Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk Pengaturan Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.

Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk Pengaturan
Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman
Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta
Oleh:
Arifudin Prabowo Kurniawan
13305144011

ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan fase dan lama lampu lalu lintas
menyala hijau dan menyala merah menggunakan teori graf fuzzy, menentukan fase dan
lama lampu lalu lintas menyala hijau dan menyala merah menggunakan teori aljabar
max-plus, dan analisa perbandingan pengaturan lampu lalu lintas menggunakan
aplikasi kedua teori tersebut.
Penelitian ini sebagai aplikasi dari teori graf fuzzy dan teori aljabar max-plus
yang diterapkan pada pengaturan lampu lalu lintas. Sampel simpang dengan lampu lalu
lintas yang digunakan adalah simpang empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi
Daerah Istimewa Yogyakarta. Data yang diambil ialah kepadatan lalu lintas, lebar
jalan, dan pengaturan lampu lalu lintas yang diterapkan saat ini. Pengambilan data
dilakukan secara manual dengan bantuan aplikasi traffic counter.
Hasil penelitian menunjukan bahwa presentase lama lampu hijau menyala
menggunakan teori graf fuzzy bertambah sebanyak 31% dan presentase lama lampu

merah menyala berkurang sebanyak 9,8% dibanding pengaturan lampu lalu lintas yang
diterapkan saat ini. Presentase lama lampu hijau menyala menggunakan teori aljabar
max-plus bertambah sebanyak 3,6% tapi presentase lama lampu merah menyala juga
bertambah sebanyak 1,8% dibanding pengaturan lampu lalu lintas yang diterapkan saat
ini. Oleh karena itu, peneliti lebih cenderung untuk menggunakan teori graf fuzzy
dibanding dengan teori aljabar max-plus dalam pengaturan fase lampu lalu lintas di
simpang empat Beran.

Kata kunci: Pengaturan lampu lalu lintas, graf fuzzy, aljabar max-plus

ii

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama

: Arifudin Prabowo Kurniawan

NIM

: 13305144011

Program Studi

: Matematika

Judul TAS

: Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk Pengaturan
Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman
Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta

menyatakan bahwa skripsi ini benar benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan
saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali
sebagai acuan kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.

Yogyakarta, 20 April 2017
Yang menyatakan,

Arifudin Prabowo Kurniawan
NIM . 13305144011
iii

iv

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-Nya, Tugas Akhir
Skripsi dalam rangka untuk memenuhi sebagian peersyaratan untuk mendapatkan gelar
Sarjana Sains dengan judul ”Aplikasi Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus untuk
Pengaturan Lampu Lalu Lintas di Simpang Empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi
Daerah Istimewa Yogyakarta” dapat disusun sesuai dengan harapan. Tugas Akhir
Skripsi ini dapat diselesaikan tidak lepas dari bantuan dan kerjasama dengan pihak lain.
Berkenaan dengan hal tersebut, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada
yang terhormat:
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam yang memberikan persetujuan pelaksanaan Tugas Akhir Skripsi.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Universitas
Negeri Yogyakarta serta dosen dan staf yang telah memberikan bantuan dan
fasilitas selama proses penyusunan pra proposal sampai dengan selesainya TAS ini.
3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Dosen Pembimbing I TAS dan Ketua
Program Studi Matematika yang telah banyak memberikan semangat, dorongan,
dan bimbingan selama penyusunan Tugas Akhir Skripsi ini.
4. Bapak Musthofa, M.Sc selaku Dosen Pembimbing II TAS yang telah banyak
memeberikan ilmu, arahan dan bimbingan kepada penulis.
5. Ibu Dr. Karyati dan Bapak Emut, M.S.i. selaku Penguji I dan Penguji II yang sudah
memberikan koreksi perbaikan secara komprehensif terhadap TAS ini.
vi

6. Seluruh Tim Penyusun buku Pedoman Tugas Akhir UNY, dan seluruh penyusun
maupun peneliti yang karyanya saya gunakan sebagai acuan dalam penulisan tugas
akhir skripsi ini.
7. Bapak dan Ibu tercinta yang telah membimbing, membesarkan, memberikan
semangat, dorongan, kasih sayang dan selalu mendoakan dalam setiap saat demi
kebahagiaan dan keberhasilan penulis.
8. Mas Arif dan Mbak Putri serta seseorang spesial yang telah mendukung dalam
segala hal dalam penulisan tugas akhir skripsi ini.

9. Sahabat-sahabat terbaikku yang selalu memberikan motivasi, dukungan dan doa
dari awal sampai akhir menempuh pendidikan strata satu.
10. Seluruh teman-teman Matematika E 2013 yang telah berjuang bersama-sama untuk
memperoleh gelar S.Si
11. Semua pihak yang telah membantu dalam penulisan tugas akhir ini, yang namanya
tidak bisa disebutkan satu-persatu.
Akhirnya, semoga segala bantuan yang telah diberikan semua pihak di atas
menjadi amalan yang bermanfaat dan mendapatkan balasan dari Allah SWT dan Tugas
Akhir Skripsi ini menjadi informasi bermanfaat bagi pembaca atau pihak lain yang
membutuhkanya.
Yogyakarta,20 April 2017
Penulis,

Arifudin Prabowo Kurniawan
NIM 13305144011
vii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL ......................................................................................

i

ABSTRAK ..........................................................................................................

ii

SURAT PERNYATAAN ...................................................................................

iii

HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................

iv

HALAMAN PENGESAHAN ...........................................................................

v

KATA PENGANTAR .......................................................................................

vi

DAFTAR ISI ......................................................................................................

viii

DAFTAR TABEL ..............................................................................................

xi

DAFTAR GAMBAR .........................................................................................

xii

DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................

xiv

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ...............................................................................

1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................

