BAB 5. LIMIT FUNGSI - BAB 5 LIMIT FUNGSI

  Saifudin Outline

BAB 5. LIMIT FUNGSI

  Saifudin Outline

1 Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit

  Saifudin Limit Definisi Limit

1 Limit

  Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit

  Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit

  Saifudin Limit Definisi Limit

  Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri Untuk mengatakan bahwa lim

  x → c f ( x ) = L

  berarti bahwa ketika

  x

  dekat tetapi berlainan dari

  c

  , maka

  f

  (

  x

  ) dekat dengan

  L .

  Contoh :

  Saifudin Limit Definisi Limit

  Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri Untuk mengatakan bahwa lim

  x → c f ( x ) = L

  berarti bahwa ketika

  x

  dekat tetapi berlainan dari

  c

  , maka

  f

  (

  x

  ) dekat dengan

  L .

  Contoh :

  Saifudin Limit Definisi Limit

  Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri Untuk mengatakan bahwa lim

  x → c f ( x ) = L

  berarti bahwa ketika

  x

  dekat tetapi berlainan dari

  c

  , maka

  f

  (

  x

  ) dekat dengan

  L .

  Contoh :

  Saifudin Limit

  Definisi Limit

1 Limit

  Limit -limit satu sisi

  Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit

  Limit -limit satu sisi

  Presisi limit Teorema limit

  Saifudin Definisi limit kiri dan limit kanan

  Limit

  Definisi Limit bahwa

  Limit -limit satu sisi

  Presisi limit

  f ( x ) = L

  lim Teorema limit +

  x → c

  Penyelesaian limit Limit tak hingga

  x c f x

  berarti bahwa ketika dekat tetapi sebelah kanan , maka ( ) dekat Limit fungsi trigonometri

  L

  dengan . Demikian pula bahwa

  Saifudin Teorema A

  Limit

  Definisi Limit

  Limit -limit satu sisi

  Presisi limit

  f x

  lim ( ) Teorema limit

  x → c

  Penyelesaian limit Limit tak hingga jika dan hanya jika Limit fungsi

  f x L

  trigonometri lim ( ) =

• →

  x c

  dan

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

1 Limit

  Presisi limit

  Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

  Presisi limit

  Teorema limit

  Saifudin Limit

  ) −

  ) −

  f ( x

  | < δ ⇒ |

  c

  −

  x

  | < δ yakni 0 < |

  c

  −

  x

  | < ε asalkan 0 < |

  L

  

x

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

  (

  f

  berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga |

  L

  ) =

  x

  (

  x → c f

  bahwa lim

  Definisi limit kiri dan limit kanan

  Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Presisi limit

  L | < ε.

  Saifudin Limit

  ) −

  ) −

  f ( x

  | < δ ⇒ |

  c

  −

  x

  | < δ yakni 0 < |

  c

  −

  x

  | < ε asalkan 0 < |

  L

  

x

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

  (

  f

  berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga |

  L

  ) =

  x

  (

  x → c f

  bahwa lim

  Definisi limit kiri dan limit kanan

  Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Presisi limit

  L | < ε.

  Saifudin Limit

  ) −

  ) −

  f ( x

  | < δ ⇒ |

  c

  −

  x

  | < δ yakni 0 < |

  c

  −

  x

  | < ε asalkan 0 < |

  L

  

x

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

  (

  f

  berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga |

  L

  ) =

  x

  (

  x → c f

  bahwa lim

  Definisi limit kiri dan limit kanan

  Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Presisi limit

  L | < ε.

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit

1 Limit

  Teorema limit

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit

  Teorema limit

  Saifudin

  1 k k lim =

  Limit x → c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit Teorema limit

  x c lim =

  Penyelesaian limit x → c Limit tak hingga Limit fungsi

  3

  trigonometri

  kf ( x ) = k f ( x ) lim lim x → c x → c

  Saifudin

  1 k k

  lim =

  Limit x → c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit Teorema limit

  x c lim =

  Penyelesaian limit x → c Limit tak hingga Limit fungsi

  3

  trigonometri

  kf ( x ) = k f ( x ) lim lim x → c x → c

  Saifudin

  1 k k

  lim =

  Limit x → c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit Teorema limit

  x c

  lim = Penyelesaian limit x → c Limit tak hingga Limit fungsi

  3

  trigonometri

  kf ( x ) = k f ( x ) lim lim x → c x → c

  Saifudin

  1 k k

  lim =

  Limit x → c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit Teorema limit

  x c

  lim = Penyelesaian limit x → c Limit tak hingga Limit fungsi

  3

  trigonometri

  kf ( x ) = k f ( x )

