Soal dan Bahas OSP Matematika SMA Tahun 2012
SELEKSI TINGKAT PROPINSI
CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
eb
.id
MATEMATIKA SMA/MA
1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian
kedua terdiri dari 5 soal uraian.
2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
e.w
(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.
3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4. Untuk soal bagian pertama:
(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
ma
thz
on
(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta
memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai
hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak
di sebelah kanan setiap soal.
5. Untuk soal bagian kedua:
(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,
Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai kepada jawaban akhir tersebut.
(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada
sketsa gambar.
w.
7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.
Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah
pengawas memberi tanda.
ww
9. Selamat bekerja.
1
Nama: .................................... Kelas: ........
BAGIAN PERTAMA
eb
.id
Sekolah: ......................................................
1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkaran
dalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...
2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan
51y = 2012z:
e.w
34x
Nilai dari x + y + z adalah...
ma
thz
on
3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan beraturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.
Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...
4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaan
s
p
p
2
x
p
f (x) = bxc a dan g(x) = x2
a
dengan a bilangan bulat positif. Diketahui bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang
x < 4g, maka banyaknya a yang
dari atau sama dengan x. Jika domain g f adalah fxj3 21
memenuhi sebanyak...
5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menyebabkan n2 + pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::
ww
w.
6. Untuk sebarang bilangan real x dide…nisikan fxg sebagai bilangan bulat yang terdekat dengan
x; sebagai contoh f1; 9g = 2; f 0; 501g = 1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu
npbilangan
o
3
bulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhi
k =n
adalah...
7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk
123456789123456789:::123456789
adalah...
2
eb
.id
8. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehingga
17
AM
= 0; 017, dan titik N pada AD sehingga AN
= 2009
. Misal- kan AC \ M N = P , maka AC
=
AB
AD
AP
...
9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.
Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikian
sehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?
x2 + x
2 = 0, maka p3 + q 3 + r3 = ....
e.w
10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3
11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2 + n5 = 252, maka m + n =...
ma
thz
on
12. Pada ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30 , dan \ADC =
45 . Panjang AC =...
13. Lima siswa, A; B; C; D; E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidak
bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkin
adalah...
14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidak
lebih dari 3: Selanjutnya dide…nisikan himpunan
S=
1
jn 2 H :
n
Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan bxc menya- takan bilangan
bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka bxc = ...
w.
15. Diberikan dua lingkaran 1 dan 2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B dengan
AB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran
1 dan 2 masing-masing di P dan Q. Jika P Q = 3 dan jari-jari lingkaran 1 adalah 13, maka
jari-jari lingkaran 2 adalah : : :
ww
16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi
3
1
=
2
xy
4
1 1
+
x y
adalah ......
3
1
9x6
+
1
4y 6
adalah ......
eb
.id
17. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13 , nilai minimum
18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi
4a + 4a2 + 4 = b2
adalah ......
e.w
19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan D
dan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AE \CD
dan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......
ww
w.
ma
thz
on
20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n 2012 dan merupakan bilangan kuadrat
sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...
4
Nama: .................................... Kelas: ........
BAGIAN KEDUA
eb
.id
Sekolah: ......................................................
ww
w.
ma
thz
on
e.w
Soal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistem
persamaan
a + b = xy
x + y = ab
5
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
ww
w.
ma
thz
on
e.w
Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan
p
8
< x = 1 + p y z2
y = 1 + pz x2
:
z = 1 + x y2:
6
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
ww
w.
ma
thz
on
e.w
Soal 3. Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemu
dengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali,
setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar
9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?
7
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
Soal 4. Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatakan titik kaki dari garis tinggi yang
ditarik dari A. Buktikan bahwa
BC cos \BAC + 2AH sin \BAC
ww
w.
ma
thz
on
e.w
AB + AC
8
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
Soal 5. Diketahui p0 = 1 dan pi bilangan prima ke-i, untuk i = 1; 2; : : :; yaitu p1 = 2, p2 = 3, : : :.
Bilangan prima pi dikatakan sederhana jika
(n2 )
pi
> pi 1 (n!)4
ww
w.
ma
thz
on
e.w
untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!
9
eb
.id
SELEK
KSI OLIM
MPIADE TINGKA
AT PROV
VINSI 20
012
TIM OLIMPIAD
DE MATE
EMATIKA
A INDON
NESIA 20
013
e.w
Prestaasi itu dirraih bukann didapatt !!!
ma
thz
on
SOLU
USI SOA
AL
w.
BAGIAN
N PERTA
AMA
ww
Disus
sun oleh : Eddy He rmant o, S
ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
BAGIAN PER
RTAMA
1. Tanpa mengurangi
m
keumuman
k
misalkan
m
AC = 3 ; AB = 4 ; BC = 5 .
Bagian Pert ama
eb
.id
Solusi
Misalkan
n j uga R adalah j ari-j ari lingkaran l uar
u dan r ad
dalah j ari-j arri lingkaran dalam ΔABC
C.
e.w
Karena ΔABC siku-siiku di A mak
ka BC adalah
h diamet er llingkaran lua
ar ΔABC.
Jadi, O adalah
a
pert engahan
e
BC..
ma
thz
on
Misalkan
n D adalah t it
i ik pada AB
B sehingga OD AB dan E pada OD ssehingga IE OD.
r =1
Karena O adalah pert engahan BC
B maka D adalah pert e ngahan AB ssehingga AD = 2.
Jadi, E adalah
a
t it ik singgung garis OD t erha
adap l ingkara
an dalam. M
Maka IE = 2.
OE = OD ED =
OI2 = OE2 + IE2 =
OI = √
AC
C r =
Jadi,, panj ang OII = √ .
w.
2. 34x 51
1y = 2012z d engan x, y, z adalah billangan prima
a.
Karena 34
3 dan 2012 habis dibag
gi 2 maka y habis
h
dibagi 2. Karena y prima makka y = 2.
Karena 34
3 dan 51 ha
abis dibagi 17
1 maka z ha
abis dibagi 1
17. Karena z prima makka z = 17.
34x 51(2) = 2012(1
17)
9 yang meme
enuhi bahwa
a x adalah b ilangan prim
ma.
x = 1009
x + y + z = 1009 + 2 + 17 = 1028
Jadi,, nilai dari x + y + z ada
alah 1028.
3. Banyakn
nya kej adian
n semua angk
ka dadu berrbeda = 8 x 7 x 6 x 5.
Peluang ada angka yang
y
sama =
ww
Jadi,, peluang ad
da angka yan
ng sama =
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
4.
√
dan
Karena
√
maka
Unt uk
maka
√
√
dengan a adalah bilangan bulat posit if .
.
√
sehingga
√
e.w
Syarat yang harus dipenuhi adalah
a 3 (1) dan
√
Bagian Pert ama
eb
.id
Solusi
√
ma
thz
on
a(3 a) 2 6 2a (2)
Jika a = 1 maka 1 (3 1) 2 = 4 dan 6 2(1) = 4
Jika a = 2 maka 2 (3 2) 2 = 2 dan 6 2(2) = 2
Jika a = 3 maka 3 (3 3) 2 = 0 dan 6 2(3) = 0
Maka nilai a bulat posit if yang memenuhi adalah a = 1 at au a = 2 at au a = 3.
Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3.
5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn j uga merupakan kuadrat sempurna.
4n2 + 4pn = m 2 dengan n, m N dan p adalah bilangan prima.
(2n + p) 2 p 2 = m 2
p 2 = (2n + p + m)(2n + p m)
Maka ada 2 kasus :
Jika 2n + p + m = p dan 2n + p m = p
Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0
Didapat n = 0 yang t idak memenuhi syarat bahwa n N.
