Distribusi Binomial Negatif dan Distribu
MAKALAH
STATISTIKA MATEMATIKA
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK
Dosen Pembimbing:
Abdul Aziz,M.Si
Nama Kelompok:
1.
2.
3.
4.
5.
Nurul Anggraeni Hidayati
Nur Azlindah
M. Helmi P.
Roikhatul Jannah
Siti Ainur Rohmah
(14610002)
(14610005)
(14610020)
(14610021)
(14610030)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2016
1. Distribusi Binomial Negatif (Negative Binomial)
1.1 Definisi
Distribusi ini berkaitan dengan suatu percobaan yang diulang beberapa kali
secara bebas sehingga mendapatkan sukses yang ke- . Dimana sukses terakhir
adalah akhir percobaan. Secara khusus, untuk
distribusi geometrik.
=
distribusi ini sama dengan
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial negatif termasuk
distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan yang
saling bebas.
Percobaan akan mengikuti distribusi binomial jika dalam setiap percobaan
selalu memiliki dua kejadian yang mungkin, yakni ”Sukses” atau ”Gagal”.
Dimana dua kemungkinan tersebut selalu memiliki nilai probabilitas yang
sama. Dalam praktiknya, sukses dan gagal dapat didefinisikan sesuai keperluan,
Misal:
1.
Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)
2. Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)
3. Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)
4. Puas (sukses), tidak puas (gagal)
Percobaan akan mengikuti distribusi binomial negatif jika:
1. Percobaan terdiri atas
usaha yang saling independen atau saling bebas,
maksudnya hasil suatu percobaan tidak akan berpengaruh terhadap hasil
percobaan selanjutnya.
2. Tiap percobaan hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau
gagal.
3. Probabilitas sukses dan gagal untuk tiap percobaan adalah tetap, yaitu
probabilitas gagal adalah
−
dan
Variabel random yang menyatakan banyaknya percobaan agar terjadi
sukses ke-
merupakan variable random binomial negatif.
1.2 Fungsi Peluang
Secara umum jika
yang ke-r ,
sebagai banyak percobaan sehingga didapat sukses
menyatakan peluang sukses, dan
menyatakan peluang gagal.
Sehingga diperoleh pdf atau fungsi kepadatan peluang dari
−
−
=
= , + , + , + ,..
atau
−
−
=
Fungsi
−
adalah
−
−
= , + , + , + ,..
disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi binomial
negative) dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi
peluang ;
1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa
2. ∑
=
Proof
∑
= ∑∞= (
= (
=(
=
=
−
−
)
−
−
)
= ∑∞=
−
−
+ −
+⋯
+(
+
+
−
+(
)
−
− −
−
+ −
−
+ !
!
!
)
+(
+(
−
−
+ −
−
−
)
+(
! − !
! − !
! − !
−
−
−
+ − −
=
)
−
−
+
+
−
−
)
)
−
−
+(
+ −
+
+⋯
+ !
! − !
+⋯
−
+ −
+
−
)
+(
+ !
+ − −
−
+(
+ −
−
−
+
−
)
+(
−
! − !
+
+ !
)
! − !
−
−
+
−
)
−
+⋯
+
−
+⋯
=
=
=
=
− !
{ +
+⋯}
{ +
−
!
( − −
�
−
! − !
)
=
+
+
=
�
+
+
!
− +
�
− !
=
+
+
−
+
+
−
! − !
!
+
+
! − !
− !
−
+⋯}
−
�
Dari pembuktian diatas dapat di ketahui bahwa fungsi
merupakan
fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X diskrit. Peubah acak semacam
ini disebut bersebaran binomial negatif (negative binomial), di notasikan
~
sebagai
; ,
,
, dan fungsi kepadatan peluangnya ditulis sebagai
. sehingga
~
,
↔
=
Dimana
=
=
; ,
=(
= , + , + ….