  lim lim

  x → c x → c

  Saifudin

  1 k k

  lim =

  Limit x → c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit Teorema limit

  x c

  lim = Penyelesaian limit x → c Limit tak hingga Limit fungsi

  3

  trigonometri

  kf ( x ) = k f ( x )

  lim lim

  x → c x → c

  Saifudin

  1 k k

  lim =

  Limit x → c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit Teorema limit

  x c

  lim = Penyelesaian limit x → c Limit tak hingga Limit fungsi

  3

  trigonometri

  kf ( x ) = k f ( x )

  lim lim

  x → c x → c

  Saifudin

  1 f x g x f x g x lim [ ( ). ( )] = lim ( ). lim ( ) x → c x → c x → c

  Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit

  f x f x ( ) lim x → c ( )

  Teorema limit lim =

  Penyelesaian limit →

  x c g x g x ( ) lim x → c ( )

  Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  3 n n f x f x lim [ ( )] = [ lim ( )] x → c x → c

  Saifudin

  1 f x g x f x g x

  lim [ ( ). ( )] = lim ( ). lim ( )

  x → c x → c x → c Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit

  f x f x ( ) lim x → c ( )

  Teorema limit lim =

  Penyelesaian limit →

  x c g x g x ( ) lim x → c ( )

  Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  3 n n f x f x lim [ ( )] = [ lim ( )] x → c x → c

  Saifudin

  1 f x g x f x g x

  lim [ ( ). ( )] = lim ( ). lim ( )

  x → c x → c x → c Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit

  f x f x

  ( ) lim x → c ( )

  Teorema limit

  lim = Penyelesaian limit →

  x c g x g x

  ( ) lim x → c ( ) Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  3 n n f x f x lim [ ( )] = [ lim ( )] x → c x → c

  Saifudin

  1 f x g x f x g x

  lim [ ( ). ( )] = lim ( ). lim ( )

  x → c x → c x → c Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit

  f x f x

  ( ) lim x → c ( )

  Teorema limit

  lim = Penyelesaian limit →

  x c g x g x

  ( ) lim x → c ( ) Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  3 n n f x f x

  lim [ ( )] = [ lim ( )]

  x → c x → c

  Saifudin

  1 f x g x f x g x

  lim [ ( ). ( )] = lim ( ). lim ( )

  x → c x → c x → c Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

2 Presisi limit

  f x f x

  ( ) lim x → c ( )

  Teorema limit

  lim = Penyelesaian limit →

  x c g x g x

  ( ) lim x → c ( ) Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  3 n n f x f x

  lim [ ( )] = [ lim ( )]

  x → c x → c

  Saifudin Contoh

  Limit Carilah

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

1 Presisi limit

  4 lim 2 x

  Teorema limit x →3

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi

  2

  trigonometri

  2 x x lim (3 ) − 2 x →3

  Saifudin Contoh

  Limit Carilah

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

1 Presisi limit

  4

  lim 2 x

  Teorema limit x →3

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi

  2

  trigonometri

  2 x x lim (3 ) − 2 x →3

  Saifudin Contoh

  Limit Carilah

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

1 Presisi limit

  4

  lim 2 x

  Teorema limit x →3

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi

  2

  trigonometri

  2 x x

  lim (3 ) − 2

  x →3

  Saifudin Contoh

  Limit Carilah

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi

1 Presisi limit

  4

  lim 2 x

  Teorema limit x →3

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi

  2

  trigonometri

  2 x x

  lim (3 ) − 2

  x →3

  Saifudin Limit

  ) asalkan

  Jika f ( x ) = g ( x ) untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mengandung bilangan c

  tidak nol

  c

  ) terdefinisi, nilai penyebut pada

  c

  (

  f

  c

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit

  (

  f

  ) =

  x

  (

  x → c f

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri lim

  Teorema limit

  , terkecuali mungkin pada bilangan c itu sendiri,

  Saifudin Limit

  f

  c

  , terkecuali mungkin pada bilangan

  c

  tidak nol Jika f ( x ) = g ( x ) untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mengandung bilangan