5

C. Batasan Masalah ...........................................................................................

6

D. Tujuan Penelitian .........................................................................................

6

E. Manfaat Penelitian .......................................................................................

7

BAB II KAJIAN TEORI

A. Lampu Lalu Lintas ........................................................................................................... 8
1. Definisi dalam Operasional Lampu Lalu Lintas ........................................................... 8
2. Fungsi Lampu Lalu Lintas ........................................................................................ 9
3. Jenis Lampu Lalu Lintas ........................................................................................... 9

B. Teori Himpunan Fuzzy

............................................................................................ 10

1. Himpunan Fuzzy .......................................................................................................... 11
2. Fungsi Keanggotaan (Membership Function) ..................................................... 12
3. Operator Dasar untuk Operasi Himpunan Fuzzy ................................................. 17

viii

4. Fuzzy Inference System (FIS) ................................................................................. 18
5. Fuzzy Logic Toolbox Matlab .................................................................................. 22

C. Graf

...................................................................................................................... 26

1. Terminologi Dasar ................................................................................................... 27
2. Keterhubungan ......................................................................................................... 29
3. Jenis-Jenis Graf .......................................................................................................... 30
4. Graf Kompatibel (Graf Terapan) ............................................................................ 32

D. Pelabelan Fuzzy pada Graf

............................................................................... 33

E. Aljabar Max-Plus ......................................................................................................... 38
1. Definisi Aljabar Max-Plus .................................................................................... 38
2. Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus ...................................................................... 39
3. SemiRing .................................................................................................................. 42
4. Matriks Dalam Aljabar Max-Plus .................................................................. 44
5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam Aljabar Max-Plus ............................... 47
6. Mencari Nilai Eigen dan Vektor Eigen Menggunakan Software Scilab ....... 51

BAB III METODE PENELITIAN
A. Studi Pustaka ........................................................................................................ 54
B. Studi Lapangan .................................................................................................... 54
C. Analisis Data ........................................................................................................ 54
D. Penyelesaian Masalah .......................................................................................... 55
BAB IV PEMBAHASAN
A. Penyelesaian Masalah Menggunakan Teori Graf Fuzzy

........................................ 60

B. Perhitungan Waktu Lampu Lalu Lintas Menggunakan Graf Fuzzy ...................... 69
1. Langkah Pertama : Fuzzification ................................................................................. 71
2. Langkah Kedua : Inference Fuzzy ............................................................................... 72
3. Langkah Ketiga : Defuzzification ................................................................................ 73
C. Penyelesaian Masalah Menggunakan Teori Aljabar Max-Plus .............................. 81
1. Pemodelan Matematika untuk Pengaturan Nyala Lampu Lalu Lintas ........................ 81

ix

2. Perhitungan Vektor Eigen dan Nilai Eigen dengan Software Scilab .......................... 83
D. Perbandingan Teori Graf Fuzzy dengan Aljabar Max-Plus ............................................. 87
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan ....................................................................................................

89

B. Saran ..............................................................................................................

90

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................

92

LAMPIRAN ..........................................................................................................

94

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1

Lama Waktu Lampu Lalu Lintas Pada Simpang Empat Beran ......... 58

Tabel 4.2.

Data Panjang Antrian Motor dan Mobil ............................................ 59

Tabel 4.3.

Nilai Keanggotaan Setiap Arus di Simpang Empat Beran ................ 64

Tabel 4.4.

Fase Arus Lalu Lintas Simpang Empat Beran .................................. 68

Tabel 4.5.

Domain dari Variabel Linguistik Input dan Output ........................... 70

Tabel 4.6.

Aturan yang terbentuk pada inferensi fuzzy ...................................... 71

Tabel 4.7.

Lama Waktu Lampu Hijau Setiap Simpang Menggunakan Logika
Fuzzy ................................................................................................. 80

Tabel 4.8.

Elemen Vektor Eigen Bersesuaian Dengan Tiap Simpang ................ 85

Tabel 4.9.

Nilai Awal Lampu Hijau Menyala (Detik) ......................................... 85

Tabel 4.10.

Periodesasi Lampu Hijau Menyala .................................................... 86

Tabel 4.11.

Lama Lampu Hijau Menyala Tiap Simpang (Detik) .......................... 87

Tabel 4.12.

Perbandingan Fase Lampu Hijau di Simpang Empat Beran
Menggunakan Teori Graf Fuzzy dan Aljabar Max-Plus .................... 87

Tabel 4.13.

Presentase Bertambah dan Berkurangnya Fase Hijau dan Fase
Merah .................................................................................................. 88

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.

Representasi Linear Naik .................................................................... 13

Gambar 2.2.

Representasi Linear Turun .................................................................. 14

Gambar 2.3.

Representasi Kurva Segitiga ............................................................... 15

Gambar 2.4.

Representasi Kurva Trapesium .......................................................... 16

Gambar 2.5.

Representasi Kurva Bentuk Bahu Satu ............................................... 17

Gambar 2.6.

Representasi Kurva Bentuk Bahu Dua ............................................... 17

Gambar 2.7.

Alur Fuzzy Inference System .............................................................. 19

Gambar 2.8.

FIS Editor ........................................................................................... 23

Gambar 2.9.

Membership Function Editor ............................................................. 25

Gambar 2.10. Rule Editor .......................................................................................... 26
Gambar 2.11. Graf .................................................................................................... 27
Gambar 2.12. Graf lengkap Kn, 1 ≤ � ≤ 6 ................................................................ 31

Gambar 2.13. Graf Teratur Derajat 2 ......................................................................... 32
Gambar 2.14. Graf Teratur Bipartit G(V1,V2) ............................................................ 32
Gambar 2.15. Graf Dengan Pelabelan Fuzzy ............................................................ 36
Gambar 2.16. Subgraph Fuzzy .................................................................................. 38
Gambar 2.17. Tampilan Perintah Matriks Dalam Software Scilab .......................... 52
Gambar 2.18. Tampilan Hasil Dalam Software Scilab ............................................. 53
Gambar 4.1.

Sistem Lalu Lintas pada Simpang Empat Beran ................................ 58

xii

Gambar 4.2.

Fungsi Keanggotaan Fuzzy Variabel Panjang Antrian ...................... 61

Gambar 4.3.

Graf Kompatibel dari Setiap Arus Lalu Lintas di Simpang Empat
Beran .................................................................................................. 66

Gambar 4.4.

Graf Kompatibel Berbobot Dari Seluruh Arus Lalu Lintas Di Simpang
Empat Beran ....................................................................................... 67

Gambar 4.5.

Subgraph lengkap Kompatibel Simpang Empat Beran ..................... 68

Gambar 4.6.

Fase Sistem Lalu Lintas Dengan Graf Kompatibel ........................... 69

Gambar 4.7.

Aplikasi Fungsi Implikasi R2 dan Fungsi Implikasi R3 ..................... 72

Gambar 4.8.

Daerah Hasil Komposisi Komposisi Dengan Pewarnaan .................. 73

Gambar 4.9.