−
)
−
adalah peluang terjadi sukses ke
Distribusi peluang dari peubah acak
dengan menggunakan transformasi
−
−
pada percobaan ke .
dapat dinyatakan dengan bentuk lain,
=
− , dimana
menyatakan jumlah
kegagalan sebelum terjadi sukses . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan
dengan
=
=
; ,
=(
+ −
)
−
= , , , ,…
Kata binomial negatif didapat dari hubungan distribusi peluang dari peubah
acak dengan bentuk lain yang sudah dijelaskan sebelumnya, lebih lengkapnya
sebagai berikut:
(
+
−
)= −
−
= −
− − −
… − −
− …
+
Suatu peubah acak � berdistribusi negatif binomial bila (untuk suatu
bilangan bulat �
, dan suatu p dengan
�
Dalam percobaan tertentu dikatakan
menyatakan peluang gagal sehingga
=
menyatakan peluang sukses, dan
dapat dikatakan
− , dimana
percobaan yang dilakukan bebas satu sama lain.
1.3 Parameter Distribusi
a. Mean/Ekspektasi
�
=
keterangan:
= Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke−
= Peluang sukses
proof:
=∑
�
= ∑∞=
(
−
−
= ( −
)
−
+ −
( − )
= (
=
=
=
=
=
−
−
)
+
+⋯
−
+
−
{ +
+
{ +
+
{ +
{ +
−
)
+
+
= ∑∞=
−
−
+
+
+
!
−
−
(
+ (
−
+⋯
+
(
−
( − − )! − !
!
! − !
!
!
−
− !
− !
−
−
+
+
+
−
+
+
)
+ −
−
)
)
−
−
−
+
+
+
! − !
+
!
−
−
(
+
+
−
+
)
−
+ !
( + − − )! − !
+ !
+
+
+ −
−
+
+
+
−
+
!
−
+ ⋯}
−
+ ⋯}
−
− !
+ ⋯}
+⋯
!
−
+ ⋯}
=
=
{ +
+
− −
=
�
b. Varian
�+
=
=
−
=
+
+
− +
�+
+
=
�
+ ⋯}
−
�+
−
=
keterangan:
= Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke−
= Peluang sukses
proof:
�(
−
) =∑
= ∑∞=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
−
=
=
+
−
−
−
ǃ
ǃ − ǃ
+ ǃ
ǃ − ǃ
+
+
+
(
+
(
+
( − )
= +
⋯}
=
−
ǃ
)
−
−
−
−
+
−
{ +
+
−
−
)
−
−
−
+
+
− +
+⋯
+
− −
�+
−
+⋯
+
+
+
−
�+
+
−
)
−
+ ǃ
+
+
+
−
+
+
−
ǃ − ǃ
ǃ
+⋯
ǃ
(
ǃ
+
−
+
�(
−
)=�
−
=�
−�
=�
=�
− �
−�
�
=�
−�
Penjabaran diatas sesuai dengan teorema ekspektasi.
�
= �(
−
=
+
=
+ −
=
+ −
Var (x) = �
=
−
+
−�
–
−rp
=
+
−
+ −
)+ �
−
=
c. Fungsi Pembangkit Momen
=
�
−
Keterangan:
�
−
p=Peluang Sukses
Proof:
=�
=∑
=
��
�
�
+
= ∑∞=
� +
�
−
(
−
−
)
−
−
+
−
� +
(
+
)
−
−
+⋯
=
=
=
=
=
�
{ +
�
{ +
�
{ +
�
��
− −
− −
�
�
!
(
!
! − !
− !
! − !
�
−
−
−
)+
�
+
�
+
+
!
+ !
! − !
(
+
�
−
− !
! − !