Jika 2n + p + m = p 2 dan 2n + p m = 1
Jumlahkan kedua persamaan didapat
4n + 2p = p 2 + 1
4n = (p 1) 2
w.
Karena p adalah bilangan prima ganj il maka akan didapat n N.
Jadi,
√
dengan m N
ww
6.
dengan p bilangan prima > 2.
√
Karena n habis dibagi 2012 maka
SMA Negeri 5 Bengkulu
dan
keduanya bilangan asli. Jadi,
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
Bagian Pert ama
Maka ba
anyaknya nila
ai k yang me
emenuhi ada
a
.
Jadi,, banyaknya
a nilai k yang
g memenuhi ada
eb
.id
.
ma
thz
on
e.w
7. Misalkan
n m = 123456789123456789…123456
6789 merupa
akan bilanga
an t erdiri da
ari 9k angka
a dengan
angka-an
ngka berulang set iap 9 angka
a
yait u 123456789.
m = 1234
456789(1 + 109 + 1018 + + 109(k-1) )
Jelas bahwa 31234
456789.
Juga j el as bahwa 9 membagi 12
23456789.
Karena 12345678912
1
23456789 ha
abis dibagi 11 maka 11 j uga memba
agi m.
999 = 33 37
103 1 (mod
(
37) Ma
aka 109n 1 (mod 37) un
nt uk n bilang
gan bulat t a k negat if .
Jadi, j ik
ka k = 37 maka 37m = 123456789(1
1
+ 109 + 101 8 + + 109(kk-1) )
103 1 (mod
(
27) Ma
aka 109n 1 (mod 27) un
nt uk n bilang
gan bulat t a k negat if .
Jadi, j ik
ka k = 27 maka 271 + 109 + 1018 + + 109(k-1) se
ehingga 27m
Karena 3123456789
9 dan 271 + 109 + 1018 + + 109(k-11) maka 81m
Maka billangan asli n < 100 yang
g mempunyai kelipat an m adalah 1, 3, 9, 11, 27
7, 33, 37, 81
1, 99.
Jadi,, banyaknya
a bilangan as
sli n < 100 ya
ang memenu
uhi ada 9.
8. Perhat ik
kan gambar.
Tanpa mengurangi
m
keumuman
k
misalkan
m
koo
ordinat A(0, 0), B(a, 0) dan D(b, c)..
Maka koordinat C(b + a, c). Koo
ordinat
Persama
aan garis AC adalah
,
,
dan
n
.
Persama
aan garis MN
N adalah
w.
Perpot ongan garis AC
A dan MN ad
dalah t it ik P
sehingga
Maka
ww
Jadi,,
. Jadi, koordinat
,
.
.
9. Misalkan
n A, B, C da
an D adalah
h 4 orang da
alam arah ssearah j arum
m j am yang
g t idak dudu
uk dekat
pasangannya dan x A, x B, x C dan x D adalah banyaknya
b
kkursi yang be
erada ant arra A dan B, a
ant ara B
dan C, ant
a ara C dan
n D dan ant ara
a D dan A.. Jelas bahw
wa x A, x B, x C dan x D sem uanya genap. Ada 4
kasus :
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Pert ama
ma
thz
on
e.w
eb
.id
Kasus 1, x A = 0, x B = 0, x C = 0 dan x D = 6.
A, B, C dan D akan berdekat an. Agar di ant ara mereka t idak ada sepasang suami ist eri maka
mereka harus duduk berselang seling.
Banyaknya cara memilih A ada 10. Banyaknya cara memilih B hanya 8 sebab B t idak boleh
pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada sat u cara memilihnya sebab mereka
pasangannya A dan B.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.
Kasus 2, x A = 0, x B = 2, x C = 2 dan x D = 2.
A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara
memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memilih
C dan D adalah 2 x 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680.
Kasus 3, x A = 0, x B = 0, x C = 2 dan x D = 4.
A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A
ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.
Kasus 4, x A = 0, x B = 2, x C = 0 dan x D = 4.
A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara
memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memilih
C dan D adalah 2 x 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680
Kasus 5, x A = 0, x B = 0, x C = 4 dan x D = 2.
A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A
ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840
Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880.
Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880.
ww
w.
10. x 3 x 2 + x 2 = 0 akar-akarnya p, q dan r.
p+q+r =1
pq + pr + qr = 1
pqr = 2
Alt ernat if 1 :
(p + q + r) 3 = p 3 + q 3 + 3 + 3p 2q + 3p 2r + 3pq 2 + 3pr 2 + 3q 2r + 3qr 2 + 6pqr
(p + q + r) 3 = p 3 + q 3 + r 3 + 3(pq + pr + qr)(p + q + ) 3pqr
13 = p 3 + q 3 + r 3 + 3(1)(1) 3(2)
p3 + q3 + r 3 = 4
Alt ernat if 2 :
p 2 + q 2 + r 2 = (p + q + r) 2 2(pq + pr + qr) = 12 2 1 = 1
p, q dan r adalah akar-akar persamaan x 3 x 2 + x 2 = 0 maka
p3 p2 + p 2 = 0
q3 q2 + q 2 = 0
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
eb
.id
r3 r2 + r 2 = 0
Didapat
p 3 + q 3 + r 3 (p 2 + q 2 + r 2) + p + q + r = 6
p3 + q3 + r 3 + 1 + 1 = 6
p3 + q3 + r 3 = 4
Jadi,, p 3 + q 3 + r 3 = 4.
Bagian Pert ama
e.w
11. m 2 + n 5 = 252 denga
an m, n N
5
n 252 sehingga n 3
Jika n = 1 maka m 2 = 251. Tidak
T
ada m N yang m emenuhi.
Jika n = 2 maka m 2 = 220. Tidak
T
ada m N yang m emenuhi.
2
Jika n = 3 maka m = 9. Nila
ai m N yan
ng memenuh
hi hanya m = 3.
Maka pa
asangan (m, n) yang mem
menuhi adallah (3, 3).
Jadi,, m + n = 6.
AD = 2x cos 15o.
ma
thz
on
12. Misalkan
n panj ang BD
D = x. Karena ADC = 45
5o maka AD
DB = 135o se
ehingga BA
AD = 15o.
Pada ΔACD
A
berlaku
AC2 = AD
D2 + DC2 2 AD DC cos 45o
AC2 = (2x
x cos 15o) 2 + (3 x) 2 2(2x
2
cos 15o)(3
) x) cos 4
45o
Maka nillai AC bergant ung denga
an x.
Jadi,, belum dap
pat dit ent uka
an panj ang AC.
A
ww
w.
13. Ada 2 ka
asus :
Jika D sebagai pelari
p
pert am
ma
Bany
yaknya cara memilih pelari ke-2 ada
a 4, pelari kke-3 ada 3, p
pelari ke-4 a
ada 2 dan pe
elari ke5 ad a 1.
yaknya cara = 4x3x2x1 = 24
Bany
Jika D bukan seb
bagai pelari pert ama
Bany
yaknya cara memilih pellari ke-1 ada
a 3.
Bany
yaknya cara memilih pellari ke-5 ada
a 3.
Bany
yaknya cara memilih pellari ke-2 ada
a 3 dan pela
ari ke-3 ada 2 dan pelar i ke-4 ada 1.
Bany
yaknya cara = 3x3x2x1x3
3 = 54
Banyakn
nya cara men
nyusun pelari = 24 + 54 = 78.
Jadi,, banyaknya
a cara menyu
usun pelari = 78.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
∙
∙
∙
∙
⋯
∙
eb
.id
14. H = {20 30, 20 31, 20 32, 20 33, , 210 30)
36 = 729 dan 37 = 2187
210 = 102
24 dan 211 = 2048.