Variabel Input Matlab Panjang Antrian ............................................. 77

Gambar 4.10. Variabel Output Matlab Lama Lampu Hijau ..................................... 77
Gambar 4.11. Rule Editor MATLAB Simpang Empat Beran .................................. 78
Gambar 4.12. Rule Viewer simpang 1 ...................................................................... 78
Gambar 4.13. Rule Viewer simpang 2 ...................................................................... 79
Gambar 4.14. Rule Viewer simpang 3 ..................................................................... 79
Gambar 4.15. Rule Viewer simpang 4 ....................................................................... 80
Gambar 4.16. Tampilan Perintah Scilab untuk membentuk matriks ......................... 84
Gambar 4.17. Tampilan Perintah dan Hasil Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............. 84

xiii

DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1

Hasil Pengamatan Banyak Motor dan Mobil Pada 4 Februari
2017 untuk Setiap Fase ............................................................ 94

xiv

APLIKASI GRAF FUZZY DAN ALJABAR MAX-PLUS
UNTUK PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS
DI SIMPANG EMPAT BERAN KABUPATEN SLEMAN
PROVINSI DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA

TUGAS AKHIR SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Sebagai Salah Satu Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh :
ARIFUDIN PRABOWO KURNIAWAN
NIM 13305144011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2017

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah
Yogyakarta merupakan kota dengan tingkat kemacetan lau lintas yang
semakin meningkat. Menurut Khisma (2016: 9) kemacetan kendaraan bermotor
menyebabkan banyak kerugian, diantaranya pemborosan BBM, polusi udara,
pemborosan waktu, dan menambah pengeluaran biaya. Hal ini terbukti dengan
hasil penelitian yang dilakukan oleh Basuki & Siswadi (2008: 80) diperoleh hasil
bahwa rata-rata kerugian akibat keterlambatan yang disebabkan oleh kemacetan
yang terjadi pada satu simpang di Yogyakarta sebesar Rp. 11.282.482,21 per jam.
Kerugian ini berupa bertambahnya biaya operasional kendaraan yang semestinya
tidak perlu dikeluarkan apabila kecepatanya bisa mencapai kecepatan desain
perencanaan, yakni kecepatan pada saat jalan normal tidak macet. Kerugian paling
dasar dari kemacetan, yaitu adanya pemborosan bahan bakar.
Penyebab kemacetan yang terjadi dipengaruhi oleh banyak faktor yang
saling berkaitan antara satu dengan yang lain. Padatnya arus kendaraan yang
melewati suatu ruas jalan menjadi salah satu penyebabnya. Menurut Wibowo
(2016: 1) terjadi kenaikan penggunaan kendaraan bermotor sebesar 7-10 persen
pada 2015 dibanding tahun sebelumnya. Diperkirakan presentasi kenaikan

1

kendaraan bermotor akan terus meningkat. Hal ini tidak sebanding dengan
penambahan luas jalan yang sangat kecil.
Simpang jalan adalah bagian yang terpenting dari jalan perkotaan sebab
sebagian besar dari efisiensi, keamanan, kecepatan, biaya operasi serta kapasitas
lalu lintas tergantung pada perencanaan simpang jalan. Setiap simpang jalan
mencakup pergerakan lalu lintas menerus maupun lalu lintas yang saling
memotong pada satu atau lebih dari kaki simpang dan mencakup juga pergerakan
perputaran. Pergerakan lalu lintas ini dikendalikan dengan berbagai cara,
bergantung pada jenis simpang (Direktorat Pembinaan Jalan Kota,1992:35).
Penggunaan lampu lalu lintas menjadi salah satu solusi untuk mengatasi
tingkat kemacetan yang terjadi di suatu simpang jalan. Namun, terkadang
pemasangan lampu lalu lintas tidak dapat mengurangi kemacetan atau kepadatan
kendaraan. Hal ini terjadi karena pembagian durasi waktu lampu lalu lintas yang
tidak sesuai dengan volume kendaraan yang lewat jalan tertentu. Jika suatu
simpang jalan yang sudah tidak terdapat antrian mendapat lampu hijau maka lampu
merah pada simpang jalan lainya akan semakin lama. Tentu hal tersebut menjadi
kurang efektif, karena simpang jalan yang ramai harus menunggu lampu hijau dari
simpang jalan lain yang sudah tidak membutuhkan lampu hijau disana. Kemudian
lebar jalan yang dapat dituju dari sebuah lampu lalu lintas juga dapat menyebabkan
panjangnya antrian kendaraan yang akan memasuki jalan tersebut ketika volume
kendaraan tinggi. Oleh karena itu perlu adanya pengaturan durasi lampu lalu
lintas yang dinamis agar masing masing simpang jalan memperoleh durasi yang
2

sesuai dengan kepadatan yang terjadi di simpang jalan tersebut dan lebar jalan yang
dapat dilewati, sehingga simpang jalan lain tidak perlu menunggu giliran lampu
hijau yang terlalu lama. Dengan begitu, kepadatan pada suatu simpang jalan dapat
berkurang.
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu dalam matematika yang
mempelajari himpunan titik dan himpunan garis. Suatu graf merupakan diagram
yang terdiri dari titik-titik tidak kosong yang disebut simpul (vertex) dan
dihubungkan oleh garis yang disebut sisi (edge) (Munir, 2010: 353). Menurut
Nurshiami et al (2011: 2-3) salah satu cabang ilmu dari graf ialah graf fuzzy. Graf
fuzzy merupakan pelabelan atau pembobotan simpul, sisi ataupun simpul dan sisi
graf dengan himpunan fuzzy. Graf fuzzy merupakan pengembangan dari teori graf
yang saat ini banyak mendapat perhatian. Seperti Myna (2015), Tobunggu (2016)
telah melakukan penelitian graf fuzzy yang diterapkan pada pengaturan simpang
lalu lintas dalam mempermudah mengidentifikasi lokasi kepadatan lalu lintas yang
terjadi.
Pada tahun 1965, Prof Lofti A. Zadeh dari California University USA
memberikan sumbangan yang berharga dalam pengembangan teori himpunan
fuzzy. Teori himpunan fuzzy diterapkan ke berbagai macam disiplin ilmu. Sehingga
aplikasi teori ini dapat ditemukan dalam ilmu komputer, kecerdasan buatan, teknik
pengambilan keputusan, teknik kendali, ilmu manajemen, robotika, dan lain
sebagainya. Menurut Kusumadewi (2003:154) ada beberapa alasan mengapa orang
menggunakan teori himpunan fuzzy, antara lain :
3

1.

Konsep mudah dimengerti. Konsep matematis yang mendasari penalaran fuzzy
sangat sederhana dan mudah dimengerti.