−
−
+⋯}
) +⋯}
+⋯}
�� �
��
1.4 Contoh Aplikasi
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan
pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas
(yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan
adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n,
distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
Contoh soal binomial negatif
Dalam suatu turnamen bola voli pertandingan dinyatakan berakhir jika salah
satu tim sudah memperoleh tiga kali kemenangan. Missal tim A sedang
berhadapan dengan tim B. bedasarkan data yang diperoleh dari pertandingan= . , pada tiap
pertandingan sebelumnya diperoleh bahwa
pertemuan dan anggap merupakan kejadian bebas. Berapakah peluang bahwa
pertandingan berakhir dalam empat pertemuan?
Diketahui:
=
=
=
=
= .
= .
Ditanyakan: Peluang pertandingan berakhir pada empat pertemuan?
Pertandingan akan berakhir jika A menang atau B menang. Artinya,
pertandingan akan berakhir jika A berhasil memperoleh 3 kali kemenangan atau B
berhasil memperoleh 3 kali kemenangan.
P (A menang dalam pertandingan) + P (B menang dalam pertandingan)
Jawab:P (A menang dalam pertandingan) =
∗
; ,
=( ) .
.
=
=
=
∗
; , .
!
!
. !
!. !
=
.
.
.
= .
∗
; ,
=( ) .
.
P (B menang dalam pertandingan)=
=
=
=
=
∗
!
. !
!. !
= .
.
.
.
)
) .
−
=(
−
−
)
−
=(
.
−
.
; , .
!
−
−
−
−
=(
=(
−
−
) .
.
−
.
P (A menang dalam pertandingan) + P (B menang dalam pertandingan) =
.
+ .
= .
2. Distribusi Geometrik
2.1 Definisi
Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif
untuk
=
, yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan
untuk mendapatkan sukses pertama.
Distribusi ini berpangkal pada percobaan Bernoulli dimana hanya terdapat
dua kemungkinan yaitu sukses atau gagal, yang diulang berkali-kali sampai
mendapatkan sukses pertama. Dimana setiap percobaan tidak akan
berpengaruh pada percobaan selanjutnya.
2.2 Fungsi Peluang
Secara umum jika
sukses pertama,
adalah sebagai banyak percobaan sampai mendapatkan
menyatakan peluang kejadian sukses, dan
peluan kejadian gagal. Maka diperoleh pdf dari
−
=
−
−
adalah
= , , . ..
Atau
=
menyatakan
= , , . ..
Peubah acak semacam ini disebut bersebaran geometrik, ditulis sebagai
~��
, dan pdf atau fungsi kepadatan peluangnya nya ditulis sebagai
Fungsi
~��
↔
=
=
−
−
,
= , , ,…
disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi geometrik) dari
peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ;
1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa
2. ∑
=
Untuk pembuktian :
∑
= ∑∞=
=
=
−
−
+
= { +
=
− −
= ∑∞=
+
−
−
=
+
−
+
=
−
−
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+⋯
−
−
+⋯
+⋯}
Seperti sebelumnya, distribusi peluang dari peubah acak
dengan bentuk lain, dengan menggunakan transformasi
=
dapat dinyatakan
− , dimana
menyatakan jumlah kegagalan sebelum terjadi sukses . Khusus untuk distribusi
geometrik,
= . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan dengan
=
=
=
; ,
=
=
=
=(
; ,
; ,
+
ℎ
=
−
−
)
= , , , ,…
= , , , ,…
=
= , , , ,…
Sifat tanpa memori
Misal ~��
> + | >
. Maka
Proof:
> + | >
=
� �> +
=
=
�>
−( −
−( −
=
=
+
)
)
−
�≤ +
−� �≤
=
+
>
2.3 Parameter Distribusi
a. Mean/Ekspektasi
�
keterangan:
= Peluang sukses
proof:
E(X) = ∑
= ∑∞=
−
−
=
=
>
=
+
−
{ +
=
=
−
− −
=
+
−
+
+
−
+
−
+⋯
+⋯}
−
=
b. Varian
�
=
−
keterangan:
= Peluang sukses
proof:
�(
)=∑
−
= ∑∞=
−
=
−
=
=
−
=
= �(
=
−
−
+
−
−
= +
−
+..