Bagian Pert ama
dengan q = 210 36.
Jadi,,
e.w
p = 36 (2
( 10 + 29 + + 1) + 35 (2
( 10 + 25 + + 21) + 34 (210 + 25 + + 23) + 33 (210 + 25 + + 24) +
32 (210 + 29 + + 26) + 31 (210 + 210 + + 27) + 30 (2110 + 29)
p = 36 (2
( 11 1) + 35 21 (210 1) + 34 23 (28 1) + 33 24 (27 1) + 32 26 (25 1) + 31 27
4
(2 1) + 30 29 (22 1)
p = 1492
2263 + 49717
78 + 165240 + 54862 + 17856 + 5760
0 + 1536 = 2 . 234. 697.
q = 210 36 = 746. 496
6
.
ma
thz
on
15. Misalkan
n M dan N be
ert uurt -t urut adalah pus
sat lingkaran
n Г1 dan Г2. Misalkan j u
uga MN berp
pot ongan
dengan AB
A di R. Jela
as bahwa R adalah pert engahan
e
AB. Jadi, AR = RB = 5.
Jelas bahwa garis melalui kedua
k
pusatt lingkaran akan mem
mot ong t eg
gak lurus t alibusur
A MR dan
n AR RN.
persekutt uan. Jadi, AR
Karena MA
M = 13 dan AR = 5 mak
ka MR = 12. Jadi,
J
RP = 1 dan QR = PQ RP = 3 1 = 2.
Misalkan
n j ari-j ari Г2 = r.
AN2 = AR
R2 + RN2
2
2
r = 5 + (r 2) 2
4r = 29
Jadi j ari-j ari ling
gkaran Г2 =
.
dengan x, y Z
16.
w.
Jelas bahwa x, y 0.
Jika x < 0 maka
ww
Nilaii y yang mem
menuhi hany
ya y = 1
Tet api
a unt uk y = 1 maka
Jika x > 0
Jika
J
y 0
Jika x y
x2
Jika x = 1 maka t idak ada y yang memenuhi.
Jika x = 2 maka
e.w
4y 2 = y2
(y 2) 2 = 2
Tidak ada y bulat yang memenuhi.
Jika y x
Bagian Pert ama
eb
.id
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
ma
thz
on
y2
Jika y = 1 maka t idak ada x bulat yang memenuhi.
Jika y = 2 maka
yang dipenuhi oleh x = 3.
Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan.
Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.
Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.
17.
Berdasarkan ket aksamaan AM-GM maka
∙
Jadi, nilai minimal dari
∙
∙
adalah 9.
9
ww
w.
18. Lemma :
Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 4n > 4n2 unt uk n N dan n > 2.
Bukt i :
Jika n = 3 maka 64 = 43 > 4 (3) 2 = 36
Andaikan benar unt uk n = k maka diangap benar 4k > 4k 2
4k+1 = 4 4k > 16k 2 = 4k 2 + (k 2) 8k + 16k + 4k 2
Karena k > 2 maka 4k+1 = 4 4k > 16k 2 = 4k 2 + (k 2) 8k + 16k + 4k 2 > 4k 2 + 8k + 4 = 4(k + 1) 2
Maka t erbukt i bahwa j ika 4k > 4k 2 maka 4k+1 > 4(k + 1) 2 unt uk k > 2.
Jadi, t erbukt i bahwa 4n > 4n2 unt uk n N dan n > 2
4a + 4a2 + 4 = b 2.
Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka
4a-1 + a2 + 1 = m 2
Jika a ganj il maka ruas kiri dibagi 4 akan bersisa 2 at au 3 yang t idak memenuhi syarat .
Misalkan a = 2n maka
42n-1 + 4n2 + 1 = m 2
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
Bagian Pert ama
eb
.id
Berdasarkan lemma unt uk n > 2 maka
(22n-1) 2 = 42n-1 < 42n-1 + 4n 2 + 1 < 42n-1 + 4n + 1 = (22n-1) 2 + 2 22n-1 + 1 = (22n-1 + 1) 2
(22n-1) 2 < 42n-1 + 4n 2 + 1 < (22n-1 + 1) 2
(22n-1) 2 < m 2 < (22n-1 + 1) 2
Jadi, un
nt uk n > 2 maka
m
m 2 t errlet ak di ant ara 2 bilan
ngan kuadra
at berurut an
n. Maka t ida
ak ada n
yang me
emenuhi.
Jika n = 1 maka 42n-11 + 4n 2 + 1 = 9 = 32.
Jika n = 2 maka 42n-11 + 4n 2 + 1 = 81 = 92.
Maka pa
asangan bilan
ngan bulat posit
p
if (a, b)) yang meme
enuhi adalah
h (2, 6), (4, 18).
Jadi,, banyaknya
a pasangan bilangan
b
bula
at posit if (a , b) yang me
emenuhi ada
a 2.
ma
thz
on
e.w
19. Misalkan
n BAE = ACD
A
= . Mis
salkan j uga panj
p
ang AC = x sehingga
a panj ang AB
B = 2x.
Karena CFE = 60o maka
m
AFC = 120o.
o
Karena AFC = 120 dan ACF = maka CAF
C = 60o sehingga BAC = 60o.
Karena BAC = 60o dan
d
ACB = 60o + makka ABC = 660o .
Berdasarkan dalil si nus pada ΔABC
A
maka
Karena AB
A = 2AC ma
aka
2 sin (60
0o ) = sin (60o + )
∙ √ cos
c
√ cos
sin
∙ sin
s
c
√ cos
w.
cot
√
= 30o
ABC = 60o = 30
0o .
Jadi,, besar ABC = 30o.
sin
ww
20. Bilangan
n pangkat 2,
2 pangkat 4,
4 pangkat 6, pangkat 8 dan pan
ngkat 10 se muanya me
erupakan
bilangan
n pangkat 2. Bilangan pangkat 9 j uga merupa
akan bilang
gan pangkat 3. Jadi, pe
ersoalan
set ara dengan
d
men
ncarai banya
aknya bilangan pangka
at 2 at au pa
angkat 3 att au pangkatt 5 at au
pangkat 7. Misalkan
n A, B, C dan
n D bert urutt -t urut adala
ah himpunan
n semua ang
ggot a bilangan bulat
posit if n 2012 yang merupakan pangkat 2, pangkat 3,, pangkat 5 dan pangkat 7.
Karena 44
4 2 = 1936 dan
d
452 = 202
25 maka ban
nyaknya ang
ggot a himpun
nan A = A = 44.
3
Karena 12
1 = 1728 dan
d
133 = 219
97 maka ban
nyaknya ang
ggot a himpun
nan B = B = 12.
5
5
Karena 4 = 1024 da
an 5 = 3125 maka banya
aknya anggo
ot a himpunan
n C = C = 4.
Karena 27 = 128 dan
n 37 = 2187 maka
m
banyak
knya anggot a himpunan D = D = 2
2.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Pert ama
ww
w.
ma
thz
on
e.w
eb
.id
AB adalah himpunan semua anggot a bilangan bulat posit if n 2012 yang merupakan pangkat 2
dan j uga pangkat 3 yang berart i merupakan himpunan pangkat 6.
Karena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggot a himpunan AB = AB= 3.
Dengan cara yang sama didapat
AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1.
ABC = 1 ; ABD = 1 ; ACD = 1 ; BCD = 1.
ABCD = 1
ABCD = A + B + C + D AB AC AD BC BD
CD + ABC + ABD + ACD + BCD ABCD .
ABCD = 44 + 12 + 4 + 2 3 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 = 56
Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 56.