2. Sangat fleksibel.
3. Memiliki toleransi terhadap data-data yang tidak tepat.
4. Dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para pakar
secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan.
Menurut Rudhito (2016: 13) aljabar max-plus ialah himpunan ℝ −∞}

dengan ℝ merupakan himpunan semua bilangan riil yang dilengkapi dengan

operasi maksimum, dinotasikan dengan ⊕ dan operasi penjumlahan yang
dinotasikan dengan ⊗. Diberikan ℝmax = (ℝ −∞}, ⊕, ⊗) dengan ε := −∞
dan e:= 0.

Penelitian tentang teori aljabar max-plus dalam pengaturan lampu lalu lintas

sudah dilakukan oleh Nurmantoko dan Lazuardi. Nurmantoko (2013) telah
melakukan penelitian tentang teori aljabar max-plus dalam pengaturan lampu lalu
lintas di simpang Sentul dan Pakualam Yogyakarta. Lazuardi (2013) telah
melakukan penelitian tentang teori aljabar max-plus dalam pengaturan lampu lalu
lintas di simpang Gondomanan Yogyakarta. Kemudian dalam penelitian ini akan
membandingkan teori graf fuzzy dan teori aljabar max-plus dalam pengaturan
lampu lalu lintas yang diterapkan pada simpang yang sama. Simpang lalu lintas
yang dipilih ialah simpang empat Beran Kabupaten Sleman Provinsi Daerah
Istimewa Yogyakarta.

4

B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut maka permasalahan dalam penelitian
ini dirumuskan sebagai berikut :
1. Bagaimana pengaturan fase arus lalu lintas dan pembagian waktu lampu lalu
lintas di simpang empat Beran, Kabupaten Sleman, Provinsi Daerah Istimewa
Yogyakarta menggunakan teori graf fuzzy?
2. Bagaimana pengaturan fase arus lalu lintas dan pembagian waktu lampu lalu
lintas di simpang empat Beran, Kabupaten Sleman, Provinsi Daerah Istimewa
Yogyakarta menggunakan teori aljabar max-plus?
3. Bagaimana perbandingan pengaturan lampu lalu lintas di simpang empat Beran
menggunakan teori graf fuzzy dan teori aljabar max-plus?

C. Batasan Masalah
Untuk mencegah meluasnya permasalahan yang ada dan lebih terarah,
maka dilakukan pembatasan masalah, yaitu:
1. Jalan yang digunakan adalah simpang empat dengan lampu lalu lintas di daerah
Beran.
2. Sampel kepadatan kendaraan di simpang empat Beran diambil pada hari
normal, yakni bukan hari libur maupun hari menjelang libur panjang.
Pengambilan data kepadatan kendaraan pada 4 februari 2017 pukul 06.45-07.45
WIB.

5

3. Lampu kuning diasumsikan sama dengan lampu hijau, yakni saat lampu kuning
menyala kendaraan berjalan seperti saat lampu hijau menyala.
4. Teori pertama yang digunakan dalam pengaturan lampu lalu lintas
menggunakan aplikasi teori graf dan logika fuzzy dengan bantuan aplikasi
matlab.
5. Teori kedua yang digunakan dalam pengaturan lampu lalu lintas menggunakan
aplikasi aljabar max-plus dengan bantuan aplikasi scilab.
6. Proses inference fuzzy menggunakan metode mamdani. Metode ini dipilih
karena lebih menyerupai pola pikir manusia.
7. Proses defuzzification fuzzy menggunakan metode centroid. Metode ini dipilih
karena pergerakan nilai defuzzification halus, sehingga perubahan dari suatu
himpunan fuzzy juga akan berjalan dengan halus.

D. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan dua teori yakni graf fuzzy
dan aljabar max-plus pada pengaturan lampu lalu lintas.

6

E. Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi berbagai pihak, diantaranya:
1. Akademisi
a. Melatih pola pikir dan menambah pengetahuan yang dapat diterapkan pada
pengaturan lampu lalu lintas.

b. Menambah wawasan mengenai teori graf dan logika fuzzy dalam
hubunganya dengan pengaturan lampus lalu lintas.
c. Menambah wawasan mengenai aljabar max-plus dalam hubunganya
dengan pengaturan lampus lalu lintas.
2. Praktisi
a. Manfaat bagi praktisi dalam hal ini adalah Dinas Perhubungan, yakni dapat
digunakan sebagai alternatif pengaturan sistem arus lampu lalu lintas.

7

BAB II
KAJIAN TEORI

A. Lampu Lalu Lintas
Lampu lalu lintas ialah peralatan yang dioperasikan secara mekanis atau
elektrik yang berfungsi mengatur kendaraan-kendaraan agar berhenti atau
berjalan. Peralatan standar untuk lampu lalu lintas terdiri dari sebuah tiang dan
dibagian atas terdapat berwarna merah, kuning, dan hijau yang menyala secara
bergantian. Dengan warna merah mengatur supaya kendaraan berhenti, lampu
kuning supaya kendaraan pelan-pelan, dan lampu hijau untuk kendaraan jalan.
1. Definsi dalam Operasional Lampu Lalu Lintas
Menurut Direktorat Jenderal Bina Marga (1997: 2-9) definisi yang
digunakan dalam operasional lampu lalu lintas diantaranya sebagai berikut:
a. Fase
Satu tahapan sinyal lalu lintas dengan satu atau lebih pergerakan lalu
lintas mendapatkan kesempatan bergerak.
b. Waktu siklus
Waktu diantara lampu hijau mulai menyala sampai waktu hijau kembali
menyala di dalam simpang yang sama.
c. Waktu antar hijau (fase clear)
Periode waktu lampu menyala merah semua antara dua fase yang
berurutan. Hal ini dimaksudkan supaya akhir rombongan kendaraan

8

pada fase sebelumnya tidak berbenturan dengan awal rombongan
kendaraan pada fase berikutnya.
d. Konflik lalu lintas
Suatu keadaan dua kendaraan atau lebih yang saling mendekati satu
sama lain dan akan terjadi kecelakaan apabila gerakan keduanya tetap
atau tidak berubah.
2. Fungsi Lampu Lalu Lintas
Menurut Direktorat Jenderal Bina Marga (1997: 2-2) pada umumnya
lampu lalu lintas digunakan untuk satu atau lebih dari alasan berikut:
a. Menghindari kemacetan simpang akibat adanya konflik arus lalu-lintas,
b. Memberi kesempatan kepada kendaraan dan/atau pejalan kaki dari jalan
simpang untuk memotong jalan utama,
c. Mengurangi kecelakaan lalu-lintas antara kendaraan-kendaraan dari
arah yang bertentangan.
3. Jenis Lampu Lalu Lintas
Berdasarkan cakupanya, jenis kendali dengan lampu lalu lintas pada
suatu simpang jalan dibedakan sebagai berikut:
a. Lampu lalu lintas terpisah
Pengoperasian lampu lalu lintas dengan perancanganya hanya berdasar
pada pertimbangan satu simpang jalan saja, tidak mempertimbangkan
jarak, waktu lampu lalu lintas, dan kepadatan dari simpang jalan yang
terdekat.