−
. .
�
−
{ +
−
)+ �
−
+ . .
−
+ . .
−
+
−
− −
+
+
−
−
+⋯}
=
−
=
−
+
Var (x) = �
=
−
=
− −
=
−
−�
-
c. Fungsi Pembangkit Momen
=
Keterangan:
�
−
−
�
−
+
�
p=Peluang sukses
proof:
��
=�
�
=∑
= ∑∞=
=
=
=
=
�
�{
�
+
�
+
−� �
��
− −
�
�
−
−
−
−
−
+
�
�
−
+
�
−
−
+⋯}
+⋯
��
2.4 Contoh Aplikasi
Area aplikasi untuk distribusi geometrik misalkan dalam mengetahui
tingkat keberhasilan pengeboran minyak, dan penggalian sumur.
Contoh soal distribusi geometrik
Peluang seorang pemain basket memasukkan bola kedalam keranjang
adalah 0.7. karena dilanggar oleh pemain lawan maka pemain tersebut
mendapatkan hadiah “3 bola”. Jika masing-masing kesempatan untuk
memasukkan bola kita anggap bebas, maka berapakah peluang bahwa pemain
tadi pertama kali memasukkan bola pada kesempatan ketiga? Berapakah peluang
paling sedikit pemain tersebut memasukkan satu bola pada ketiga kesempatan?
Diketahui:
(kejadian sukses memasukkan bola ke dalam keranjang)=
=
–
=
− . = .
Misalkan “x adalah banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses
pertama”
Ditanyakan:
a.
=
=
b.
Jawab:
=
= ⋯?
=
=
= ⋯?
;
=
; .
−
=
=
=
.
=
=
=
=
.
; .
= . { .
= .
.
=
.
= .
+
−
+
+
.
.
; .
+
.
.
+ . +
−
.
.
=
.
+
+
+
.
.
= .
; .
−
}
.
=
+
.
= .
.
−
.
STATISTIKA MATEMATIKA
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK
Dosen Pembimbing:
Abdul Aziz,M.Si
Nama Kelompok:
1.
2.
3.
4.
5.
Nurul Anggraeni Hidayati
Nur Azlindah
M. Helmi P.
Roikhatul Jannah
Siti Ainur Rohmah
(14610002)
(14610005)
(14610020)
(14610021)
(14610030)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2016
1. Distribusi Binomial Negatif (Negative Binomial)
1.1 Definisi
Distribusi ini berkaitan dengan suatu percobaan yang diulang beberapa kali
secara bebas sehingga mendapatkan sukses yang ke- . Dimana sukses terakhir
adalah akhir percobaan. Secara khusus, untuk
distribusi geometrik.
=
distribusi ini sama dengan
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial negatif termasuk
distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan yang
saling bebas.
Percobaan akan mengikuti distribusi binomial jika dalam setiap percobaan
selalu memiliki dua kejadian yang mungkin, yakni ”Sukses” atau ”Gagal”.
Dimana dua kemungkinan tersebut selalu memiliki nilai probabilitas yang
sama. Dalam praktiknya, sukses dan gagal dapat didefinisikan sesuai keperluan,
Misal:
1.
Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)
2. Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)
3. Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)
4. Puas (sukses), tidak puas (gagal)
Percobaan akan mengikuti distribusi binomial negatif jika:
1. Percobaan terdiri atas
usaha yang saling independen atau saling bebas,
maksudnya hasil suatu percobaan tidak akan berpengaruh terhadap hasil
percobaan selanjutnya.
2. Tiap percobaan hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau
gagal.
3. Probabilitas sukses dan gagal untuk tiap percobaan adalah tetap, yaitu
probabilitas gagal adalah
−
dan
Variabel random yang menyatakan banyaknya percobaan agar terjadi
sukses ke-
merupakan variable random binomial negatif.