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
eb
.id
SELEK
KSI OLIM
MPIADE TINGKA
AT PROV
VINSI 20
012
TIM OLIMPIAD
DE MATE
EMATIKA
A INDON
NESIA 20
013
e.w
Prestaasi itu dirraih bukann didapatt !!!
ma
thz
on
SOLU
USI SOA
AL
w.
BAGIA
AN KED
DUA
ww
Disus
sun oleh : Eddy He rmant o, S
ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Kedua
eb
.id
BAGIAN KEDUA
w.
ma
thz
on
e.w
1. a, b, x, y bilangan bulat t ak negat if .
a + b = xy
x + y = ab
Jika salah sat u di ant ara a, b, x dan y sama dengan 0, t anpa mengurangi keumuman misalkan
saj a a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0.
Jadi, j ika salah sat u di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0.
Andaikan bahwa t idak ada sat upun di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0.
Karena a dan b simet ris maka dapat diandaikan a b.
Karena a bilangan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab b
2x + 2y 2b
Karena a b maka xy = a + b 2b
2x + 2y 2b a + b = xy
Jadi, didapat 2x + 2y xy
(x 2)(y 2) 4
Karena x dan y simet ris maka t anpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x y.
Maka x 4.
Jika x = 1
a + b = y dan 1 + y = ab
1 + a + b = ab
(a 1)(b 1) = 2
Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5
Jika x = 2
a + b = 2y dan 2 + y = ab
4 + a + b = 2ab
(2a 1)(2b 1) = 9
Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 at au a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2
Jika x = 3
a + b = 3y dan 3 + y = ab
9 + a + b = 3ab
(3a 1)(3b 1) = 28
Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2
Jika x = 4
Maka y = 4
a + b = 16 dan 8 = ab
Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi.
Semua t upel (a, b, x, y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2),
(2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).
ww
2.
Karena akar suat u bilangan t idak mungkin negat if maka x, y, z 1.
Alt ernat if 1 :
Karena x, y, z 1 maka x 2 x ; y2 y dan z2 z
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matem
matika Tk
k Provinsii 2012
Solusi
Bagia
an Kedua
eb
.id
Karena x real maka y z2 z x 2 x y 2
Karena y y 2 dan y2 y maka haruslah
h
y = y2 yang dipe
enuhi oleh y = 1.
Dengan cara yang sa
ama didapatt x = z = 1.
Jadi, t ri pel bilangan
n real (x, y, z) yang mem enuhi x = y = z = 1.
e.w
Alt ernatt if 2 :
Karena x,
x y, z 1 maka
m
xyz 1
Jelas bahwa y z2 ; z x 2 dan
n z y 2.
Kalikan ket iga persa
amaan di at as
a didapat
2
yz)
xyz (xy
xyz 1
Karena xyz
x 1 adan
n xyz 1 ma
aka haruyslah xyz = 1 ya
ang dipenuhii hanya j ika x = y = z = 1
1.
Jadi,, t ripel bilan
ngan real (x , y, z) yang memenuhi
m
x = y = z = 1.
ma
thz
on
3. Misalkan
n kawan-kaw
wan laki-laki t ersebut ad
dalah A, B, C
C, D, E dan F,
ABCDEF = 11 6C1 6 6C2 + 4 6C3 3 6C4 + 3 6C5 10 6C6
S 9 = 66 90 + 80 45 + 18
8 10 = 19
S = 28
8
Maka lak
ki-laki t ersebut pergi ke
e rest oran se
ebanyak 28 kkali.
Cat at an : Penulis berkeyakina
b
n bahwa m aksud soal adalah sepe
ert i t ersebu
ut di at as. B
Bert emu
dengan t epat t iga di
d ant aranya
a berart i j ug
ga bert emu dengan 2 d
di ant aranya
a. Persyaratt an yang
dipenuhi haruslah banyaknya
b
pert
p emuan dengan sem
muanya pali ng banyak harus sama dengan
pert emu
uan dengan lima di ant aranya. Te
ernyat a bertt emu denga
an semuanyya sebanyakk 10 kali
lebih banyak dari be
ert emu deng
gan set iap li ma di ant arranya, yait u 3 kali.
Jika t ida
ak, maka soa
al harus diarrt ikan bert emu
e
dengan set iap lima di ant aranyya t idak bera
art i j uga
bert emu
u dengan em
mpat di ant arranya.
ABCDEF = 11 6C1 + 6 6C2 + 4 6C3 + 3 6C4 + 3 6C5 + 100 6C6
S 9 = 66 + 90 + 80 + 45 + 18
8 + 10 = 309
S = 31
18.
Jadi,, laki-laki t ersebut
e
mak an di rest ora
an sebanyakk 28 kali.
ww
w.
4
4. Andaikan Ai dengan i = 1, 2, 3, adalah ku
umpulan t it iik-t it ik sehin
ngga BAi C = maka ku
umpulan
t it ik-t it i k t ersebut akan
a
membe
ent uk suat u lingkaran.
Misalkan
n Hi pada BC
C sehingga Ai Hi t egak lurrus BC.
Jelas bahwa Ai Hi aka
an maksimum j ika Hi me
erupakan pe
ert engahan B
BC.
Misalkan
n Ai Hi maksim
mum = y. Sa
aat Ai Hi = y maka
m
AB = AC
C. Misalkan saj a saat in
ni AB = AC = x.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
cos
sin
sin
∙
∙
cos
cos
sin
cos
sin
Karena bilangan kuadrat t idak mungkin negat if maka
cos
sin
sehingga
sin
cos
Jadi, terbukti bahwa
sin
cos
sin
e.w
cos
Maka didapat
Bagian Kedua
eb
.id
Solusi
ma
thz
on
5. Lemma 1 :
Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 32n+1 > (n + 1) 4 unt uk n N dan n > 1.
Bukt i :
Jika n = 2 maka 443 = 32(2)+1 > (2 + 1) 4= 81
Andaikan bent uk unt uk n = k. Maka 32k+1 > (k + 1) 4 dianggap benar unt uk k N dan k > 1.
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1) 4 = 9k 4 + 36k 3 + 54k 2 + 36k + 9 = k 4 + 36k 3 + 54k 2 + 36k + 8k 2 + 9
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1) 4 = k 4 + 36k 3 + 54k 2 + 36k + 8k 2 + 9 > k 4 + 8k 3 + 24k 2 + 32k + 16
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k 4 + 8k 3 + 24k 2 + 32k + 16 = (k + 2) 4
Jadi, t erbukt i bahwa 32n+1 > (n + 1) 4 unt uk n N dan n > 1
Lemma 2 :
unt uk n N dan n > 1.
Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa !
Bukt i :
Jika n = 2 maka
!
dianggap benar unt uk k N dan k > 1.
Andaikan benar unt uk n = k. Maka !
Sesuai lemma 1 maka
!
Jadi, t erbukt i bahwa
Jika i = 1
∙
unt uk n N dan n > 1
Pi = 2 dan unt uk n = 2 maka
∙ !
Jadi, unt uk i = 1 sehingga Pi = 2 t idak t ermasuk bilangan prima sederhana.
Jika i > 1
Pi 3
Jika n = 1
∙
!
∙ !
Jadi, unt uk n = 1 maka
Jika n > 1
Sesuai l emma 2 dan mengingat bahwa Pi > Pi-1 didapat
ww
w.
!
!
!
!
Terbukt i bahwa
∙ ! unt uk i > 1 dan n N.
Jadi, semua bilangan prima sederhana adalah Pi dengan i N dan i ≠ 1.
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012
PETUNJUK UNTUK PESERTA:
eb
.id
MATEMATIKA SMA/MA
1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian
kedua terdiri dari 5 soal uraian.