9

b. Lampu lalu lintas terkoordinasi
Pengoperasian lampu lalu lintas dengan perancanganya berdasar pada
pertimbangan beberapa simpang jalan yang terdapat pada suatu jalur
atau arah tertentu.
c. Lampu lalu lintas jaringan
Pengoperasian lampu lalu lintas dengan perancanganya berdasar pada
pertimbangan beberapa simpang jalan yang terdekat dalam suatu
jaringan jalan dalam suatu kawasan.
Berdasarkan cara pengoperasianya, jenis kendali lampu lalu lintas
pada simpang jalan dibedakan sebagai berikut:
a. Fixed time traffic signals
Pengoperasian lampu lalu lintas dengan pengaturan waktu (setting time)
tidak mengalami perubahan atau waktunya tetap sepanjang hari selama
24 jam.
b. Actuated traffic signals
Pengoperasian lampu lalu lintas dengan pengaturan waktu (setting time)
mengalami perubahan dari waktu ke waktu sesuai dengan kepadatan
kendaraan suatu simpang.

B. Teori Himpunan Fuzzy
Teori himpunan fuzzy merupakan perluasan dari teori himpunan tegas
(crisp set). Teori himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Prof Lotfi A.Zadeh dari
Universitas California di Berkeley pada 1965 dan sekarang telah banyak

10

digunakan di bidang industri, kedokteran, lalu lintas dan lain sebagainya
(Wibisono, 2008: 49).
1. Himpunan Fuzzy
Pada teori himpunan fuzzy, nilai keanggotaan berada dalam interval 0
sampai 1. Berbeda dengan teori himpunan tegas yang nilai keanggotaannya
hanya 0 dan 1.
Contoh 2.1
Himpunan A merupakan himpunan merk mobil yang banyak digunakan
masyarakat pengguna. Dalam teori himpunan tegas, himpunan A ditulis
A = {Toyota, Honda, Daihatsu, Nissan, Suzuki}
Artinya Toyota, Honda, Daihatsu, Nissan, Suzuki merupakan anggota
himpunan dengan nilai keanggotaan 1, selain kelima elemen di atas bukan
anggota himpunan maka nilai keanggotaanya 0.
Dari kelima anggota himpunan A tersebut tidak dapat diperoleh informasi
mana yang sangat banyak, banyak, cukup, kurang ataupun sedikit diminati
oleh masyarakat pengguna, karena derajat keanggotaan kelima anggota
himpunan tersebut sama. Dalam teori himpunan fuzzy, himpunan A ditulis
sebagai berikut:
A={,,,,
}
Artinya, Toyota paling banyak diminati oleh masyarakat pengguna karena
memiliki nilai keanggotaan 0,9 disusul Honda 0,7 dan seterusnya sampai

11

merk mobil yang paling sedikit peminatnya yaitu Suzuki dengan
keanggotaan 0,2.
Menurut Kusumadewi (2003: 158) himpunan fuzzy memiliki 2
atribut, yakni sebagai berikut:
a. Linguistik, ialah penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau
kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami.
b. Numeris, yakni suatu nilai (angka) yang menunjukan ukuran dari suatu
variabel
Contoh 2.2
Misalkan diberikan himpunan fuzzy untuk variabel umur dibagi menjadi
tiga kategori berikut:
Himpunan fuzzy muda

= [0,50]

Himpunan fuzzy tua

= [40, 100]

variabel 0,40,50, dan 100 merupakan atribut numeris
Sedangkan variabel muda, parobaya, dan tua merupakan atribut
linguistik

2. Fungsi Keanggotaan (Membership Function)
Fungsi keanggotaan adalah suatu kurva yang menunjukan pemetaan
titik-titik input data (sumbu x) kepada nilai keanggotaan atau derajat
keanggotaan yang mempunyai interval dari 0 sampai 1. Terdapat beberapa
jenis fungsi yang bisa digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan

12

dalam fungsi keanggotaan. Menurut Kusumadewi (2003: 160) beberapa
jenis fungsi tersebut diantaranya:
a. Representasi Linear
Menurut Kusumadewi (2003: 160) representasi linear adalah
pemetaan input ke derajat keanggotaan yang digambarkan sebagai suatu
garis lurus. Terdapat dua jenis himpunan fuzzy yang linear yakni
representasi linear naik dan representasi linear turun. Jenis yang pertama
yaitu representasi linear naik. Kenaikan himpunan dimulai pada nilai
domain yang memiliki derajat keanggotaan nol bergerak menuju nilai
domain yang memiliki derajat keanggotaan yang lebih tinggi. Fungsi
keanggotaan untuk kurva representasi linear naik adalah sebagai
berikut:
−
={
−

,

,

,

Representasi grafik untuk fungsi keanggotaan linear naik
ditunjukan pada Gambar 2.1 berikut:

1
Derajat
keanggotaan
m(x)

0

a

domain

b

Gambar 2.1 Representasi Linear Naik

13

Jenis yang kedua ialah representasi linear turun. Garis lurus
dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi yakni
satu pada sisi kiri, kemudian bergerak menuju nilai domain yang
memiliki derajat keanggotaan lebih rendah (Kusumadewi, 2003: 161).
Fungsi keanggotaan untuk kurva representasi linear turun ialah
sebagai berikut:
−
={
−

,

,

,

Representasi grafik untuk fungsi keanggotaan linear turun
ditunjukan pada Gambar 2.2 Sebagai berikut:

1
Derajat
keanggotaan
m(x)

0

a

domain

b

Gambar 2.2 Representasi Linear Turun

b. Representasi Kurva Segitiga (triangular)
Representasi kurva segitiga adalah pemetaan input data ke
derajat keanggotaan yang digambarkan sebagai suatu kurva berbentuk
segitiga. Pada dasarnya kurva segitiga merupakan gabungan antara 2
garis linear ( Kusumadewi, 2003: 162).
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva segitiga ialah
sebagai berikut:

14

=

{

−
−
−
−

,

,
,

,

Representasi grafik fungsi keanggotaan segitiga di atas
ditunjukan pada Gambar 2.3 Berikut:

1
Derajat
keanggotaan
m(x)

0

a

b
domain

c

Gambar 2.3 Representasi Kurva Segitiga

c. Representasi Kurva Trapesium
Representasi kurva trapesium merupakan pemetaan input data
ke derajat keanggotaan yang digambarkan sebagai suatu kurva dengan
bentuk trapesium. Pada dasarnya kurva trapesium ini memiliki bentuk
segitiga, tetapi terdapat perbedaan pada beberapa titik yang memiliki
keanggotaan 1 (Kusumadewi, 2003: 163).
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva trapesium ialah
sebagai berikut:

15

=

−
−
{

−
−

,

,

,

,

,

Representasi grafik untuk fungsi keanggotaan trapesium diatas
ditunjukan pada Gambar 2.4 sebagai berikut:
1
Derajat
keanggotaan
m(x)

0

b

a

c

d

domain

Gambar 2.4 Representasi Kurva Trapesium

d. Representasi Kurva Bentuk Bahu
Menurut Kusumadewi (2003: 165) Representasi kurva bentuk
bahu ialah pemetaan input ke derajat keanggotaan yang digambarkan
sebagai suatu garis lurus yang konstan tanpa kenaikan maupun
penurunan

derajat

keanggotaan.

Kurva

bahu

tidak

hanya

merepresentasikan satu buah himpunan, melainkan terdiri dari beberapa
himpunan. Berbeda dengan kurva linear, kurva segitiga, dan kurva
trapesium yang merepresentasikan salah satu himpunan saja.
Representasi grafik untuk kurva bentuk bahu ditunjukan pada
Gambar 2.5 Sebagai berikut:

16

Bahu
Kiri

Bahu
Kanan

1
Derajat
keanggotaan
m(x)

a

0

b
domain

Gambar 2.5 Representasi Kurva Bentuk Bahu Satu
Representasi kurva bentuk bahu pada Gambar 2.5 terdiri dari dua
himpunan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
Bahu
Kiri

Bahu
Kanan

Bahu
Kiri

1

1

Derajat
keanggotaan
m(x)

Derajat
keanggotaan
m(x)

0

a

b
domain
(i)

0

a

Bahu
Kanan

b
domain
(ii)

Gambar 2.6 Representasi Kurva Bentuk Bahu Dua
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva bahu ialah sebagai
berikut:
{

,
,

ii

={

,
,

i

;

=

3. Operator Dasar untuk Operasi Himpunan Fuzzy
Seperti halnya himpunan tegas, ada beberapa operasi yang
didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi
himpunan fuzzy. Menurut Kusumadewi (2003: 175) ada 3 operator dasar
yang diciptakan oleh Zadeh, yaitu:

17

a. Operator AND
Operator ini berhubungan dengan operasi interseksi pada himpunan,
diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terkecil antar elemen
pada himpunan-himpunan yang bersangutan.

b. Operator OR

={

⋂

,

}

Operator ini berhubungan dengan operasi union pada himpunan.
Operator OR diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terbesar
antar elemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan

c. Operator NOT

= max{

,

}

Operator ini berhubungan dengan operasi komplemen pada himpunan.
Operator NOT diperoleh dengan mengurangkan nilai keanggotaan
elemen pada himpunan yang bersangkutan dari 1.
=

′

4. Fuzzy Inference System (FIS)

−

Menurut Suyanto (2014: 105) Fuzzy Inference System (FIS) terdiri
dari tiga komponen utama: Fuzzification, Inference, dan Defuzzification.

18

Crisp Input

Aturan Fuzzy

Fuzzification

Inference

Defuzzification
Crisp Output

Gambar 2.7 Alur Fuzzy Inference System (Trimartanti & Abadi, 2015: 30)

a. Fuzzification
Proses fuzzification merupakan proses mengubah input tegas
menjadi variabel fuzzy.
Contoh 2.3
Misalkan himpunan fuzzy pada Contoh 2.2 diberikan fungsi
keanggotaan sebagai berikut:

�

�

;

; ,

,

,

,

�−

−
−�

={

=

−

−
−
−
−

{

,

,

,

,

,

,

Berdasarkan pada fungsi keanggotaan di atas akan dicari nilai
keanggotaan untuk umur 30 tahun
�

=

19

−
−

=

= ,

Jadi umur dikonversi menjadi muda dengan derajat keanggotaan sama
dengan 0,8
b. Inference
Inference merupakan tahap evaluasi aturan fuzzy. Tahap evaluasi
dilakukan berdasarkan penalaran dengan menggunakan input fuzzy dan
aturan fuzzy sehingga diperoleh output berupa himpunan fuzzy. Dari
beberapa macam inference fuzzy yang dikenalkan para peneliti, berikut
akan dijelaskajn metode Mamdani dan metode Sugeno yang banyak
digunakan dalam berbagai penelitian.
1) Metode Mamdani
Metode Mamdani pertama kali diperkenalkan oleh Ibrahim
Mamdani pada tahun 1975. Menurut Nuraida et al (2013: 544)
Metode Mamdani memiliki kelebihan yakni, lebih intuitif. Metode
ini merupakan metode yang paling sederhana dan paling sering
digunakan untuk penelitian dibandingkan metode yang lain. Pada
metode ini, aturan fuzzy didefinisikan sebagai:
IF
dengan

is A1 AND
,…,

is A2... AND

is An THEN is B ,

, dan B ialah nilai-nilai linguistik dan ”

menyatakan bahwa nilai variabel

is A1”

ialah anggota fuzzy set A1.

2) Metode Sugeno
Metode ini dikenal juga sebagai Takagi-Sugeno-Kang (TSK),
yakni suatu varian dari metode mamdani. Metode ini juga
menggunakan himpunan fuzzy pada inputnya. Akan tetapi, output

20

yang digunakan ialah konstanta atau persamaan linear. Metode ini
menggunakan aturan yang berbentuk:
IF
f( ,

is A1 AND
,…,

is A2... AND

is An THEN

=

)

dengan f berupa sembarang fungsi dari variabel-variabel input yang
nilainya berada dalam interval variabel output. Biasanya, fungsi ini

dibatasi dengan menyatakan f sebagai kombinasi dari variabelvariabel input: f( , … ,

dengan

,

,…,

+

)=

+

+

,

merupakan konstanta yang berupa bilangan

real yang termasuk dalam bagian spesifikasi aturan fuzzy.
c. Defuzzification
Menurut Kusumadewi (2003: 190) terdapat berbagai metode
deffuzification yang telah berhasil diaplikasikan untuk berbagai macam
masalah, antara lain:
1) Metode Centroid
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara menetapkan z*
sebagai titik pusat dari daerah fungsi keanggotaan fuzzy. Secara
umum dirumuskan:
∗

=

�

untuk domain kontinu, dengan
merupakan nilai keanggotaan .
dan

21

�

merupakan nilai domain dan

∗

=

untuk domain diskret, dengan
dan
sedangkan

∑=
∑=

merupakan output pada aturan ke-

merupakan nilai keanggotaan pada aturan kemerupakan banyaknya aturan yang digunakan.

2) Metode Bisektor
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai
pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan setengah dari
total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:
zp sedemikian sehingga

�

3) Metode Mean of Maximum (MOM)

=

�

Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai
rata-rata domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
4) Metode Largest of Maximum (LOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai
terbesar dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
5) Metode Smallest of Maximum (SOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai
terkecil dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
5. Fuzzy Logic Toolbox Matlab
Fuzzy logic toolbox ialah sekumpulan tool yang membantu
merancang sistem fuzzy. Fuzzy logic toolbox sangat user friendly,
memungkinkan untuk berkreasi dengan bebas dalam rancang bangun Fuzzy

22

Inference System (FIS). Semua tool dalam fuzzy logic toolbox
dikelompokan menjadi tiga kategori, yakni command lines, Graphical User
Interface (GUI), Simulink Block. GUI sangat cocok untuk pemula,
sementara command lines dan simulink block ditujukan untuk pemakai yang
sudah berpengalaman. GUI memungkinkan akses fungsi-fungsi yang
tersedia dalam fuzzy logic toolbox. Dalam kenyataanya fuzzy logic toolbox
lebih banyak mengandalkan GUI dalam membantu penyelesaian kerja
dalam rancang bangun fuzzy inference system (Naba, 2009: 79).
Menurut Naba (2009: 82-94) Fuzzy Logic Toolbox menyediakan 5
jenis GUI untuk keperluan rancang bangun Fuzzy Inference System (FIS),
yakni:
a. Fuzzy Inference System (FIS) editor
Pada halaman perintah MATLAB, ketik: fuzzy, muncul FIS Editor
seperti pada Gambar 2.8 dengan satu variabel masukan dengan label
input1 dan sebuah keluaran dengan label output1.

Gambar 2.8 FIS Editor

23

Mengubah label input1, klik kotak kuning berlabel input1 lalu pada
Current Variable di sebelah kanan bawah, pada kolom Nama, ganti
label variabel input1 sesuai yang diinginkan dan tekan Enter. Langkah
yang sama berlaku untuk mengganti label output1. Opsi-opsi pada
bagian kiri bawah tetap pada opsi yang sudah diberikan (default).
b. Membership Function Editor
Fungsi-fungsi

keanggotaan

variabel

masukan

dan

keluaran

didefinisikan melalui Membership Function Editor seperti ditunjukan
dalam Gambar 2.9 . Membuka Membership Function Editor bisa dari
FIS Editor, View → Edit atau dengan klik ganda ikon variabel
masukan/keluaran.

Gambar 2.9 Membership Function Editor
'
Fungsi keanggotaan untuk setiap variabel FIS bisa dihapus maupun
ditambah melalui Edit-Add Mfs... . Pada bagian kiri bawah Field
Range berfungsi untuk merubah semesta fungsi keanggotaan.
Sedangkan untuk mendefinisikan fungsi-fungsi keanggotaan variabel

24

input1, klik ikon variabel FIS input1 dan klik label mf1 . Pada bagian
kanan bawah, pada Field Name berfungsi merubah nama setiap fungsi
keanggotaan. Field Params untuk fungsi segitiga terdapat 3 kolom,
kolom pertama untuk merubah posisi kiri kurva, kolom kedua untuk
merubah posisi tengah kurva, kolom ketiga untuk merubah posisi kanan
kurva. Langkah yang sama juga berlaku untuk merubah variabel
output1.
c. Rule Editor
Dengan GUI Rule Editor dapat dengan mudah mendefinisikan
if-then rule. Gambar 2.10 merupakan Rule Editor Window ketika belum
ada masukan dan keluaran yang didefinsikan pada Membership
Function.

Gambar 2.10 Rule Editor

Memasukan rule secara otomatis, yakni klik di input1 untuk fungsi if
dan output1 untuk fungsi then kemudian klik Add Rule.

25

d. Rule Viewer
Rule Viewer menampilkan proses keseluruhan yang terjadi pada FIS.
Membuka Rule Viewer dengan View-Rules. Untuk mengganti masukan
klik pada kolom disebelah kiri bawah pada Field Input.
e. Surface Viewer
Surface viewer digunakan untuk menampilkan keluaran FIS dalam plot
3 dimensi. Membuka desktop Surface Viewer dengan View-Surface.

c. Graf
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah ada sejak lama tapi
masih memiliki banyak terapan hingga saat ini. Menurut catatan sejarah,
masalah jembatan Könisberg merupakan masalah yang pertama kali
menggunakan graf yakni pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss,
L.Euler. (Munir, 2010: 354). Secara matematis, graf didefiniskan sebagai
berikut
Definisi 2.1. (Munir, 2010: 356) Suatu graf G terdiri atas pasangan himpunan
(V,E), ditulis dengan notasi G=(V,E), dua himpunan yaitu himpunan tak
kosong V yang unsur-unsurnya disebut simpul (vertices atau node) dan
himpunan E yang unsur-unsurnya disebut sisi (edges atau arcs) yang
menghubungkan sepasang simpul.

Simpul pada graf dapat dilabeli dengan huruf, seperti a,b,c,... dengan bilangan
asli 1,2,3,... atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan

26

simpul dinyatakan dengan pasangan simpul tersebut atau biasa juga dinyatakan
dengan

,

,…,

.

1. Terminologi Dasar
Berikut ini didefinisikan beberapa terminologi (istilah) yang sering
digunakan dalam graf. Graf pada Gambar 2.11 akan digunakan untuk
memperjelas terminologi yang didefinisikan.

v1

v5

e1
e3

e2

e5

v2

e4

v3
e7

e6
v4

Gambar 2.11 Graf
a. Bertetangga (Adjacent)
Menurut Munir (2010: 365) Dua buah simpul pada graf G dikatakan
bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi.
Dengan kata lain,

bertetangga dengan

jika

pada graf G. Pada Gambar 2.11 , simpul
dan

, tetapi simpul

,

adalah sebuah sisi

bertetangga dengan simpul

tidak bertetangga dengan simpul

dan

.

b. Beririsan (Incident)
Untuk sembarang sisi
simpul

=

,

, sisi

dan . Pada Gambar 2.11 , sisi
27

dikatakan bersisian dengan
,

bersisian dengan

simpul
sisi

dan simpul
,

, untuk contoh sisi yang tidak bersisian pada

tidak bersisian dengan simpul

.

c. Sisi Ganda (Multi Edge)
Dua buah rusuk atau lebih yang menghubungkan simpul-simpul yang
sama.
=

Pada Gambar 2.11 sisi ganda ialah sisi

,

=

dan

yang menghubungkan dua simpul yang sama, yaitu

dan

.

,

d. Sisi Gelang (loop)
Sebuah rusuk yang menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya
sendiri.
Pada Gambar 2.11 sisi gelang (loop) ialah sisi

=

e. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

,

.

Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang
bersisian denganya. Atau, dapat juga dinyatakan simpul terpencil adalah
simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul yang lain.
Pada Gambar 2.11 , simpul terpencil adalah simpul

(Munir, 2010:

365).
f. Derajat (Degree)
Menurut Munir (2010: 365) derajat suatu simpul pada graf ialah
banyaknya ujung sisi rusuk yang hadir pada suatu simpul. Dinotasikan
dengan
= 2,

. Pada Gambar 2.1
=0

28

=

= ,

= 5,

g. Graf Bagian (Subgraph)
Sebuah graf H disebut graf bagian dari graf G, ditulis H ⊆ G, jika
V(H) ⊆ V(G) dan E(H) ⊆ E(G). artinya semua simpul H termuat di G

dan semua sisi di H termuat di G. (Munir, 2010: 372)
h. Graf Berbobot (Weighted Graph)

Menurut Munir (2010: 376) graf berbobot adalah graf yang setiap sisi,
simpul, atau sisi dan simpul diberi sebuah harga (bobot)
2. Keterhubungan
Beberapa istilah yang berhubungan dengan keterhubungan sebuah
graf, yaitu:
a. Jalan (Walk)
Sebuah jalan di graf G adalah sebuah barisan tak kosong dan berhingga
=

rusuk.

,

,

,

,…,

,

yang suku-sukunya bergantian simpul dan

b. Jejak (Trail)
Jalan W disebut jejak jika semua rusuk
c. Lintasan (Path)

,

,…,

berbeda.

Jalan W disebut lintasan jika semua simpul dan rusuk dalam jalan W
berbeda (Munir, 2010: 369).
d. Sirkuit (Circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama (Munir,
2010: 370)

29

e. Sikel (Cycle)
Sebuah Jejak tertutup yang simpul awal dan simpul yang termuat
didalamnya berbeda disebut sikel.
f. Terhubung (Connected)
Sebuah graf G disebut terhubung jika untuk setiap dua simpul

dan

di G terdapat lintasan di G yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung. Pada Gambar 2.11
merupakan graf tak-terhubung karena pada simpul

tidak terdapat

lintasan yang menghubungkan. (Munir, 2010: 371)
3. Jenis-Jenis Graf
Graf dapat dikelompokan menjadi beberapa kategori bergantung
pada sudut pandang pengelompokanya. Menurut Munir (2010:357-358)
berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau gelang pada suatu graf, secara
umum graf dapat dikelompokan menjadi dua jenis
a. Graf sederhana (simple graph).
Graf yang tidak mempunyai sisi ganda ataupun gelang (loop).
b. Graf tak-sederhana
Graf yang mengandung sisi ganda ataupun gelang. Terdapat dua macam
graf tak-sederhana, yakni graf semu (pseudograph) dan graf ganda
(multigraph). Graf semu ialah graf yang mengandung gelang (loop)
sedangkan graf ganda ialah graf yang didalamnya terdapat sisi ganda.
Ada beberapa graf sederhana khusus yang dijumpai pada banyak
aplikasi. Beberapa di antaranya ialah:

30

a. Graf Nol (Null Graph)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong atau tidak
mempunyai sisi hanya mempunyai simpul disebut sebagai graf kosong
dan ditulis sebagai � , dengan

adalah banyak simpul (Munir, 2010:

366).

b. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf teratur ialah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang
sama, apabila setiap simpul ialah r, maka graf tersebut disebut sebagai
graf teratur berderajat r.
Banyak sisi pada graf teratur r dengan n buah simpul ialah
(Wibisono, 2008, 129).

Gambar 2.12 Graf Teratur Derajat 2

c. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai
sisi ke semua simpul lainya. Graf lengkap dengan n buah simpul
dilambangkan dengan Kn. Graf lengkap merupakan graf teratur dengan
setiap simpul berderajat n-1. Banyak sisi pada graf lengkap yang terdiri
dari n buah simpul ialah

−

31

(Munir, 2010: 377):

K2

K3

K4

Gambar 2.13 Graf lengkap Kn, 2

K5
5

d. Graf Bipartet (Bipartite Graph)
Sebuah graf G disebut bipartet jika V(G) dapat dipartisi menjadi dua
himpunan V1 dan V2 sedemikian sehingga setiap rusuk dari G
menghubungkan sebuah simpul di V1 dan sebuah simpul di V2.
(Wibisono, 2008, 129).

V1

V2

Gambar 2. 14 Graf Teratur Bipartit G(V1,V2)

4. Graf Kompatibel (Graf Terapan)
Graf kompatibel ialah suatu graf dengan himpunan simpul
menyatakan objek yang diatur dan himpunan sisinya menunjukan pasangan
objek yang mampu bekerja atau bergerak secara serasi. Menurut Hardianti
et al (2013: 2) penerapan graf kompatibel salah satunya digunakan untuk
mengatur arus lalu lintas pada suatu simpang jalan dengan simpul

32

menyatakan arus lalu lintas dan sisi menyatakan pasangan arus yang dapat
berjalan secara serasi tanpa menyebabkan konflik.
Menurut Yolanda et al (2014: 2) pemodelan graf kompatibel dalam
sistem arus lalu lintas pada sebuah simpang jalan dengan langkah-langkah:
a. Menggambarkan sistem arus lalu lintas dari sebuah simpang jalan.
b. Menggambarkan graf kompatibel, dengan simpul melambangkan arus
lalu lintas yang akan diatur, dan sisi menunjukan pasangan objek yang
kompatibel. Dua buah simpul dihubungkan dengan sisi jika kedua arus
saling kompatibel.
c. Menentukan subgraph lengkap terbesar.
d. Menentukan fase arus lalu lintas berdasarkan banyak subgraph lengkap.

d. Pelabelan Fuzzy pada Graf
Pelabelan fuzzy pada graf adalah suatu pemet