1.2 Fungsi Peluang
Secara umum jika
yang ke-r ,
sebagai banyak percobaan sehingga didapat sukses
menyatakan peluang sukses, dan
menyatakan peluang gagal.
Sehingga diperoleh pdf atau fungsi kepadatan peluang dari
−
−
=
= , + , + , + ,..
atau
−
−
=
Fungsi
−
adalah
−
−
= , + , + , + ,..
disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi binomial
negative) dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi
peluang ;
1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa
2. ∑
=
Proof
∑
= ∑∞= (
= (
=(
=
=
−
−
)
−
−
)
= ∑∞=
−
−
+ −
+⋯
+(
+
+
−
+(
)
−
− −
−
+ −
−
+ !
!
!
)
+(
+(
−
−
+ −
−
−
)
+(
! − !
! − !
! − !
−
−
−
+ − −
=
)
−
−
+
+
−
−
)
)
−
−
+(
+ −
+
+⋯
+ !
! − !
+⋯
−
+ −
+
−
)
+(
+ !
+ − −
−
+(
+ −
−
−
+
−
)
+(
−
! − !
+
+ !
)
! − !
−
−
+
−
)
−
+⋯
+
−
+⋯
=
=
=
=
− !
{ +
+⋯}
{ +
−
!
( − −
�
−
! − !
)
=
+
+
=
�
+
+
!
− +
�
− !
=
+
+
−
+
+
−
! − !
!
+
+
! − !
− !
−
+⋯}
−
�
Dari pembuktian diatas dapat di ketahui bahwa fungsi
merupakan
fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X diskrit. Peubah acak semacam
ini disebut bersebaran binomial negatif (negative binomial), di notasikan
~
sebagai
; ,
,
, dan fungsi kepadatan peluangnya ditulis sebagai
. sehingga
~
,
↔
=
Dimana
=
=
; ,
=(
= , + , + ….
−
)
−
adalah peluang terjadi sukses ke
Distribusi peluang dari peubah acak
dengan menggunakan transformasi
−
−
pada percobaan ke .
dapat dinyatakan dengan bentuk lain,
=
− , dimana
menyatakan jumlah
kegagalan sebelum terjadi sukses . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan
dengan
=
=
; ,
=(
+ −
)
−
= , , , ,…
Kata binomial negatif didapat dari hubungan distribusi peluang dari peubah
acak dengan bentuk lain yang sudah dijelaskan sebelumnya, lebih lengkapnya
sebagai berikut:
(
+
−
)= −
−
= −
− − −
… − −
− …
+
Suatu peubah acak � berdistribusi negatif binomial bila (untuk suatu
bilangan bulat �
, dan suatu p dengan
�
Dalam percobaan tertentu dikatakan
menyatakan peluang gagal sehingga
=
menyatakan peluang sukses, dan
dapat dikatakan
− , dimana
percobaan yang dilakukan bebas satu sama lain.
1.3 Parameter Distribusi
a. Mean/Ekspektasi
�
=
keterangan:
= Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke−
= Peluang sukses
proof:
=∑
�
= ∑∞=
(
−
−
= ( −
)
−
+ −
( − )
= (
=
=
=
=
=
−
−
)
+
+⋯
−
+
−
{ +
+
{ +
+
{ +
{ +
−
)
+
+
= ∑∞=
−
−
+
+
+
!
−
−
(
+ (
−
+⋯
+
(
−
( − − )! − !
!
! − !
!
!
−
− !
− !
−
−
+
+
+
−
+
+
)
+ −
−
)
)
−
−
−
+
+
+
! − !
+
!
−
−
(
+
+
−
+
)
−
+ !
( + − − )! − !
+ !
+
+
+ −
−
+
+
+
−
+
!
−
+ ⋯}
−
+ ⋯}
−
− !
+ ⋯}
+⋯
!
−
+ ⋯}
=
=
{ +
+
− −
=
�
b. Varian
�+
=
=
−
=
+
+
− +
�+
+
=
�
+ ⋯}
−
�+
−
=
keterangan:
= Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke−
= Peluang sukses
proof:
�(
−
) =∑
= ∑∞=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
−
=
=
+
−
−
−
ǃ
ǃ − ǃ
+ ǃ
ǃ − ǃ
+
+
+
(
+
(
+
( − )
= +
⋯}
=
−
ǃ
)
−
−
−
−
+
−
{ +
+
−
−
)
−
−
−
+
+
− +
+⋯
+
− −
�+
−
+⋯
+
+
+
−
�+
+
−
)
−
+ ǃ
+
+
+
−
+
+
−
ǃ − ǃ
ǃ
+⋯
ǃ
(
ǃ
+
−
+
�(
−
)=�
−
=�
−�
=�
=�
− �
−�
�
=�
−�
Penjabaran diatas sesuai dengan teorema ekspektasi.
�
= �(
−
=
+
=
+ −
=
+ −
Var (x) = �
=
−
+
−�
–
−rp
=
+
−
+ −
)+ �
−
=
c. Fungsi Pembangkit Momen
=
�
−
Keterangan:
�
−
p=Peluang Sukses
Proof:
=�
=∑
=
��
�
�
+
= ∑∞=
� +
�
−
(
−
−
)
−
−
+
−
� +
(
+
)
−
−
+⋯
=
=
=
=
=
�
{ +
�
{ +
�
{ +
�
��
− −
− −
�
�
!
(
!
! − !
− !
! − !
�
−
−
−
)+
�
+
�
+
+
!
+ !
! − !
(
+
�
−
− !
! − !
−
−
+⋯}
) +⋯}
+⋯}
�� �
��
1.4 Contoh Aplikasi
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan
pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas
(yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan
adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n,
distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
Contoh soal binomial negatif
Dalam suatu turnamen bola voli pertandingan dinyatakan berakhir jika salah
satu tim sudah memperoleh tiga kali kemenangan. Missal tim A sedang
berhadapan dengan tim B. bedasarkan data yang diperoleh dari pertandingan= . , pada tiap
pertandingan sebelumnya diperoleh bahwa
pertemuan dan anggap merupakan kejadian bebas. Berapakah peluang bahwa
pertandingan berakhir dalam empat pertemuan?
Diketahui:
=
=
=
=
= .
= .
Ditanyakan: Peluang pertandingan berakhir pada empat pertemuan?
Pertandingan akan berakhir jika A menang atau B menang. Artinya,
pertandingan akan berakhir jika A berhasil memperoleh 3 kali kemenangan atau B
berhasil memperoleh 3 kali kemenangan.
P (A menang dalam pertandingan) + P (B menang dalam pertandingan)
Jawab:P (A menang dalam pertandingan) =
∗
; ,
=( ) .
.
=
=
=
∗
; , .
!
!
. !
!. !
=
.
.
.
= .
∗
; ,
=( ) .
.
P (B menang dalam pertandingan)=
=
=
=
=
∗
!
. !
!. !
= .
.
.
.
)
) .
−
=(
−
−
)
−
=(
.
−
.
; , .
!
−
−
−
−
=(
=(
−
−
) .
.
−
.
P (A menang dalam pertandingan) + P (B menang dalam pertandingan) =
.
+ .
= .
2. Distribusi Geometrik
2.1 Definisi
Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif
untuk
=
, yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan
untuk mendapatkan sukses pertama.
Distribusi ini berpangkal pada percobaan Bernoulli dimana hanya terdapat
dua kemungkinan yaitu sukses atau gagal, yang diulang berkali-kali sampai
mendapatkan sukses pertama. Dimana setiap percobaan tidak akan
berpengaruh pada percobaan selanjutnya.
2.2 Fungsi Peluang
Secara umum jika
sukses pertama,
adalah sebagai banyak percobaan sampai mendapatkan
menyatakan peluang kejadian sukses, dan
peluan kejadian gagal. Maka diperoleh pdf dari
−
=
−
−
adalah
= , , . ..
Atau
=
menyatakan
= , , . ..
Peubah acak semacam ini disebut bersebaran geometrik, ditulis sebagai
~��
, dan pdf atau fungsi kepadatan peluangnya nya ditulis sebagai
Fungsi
~��
↔
=
=
−
−
,
= , , ,…
disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi geometrik) dari
peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ;
1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa
2. ∑
=
Untuk pembuktian :
∑
= ∑∞=
=
=
−
−
+
= { +
=
− −
= ∑∞=
+
−
−
=
+
−
+
=
−
−
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+⋯
−
−
+⋯
+⋯}
Seperti sebelumnya, distribusi peluang dari peubah acak
dengan bentuk lain, dengan menggunakan transformasi
=
dapat dinyatakan
− , dimana
menyatakan jumlah kegagalan sebelum terjadi sukses . Khusus untuk distribusi
geometrik,
= . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan dengan
=
=
=
; ,
=
=
=
=(
; ,
; ,
+
ℎ
=
−
−
)
= , , , ,…
= , , , ,…
=
= , , , ,…
Sifat tanpa memori
Misal ~��
> + | >
. Maka
Proof:
> + | >
=
� �> +
=
=
�>
−( −
−( −
=
=
+
)
)
−
�≤ +
−� �≤
=
+
>
2.3 Parameter Distribusi
a. Mean/Ekspektasi
�
keterangan:
= Peluang sukses
proof:
E(X) = ∑
= ∑∞=
−
−
=
=
>
=
+
−
{ +
=
=
−
− −
=
+
−
+
+
−
+
−
+⋯
+⋯}
−
=
b. Varian
�
=
−
keterangan:
= Peluang sukses
proof:
�(
)=∑
−
= ∑∞=
−
=
−
=
=
−
=
= �(
=
−
−
+
−
−
= +
−
+..
−
. .
�
−
{ +
−
)+ �
−
+ . .
−
+ . .
−
+
−
− −
+
+
−
−
+⋯}
=
−
=
−
+
Var (x) = �
=
−
=
− −
=
−
−�
-
c. Fungsi Pembangkit Momen
=
Keterangan:
�
−
−
�
−
+
�
p=Peluang sukses
proof:
��
=�
�
=∑
= ∑∞=
=
=
=
=
�
�{
�
+
�
+
−� �
��
− −
�
�
−
−
−
−
−
+
�
�
−
+
�
−
−
+⋯}
+⋯
��
2.4 Contoh Aplikasi
Area aplikasi untuk distribusi geometrik misalkan dalam mengetahui
tingkat keberhasilan pengeboran minyak, dan penggalian sumur.
Contoh soal distribusi geometrik
Peluang seorang pemain basket memasukkan bola kedalam keranjang
adalah 0.7. karena dilanggar oleh pemain lawan maka pemain tersebut
mendapatkan hadiah “3 bola”. Jika masing-masing kesempatan untuk
memasukkan bola kita anggap bebas, maka berapakah peluang bahwa pemain
tadi pertama kali memasukkan bola pada kesempatan ketiga? Berapakah peluang
paling sedikit pemain tersebut memasukkan satu bola pada ketiga kesempatan?
Diketahui:
(kejadian sukses memasukkan bola ke dalam keranjang)=
=
–
=
− . = .
Misalkan “x adalah banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses
pertama”
Ditanyakan:
a.
=
=
b.
Jawab:
=
= ⋯?
=
=
= ⋯?
;
=
; .
−
=
=
=
.
=
=
=
=
.
; .
= . { .
= .
.
=
.
= .
+
−
+
+
.
.
; .
+
.
.
+ . +
−
.
.
=
.
+
+
+
.
.
= .
; .
−
}
.
=
+
.
= .
.
−
.