2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.
e.w
(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.
3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.
4. Untuk soal bagian pertama:
(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.
ma
thz
on
(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta
memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai
hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.
(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak
di sebelah kanan setiap soal.
5. Untuk soal bagian kedua:
(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.
(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,
Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai kepada jawaban akhir tersebut.
(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.
6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada
sketsa gambar.
w.
7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.
Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.
8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah
pengawas memberi tanda.
ww
9. Selamat bekerja.
1
Nama: .................................... Kelas: ........
BAGIAN PERTAMA
eb
.id
Sekolah: ......................................................
1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkaran
dalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...
2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan
51y = 2012z:
e.w
34x
Nilai dari x + y + z adalah...
ma
thz
on
3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan beraturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.
Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...
4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaan
s
p
p
2
x
p
f (x) = bxc a dan g(x) = x2
a
dengan a bilangan bulat positif. Diketahui bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang
x < 4g, maka banyaknya a yang
dari atau sama dengan x. Jika domain g f adalah fxj3 21
memenuhi sebanyak...
5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menyebabkan n2 + pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::
ww
w.
6. Untuk sebarang bilangan real x dide…nisikan fxg sebagai bilangan bulat yang terdekat dengan
x; sebagai contoh f1; 9g = 2; f 0; 501g = 1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu
npbilangan
o
3
bulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhi
k =n
adalah...
7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk
123456789123456789:::123456789
adalah...
2
eb
.id
8. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehingga
17
AM
= 0; 017, dan titik N pada AD sehingga AN
= 2009
. Misal- kan AC \ M N = P , maka AC
=
AB
AD
AP
...
9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.
Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikian
sehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?
x2 + x
2 = 0, maka p3 + q 3 + r3 = ....
e.w
10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3
11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2 + n5 = 252, maka m + n =...
ma
thz
on
12. Pada ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30 , dan \ADC =
45 . Panjang AC =...
13. Lima siswa, A; B; C; D; E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidak
bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkin
adalah...
14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidak
lebih dari 3: Selanjutnya dide…nisikan himpunan
S=
1
jn 2 H :
n
Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan bxc menya- takan bilangan
bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka bxc = ...
w.
15. Diberikan dua lingkaran 1 dan 2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B dengan
AB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran
1 dan 2 masing-masing di P dan Q. Jika P Q = 3 dan jari-jari lingkaran 1 adalah 13, maka
jari-jari lingkaran 2 adalah : : :
ww
16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi
3
1
=
2
xy
4
1 1
+
x y
adalah ......
3
1
9x6
+
1
4y 6
adalah ......
eb
.id
17. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13 , nilai minimum
18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi
4a + 4a2 + 4 = b2
adalah ......
e.w
19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan D
dan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AE \CD
dan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......
ww
w.
ma
thz
on
20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n 2012 dan merupakan bilangan kuadrat
sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...
4
Nama: .................................... Kelas: ........
BAGIAN KEDUA
eb
.id
Sekolah: ......................................................
ww
w.
ma
thz
on
e.w
Soal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistem
persamaan
a + b = xy
x + y = ab
5
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
ww
w.
ma
thz
on
e.w
Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan
p
8
< x = 1 + p y z2
y = 1 + pz x2
:
z = 1 + x y2:
6
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
ww
w.
ma
thz
on
e.w
Soal 3. Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemu
dengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali,
setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar
9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?
7
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
Soal 4. Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatakan titik kaki dari garis tinggi yang
ditarik dari A. Buktikan bahwa
BC cos \BAC + 2AH sin \BAC
ww
w.
ma
thz
on
e.w
AB + AC
8
Nama: .................................... Kelas: ........
eb
.id
Sekolah: ......................................................
Soal 5. Diketahui p0 = 1 dan pi bilangan prima ke-i, untuk i = 1; 2; : : :; yaitu p1 = 2, p2 = 3, : : :.
Bilangan prima pi dikatakan sederhana jika
(n2 )
pi
> pi 1 (n!)4
ww
w.
ma
thz
on
e.w
untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!
9
eb
.id
SELEK
KSI OLIM
MPIADE TINGKA
AT PROV
VINSI 20
012
TIM OLIMPIAD
DE MATE
EMATIKA
A INDON
NESIA 20
013
e.w
Prestaasi itu dirraih bukann didapatt !!!
ma
thz
on
SOLU
USI SOA
AL
w.
BAGIAN
N PERTA
AMA
ww
Disus
sun oleh : Eddy He rmant o, S
ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
BAGIAN PER
RTAMA
1. Tanpa mengurangi
m
keumuman
k
misalkan
m
AC = 3 ; AB = 4 ; BC = 5 .
Bagian Pert ama
eb
.id
Solusi
Misalkan
n j uga R adalah j ari-j ari lingkaran l uar
u dan r ad
dalah j ari-j arri lingkaran dalam ΔABC
C.
e.w
Karena ΔABC siku-siiku di A mak
ka BC adalah
h diamet er llingkaran lua
ar ΔABC.
Jadi, O adalah
a
pert engahan
e
BC..
ma
thz
on
Misalkan
n D adalah t it
i ik pada AB
B sehingga OD AB dan E pada OD ssehingga IE OD.
r =1
Karena O adalah pert engahan BC
B maka D adalah pert e ngahan AB ssehingga AD = 2.
Jadi, E adalah
a
t it ik singgung garis OD t erha
adap l ingkara
an dalam. M
Maka IE = 2.
OE = OD ED =
OI2 = OE2 + IE2 =
OI = √
AC
C r =
Jadi,, panj ang OII = √ .
w.
2. 34x 51
1y = 2012z d engan x, y, z adalah billangan prima
a.
Karena 34
3 dan 2012 habis dibag
gi 2 maka y habis
h
dibagi 2. Karena y prima makka y = 2.
Karena 34
3 dan 51 ha
abis dibagi 17
1 maka z ha
abis dibagi 1
17. Karena z prima makka z = 17.
34x 51(2) = 2012(1
17)
9 yang meme
enuhi bahwa
a x adalah b ilangan prim
ma.
x = 1009
x + y + z = 1009 + 2 + 17 = 1028
Jadi,, nilai dari x + y + z ada
alah 1028.
3. Banyakn
nya kej adian
n semua angk
ka dadu berrbeda = 8 x 7 x 6 x 5.
Peluang ada angka yang
y
sama =
ww
Jadi,, peluang ad
da angka yan
ng sama =
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
4.
√
dan
Karena
√
maka
Unt uk
maka
√
√
dengan a adalah bilangan bulat posit if .
.
√
sehingga
√
e.w
Syarat yang harus dipenuhi adalah
a 3 (1) dan
√
Bagian Pert ama
eb
.id
Solusi
√
ma
thz
on
a(3 a) 2 6 2a (2)
Jika a = 1 maka 1 (3 1) 2 = 4 dan 6 2(1) = 4
Jika a = 2 maka 2 (3 2) 2 = 2 dan 6 2(2) = 2
Jika a = 3 maka 3 (3 3) 2 = 0 dan 6 2(3) = 0
Maka nilai a bulat posit if yang memenuhi adalah a = 1 at au a = 2 at au a = 3.
Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3.
5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn j uga merupakan kuadrat sempurna.
4n2 + 4pn = m 2 dengan n, m N dan p adalah bilangan prima.
(2n + p) 2 p 2 = m 2
p 2 = (2n + p + m)(2n + p m)
Maka ada 2 kasus :
Jika 2n + p + m = p dan 2n + p m = p
Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0
Didapat n = 0 yang t idak memenuhi syarat bahwa n N.