  c

  ) terdefinisi, nilai penyebut pada

  c

  (

  ) asalkan

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit

  c

  (

  f

  ) =

  x

  (

  x → c f

  Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri lim

  Teorema limit

  itu sendiri, Carilah

  Saifudin

  1 Limit

  5

  4 7 x x x + 6

  Definisi Limit − 10 − 13

  lim

  Limit -limit satu sisi

  2 x →2

  3 x x − 6 − 8

  Presisi limit

  Teorema limit

  Penyelesaian limit

  2 Limit tak hingga x

  − 1

  Limit fungsi

  lim √

  trigonometri

  x →1 x

  − 1 Carilah

  Saifudin

  1 Limit

  5

  4

  7 x x x + 6 Definisi Limit − 10 − 13 lim

  Limit -limit satu sisi

  2 x →2

  3 x x − 6 − 8

  Presisi limit

  Teorema limit

  Penyelesaian limit

  2 Limit tak hingga x

  − 1

  Limit fungsi

  lim √

  trigonometri

  x →1 x

  − 1 Carilah

  Saifudin

  1 Limit

  5

  4

  7 x x x + 6 Definisi Limit − 10 − 13 lim

  Limit -limit satu sisi

  2 x →2

  3 x x − 6 − 8

  Presisi limit

  Teorema limit

  Penyelesaian limit

  2 Limit tak hingga x

  − 1 Limit fungsi lim

  √ trigonometri

  x →1 x

  − 1 Carilah

  Saifudin

  1 Limit

  5

  4

  7 x x x + 6 Definisi Limit − 10 − 13 lim

  Limit -limit satu sisi

  2 x →2

  3 x x − 6 − 8

  Presisi limit

  Teorema limit

  Penyelesaian limit

  2 Limit tak hingga x

  − 1 Limit fungsi lim

  √ trigonometri

  x →1 x

  − 1 Carilah

  Saifudin

  1 Limit

  5

  4

  7 x x x + 6 Definisi Limit − 10 − 13 lim

  Limit -limit satu sisi

  2 x →2

  3 x x − 6 − 8

  Presisi limit

  Teorema limit

  Penyelesaian limit

  2 Limit tak hingga x

  − 1 Limit fungsi lim

  √ trigonometri

  x →1 x

  − 1

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit

1 Limit

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit

  Saifudin

  A. bila diperoleh bentuk tentu

  Limit

  1 Definisi Limit

  2 Limit -limit satu sisi x x

• 3

  Presisi limit

  lim

  2 Teorema limit x →2 x

  − 6 Penyelesaian limit

  Limit tak hingga

  2 Limit fungsi

  trigonometri

  x + 4 lim

  2 x →2 x

  − 4

  Saifudin

  A. bila diperoleh bentuk tentu

  Limit

  1 Definisi Limit

  2 Limit -limit satu sisi x x

• 3

  Presisi limit lim

  2 Teorema limit x →2 x

  − 6

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga

  2 Limit fungsi

  trigonometri

  x + 4 lim

  2 x →2 x

  − 4

  Saifudin

  A. bila diperoleh bentuk tentu

  Limit

  1 Definisi Limit

  2 Limit -limit satu sisi x x

• 3

  Presisi limit lim

  2 Teorema limit x →2 x

  − 6

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga

  2 Limit fungsi

  trigonometri

  x + 4

  lim

  2 x →2 x

  − 4

  Saifudin

  A. bila diperoleh bentuk tentu

  Limit

  1 Definisi Limit

  2 Limit -limit satu sisi x x

• 3

  Presisi limit lim

  2 Teorema limit x →2 x

  − 6

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga

  2 Limit fungsi

  trigonometri

  x + 4

  lim

  2 x →2 x

  − 4

  Saifudin

  A. bila diperoleh bentuk tentu

  Limit

  1 Definisi Limit

  2 Limit -limit satu sisi x x

• 3

  Presisi limit lim

  2 Teorema limit x →2 x

  − 6

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga

  2 Limit fungsi

  trigonometri

  x + 4

  lim

  2 x →2 x

  − 4

  Saifudin

A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

  2 Limit x x + 6

  − 5 Definisi Limit lim

  2 x →3 x x + 36

  Limit -limit satu sisi − 15 Presisi limit Teorema limit

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.

  Saifudin

A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

  2 Limit x x + 6

  − 5 Definisi Limit lim

  2 x →3 x x + 36

  Limit -limit satu sisi − 15 Presisi limit Teorema limit

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.

  Saifudin

A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

  2 Limit x x + 6

  − 5 Definisi Limit lim

  2 x →3 x x + 36

  Limit -limit satu sisi − 15 Presisi limit Teorema limit

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga Limit fungsi trigonometri B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.

  Saifudin Limit

  Definisi Limit

2. Cara tidak langsung

  Limit -limit satu sisi √

  √ Presisi limit

  a b

C. Dengan perkalian bentuk sekawan : bentuk ( ) sekawan

  − Teorema limit

  √ √

  a b

  dengan bentuk ( ). Contoh : Limit tak hingga Limit fungsi

• Penyelesaian limit

  √ √ trigonometri

  5 x 3 x + 7

• 1 − lim

  x →3 x

  6 − 18

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit

1 Limit

  Limit tak hingga

  Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Bentuk Saifudin f x

  Limit ( )

  lim Definisi Limit

  x →∼ g x

  ( ) Limit -limit satu sisi Presisi limit

  ∼ k

  Teorema limit dimana = 0 dan =∼ A. Dapat dikatakan :

  ∼ k

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga m m −1

• ax bx + ...

  Limit fungsi trigonometri lim

  n n x →∼ px qx + ...

• −1

Bentuk Saifudin f x

  Limit ( )

  lim Definisi Limit

  x →∼ g x

  ( ) Limit -limit satu sisi Presisi limit

  ∼ k

  Teorema limit dimana = 0 dan =∼ A. Dapat dikatakan :

  ∼ k

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga m m −1

• ax bx + ...

  Limit fungsi trigonometri lim

  n n x →∼ px qx + ...

• −1

Bentuk Saifudin f x

  Limit ( )

  lim Definisi Limit

  x →∼ g x

  ( ) Limit -limit satu sisi Presisi limit

  ∼ k

  Teorema limit dimana = 0 dan =∼ A. Dapat dikatakan :

  ∼ k

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga m m −1

• ax bx + ...

  Limit fungsi trigonometri lim

  n n x →∼ px qx + ...

• −1

Bentuk Saifudin f x

  Limit ( )

  lim Definisi Limit

  x →∼ g x

  ( ) Limit -limit satu sisi Presisi limit

  ∼ k

  Teorema limit dimana = 0 dan =∼ A. Dapat dikatakan :

  ∼ k

  Penyelesaian limit

  Limit tak hingga m m −1

• ax bx + ...

  Limit fungsi trigonometri lim

  n n x →∼ px qx + ...

• −1

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga

1 Limit

  Limit fungsi trigonometri

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Dapat dengan cara :

  Limit -limit satu sisi Presisi limit

  1 Penjabaran rumus trigonometri

  Teorema limit Penyelesaian limit

  2 Dengan derivatif

  Limit tak hingga

  Limit fungsi trigonometri

  3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

sinx tgx

  2

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Dapat dengan cara :

  Limit -limit satu sisi Presisi limit

  1 Penjabaran rumus trigonometri

  Teorema limit Penyelesaian limit

  2 Dengan derivatif

  Limit tak hingga

  Limit fungsi trigonometri

  3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

sinx tgx

  2

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Dapat dengan cara :

  Limit -limit satu sisi Presisi limit

  1 Penjabaran rumus trigonometri

  Teorema limit Penyelesaian limit

  2 Dengan derivatif

  Limit tak hingga

  Limit fungsi trigonometri

  3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

sinx tgx

  2

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Dapat dengan cara :

  Limit -limit satu sisi Presisi limit

  1 Penjabaran rumus trigonometri

  Teorema limit Penyelesaian limit

  2 Dengan derivatif

  Limit tak hingga

  Limit fungsi trigonometri

  3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

sinx tgx

  2

  Saifudin Limit

  Definisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga

  Limit fungsi trigonometri