𝑠𝑖𝑛 𝑥3 + ⋅⋅⋅ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥2016 𝑠𝑖𝑛 𝑥1 adalah ⋅⋅⋅

14. Jika 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑏 ≠ 𝑐, 𝑐 ≠ 𝑎, dan
𝑎2

𝑏+𝑐

𝑏2

𝑐2

+ 𝑐+𝑎 + 𝑎+𝑏 = 0.

𝑎

𝑏+𝑐

+

𝑏

𝑐+𝑎

+

𝑐

𝑎+𝑏

= 1, buktikan bahwa

15. Diberikan bilangan asli n dan bilangan-bilangan real positif 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , . . ., 𝑎𝑛 .
Buktikan bahwa

(1 + 𝑎1 )2 (1 + 𝑎2 )3 (1 + 𝑎3 )4 … (1 + 𝑎𝑛 )𝑛+1 ≥ (𝑛 + 1)(𝑛+1) 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛

16. Misalkan 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 adalah bilangan - bilangan real positif dengan sifat 𝑎𝑏𝑐 = 1. Jika
diketahui bahwa 𝑎2011 + 𝑏 2011 + 𝑐 2011 <

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 <

1

𝑎

1

+ +
𝑏

1

1

𝑎2011

1

1

+ 𝑏2011 + 𝑐 2011 . Buktikan bahwa,

𝑐

17. Let 𝑎, 𝑏, 𝑐 be the lengths of the sides of a triangle. Prove that
𝑎2 𝑏(𝑎 − 𝑏) + 𝑏 2 𝑐(𝑏 − 𝑐) + 𝑐 2 𝑎(𝑐 − 𝑎) ≥ 0

18. Let 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 be the positive real numbers such that
1

1+𝑎4

+

1

1+𝑏 4

+

1

1+𝑐 4

+

1

1+𝑑4

= 1. Prove that 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≥ 3.

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
TEORI BILANGAN
1.

Berapa banyak pasangan bilangan bulat (𝑎, 𝑏) yang memenuhi
1

2.

𝑎

1

+ =
𝑏

1

360

Jumlah 100 suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah -1. Jumlah suku
kedua, keempat, keenam, ..., dan keseratus adalah 1. Tentukan jumlah dari kuadrat
100 suku pertama barisan itu.

3.

Misalkan A = 22225555 + 55552222. Tentukan sisa pembagian A oleh 13.

4.

Find all integral solutions to the equation

5.

(𝑥 2 + 1)(𝑦 2 + 1) + 2(𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥𝑦) = 4(1 + 𝑥𝑦).

For each positive integer 𝑛, let 𝑠(𝑛) denote the number of ordered pairs (𝑥, 𝑦) of
positive integers for which

6.

7.
8.

𝑠(𝑛) = 5.

1

𝑥

1

1

+ = . Find all positive integers 𝑛 for which
𝑦

𝑛

Find all triples of positive integers (𝑥, 𝑦, 𝑧) such that

𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 − 3𝑥𝑦𝑧 = 𝑝, where 𝑝 is a prime greater than 3.

Tentukan semua solusi bulat positif dari persamaan 12𝑥 + 5𝑦 = 125.
Cari semua bilangan bulat positif 𝑎, 𝑏 sehingga

bilangan bulat.
9.

𝑎2 +𝑏

𝑏 2 −𝑎

dan

𝑏 2 +𝑎

𝑎2 −𝑏

keduanya merupakan

Diberikan s dan t bilangan bualt positif sehingga 7𝑠||400! dan 3𝑡||(((3!)!)!).

Tentukan nilai dari 𝑠 + 𝑡 .

10. Tentukan semua solusi bilangan bulat 𝑥, 𝑦, 𝑧 yang memenuhi
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2𝑥𝑦𝑧

11. Buktikan bahwa persamaan √𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = 1969 tidak memiliki solusi bilangan
bulat.

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
12. Diberikan bilangan asli 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 yang memenuhi 𝑎𝑐 = 𝑏𝑑. Buktikan bahwa bilangan
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑2 bukan bilangan prima.

13. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan 𝑛 = 𝐹𝑃𝐵(𝑎, 𝑏) +
𝐾𝑃𝐾(𝑎, 𝑏) − 𝑎 − 𝑏 adalah bilangan bulat genap tak negatif.

14. Buktikan bahwa 15𝑥 2 − 7𝑦 2 = 9 tidak memiliki solusi bilangan bulat.

15. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥, buktikan bahwa 4𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) tidak memiliki solusi bilangan
asli.

16. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 6|2𝑛3 + 4𝑛.

17. Let 𝑛 = 𝑝1 𝑎1 𝑝2 𝑎2 … 𝑝𝑛 𝑎𝑛 , 𝑝𝑖 be distict primes. Then n has (𝑎1 + 1) … (𝑎𝑛 + 1)
divisors.

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
GEOMETRI

1.

2.

o

𝑎

Diberikan segitiga ABC, dengan BC = a, AC = b dan ∠C = 60 . Jika = 2 + √3, maka
𝑏
besarnya sudut B adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

Diberikan segitiga ABC, dengan BC = 5, AC = 12, dan AB = 13. Titik D dan E
berturut-turut pada AB dan AC sedemikian rupa sehingga DE membagi segitiga ABC

3.

menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum DE adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
Diberikan segitiga ABC dengan tan ∠CAB =

7

. Melalui titik sudut A ditarik garis

22

tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi BC menjadi segmen-segmen dengan

4.

panjang 3 dan 17. Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa
sehingga
𝐴𝐶

𝐴𝑃

=⋯

𝐴𝑀
𝐴𝐵

= 0.017 dan titik N pada AD sehingga

𝐴𝑁
𝐴𝐷

=

17

. Misalkan

2009

𝐴𝐶

𝑀𝑁

= 𝑝, maka

5. A, B, and C are points on a line in that order, with BC = 6 and AB = 4. Points E and F
are chosen on the same side of this line such that EC = 7;AE = 6;BF = 10, and CF =
7. Let the intersection of BF and CE be D. The value of the expression
𝑝

expressed as , where p and q are relatively prime positive integers.
𝑞

[𝐴𝐵𝐷𝐸]
[𝐶𝐷𝐹]

can be

Compute p + q.
6.

Diberikan segitiga ABC dengan AD sebagai garis bagi dalam ∠BAC. Misalkan
titik M dan N berturut-turut pada AB dan AC sehingga ∠MDA=∠ABC

dan ∠NDA=∠ACB. Jika P merupakan titik potong dari garis AD dan garis MN,
buktikan bahwa AD3=AB⋅AC⋅AP
7.

Misalkan ABC suatu seitiga dan P titik di dalam segitiga. Misalkan D, E, F berturut turut titik di sisi - sisi BC, CA, AB sedemikian sehingga PD tegak lurus BC, PE tegak

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

SM

LATIHAN SOAL OSK-OSP MATEMATIKA SMA 2016
lurus CA, dan PF tegak lurus AB. Jika segitiga DEF sama sisi dan ∠AP B = 70◦ , maka

8.

∠ACB = ...

Lingkaran dalam dari segitiga ABC, menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB berturutturut di D, E, dan F. Melalui D, ditarik garis tegak lurus EF yang memotong EF di G.
Buktikan bahwa

9.

𝐹𝐺

𝐸𝐺

=

𝐵𝐹
𝐶𝐸

.

Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi sudut BAC dan ABC memotong garis BC dan
CA di P dan Q berturut-turut. Dari titik P dan Q dibuat garis yang tegak lurus dengan
sisi AB dan berpotongan pada titik M dan N berturut-turut. Tentukan besar sudut
MCN.

10. Pada segitiga ABC besar sudut A sama dengan dua kali besar sudut B. Buktikan
bawa AC2 + AB . AC = BC
11. Pada segitiga ABC berlaku 3sin 𝐴 + 4cos 𝐵 = 6 dan 4sin 𝐵 + 3cos 𝐴 = 1 . Tentukan
besar sudut C.

2

2

2

12. Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nilai a + b + c sama dengan 16
kali luas segitiga ABC. Besarnya nilai ctg A + ctg B + ctg C adalah ...

13. In scalene triangle ABC, D is the midpoint of BC, E is the midpoint of AC, and F
is the midpoint of AB. The area of triangle DEF is 6. Compute the area of triangle

ABC.
14. Cevian AQ is extended to meet the circumcircle of an equilateral
triangle ABC at point P. Prove that

1

𝑃𝐶

https://uns-id.academia.edu/SutraMegariawati

+

1

𝑃𝐵

=

1

𝑃𝑄

.

SM