Jika 2n + p + m = p 2 dan 2n + p m = 1
Jumlahkan kedua persamaan didapat
4n + 2p = p 2 + 1
4n = (p 1) 2
w.
Karena p adalah bilangan prima ganj il maka akan didapat n N.
Jadi,
√
dengan m N
ww
6.
dengan p bilangan prima > 2.
√
Karena n habis dibagi 2012 maka
SMA Negeri 5 Bengkulu
dan
keduanya bilangan asli. Jadi,
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
Bagian Pert ama
Maka ba
anyaknya nila
ai k yang me
emenuhi ada
a
.
Jadi,, banyaknya
a nilai k yang
g memenuhi ada
eb
.id
.
ma
thz
on
e.w
7. Misalkan
n m = 123456789123456789…123456
6789 merupa
akan bilanga
an t erdiri da
ari 9k angka
a dengan
angka-an
ngka berulang set iap 9 angka
a
yait u 123456789.
m = 1234
456789(1 + 109 + 1018 + + 109(k-1) )
Jelas bahwa 31234
456789.
Juga j el as bahwa 9 membagi 12
23456789.
Karena 12345678912
1
23456789 ha
abis dibagi 11 maka 11 j uga memba
agi m.
999 = 33 37
103 1 (mod
(
37) Ma
aka 109n 1 (mod 37) un
nt uk n bilang
gan bulat t a k negat if .
Jadi, j ik
ka k = 37 maka 37m = 123456789(1
1
+ 109 + 101 8 + + 109(kk-1) )
103 1 (mod
(
27) Ma
aka 109n 1 (mod 27) un
nt uk n bilang
gan bulat t a k negat if .
Jadi, j ik
ka k = 27 maka 271 + 109 + 1018 + + 109(k-1) se
ehingga 27m
Karena 3123456789
9 dan 271 + 109 + 1018 + + 109(k-11) maka 81m
Maka billangan asli n < 100 yang
g mempunyai kelipat an m adalah 1, 3, 9, 11, 27
7, 33, 37, 81
1, 99.
Jadi,, banyaknya
a bilangan as
sli n < 100 ya
ang memenu
uhi ada 9.
8. Perhat ik
kan gambar.
Tanpa mengurangi
m
keumuman
k
misalkan
m
koo
ordinat A(0, 0), B(a, 0) dan D(b, c)..
Maka koordinat C(b + a, c). Koo
ordinat
Persama
aan garis AC adalah
,
,
dan
n
.
Persama
aan garis MN
N adalah
w.
Perpot ongan garis AC
A dan MN ad
dalah t it ik P
sehingga
Maka
ww
Jadi,,
. Jadi, koordinat
,
.
.
9. Misalkan
n A, B, C da
an D adalah
h 4 orang da
alam arah ssearah j arum
m j am yang
g t idak dudu
uk dekat
pasangannya dan x A, x B, x C dan x D adalah banyaknya
b
kkursi yang be
erada ant arra A dan B, a
ant ara B
dan C, ant
a ara C dan
n D dan ant ara
a D dan A.. Jelas bahw
wa x A, x B, x C dan x D sem uanya genap. Ada 4
kasus :
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Pert ama
ma
thz
on
e.w
eb
.id
Kasus 1, x A = 0, x B = 0, x C = 0 dan x D = 6.
A, B, C dan D akan berdekat an. Agar di ant ara mereka t idak ada sepasang suami ist eri maka
mereka harus duduk berselang seling.
Banyaknya cara memilih A ada 10. Banyaknya cara memilih B hanya 8 sebab B t idak boleh
pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada sat u cara memilihnya sebab mereka
pasangannya A dan B.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.
Kasus 2, x A = 0, x B = 2, x C = 2 dan x D = 2.
A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara
memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memilih
C dan D adalah 2 x 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680.
Kasus 3, x A = 0, x B = 0, x C = 2 dan x D = 4.
A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A
ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.
Kasus 4, x A = 0, x B = 2, x C = 0 dan x D = 4.
A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara
memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memilih
C dan D adalah 2 x 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680
Kasus 5, x A = 0, x B = 0, x C = 4 dan x D = 2.
A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A
ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1.
Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.
Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840
Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880.
Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880.
ww
w.
10. x 3 x 2 + x 2 = 0 akar-akarnya p, q dan r.
p+q+r =1
pq + pr + qr = 1
pqr = 2
Alt ernat if 1 :
(p + q + r) 3 = p 3 + q 3 + 3 + 3p 2q + 3p 2r + 3pq 2 + 3pr 2 + 3q 2r + 3qr 2 + 6pqr
(p + q + r) 3 = p 3 + q 3 + r 3 + 3(pq + pr + qr)(p + q + ) 3pqr
13 = p 3 + q 3 + r 3 + 3(1)(1) 3(2)
p3 + q3 + r 3 = 4
Alt ernat if 2 :
p 2 + q 2 + r 2 = (p + q + r) 2 2(pq + pr + qr) = 12 2 1 = 1
p, q dan r adalah akar-akar persamaan x 3 x 2 + x 2 = 0 maka
p3 p2 + p 2 = 0
q3 q2 + q 2 = 0
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
eb
.id
r3 r2 + r 2 = 0
Didapat
p 3 + q 3 + r 3 (p 2 + q 2 + r 2) + p + q + r = 6
p3 + q3 + r 3 + 1 + 1 = 6
p3 + q3 + r 3 = 4
Jadi,, p 3 + q 3 + r 3 = 4.
Bagian Pert ama
e.w
11. m 2 + n 5 = 252 denga
an m, n N
5
n 252 sehingga n 3
Jika n = 1 maka m 2 = 251. Tidak
T
ada m N yang m emenuhi.
Jika n = 2 maka m 2 = 220. Tidak
T
ada m N yang m emenuhi.
2
Jika n = 3 maka m = 9. Nila
ai m N yan
ng memenuh
hi hanya m = 3.
Maka pa
asangan (m, n) yang mem
menuhi adallah (3, 3).
Jadi,, m + n = 6.
AD = 2x cos 15o.
ma
thz
on
12. Misalkan
n panj ang BD
D = x. Karena ADC = 45
5o maka AD
DB = 135o se
ehingga BA
AD = 15o.
Pada ΔACD
A
berlaku
AC2 = AD
D2 + DC2 2 AD DC cos 45o
AC2 = (2x
x cos 15o) 2 + (3 x) 2 2(2x
2
cos 15o)(3
) x) cos 4
45o
Maka nillai AC bergant ung denga
an x.
Jadi,, belum dap
pat dit ent uka
an panj ang AC.
A
ww
w.
13. Ada 2 ka
asus :
Jika D sebagai pelari
p
pert am
ma
Bany
yaknya cara memilih pelari ke-2 ada
a 4, pelari kke-3 ada 3, p
pelari ke-4 a
ada 2 dan pe
elari ke5 ad a 1.
yaknya cara = 4x3x2x1 = 24
Bany
Jika D bukan seb
bagai pelari pert ama
Bany
yaknya cara memilih pellari ke-1 ada
a 3.
Bany
yaknya cara memilih pellari ke-5 ada
a 3.
Bany
yaknya cara memilih pellari ke-2 ada
a 3 dan pela
ari ke-3 ada 2 dan pelar i ke-4 ada 1.
Bany
yaknya cara = 3x3x2x1x3
3 = 54
Banyakn
nya cara men
nyusun pelari = 24 + 54 = 78.
Jadi,, banyaknya
a cara menyu
usun pelari = 78.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
∙
∙
∙
∙
⋯
∙
eb
.id
14. H = {20 30, 20 31, 20 32, 20 33, , 210 30)
36 = 729 dan 37 = 2187
210 = 102
24 dan 211 = 2048.
