peubah acak dan teori sebaran
VII.PEUBAH ACAK
Percobaan dengan metode statistika telah digunakan untuk menjelaskan setiap
proses yang menghasilkan pengukuran yang berkemungkinan. Untuk memusatkan
perhatian kita pada ukuran kuantitatif maka kita lebih tertarik terhadap gambaran numeric
dari hasil percobaan. Sebagai contoh ruang sample yang memberikan gambaran
menyeluruh bilasuatu mata uang bersisi dua muka (M) dan belakang (B) dilantunkan tiga
kali dapat ditulis sebagai berikut :
S = {MMM,MMB,MBM,BMM,MBB,BMB,BBM,BBB}
Bila diperhatikan hanya banyaknya belakang (B) yang muncul maka hasilnumeriknya
adalah 0,1,2 atau 3 bilamana 0,1,2 dan 3 merupakan pengamatan acak yang ditentukan
oleh hasil percobaan dalam hal ini menyatakan keungkinan banyaknya kali uang bagian
muka yang muncul bila satu mata uang dilantunkan tiga kali.
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai nyata yang harganya ditentukan
oleh tiap anggota dalam ruang sample.
Suatu peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf besar mislnya A,B,X,Y dan
seterusnya sedangkan harganya denagn huruf kecil misalnya a,b,x,y dst.
Bila x menyatakan kemungkinan jumlah anak laki yang lahir bila pasangan suami
istri merencanakan punya 2 anak sudah cukup maka nilai x yang mungkin dari peubah
acak X adalah
kejadian
PP
LP
PL
LL
x
0
1
1
2
Bila suatu percobaan menghasilkan ruang sample yang berhingga dan ruang
sampelnya merupakan bilangan bulat maka ruang sample itu disebut ruang sample
Diskret dan peubah acak yang didefinisikan tersebut disebut peubah acak diskret.
Hasil percobaan mungkin saja tidak terhingga banyaknya atau tak terhitung
sehingga peubah acak tersebut menghasilkan nilai rasional (pecahan) maka peubah acak
tersebut disebut peubah acak kontinu. Dalam kebanyakan persoalan praktis peubah acak
kontinu mempunyai nilai berupa data terukur denagn menggunakan skala rasional seperti
tinggi, berat, jangka waktu dan sebagainya.
a. Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret
suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin mendapatkan nialai peluang
tertentu. Dalam kasusu melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang
menyatakan banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2 dengan peluang 3/8 .pada
contoh kemungkinan banyaknya anak laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri
merencanakan 2 anak cukup disajikan pada table berikut :
X
0
1
2
P ( X =x)
¼
½
¼
Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu), karena x menyatakan suatu yang
mungkin.
Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan sebagainya jadi f(x)
=P(X=X)
Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4
Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam broiler 5 ekor diantaranya
adalah jantan.jika seorang peternak mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah
sebaran peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan yang terambil
Ayam broiler jantan yang mungkin terambil adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang
yangberbeda seperti disajikan pada table berikut :
X
f(x)=P(X=x)
0
24/91
Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24
15 14 13 2730 91
1
45/91
2
20/91
3
2/91
coba cari yang lain
Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran peluang diskret. Ada
dua macam grafik yang biasa digunakan adalah diagram batang atau histogram.
Sebagai contoh kita gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M)
yang peluang muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan.
Adapun sebaran peluang seperti table berikut :
x
0
f (x) =P(x) 1/16
f(x)=P(X=x)
1
4/16
2
6/16
3
4/16
f(x)=P(X=x)
4
1/16
6/16
5/16
4/16
3/16
2/16
1/16
0 1
2
3
4
Gambar grafik batang
0
1
2
3
4
gambar histogram
b. Sebaran peubah Acak Kontinu
suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. mungkin
hal ini mengejutkan pada permulaan, tetapi akan mudah dipahami denagn contoh berikut.
Pandanglah peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi tersebut
mempunyai berat normal antara 200-300 Kg. ternyata banyak sekali sapi bali yang
berumur 2 tahun yang mempunyai berat 200-300 Kg salah satu diantaranya adalah sapi
bali yang beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya tepat tidak kurang
sedikitpun atau persisi 210 kg mendekati 0 atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali
(1 : tak hingga).
Kenyataan diatas menyebabkan :
P(a
Percobaan dengan metode statistika telah digunakan untuk menjelaskan setiap
proses yang menghasilkan pengukuran yang berkemungkinan. Untuk memusatkan
perhatian kita pada ukuran kuantitatif maka kita lebih tertarik terhadap gambaran numeric
dari hasil percobaan. Sebagai contoh ruang sample yang memberikan gambaran
menyeluruh bilasuatu mata uang bersisi dua muka (M) dan belakang (B) dilantunkan tiga
kali dapat ditulis sebagai berikut :
S = {MMM,MMB,MBM,BMM,MBB,BMB,BBM,BBB}
Bila diperhatikan hanya banyaknya belakang (B) yang muncul maka hasilnumeriknya
adalah 0,1,2 atau 3 bilamana 0,1,2 dan 3 merupakan pengamatan acak yang ditentukan
oleh hasil percobaan dalam hal ini menyatakan keungkinan banyaknya kali uang bagian
muka yang muncul bila satu mata uang dilantunkan tiga kali.
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai nyata yang harganya ditentukan
oleh tiap anggota dalam ruang sample.
Suatu peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf besar mislnya A,B,X,Y dan
seterusnya sedangkan harganya denagn huruf kecil misalnya a,b,x,y dst.
Bila x menyatakan kemungkinan jumlah anak laki yang lahir bila pasangan suami
istri merencanakan punya 2 anak sudah cukup maka nilai x yang mungkin dari peubah
acak X adalah
kejadian
PP
LP
PL
LL
x
0
1
1
2
Bila suatu percobaan menghasilkan ruang sample yang berhingga dan ruang
sampelnya merupakan bilangan bulat maka ruang sample itu disebut ruang sample
Diskret dan peubah acak yang didefinisikan tersebut disebut peubah acak diskret.
Hasil percobaan mungkin saja tidak terhingga banyaknya atau tak terhitung
sehingga peubah acak tersebut menghasilkan nilai rasional (pecahan) maka peubah acak
tersebut disebut peubah acak kontinu. Dalam kebanyakan persoalan praktis peubah acak
kontinu mempunyai nilai berupa data terukur denagn menggunakan skala rasional seperti
tinggi, berat, jangka waktu dan sebagainya.
a. Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret
suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin mendapatkan nialai peluang
tertentu. Dalam kasusu melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang
menyatakan banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2 dengan peluang 3/8 .pada
contoh kemungkinan banyaknya anak laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri
merencanakan 2 anak cukup disajikan pada table berikut :
X
0
1
2
P ( X =x)
¼
½
¼
Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu), karena x menyatakan suatu yang
mungkin.
Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan sebagainya jadi f(x)
=P(X=X)
Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4
Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam broiler 5 ekor diantaranya
adalah jantan.jika seorang peternak mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah
sebaran peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan yang terambil
Ayam broiler jantan yang mungkin terambil adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang
yangberbeda seperti disajikan pada table berikut :
X
f(x)=P(X=x)
0
24/91
Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24
15 14 13 2730 91
1
45/91
2
20/91
3
2/91
coba cari yang lain
Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran peluang diskret. Ada
dua macam grafik yang biasa digunakan adalah diagram batang atau histogram.
Sebagai contoh kita gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M)
yang peluang muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan.
Adapun sebaran peluang seperti table berikut :
x
0
f (x) =P(x) 1/16
f(x)=P(X=x)
1
4/16
2
6/16
3
4/16
f(x)=P(X=x)
4
1/16
6/16
5/16
4/16
3/16
2/16
1/16
0 1
2
3
4
Gambar grafik batang
0
1
2
3
4
gambar histogram
b. Sebaran peubah Acak Kontinu
suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. mungkin
hal ini mengejutkan pada permulaan, tetapi akan mudah dipahami denagn contoh berikut.
Pandanglah peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi tersebut
mempunyai berat normal antara 200-300 Kg. ternyata banyak sekali sapi bali yang
berumur 2 tahun yang mempunyai berat 200-300 Kg salah satu diantaranya adalah sapi
bali yang beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya tepat tidak kurang
sedikitpun atau persisi 210 kg mendekati 0 atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali
(1 : tak hingga).
Kenyataan diatas menyebabkan :
P(a