Bagian Pert ama
dengan q = 210 36.
Jadi,,
e.w
p = 36 (2
( 10 + 29 + + 1) + 35 (2
( 10 + 25 + + 21) + 34 (210 + 25 + + 23) + 33 (210 + 25 + + 24) +
32 (210 + 29 + + 26) + 31 (210 + 210 + + 27) + 30 (2110 + 29)
p = 36 (2
( 11 1) + 35 21 (210 1) + 34 23 (28 1) + 33 24 (27 1) + 32 26 (25 1) + 31 27
4
(2 1) + 30 29 (22 1)
p = 1492
2263 + 49717
78 + 165240 + 54862 + 17856 + 5760
0 + 1536 = 2 . 234. 697.
q = 210 36 = 746. 496
6
.
ma
thz
on
15. Misalkan
n M dan N be
ert uurt -t urut adalah pus
sat lingkaran
n Г1 dan Г2. Misalkan j u
uga MN berp
pot ongan
dengan AB
A di R. Jela
as bahwa R adalah pert engahan
e
AB. Jadi, AR = RB = 5.
Jelas bahwa garis melalui kedua
k
pusatt lingkaran akan mem
mot ong t eg
gak lurus t alibusur
A MR dan
n AR RN.
persekutt uan. Jadi, AR
Karena MA
M = 13 dan AR = 5 mak
ka MR = 12. Jadi,
J
RP = 1 dan QR = PQ RP = 3 1 = 2.
Misalkan
n j ari-j ari Г2 = r.
AN2 = AR
R2 + RN2
2
2
r = 5 + (r 2) 2
4r = 29
Jadi j ari-j ari ling
gkaran Г2 =
.
dengan x, y Z
16.
w.
Jelas bahwa x, y 0.
Jika x < 0 maka
ww
Nilaii y yang mem
menuhi hany
ya y = 1
Tet api
a unt uk y = 1 maka
Jika x > 0
Jika
J
y 0
Jika x y
x2
Jika x = 1 maka t idak ada y yang memenuhi.
Jika x = 2 maka
e.w
4y 2 = y2
(y 2) 2 = 2
Tidak ada y bulat yang memenuhi.
Jika y x
Bagian Pert ama
eb
.id
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
ma
thz
on
y2
Jika y = 1 maka t idak ada x bulat yang memenuhi.
Jika y = 2 maka
yang dipenuhi oleh x = 3.
Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan.
Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.
Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.
17.
Berdasarkan ket aksamaan AM-GM maka
∙
Jadi, nilai minimal dari
∙
∙
adalah 9.
9
ww
w.
18. Lemma :
Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 4n > 4n2 unt uk n N dan n > 2.
Bukt i :
Jika n = 3 maka 64 = 43 > 4 (3) 2 = 36
Andaikan benar unt uk n = k maka diangap benar 4k > 4k 2
4k+1 = 4 4k > 16k 2 = 4k 2 + (k 2) 8k + 16k + 4k 2
Karena k > 2 maka 4k+1 = 4 4k > 16k 2 = 4k 2 + (k 2) 8k + 16k + 4k 2 > 4k 2 + 8k + 4 = 4(k + 1) 2
Maka t erbukt i bahwa j ika 4k > 4k 2 maka 4k+1 > 4(k + 1) 2 unt uk k > 2.
Jadi, t erbukt i bahwa 4n > 4n2 unt uk n N dan n > 2
4a + 4a2 + 4 = b 2.
Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka
4a-1 + a2 + 1 = m 2
Jika a ganj il maka ruas kiri dibagi 4 akan bersisa 2 at au 3 yang t idak memenuhi syarat .
Misalkan a = 2n maka
42n-1 + 4n2 + 1 = m 2
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade
O
e Matema
atika Tk P
Provinsi 2
2012
Solusi
Bagian Pert ama
eb
.id
Berdasarkan lemma unt uk n > 2 maka
(22n-1) 2 = 42n-1 < 42n-1 + 4n 2 + 1 < 42n-1 + 4n + 1 = (22n-1) 2 + 2 22n-1 + 1 = (22n-1 + 1) 2
(22n-1) 2 < 42n-1 + 4n 2 + 1 < (22n-1 + 1) 2
(22n-1) 2 < m 2 < (22n-1 + 1) 2
Jadi, un
nt uk n > 2 maka
m
m 2 t errlet ak di ant ara 2 bilan
ngan kuadra
at berurut an
n. Maka t ida
ak ada n
yang me
emenuhi.
Jika n = 1 maka 42n-11 + 4n 2 + 1 = 9 = 32.
Jika n = 2 maka 42n-11 + 4n 2 + 1 = 81 = 92.
Maka pa
asangan bilan
ngan bulat posit
p
if (a, b)) yang meme
enuhi adalah
h (2, 6), (4, 18).
Jadi,, banyaknya
a pasangan bilangan
b
bula
at posit if (a , b) yang me
emenuhi ada
a 2.
ma
thz
on
e.w
19. Misalkan
n BAE = ACD
A
= . Mis
salkan j uga panj
p
ang AC = x sehingga
a panj ang AB
B = 2x.
Karena CFE = 60o maka
m
AFC = 120o.
o
Karena AFC = 120 dan ACF = maka CAF
C = 60o sehingga BAC = 60o.
Karena BAC = 60o dan
d
ACB = 60o + makka ABC = 660o .
Berdasarkan dalil si nus pada ΔABC
A
maka
Karena AB
A = 2AC ma
aka
2 sin (60
0o ) = sin (60o + )
∙ √ cos
c
√ cos
sin
∙ sin
s
c
√ cos
w.
cot
√
= 30o
ABC = 60o = 30
0o .
Jadi,, besar ABC = 30o.
sin
ww
20. Bilangan
n pangkat 2,
2 pangkat 4,
4 pangkat 6, pangkat 8 dan pan
ngkat 10 se muanya me
erupakan
bilangan
n pangkat 2. Bilangan pangkat 9 j uga merupa
akan bilang
gan pangkat 3. Jadi, pe
ersoalan
set ara dengan
d
men
ncarai banya
aknya bilangan pangka
at 2 at au pa
angkat 3 att au pangkatt 5 at au
pangkat 7. Misalkan
n A, B, C dan
n D bert urutt -t urut adala
ah himpunan
n semua ang
ggot a bilangan bulat
posit if n 2012 yang merupakan pangkat 2, pangkat 3,, pangkat 5 dan pangkat 7.
Karena 44
4 2 = 1936 dan
d
452 = 202
25 maka ban
nyaknya ang
ggot a himpun
nan A = A = 44.
3
Karena 12
1 = 1728 dan
d
133 = 219
97 maka ban
nyaknya ang
ggot a himpun
nan B = B = 12.
5
5
Karena 4 = 1024 da
an 5 = 3125 maka banya
aknya anggo
ot a himpunan
n C = C = 4.
Karena 27 = 128 dan
n 37 = 2187 maka
m
banyak
knya anggot a himpunan D = D = 2
2.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Pert ama
ww
w.
ma
thz
on
e.w
eb
.id
AB adalah himpunan semua anggot a bilangan bulat posit if n 2012 yang merupakan pangkat 2
dan j uga pangkat 3 yang berart i merupakan himpunan pangkat 6.
Karena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggot a himpunan AB = AB= 3.
Dengan cara yang sama didapat
AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1.
ABC = 1 ; ABD = 1 ; ACD = 1 ; BCD = 1.
ABCD = 1
ABCD = A + B + C + D AB AC AD BC BD
CD + ABC + ABD + ACD + BCD ABCD .
ABCD = 44 + 12 + 4 + 2 3 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 = 56
Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 56.
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
eb
.id
SELEK
KSI OLIM
MPIADE TINGKA
AT PROV
VINSI 20
012
TIM OLIMPIAD
DE MATE
EMATIKA
A INDON
NESIA 20
013
e.w
Prestaasi itu dirraih bukann didapatt !!!
ma
thz
on
SOLU
USI SOA
AL
w.
BAGIA
AN KED
DUA
ww
Disus
sun oleh : Eddy He rmant o, S
ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Kedua
eb
.id
BAGIAN KEDUA
w.
ma
thz
on
e.w
1. a, b, x, y bilangan bulat t ak negat if .
a + b = xy
x + y = ab
Jika salah sat u di ant ara a, b, x dan y sama dengan 0, t anpa mengurangi keumuman misalkan
saj a a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0.
Jadi, j ika salah sat u di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0.
Andaikan bahwa t idak ada sat upun di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0.
Karena a dan b simet ris maka dapat diandaikan a b.
Karena a bilangan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab b
2x + 2y 2b
Karena a b maka xy = a + b 2b
2x + 2y 2b a + b = xy
Jadi, didapat 2x + 2y xy
(x 2)(y 2) 4
Karena x dan y simet ris maka t anpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x y.
Maka x 4.
Jika x = 1
a + b = y dan 1 + y = ab
1 + a + b = ab
(a 1)(b 1) = 2
Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5
Jika x = 2
a + b = 2y dan 2 + y = ab
4 + a + b = 2ab
(2a 1)(2b 1) = 9
Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 at au a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2
Jika x = 3
a + b = 3y dan 3 + y = ab
9 + a + b = 3ab
(3a 1)(3b 1) = 28
Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2
Jika x = 4
Maka y = 4
a + b = 16 dan 8 = ab
Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi.
Semua t upel (a, b, x, y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2),
(2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).
ww
2.
Karena akar suat u bilangan t idak mungkin negat if maka x, y, z 1.
Alt ernat if 1 :
Karena x, y, z 1 maka x 2 x ; y2 y dan z2 z
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matem
matika Tk
k Provinsii 2012
Solusi
Bagia
an Kedua
eb
.id
Karena x real maka y z2 z x 2 x y 2
Karena y y 2 dan y2 y maka haruslah
h
y = y2 yang dipe
enuhi oleh y = 1.
Dengan cara yang sa
ama didapatt x = z = 1.
Jadi, t ri pel bilangan
n real (x, y, z) yang mem enuhi x = y = z = 1.
e.w
Alt ernatt if 2 :
Karena x,
x y, z 1 maka
m
xyz 1
Jelas bahwa y z2 ; z x 2 dan
n z y 2.
Kalikan ket iga persa
amaan di at as
a didapat
2
yz)
xyz (xy
xyz 1
Karena xyz
x 1 adan
n xyz 1 ma
aka haruyslah xyz = 1 ya
ang dipenuhii hanya j ika x = y = z = 1
1.
Jadi,, t ripel bilan
ngan real (x , y, z) yang memenuhi
m
x = y = z = 1.
ma
thz
on
3. Misalkan
n kawan-kaw
wan laki-laki t ersebut ad
dalah A, B, C
C, D, E dan F,
ABCDEF = 11 6C1 6 6C2 + 4 6C3 3 6C4 + 3 6C5 10 6C6
S 9 = 66 90 + 80 45 + 18
8 10 = 19
S = 28
8
Maka lak
ki-laki t ersebut pergi ke
e rest oran se
ebanyak 28 kkali.
Cat at an : Penulis berkeyakina
b
n bahwa m aksud soal adalah sepe
ert i t ersebu
ut di at as. B
Bert emu
dengan t epat t iga di
d ant aranya
a berart i j ug
ga bert emu dengan 2 d
di ant aranya
a. Persyaratt an yang
dipenuhi haruslah banyaknya
b
pert
p emuan dengan sem
muanya pali ng banyak harus sama dengan
pert emu
uan dengan lima di ant aranya. Te
ernyat a bertt emu denga
an semuanyya sebanyakk 10 kali
lebih banyak dari be
ert emu deng
gan set iap li ma di ant arranya, yait u 3 kali.
Jika t ida
ak, maka soa
al harus diarrt ikan bert emu
e
dengan set iap lima di ant aranyya t idak bera
art i j uga
bert emu
u dengan em
mpat di ant arranya.
ABCDEF = 11 6C1 + 6 6C2 + 4 6C3 + 3 6C4 + 3 6C5 + 100 6C6
S 9 = 66 + 90 + 80 + 45 + 18
8 + 10 = 309
S = 31
18.
Jadi,, laki-laki t ersebut
e
mak an di rest ora
an sebanyakk 28 kali.
ww
w.
4
4. Andaikan Ai dengan i = 1, 2, 3, adalah ku
umpulan t it iik-t it ik sehin
ngga BAi C = maka ku
umpulan
t it ik-t it i k t ersebut akan
a
membe
ent uk suat u lingkaran.
Misalkan
n Hi pada BC
C sehingga Ai Hi t egak lurrus BC.
Jelas bahwa Ai Hi aka
an maksimum j ika Hi me
erupakan pe
ert engahan B
BC.
Misalkan
n Ai Hi maksim
mum = y. Sa
aat Ai Hi = y maka
m
AB = AC
C. Misalkan saj a saat in
ni AB = AC = x.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E
Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
cos
sin
sin
∙
∙
cos
cos
sin
cos
sin
Karena bilangan kuadrat t idak mungkin negat if maka
cos
sin
sehingga
sin
cos
Jadi, terbukti bahwa
sin
cos
sin
e.w
cos
Maka didapat
Bagian Kedua
eb
.id
Solusi
ma
thz
on
5. Lemma 1 :
Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 32n+1 > (n + 1) 4 unt uk n N dan n > 1.
Bukt i :
Jika n = 2 maka 443 = 32(2)+1 > (2 + 1) 4= 81
Andaikan bent uk unt uk n = k. Maka 32k+1 > (k + 1) 4 dianggap benar unt uk k N dan k > 1.
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1) 4 = 9k 4 + 36k 3 + 54k 2 + 36k + 9 = k 4 + 36k 3 + 54k 2 + 36k + 8k 2 + 9
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1) 4 = k 4 + 36k 3 + 54k 2 + 36k + 8k 2 + 9 > k 4 + 8k 3 + 24k 2 + 32k + 16
32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k 4 + 8k 3 + 24k 2 + 32k + 16 = (k + 2) 4
Jadi, t erbukt i bahwa 32n+1 > (n + 1) 4 unt uk n N dan n > 1
Lemma 2 :
unt uk n N dan n > 1.
Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa !
Bukt i :
Jika n = 2 maka
!
dianggap benar unt uk k N dan k > 1.
Andaikan benar unt uk n = k. Maka !
Sesuai lemma 1 maka
!
Jadi, t erbukt i bahwa
Jika i = 1
∙
unt uk n N dan n > 1
Pi = 2 dan unt uk n = 2 maka
∙ !
Jadi, unt uk i = 1 sehingga Pi = 2 t idak t ermasuk bilangan prima sederhana.
Jika i > 1
Pi 3
Jika n = 1
∙
!
∙ !
Jadi, unt uk n = 1 maka
Jika n > 1
Sesuai l emma 2 dan mengingat bahwa Pi > Pi-1 didapat
ww
w.
!
!
!
!
Terbukt i bahwa
∙ ! unt uk i > 1 dan n N.
Jadi, semua bilangan prima sederhana adalah Pi dengan i N dan i ≠ 1.
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST