penggunaan metode Eliminasi Gauss dan LU
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan
matematika. Begitu pula dalam ilmu fisika semua permasalahannya
digambarkan dengan persamaan matematika Untuk menyelesaikan berbagai
permasalahan fisika tersebut dapat menggunakan beberapa metode
diantaranya adalah metode analitik dan metode numerik.
Metode analitik sangat berguna namun terbatas pada masalah
sederhana. Sedangkan masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat
diselesaikan. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan
solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang
memiliki galat (error) sama dengan nol. Metode analitik hanya unggul untuk
sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran
geometri sederhana serta rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia
nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai
praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.
Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan
sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.
Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk
memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan. (Purwanto, 2011)
Pada umumnya permasalahan fisika dengan persamaan matematika
sulit diselesaikan dengan menggunakan persamaan analitik sehingga
diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Penggunaan metode numerik
diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode analitik
dan metode-metode sebelumnya. Metode numerik ini dapat diselesaikan
dengan beberapa paket program komputer yaitu exel, maple, matlab, atau
program paket lainnya. (STMIK AUB,2013)
1
Diharapkan dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung
menghitung manual yang membosankan dan tidak terjebak dalam rutinitas
hitung menghitung. Sehingga untuk menghitung dari suatu permasalahan
fisika hanya membutuhkan waktu yang singkat. Karena metode numerik
dapat mempermudah suatu perhitungan permasalahan fisika, maka pada
laporan ini akan dibahas mengenai suatu permasalahan fisika yang berjudul
“ Peningkatan Suhu terhadap Kedalaman Tanah Dalam Ilmu Geofisika”.
Permasalahan fisika ini akan diselesaikan dengan metode numerik pada
progran Matlab.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Bagaimana menyelesaikan permasalahan peningkatan suhu untuk
mengukur suatu kedalaman tanah dengan menggunakan metode
1.2.2
Eliminasi Gauss dan LU Decomposition?
Bagaimana perbandingan hasil perhitungan metode numerik Eliminasi
Gauss dan LU Decomposition dengan hasil perhitungan analitik?
1.3 Tujuan
1.3.1 Untuk mengetahui cara menyelesaikan permasalahan peningkatan
suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah dengan menggunakan
1.3.2
metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition
Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan metode numerik
Eliminasi Gauss dan LU Decomposition dengan hasil perhitungan
analitik
2
BAB 2. KAJIAN PUSTAKA
Suhu adalah besaran fisika yang menyatakan derajat panas suatu zat. Alat
untuk mengukur suhu disebut termometer. Pada termometer, zat yang paling
banyak digunakan adalah alkohol dan raksa. Yang menjadi pelopor pembuatan
termometer adalah Galileo Galilei (1564-1642).
Ada tiga istilah yang penggunaannya sering kacau jika sudah membahas
mengenai suhu, yaitu panas, kalor, dan suhu. Panas adalah salah satu bentuk
energi. Energi panas yang berpindah disebut kalor,sementara suhu adalah derajat
panas suatu benda.( Muntahar, 2014)
Suatu benda yang memiliki suhu yang berbeda akan mengalami
perpindahan kalor. Kalor didefinisikan sebagai energi dalam yang dipindahkan
dari suatu benda yang bersuhu tinggi ke suatu benda yang bersuhu rendah.
Sehingga perpindahan kalor didefinisikan sebagai perpindahan energi yang terjadi
pada benda atau material yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu
rendah, sehingga tercapainya kesetimbangan panas ketika dua benda tersebut
bersentuhan (dicampur).
Akibat dari perpindahan kalor tersebut maka suatu benda memiliki suhu
yang berbeda. Proses perpindahan panas ini berlangsung dalam 3 mekanisme,
yaitu:
1. Konduksi
2. Konveksi
3. Radiasi
Berikut ini adalah penjelasan dari 3 mekanisme perpindahan kalor.
1.
Konduksi
Konduksi adalah proses perpindahan kalor dari suatu bagian benda
padat atau material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi
dapat berlangsung pada benda padat, umumnya logam.
Jika salah satu ujung sebuah batang logam diletakkan di atas nyala api,
sedangkan ujung yang satu lagi dipegang, bagian batang yang dipegang ini
suhunya akan naik, walaupun tidak kontak secara langsung dengan nyala api.
3
Pada perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang
berpindah. Yang terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di
atas nyala api membentur molekul-molekul yang berada di dekatnya dan
memberikan sebagian panasnya. Molekul-molekul terdekat kembali
membentur moleku-lmolekul terdekat lainnya dan memberikan sebagian
panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga suhu logam
naik. Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam
tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian
2.
bersuhu rendah.
Konveksi
Konveksi merupakan perpindahan kalor yang di ikuti zat perantara.
Contoh konveksi dalam kehidupan sehari-hari dapat anda lihat pada proses
pemasakan air. Saat air dimasak maka air bagian bawah akan lebih dulu
panas, saat air bawah panas maka akan bergerak ke atas (dikarenakan
terjadinya perubahan masa jenis air) sedangkan air yang diatas akan bergerak
kebawah begitu seterusnya sehingga keseluruhan air memiliki suhu yang
sama. Selain itu contoh konveksi yang lain juga dapat anda temui pada
3.
ventilasi ruangan dan cerobong asap. (Aprihandana, 2014)
Radiasi
Bentuk perpindahan kalor yang terakhir adalah secara radiasi.
Perpindahan panas radiasi adalah perpindahan panas dengan bentuk
gelombang elektromagnetik yang terjadi tanpa adanya media perantara
(vakum). Radiasi panas merupakan hasil dari atom dan molekul suatu benda
yang bergerak acak. Dikarenakan atom dan molekul tersebut berisi
komponen-komponen bermuatan (proton dan elektron), maka gerakannya
yang terjadi menghasilkan emisi berupa radiasi elektromagnetik, yang
membawa energi keluar dari permukaan benda panas. (Anonim,2013)
Geofisika adalah ilmu yang mempelajari bumi berdasarkan prinsip-prinsip
ilmu Fisika, meliputi mekanika, gelombang, elektromagnetik dan kalor. Ilmu
Geofisika adalah ilmu yang mempelajari bumi bawah permukaan berdasarkan
formulasi-formulasi Fisika. Dengan demikian ilmu Geofisika dibangun atas
parameter-parameter fisis mekanika, listrik, magnetik, elektromagnetik, panas,
radiasi, dan parameter-parameter lain yang senantiasa dikembangkan untuk dapat
4
diterapkan dalam rangka mengetahui segala sesuatu yang terdapat di bawah
permukaan bumi baik yang bersifat padat maupun cair. ( Geofisika, 2014)
Energi geothermal adalah energi panas yang dihasilkan dan disimpan dalam
Bumi. Energi panas adalah energi yang menentukan suhu dari materi. Energi
geothermal bumi berasal dari formasi asli planet ini (20%) dan dari peluruhan
radioaktif mineral (80%). Gradien panas bumi yang merupakan perbedaan suhu
antara inti planet dan permukaannya menyebabkan konduksi berkelanjutan energi
termal dalam bentuk panas dari inti ke permukaan bumi. Gradien panas ini sering
disebut dengan gradien geothermal. ( Indo Energi, 2013)
Gradient geothermal adalah naiknya temprature bumi setiap 1 km naik 300C.
Semakin ke bawah, temperatur bawah permukaan bumi semakin meningkat atau
semakin panas.
Seperti diketahui bahwa thermal gradien (landaian suhu) pada kondisi
normal adalah sekitar 300C/km, tetapi pada lapangan panas bumi kenaikan
suhunya dapat melebihi landaian suhu pada kondisi normal. Aliran panas di dalam
bumi pada lapangan panas bumi rata-rata mencapai 1,5 x 10-6 cal/cm2/detik dan
menghasilkan gradien geotermal sekitar 10C/50 m, sehingga pada kedalaman
1000 – 2000 m suhunya dapat mencapai 1500 – 3000C atau lima hingga sepuluh
kali dari kondisi normal.
Untuk memperkirakan sumberdaya panas bumi dapat dilakukan dengan
didasarkan pada data-data geologi dan geofisika, seperti :
1.
Kedalaman, ketebalan dan penyebaran reservoar
2.
Properti dari formasi batuan
3.
Salinitas dan geokimia fluida reservoar
4.
Temperatur, porositas dan permeabilitas formasi batuan
( Rahayudin, 2013)
Sistem panas bumi di Indonesia umumnya merupakan sistim hidrothermal
yang mempunyai temperatur tinggi (>225oC), hanya beberapa diantaranya
yang mempunyai temperatur sedang (150‐225oC). Pada dasarnya sistem
panas bumi jenis hidrothermal terbentuk sebagai hasil perpindahan panas dari
5
suatu sumber panas ke sekelilingnya yang terjadi secara konduksi dan
secara konveksi.
Perpindahan panas secara konduksi terjadi melalui batuan, sedangkan
perpindahan panas secara konveksi terjadi karena adanya kontak antara air dengan
suatu sumber panas. Perpindahan panas secara konveksi pada
dasarnya terjadi karena gaya apung (bouyancy). Air karena gaya gravitasi selalu
mempunyai kecenderungan untuk bergerak kebawah, akan tetapi apabila air
tersebut kontak dengan suatu sumber panas maka akan terjadi perpindahan
panas sehingga temperatur air menjadi lebih tinggi dan air menjadi lebih
ringan. Keadaan ini menyebabkan air yang lebih panas bergerak ke atas dan air
yang lebih dingin bergerak turun ke bawah, sehingga terjadi sirkulasi air atau arus
konveksi.
Berikut ini adalah contoh gambar dari geothermal energi didalam bumi
(Saptadji, tanpa tahun)
6
BAB 3. METODE
3.1 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl
Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga
matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan
sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut
ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel tersebut.
Ciri ciri Metode Gauss adalah
1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol
adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah
3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. Dibawah 1 utama harus nol
Jika diketahui suatu persamaan linier sebagai berikut
a11 x 1+ a12 x 2 +a13 x3 =b1
a21 x 1 +a 22 x2 + a23 x 3=b 2
a31 x 1 +a32 x2 +a 33 x 3=b 3
Eliminasi Gauss dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A.X=b, yaitu
A=
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
] [] []
; X=
x1
x2
x3
; b=
b1
b2
b3
Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A berbentuk
segitiga atas dan diagonal A bernilai 1. Matriks dibawah ini dikatakan matriks
eselon baris
A=
[
1 a 12 a13
0 1 a23
0 0
1
]
7
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai x1, x2 dan x3 dapat dihitung degan
cara berikut:
[
][ ]
1 a 12 a13 x 1 b 1
0 1 a23 x 2 =b 2
0 0
1 x3 b3
1 x 1 +a12 x2 +a 13 x 3=b1
0 x 1+1 x 2+ a13 x 3=b 2
0 x 1+0 x 2 +1 x 3=b3
Sehingga dari persamaan perhitungan diatas kita mendapatkan nilai x1, x2
dan x3.
Berikut ini adalah MATLAB fungsi untuk Metode Eliminasi Gauss
function x=gauss (A,b)
[n,n]=size(A);
k=1;
[n1,k]=size(b);
x=zeros(n,k);
for i=1:n-1;
m=-A(i+1:n,i)/A(i,i);
A(i+1:n,:)=A(i+1:n,:)+m*A(i,:);
b(i+1:n,:)=b(i+1:n,:)+m*b(i,:);
end
x(n,:)=b(n,:)./A(n,n);
for i=n-1:-1:1;
x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);
end
(Tim Komputasi,2014:33)
3.2 Metode LU Decomposition
Jika matrik A non singular maka A dapat difaktorkan (diuraikan atau
didekomposisi menjadi matriks segitiga bawah (lower) dan matriks segitiga
atas U (upper) :
A=LU
Dalam bentuk matriks, pemfaktoran ini ditulis sebagai berikut, matriks
yang dicontohkan adalah 3 x 3
A=
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
]
8
L=
[
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
]
U=
[
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
]
Pada matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal adalah 1,
sedangkan pada matriks U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonalnya.
Metode ini dinamakan juga metode-metode pemfaktoran segitiga
(triangular factorization). Metode eliminasi Gauss merupakan suatu
dekomposisi LU dari matriks A.
Penyelesaian Ax = b dengan metode dekomposisi LU adalah sebagai
berikut:
Ax = b
Faktorkan A menjadi L dan U sedememikian rupa, sehingga
A= LU
Jadi, LU x = b. Misalkan Ux=y, maka Ly = b
Untuk memperoleh y1,y2 ,y3,…yn menggunakan Lower
Ly = b
L=
[
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
] [] []
y1
y2
y3
x
b1
b2
b3
=
Untuk memperoleh x1,x2, x3,…..xn menggunakan Upper
Ux = y
U=
[
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
] [] []
x
y1
y2
y3
=
b1
b2
b3
Jadi, langkah-langkah menghitung solusi sistem persamaan linier dengan
metode dekomposisi LU dapat diringkas sebagai berikut :
1. Bentuklah matriks Ldan U dari A
2. Pecahkan Ly = b , lalu hitung y dengan menggunakan Lower
3. Pecahkan Ux = y , lalu hitung x dengan menggunakan Upper
Berikut ini adalah MATLAB fungsi untuk metode LU Dekomposition
function x=ludec(A,b)
n=size(A,1);
for k=1:n-1;
for i=k+1:n
if A(i,k)~=0.0
lambda=A(i,k)/A(k,k);
9
A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-lambda*A(k,k+1:n);
A(i,k)=lambda;
end
end
end
if size(b,2)>1;b=b';end
for k=2:n
b(k)=b(k)-A(k,1:k-1)*b(1:k-1);
end
for k=n:-1:1
b(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);
end
x=b;
(Tim Komputasi,2014:33-34)
3.3 Flowchart Metode Eliminasi Gauss
START
N=8;
z=[5;8;14;21;30;36;45;60]
T=[21.75;22.68;25.62;30.87;
40.5;48.72;63.75;96]
d=T
i=1:max(z)
zi(i)=i
Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;
10
for i=1:N
G= Ti
G(i,1)=1
G(i,2)=z(i,1)
G(i,3)=z(i,1)^2
A=G'*G;
b=G'*d;
m=gauss(A,b)
OUTPUT
STOP
11
3.4 Flowchart Metode LU Decomposition
START
N=8;
z=[5;8;14;21;30;36;45;60]
T=[21.75;22.68;25.62;30.87;
40.5;48.72;63.75;96]
d=T
i=1:max(z)
zi(i)=i
Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;
for i=1:N
G= Ti
G(i,1)=1
G(i,2)=z(i,1)
G(i,3)=z(i,1)^2
A=G'*G;
b=G'*d;
12
Ludec (A,b)
OUTPUT
STOP
13
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada laporan ini dibahas suatu permasalahan fisika yang berkaitan tentang
peningkatan suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah. Permasalahan suhu
untuk mengukur suatu kedalaman tanah khususnya berkaitan dengan ilmu
Geofisika. Berikut ini adalah soal mengenai suatu permasalahan tersebut.
Pengukuran suhu terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi yang
telah dilakukan sebanyak delapan kali (N = 8) pengukuran suhu (Ti) pada
kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel berikut menyajikan data observasi
Pengukuran ke - i Kedalaman (m)
1
z 1= 5
2
z 2= 8
3
z 3 = 14
4
z 4 = 21
5
z 5 = 30
6
z 6 = 36
7
z 7 = 45
8
z 8 = 60
Suhu (0C)
T1 = 21,75
T2 = 22,68
T3 = 25,62
T4 = 30,87
T5 = 40,5
T6 = 48,72
T7 = 63,75
T8 = 96
pada kasus ini diasumsikan bahwa variasi suhu terhadap kedalaman ditentukan
oleh rumus berikut
m1+m2zi+m3zi2= Ti
tentukanlah nilai m1, m2,dan m3 yang dijadikan sebagai parameter suhu.
(Supriyanto, 2007:194)
Untuk menyelesaikan permasalahan fisika diatas, digunakan tiga bentuk
perhitungan yaitu perhitungan analitik, perhitungan manual, dan perhitungan
dengan Matlab. Tujuan dilakukannya tiga bentuk perhitungan yaitu untuk
membandingkan hasil dari masing-masing perhitungan. Terdapat dua metode yang
digunakan dalam menyelesaikan permasalahan fisika di atas yaitu metode
Eliminasi Gauss dan LU Decomposition. Berikut ini adalah hasil dari ketiga
bentuk perhitungan
a. Perhitungan Secara Analitik
14
Kita bisa mengambil 4 buah persamaan dari kedelapan persamaan diatas.
Pada perhitungan ini kita ambil persamaan 1, 2, 3 dan 4
m1+m25+m325
= 21,75
m1+m28+m364
(1)
= 22,68
m1+m214+m3196
(2)
= 25,62
m1+m221+m3441
(3)
= 30,87
(4)
1. Langkah pertama
Eliminasi persamaan (1) dan (2), (3) dan (4)
m1+m28+m364
= 22,68
m1+m25+m325
(2)
= 21,75
(1)
3m2 + 39 m3
= 0,93
(5)
m1+m221+m3441
= 30,87
m1+m214+m3196
(4)
= 25,62
7 m2 + 245 m3
(3)
= 5,25
(6)
2. Langkah Kedua
Eliminasi persamaan (5) dan (6)
7 m2 + 245 m3
= 5,25
3m2 + 39 m3
= 0,93
(5)
21m2 + 735 m3 = 15,75
(5)
21m2 + 273 m3 = 6,51
(6)
462 m3
= 9,24
m3
= 0,02
3. Langkah ketiga
Subsitusi m3 kedalam persamaan (5)
15
(6)
x7
x3
21m2 + 735 (0,02)
= 15,75
(5)
m2
= 15,75 – 14,7
m2
= 1,05
m2
= 0,05
4. Langkah keempat
Subsitusi m3 = 0,02 dan m2 = 0,05 pada persamaan (1)
m1 + m25 + m3 25
m1 + (0,05) 5 + (0,02) 25
= 21,75
= 21,75
m1 + 0,25 + 0,5
= 21,75
m1
m1
Jadi, didapat nilai
(1)
= 21,75 -0,75
= 21,00
[] [ ]
m1
m2
m3
=
21.00
0.05
0.02
b. Perhitungan dengan menggunakan MATLAB
1.Editor
disp('------------ Proyek Tugas Akhir Komputasi
Fisika------------');
disp('---------------- Iswatul
Hasanah_120210102111---------------');
disp('------Hasil perhitungan dengan metode Eliminasi
Gauss-------');
N=8;
z=[5;8;14;21;30;36;45;60];
T=[21.75;22.68;25.62;30.87;40.5;48.72;63.75;96];
for i=1:N
G(i,1)=1;
G(i,2)=z(i,1);
G(i,3)=z(i,1)^2;
end
d=T;
A=G'*G;
b=G'*d;
m=gauss(A,b)
plot(z,T,'ro');
xlabel('kedalaman(meter)');ylabel('suhu(derajat celcius)');
title('data variasi suhu terhadap kedalaman');
hold on;
for i=1:max(z)
zi(i)=i;
Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;
end
plot(zi,Ti);
hold off;
16
grid on
2.Hasil perhitungannya dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan
LU decomposition pada Commond window
Soal
------------ Proyek Tugas Akhir Komputasi Fisika------------------------ Iswatul Hasanah_120210102111-----------------Hasil perhitungan dengan metode Eliminasi Gauss---m =
21.0000
0.0500
0.0200
% Perhitungan dengan metode LU Dekomposition
ludec(A,b)
ans =
21.0000
0.0500
0.0200
diary off
c. Perhitungan secara manual dengan menggunakan metode Eliminasi
Gauss dan LU Decomposition
1. Perhitungan Eliminasi Gauss
Dari semua data diperoleh persamaan linier berikut ini:
m1+m2z1+m3z12= T1
m1+m2z2+m3z22= T2
m1+m2z3+m3z32= T3
m1+m2z4+m3z42= T4
m1+m2z5+m3z52= T5
m1+m2z6+m3z62= T6
m1+m2z7+m3z72= T7
m1+m2z8+m3z82= T8
17
mengubah persamaan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut:
[ ] []
[]
1
1
1
1
1
1
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z 12
z 22
z 32
z 42
z 52
z 62
z 72
z 82
[]
m1
m2
m3
=
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
Agar dapat diselesaikan maka matriks tersebut kita ubah dulu bentuk
matriksnya.
a) Menentukan G tranpose
G=
1
1
1
1
1
1
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z 12
z 22
z 32
2
z4
z 52
z 62
z 72
z 82
menjadi
[
1
1
1
1
1
1
1
1
z 1 z2 z 3 z 4 z5 z 6 z 7 z 8
G =
z 12 z 22 z 32 z 42 z 52 z 62 z 72 z 82
b) Menentukan GtG
t
t
G G=
[
]
1
1
1
1
1
1
1
1
z 1 z2 z 3 z 4 z5 z 6 z 7 z 8
z 12 z 2 2 z 3 2 z 42 z 5 2 z 6 2 z 72 z 8 2
18
]
[]
1
1
1
1
1
1
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z 12
z 22
z 32
z 42
z 52
z 62
z 72
z 82
[
=
N
∑ zi
∑ zi2
∑ z i ∑ z i2
∑ zi2 ∑ z i3
∑ z i3 ∑ z i4
]
Dimana N=8 dan i=1,2,3….8
c) Kemudian tentukan Gtd
t
G d=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
z 1 z2 z 3 z 4 z5 z 6 z 7 z 8
z 12 z 2 2 z 3 2 z 42 z 5 2 z 6 2 z 72 z 8 2
]
[]
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
=
∑ Ti
∑ zi T i
∑ z i2 T i
d) Sehingga menjadi persamaan
[
N
∑ zi
∑ zi2
∑ z i ∑ z i2
∑ zi2 ∑ z i3
∑ z i3 ∑ z i4
] []
m1
m2
m3
=
∑ Ti
∑ zi T i
∑ z i2 T i
e) Kemudian subsitusi angka dari data untuk membentuk matriks yang
akan dihitung menggunakan Eliminasi Gaus
[
N
∑ zi
∑ z i2
| ]
∑ z i ∑ zi2 ∑ T i
∑ z i2 ∑ zi3 ∑ zi T i
∑ z i 3 ∑ z i4 ∑ z i2 T i
[
|
P1 8
219
8547
349,89
P2 219
8547
393423 12894,81
8547
393423
19787859
594915,33
P3
]
f) Melakukan proses eliminasi untuk membentuk matriks eselon baris
(P2 − (219/8)P1) → P2
8
219
8547|
349,89
0
2551,88 159448,88| 3316,57
8547 393423 19787859| 594915,33
g) (P3 − (8547/8)P1) → P3 hasilnya adalah
8
219
8547|
349,89
0 2551,88
159448,88|
3316,57
0 159448,88 10656457,88| 221101,6
h) (P3 −(159448, 88/2551, 88)P2) → P3 hasilnya adalah
[
[
]
]
19
[
8
219
8547|
349,89
0 2551,88 159448,88| 3316,57
0
0
693609,48| 13872,19
] []
m1
¿ m2
m3
i) Menentukan nilai m1, m2 dan m3
1) 693609,48 m3
= 13872,19
13872,19
=0,02
m3
=
693609,48
2) 2551,88 m2 + 159448,88 (0,02) =3316,57
2551.88 m2 = 3316,57 – 3188,977692
127,592.308
m2
=
= 0,049
2551,88
3) 8 m1 +219 m2 + 8547 m3
= 349,89
8 m1 + 219 (0,049) + 8547 (0,02) = 349,89
8 m1
= 349,89 – 10,95-170,94
m1
= 168/8
m1
= 21
2. Perhitungan LU Decomposition
Ux = y
a11 a12 a13
8
219
8547
A= 219
A= a21 a22 a23
8547
393423
8547 393423 19787859
a31 a32 a33
[
M21 ¿
]
a21 219
=
a11
8
[
M31 ¿
]
a31 8547
=
a11
8
Kemudian Subsitusi kembali M1dan M2 ke dalam matriks A dengan
tanda berbeda sebagai berikut
[
8
−219
M 1=
8
−8547
8
219
8547
8547
393423
393423 19787859
]
A1= M1 . A
A1=
[
8
−219
8
−8547
8
219
8547
8547
393423
393423 19787859
20
][
8
219
8547
219
8547
393423
8547 393423 19787859
]
A1=
[
64
1752
68376
0
2551,875
159448,875
0 159448,875 10656457,88
]
Mencari nilai M32 dari matriks A1
M32=
a32 159448,875
=
a22
2551,875
M2 =
[
1
0
0
0
1
0
0 M 32 1
]
M2 =
[
1
0
0
1
−159448,875
0
2551,875
0
0
1
]
A2= M2 x A1
=
=
A2=
U=
[
1
0
[
[
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
[
]
0
1
−159448,875
0
2551,875
0
0
1
]
[
64
1752
68376
0
2551,875
159448,875
0 159448,875 10656457,88
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
]
]
]
A2= U
Jadi, U=
[
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
]
Sebagai Upper
Untuk mencari Lower memasukkan M21, M31, dan M32 kedalam bentuk matrik L
21
L=
[
[
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
1
219
8
8547
8
L=
[
]
[
0
0
1
0
159448,875
2551,875
1
1
0 0
M 21 1 0
M 31 M 32 1
L=
[
L=
[
[
]
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
2)
3)
] [] []
] []
x
y1
y2
y3
y=
=
m1
m2
m3
b1
b2
b3
b=
]
][ ] [
[
1)
Sebagai Lower
1
0
0
27,375
1
0
1068,375 62,48302719 1
349,89
12894,81
594915,33
=
]
1
0
0
27,375
1
0
1068,375 62,48302719 1
Ly = b
]
1
0
0 x1
349,89
27,375
1
0 x2 =
12894,81
1068,375 62,48302719 1 x3
594915,33
x 1=349,89
27,375 x 1 + x 2=12894,81
x 2=12894,81−27,375 ( 349,89 )
x 2=12894,81−9578,23875
x 2=3316,57125
1068,375 x 1 +62,48302719 x2 + x 3=594915,33
3316,57125+ x 3=594915,33
1068,375(349,89)+ 62,48302719¿
x 3=594915,33−373813,7288−207229,4116
x 3=13872,1896
22
]
[][
]
x1
349,89
=
x
3316,57125
Jadi,
2
13872,1896
x3
Selanjutnya melakukan perhitungan menggunakan Upper
Ux = y
U=
[
[
U=
[
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
349,89
3316,57125
13872,1896
Jadi,
1)
2)
3)
[
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
] [] []
x
y1
y2
y3
x1
x2
x3
=
] []
y=
m1
m2
m3
b=
]
][ ] [
]
m1
64
1752
68736
349,89
=
0 2551,875 159448,875 m2
3316,57125
0
0
693609,4886 m3
13872,1896
693609,4886 m3=13872,1896
13872,1896
m 3=
693609,4886
m3=0,02
2551,875 m2 +¿
m3=3316,57125
159448,875
2551,875 m2 +¿
159448,875
(0,02)=3316,57125
3316,57125−3188,9775
m 2=
2551,875
287,042625
m 2=
2551,875
m2=0,05
64 m1 +1752m 2 +68736 m3=349,89
64 m1 +1752 ( 0,05 )+ 68736(0,02)=349,89
64 m1 +87,6+1367,52=349,89
64 m1=349,89−87,6−1367,52
64 m1=−1105,23
−1105,23
m 1=
64
23
m1=−17,26
Jadi,nilai
[ ][ ]
m1 −17,26
m2 = 0,05
0,02
m3
Hasil perhitungan yang dilakukan dengan menggunakan metode Eliminasi
Gauss dan LU decomposition pada program MATLAB adalah sama. Jadi, kedua
metode tersebut memiliki tingkat akurasi yang sama.
Sedangkan untuk hasil dari tiga bentuk perhitungan yang dilakukan pada
metode Eliminasi Gauss didapatkan nilai yang sama yaitu
[ ][ ]
m1
21,00
m2 = 0,05
0,02
m3
Hal ini berarti semua perhitungan yang dikerjakan baik secara analitik, manual
dan matlab adalah benar.
Sedangkan dalam perhitungan metode LU Dekomposition mempunyai hasil
yang sama dari ketiga bentuk perhitungannya, namun terdapat satu hasil
perhitungan manual pada nilai m1 yang tidak sama.Hal ini dikarenakan kurangnya
tingkat ketelitian dalam menghitung secara manual. Oleh karena itu untuk
menyelesaikan suatu permasalahan yang sudah sedikit rumit, sebaiknya
menggunakan perhitungan numerik dibandingkan dengan perhitungan manual.
BAB 5. PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Hasil perhitungan dari permasalahan fisika yang dibahas memiliki hasil
yang sama baik dengan metode Eliminasi Gauss dan LU Dekomposition.
2.
Jadi, kedua metode tersebut memiliki tingkat akurasi yang sama.
Hasil perhitungan dengan menggunakan MATLAB dan secara analitik
adalah sama. Namun, untuk perhitungan yang sangat rumit lebih baik
menggunakan metode numerik karena jika menggunakan analitik dan
manual diperlukan tingkat ketelitian yang tinggi dan memerlukan waktu
yang panjang.
24
3.5 Saran
Untuk menyelesaikan berbagai permasalahan fisika yang menggunakan
persamaan matematika yang sangat rumit diperlukan pemahaman yang sangat
luas tentang penggunaan program MATLAB agar lebih mudah untuk
menyelesaikannya.
25
LAMPIRAN
1.
Editor
26
2.
Command Window
3.
Gambar Grafil
27
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2013. Pengertian perpindahan panas konveksi, radiasi dan konduksi
lengkap. http://www.miung.com/2013/05/pengertian-perpindahan-panaskonveksi.html. (24 November 2014)
Apriyahanda, Onny. 2014. Perpindahan Panas. http://artikelteknologi.com/perpindahan-panas/. (diakses 22 November 2014)
Geofisika.
2014.
Sejarah
Geofisika.
http://geofisika.ub.ac.id/profil/sejarah.
Sejarah. (diakses 22 November 2014)
Indoenergi. .2012. Energi Geothermal (Energi Panas Bumi)
http://www.indoenergi.com/2012/03/energi-geothermal-energi-panasbumi.html. (diakses 23 November 2014)
Muntahar, Rahadian. 2014 Energi dan Penerapannya.
http://www.slideshare.net/rahadianmuntahar/energi-dan-penerapannya.
(diakses 22 November 2014)
Purwanto, Slamet. 2011. Metode Numerik: Pengertian dan Kegunaan Metode
Numerik.http://slametpurwanto.com/metode-numerik-pengertian-dankegunaan-metode-numerik/#ixzz3JlVfwD1I ( diakses 22 November
2014)
Rahayudin,
Yudi.
2013.
Sistem
Panas
Bumi.
http://www.pusdiklat-
geologi.esdm.go.id/index.php/artikel/publikasi-ilmiah/68-sistempanas-bumi. (diakses 24 November 2014)
28
Saptadji, Nenny. Tanpa Tahun. Panas Bumi.
http://geothermal.itb.ac.id/sites/default/files/public/Sekilas_tentang_Pana
s_Bumi.pdf. /ITB) (diakses tanggal 23 November 2014)
STMIK AUB. 2013. Pengertian metode numerik.www.bibliopedant.com..
Surakarta: STMIK (diakses 22 November 2014)
Supriyanto, Suparno. 2007. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan
Matlab. Jakarta: Departemen Fisika-FMIPA.
Tim Komputasi. 2014. Modul Fisika Komputasi. Jember: Universitas Jember
29
1.1 Latar Belakang
Permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan
matematika. Begitu pula dalam ilmu fisika semua permasalahannya
digambarkan dengan persamaan matematika Untuk menyelesaikan berbagai
permasalahan fisika tersebut dapat menggunakan beberapa metode
diantaranya adalah metode analitik dan metode numerik.
Metode analitik sangat berguna namun terbatas pada masalah
sederhana. Sedangkan masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat
diselesaikan. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan
solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang
memiliki galat (error) sama dengan nol. Metode analitik hanya unggul untuk
sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran
geometri sederhana serta rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia
nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai
praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.
Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan
sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.
Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk
memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan. (Purwanto, 2011)
Pada umumnya permasalahan fisika dengan persamaan matematika
sulit diselesaikan dengan menggunakan persamaan analitik sehingga
diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Penggunaan metode numerik
diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode analitik
dan metode-metode sebelumnya. Metode numerik ini dapat diselesaikan
dengan beberapa paket program komputer yaitu exel, maple, matlab, atau
program paket lainnya. (STMIK AUB,2013)
1
Diharapkan dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung
menghitung manual yang membosankan dan tidak terjebak dalam rutinitas
hitung menghitung. Sehingga untuk menghitung dari suatu permasalahan
fisika hanya membutuhkan waktu yang singkat. Karena metode numerik
dapat mempermudah suatu perhitungan permasalahan fisika, maka pada
laporan ini akan dibahas mengenai suatu permasalahan fisika yang berjudul
“ Peningkatan Suhu terhadap Kedalaman Tanah Dalam Ilmu Geofisika”.
Permasalahan fisika ini akan diselesaikan dengan metode numerik pada
progran Matlab.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Bagaimana menyelesaikan permasalahan peningkatan suhu untuk
mengukur suatu kedalaman tanah dengan menggunakan metode
1.2.2
Eliminasi Gauss dan LU Decomposition?
Bagaimana perbandingan hasil perhitungan metode numerik Eliminasi
Gauss dan LU Decomposition dengan hasil perhitungan analitik?
1.3 Tujuan
1.3.1 Untuk mengetahui cara menyelesaikan permasalahan peningkatan
suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah dengan menggunakan
1.3.2
metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition
Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan metode numerik
Eliminasi Gauss dan LU Decomposition dengan hasil perhitungan
analitik
2
BAB 2. KAJIAN PUSTAKA
Suhu adalah besaran fisika yang menyatakan derajat panas suatu zat. Alat
untuk mengukur suhu disebut termometer. Pada termometer, zat yang paling
banyak digunakan adalah alkohol dan raksa. Yang menjadi pelopor pembuatan
termometer adalah Galileo Galilei (1564-1642).
Ada tiga istilah yang penggunaannya sering kacau jika sudah membahas
mengenai suhu, yaitu panas, kalor, dan suhu. Panas adalah salah satu bentuk
energi. Energi panas yang berpindah disebut kalor,sementara suhu adalah derajat
panas suatu benda.( Muntahar, 2014)
Suatu benda yang memiliki suhu yang berbeda akan mengalami
perpindahan kalor. Kalor didefinisikan sebagai energi dalam yang dipindahkan
dari suatu benda yang bersuhu tinggi ke suatu benda yang bersuhu rendah.
Sehingga perpindahan kalor didefinisikan sebagai perpindahan energi yang terjadi
pada benda atau material yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu
rendah, sehingga tercapainya kesetimbangan panas ketika dua benda tersebut
bersentuhan (dicampur).
Akibat dari perpindahan kalor tersebut maka suatu benda memiliki suhu
yang berbeda. Proses perpindahan panas ini berlangsung dalam 3 mekanisme,
yaitu:
1. Konduksi
2. Konveksi
3. Radiasi
Berikut ini adalah penjelasan dari 3 mekanisme perpindahan kalor.
1.
Konduksi
Konduksi adalah proses perpindahan kalor dari suatu bagian benda
padat atau material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi
dapat berlangsung pada benda padat, umumnya logam.
Jika salah satu ujung sebuah batang logam diletakkan di atas nyala api,
sedangkan ujung yang satu lagi dipegang, bagian batang yang dipegang ini
suhunya akan naik, walaupun tidak kontak secara langsung dengan nyala api.
3
Pada perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang
berpindah. Yang terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di
atas nyala api membentur molekul-molekul yang berada di dekatnya dan
memberikan sebagian panasnya. Molekul-molekul terdekat kembali
membentur moleku-lmolekul terdekat lainnya dan memberikan sebagian
panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga suhu logam
naik. Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam
tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian
2.
bersuhu rendah.
Konveksi
Konveksi merupakan perpindahan kalor yang di ikuti zat perantara.
Contoh konveksi dalam kehidupan sehari-hari dapat anda lihat pada proses
pemasakan air. Saat air dimasak maka air bagian bawah akan lebih dulu
panas, saat air bawah panas maka akan bergerak ke atas (dikarenakan
terjadinya perubahan masa jenis air) sedangkan air yang diatas akan bergerak
kebawah begitu seterusnya sehingga keseluruhan air memiliki suhu yang
sama. Selain itu contoh konveksi yang lain juga dapat anda temui pada
3.
ventilasi ruangan dan cerobong asap. (Aprihandana, 2014)
Radiasi
Bentuk perpindahan kalor yang terakhir adalah secara radiasi.
Perpindahan panas radiasi adalah perpindahan panas dengan bentuk
gelombang elektromagnetik yang terjadi tanpa adanya media perantara
(vakum). Radiasi panas merupakan hasil dari atom dan molekul suatu benda
yang bergerak acak. Dikarenakan atom dan molekul tersebut berisi
komponen-komponen bermuatan (proton dan elektron), maka gerakannya
yang terjadi menghasilkan emisi berupa radiasi elektromagnetik, yang
membawa energi keluar dari permukaan benda panas. (Anonim,2013)
Geofisika adalah ilmu yang mempelajari bumi berdasarkan prinsip-prinsip
ilmu Fisika, meliputi mekanika, gelombang, elektromagnetik dan kalor. Ilmu
Geofisika adalah ilmu yang mempelajari bumi bawah permukaan berdasarkan
formulasi-formulasi Fisika. Dengan demikian ilmu Geofisika dibangun atas
parameter-parameter fisis mekanika, listrik, magnetik, elektromagnetik, panas,
radiasi, dan parameter-parameter lain yang senantiasa dikembangkan untuk dapat
4
diterapkan dalam rangka mengetahui segala sesuatu yang terdapat di bawah
permukaan bumi baik yang bersifat padat maupun cair. ( Geofisika, 2014)
Energi geothermal adalah energi panas yang dihasilkan dan disimpan dalam
Bumi. Energi panas adalah energi yang menentukan suhu dari materi. Energi
geothermal bumi berasal dari formasi asli planet ini (20%) dan dari peluruhan
radioaktif mineral (80%). Gradien panas bumi yang merupakan perbedaan suhu
antara inti planet dan permukaannya menyebabkan konduksi berkelanjutan energi
termal dalam bentuk panas dari inti ke permukaan bumi. Gradien panas ini sering
disebut dengan gradien geothermal. ( Indo Energi, 2013)
Gradient geothermal adalah naiknya temprature bumi setiap 1 km naik 300C.
Semakin ke bawah, temperatur bawah permukaan bumi semakin meningkat atau
semakin panas.
Seperti diketahui bahwa thermal gradien (landaian suhu) pada kondisi
normal adalah sekitar 300C/km, tetapi pada lapangan panas bumi kenaikan
suhunya dapat melebihi landaian suhu pada kondisi normal. Aliran panas di dalam
bumi pada lapangan panas bumi rata-rata mencapai 1,5 x 10-6 cal/cm2/detik dan
menghasilkan gradien geotermal sekitar 10C/50 m, sehingga pada kedalaman
1000 – 2000 m suhunya dapat mencapai 1500 – 3000C atau lima hingga sepuluh
kali dari kondisi normal.
Untuk memperkirakan sumberdaya panas bumi dapat dilakukan dengan
didasarkan pada data-data geologi dan geofisika, seperti :
1.
Kedalaman, ketebalan dan penyebaran reservoar
2.
Properti dari formasi batuan
3.
Salinitas dan geokimia fluida reservoar
4.
Temperatur, porositas dan permeabilitas formasi batuan
( Rahayudin, 2013)
Sistem panas bumi di Indonesia umumnya merupakan sistim hidrothermal
yang mempunyai temperatur tinggi (>225oC), hanya beberapa diantaranya
yang mempunyai temperatur sedang (150‐225oC). Pada dasarnya sistem
panas bumi jenis hidrothermal terbentuk sebagai hasil perpindahan panas dari
5
suatu sumber panas ke sekelilingnya yang terjadi secara konduksi dan
secara konveksi.
Perpindahan panas secara konduksi terjadi melalui batuan, sedangkan
perpindahan panas secara konveksi terjadi karena adanya kontak antara air dengan
suatu sumber panas. Perpindahan panas secara konveksi pada
dasarnya terjadi karena gaya apung (bouyancy). Air karena gaya gravitasi selalu
mempunyai kecenderungan untuk bergerak kebawah, akan tetapi apabila air
tersebut kontak dengan suatu sumber panas maka akan terjadi perpindahan
panas sehingga temperatur air menjadi lebih tinggi dan air menjadi lebih
ringan. Keadaan ini menyebabkan air yang lebih panas bergerak ke atas dan air
yang lebih dingin bergerak turun ke bawah, sehingga terjadi sirkulasi air atau arus
konveksi.
Berikut ini adalah contoh gambar dari geothermal energi didalam bumi
(Saptadji, tanpa tahun)
6
BAB 3. METODE
3.1 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl
Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga
matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan
sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut
ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel tersebut.
Ciri ciri Metode Gauss adalah
1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol
adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah
3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. Dibawah 1 utama harus nol
Jika diketahui suatu persamaan linier sebagai berikut
a11 x 1+ a12 x 2 +a13 x3 =b1
a21 x 1 +a 22 x2 + a23 x 3=b 2
a31 x 1 +a32 x2 +a 33 x 3=b 3
Eliminasi Gauss dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A.X=b, yaitu
A=
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
] [] []
; X=
x1
x2
x3
; b=
b1
b2
b3
Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A berbentuk
segitiga atas dan diagonal A bernilai 1. Matriks dibawah ini dikatakan matriks
eselon baris
A=
[
1 a 12 a13
0 1 a23
0 0
1
]
7
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai x1, x2 dan x3 dapat dihitung degan
cara berikut:
[
][ ]
1 a 12 a13 x 1 b 1
0 1 a23 x 2 =b 2
0 0
1 x3 b3
1 x 1 +a12 x2 +a 13 x 3=b1
0 x 1+1 x 2+ a13 x 3=b 2
0 x 1+0 x 2 +1 x 3=b3
Sehingga dari persamaan perhitungan diatas kita mendapatkan nilai x1, x2
dan x3.
Berikut ini adalah MATLAB fungsi untuk Metode Eliminasi Gauss
function x=gauss (A,b)
[n,n]=size(A);
k=1;
[n1,k]=size(b);
x=zeros(n,k);
for i=1:n-1;
m=-A(i+1:n,i)/A(i,i);
A(i+1:n,:)=A(i+1:n,:)+m*A(i,:);
b(i+1:n,:)=b(i+1:n,:)+m*b(i,:);
end
x(n,:)=b(n,:)./A(n,n);
for i=n-1:-1:1;
x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);
end
(Tim Komputasi,2014:33)
3.2 Metode LU Decomposition
Jika matrik A non singular maka A dapat difaktorkan (diuraikan atau
didekomposisi menjadi matriks segitiga bawah (lower) dan matriks segitiga
atas U (upper) :
A=LU
Dalam bentuk matriks, pemfaktoran ini ditulis sebagai berikut, matriks
yang dicontohkan adalah 3 x 3
A=
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
]
8
L=
[
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
]
U=
[
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
]
Pada matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal adalah 1,
sedangkan pada matriks U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonalnya.
Metode ini dinamakan juga metode-metode pemfaktoran segitiga
(triangular factorization). Metode eliminasi Gauss merupakan suatu
dekomposisi LU dari matriks A.
Penyelesaian Ax = b dengan metode dekomposisi LU adalah sebagai
berikut:
Ax = b
Faktorkan A menjadi L dan U sedememikian rupa, sehingga
A= LU
Jadi, LU x = b. Misalkan Ux=y, maka Ly = b
Untuk memperoleh y1,y2 ,y3,…yn menggunakan Lower
Ly = b
L=
[
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
] [] []
y1
y2
y3
x
b1
b2
b3
=
Untuk memperoleh x1,x2, x3,…..xn menggunakan Upper
Ux = y
U=
[
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
] [] []
x
y1
y2
y3
=
b1
b2
b3
Jadi, langkah-langkah menghitung solusi sistem persamaan linier dengan
metode dekomposisi LU dapat diringkas sebagai berikut :
1. Bentuklah matriks Ldan U dari A
2. Pecahkan Ly = b , lalu hitung y dengan menggunakan Lower
3. Pecahkan Ux = y , lalu hitung x dengan menggunakan Upper
Berikut ini adalah MATLAB fungsi untuk metode LU Dekomposition
function x=ludec(A,b)
n=size(A,1);
for k=1:n-1;
for i=k+1:n
if A(i,k)~=0.0
lambda=A(i,k)/A(k,k);
9
A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-lambda*A(k,k+1:n);
A(i,k)=lambda;
end
end
end
if size(b,2)>1;b=b';end
for k=2:n
b(k)=b(k)-A(k,1:k-1)*b(1:k-1);
end
for k=n:-1:1
b(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);
end
x=b;
(Tim Komputasi,2014:33-34)
3.3 Flowchart Metode Eliminasi Gauss
START
N=8;
z=[5;8;14;21;30;36;45;60]
T=[21.75;22.68;25.62;30.87;
40.5;48.72;63.75;96]
d=T
i=1:max(z)
zi(i)=i
Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;
10
for i=1:N
G= Ti
G(i,1)=1
G(i,2)=z(i,1)
G(i,3)=z(i,1)^2
A=G'*G;
b=G'*d;
m=gauss(A,b)
OUTPUT
STOP
11
3.4 Flowchart Metode LU Decomposition
START
N=8;
z=[5;8;14;21;30;36;45;60]
T=[21.75;22.68;25.62;30.87;
40.5;48.72;63.75;96]
d=T
i=1:max(z)
zi(i)=i
Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;
for i=1:N
G= Ti
G(i,1)=1
G(i,2)=z(i,1)
G(i,3)=z(i,1)^2
A=G'*G;
b=G'*d;
12
Ludec (A,b)
OUTPUT
STOP
13
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada laporan ini dibahas suatu permasalahan fisika yang berkaitan tentang
peningkatan suhu untuk mengukur suatu kedalaman tanah. Permasalahan suhu
untuk mengukur suatu kedalaman tanah khususnya berkaitan dengan ilmu
Geofisika. Berikut ini adalah soal mengenai suatu permasalahan tersebut.
Pengukuran suhu terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi yang
telah dilakukan sebanyak delapan kali (N = 8) pengukuran suhu (Ti) pada
kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel berikut menyajikan data observasi
Pengukuran ke - i Kedalaman (m)
1
z 1= 5
2
z 2= 8
3
z 3 = 14
4
z 4 = 21
5
z 5 = 30
6
z 6 = 36
7
z 7 = 45
8
z 8 = 60
Suhu (0C)
T1 = 21,75
T2 = 22,68
T3 = 25,62
T4 = 30,87
T5 = 40,5
T6 = 48,72
T7 = 63,75
T8 = 96
pada kasus ini diasumsikan bahwa variasi suhu terhadap kedalaman ditentukan
oleh rumus berikut
m1+m2zi+m3zi2= Ti
tentukanlah nilai m1, m2,dan m3 yang dijadikan sebagai parameter suhu.
(Supriyanto, 2007:194)
Untuk menyelesaikan permasalahan fisika diatas, digunakan tiga bentuk
perhitungan yaitu perhitungan analitik, perhitungan manual, dan perhitungan
dengan Matlab. Tujuan dilakukannya tiga bentuk perhitungan yaitu untuk
membandingkan hasil dari masing-masing perhitungan. Terdapat dua metode yang
digunakan dalam menyelesaikan permasalahan fisika di atas yaitu metode
Eliminasi Gauss dan LU Decomposition. Berikut ini adalah hasil dari ketiga
bentuk perhitungan
a. Perhitungan Secara Analitik
14
Kita bisa mengambil 4 buah persamaan dari kedelapan persamaan diatas.
Pada perhitungan ini kita ambil persamaan 1, 2, 3 dan 4
m1+m25+m325
= 21,75
m1+m28+m364
(1)
= 22,68
m1+m214+m3196
(2)
= 25,62
m1+m221+m3441
(3)
= 30,87
(4)
1. Langkah pertama
Eliminasi persamaan (1) dan (2), (3) dan (4)
m1+m28+m364
= 22,68
m1+m25+m325
(2)
= 21,75
(1)
3m2 + 39 m3
= 0,93
(5)
m1+m221+m3441
= 30,87
m1+m214+m3196
(4)
= 25,62
7 m2 + 245 m3
(3)
= 5,25
(6)
2. Langkah Kedua
Eliminasi persamaan (5) dan (6)
7 m2 + 245 m3
= 5,25
3m2 + 39 m3
= 0,93
(5)
21m2 + 735 m3 = 15,75
(5)
21m2 + 273 m3 = 6,51
(6)
462 m3
= 9,24
m3
= 0,02
3. Langkah ketiga
Subsitusi m3 kedalam persamaan (5)
15
(6)
x7
x3
21m2 + 735 (0,02)
= 15,75
(5)
m2
= 15,75 – 14,7
m2
= 1,05
m2
= 0,05
4. Langkah keempat
Subsitusi m3 = 0,02 dan m2 = 0,05 pada persamaan (1)
m1 + m25 + m3 25
m1 + (0,05) 5 + (0,02) 25
= 21,75
= 21,75
m1 + 0,25 + 0,5
= 21,75
m1
m1
Jadi, didapat nilai
(1)
= 21,75 -0,75
= 21,00
[] [ ]
m1
m2
m3
=
21.00
0.05
0.02
b. Perhitungan dengan menggunakan MATLAB
1.Editor
disp('------------ Proyek Tugas Akhir Komputasi
Fisika------------');
disp('---------------- Iswatul
Hasanah_120210102111---------------');
disp('------Hasil perhitungan dengan metode Eliminasi
Gauss-------');
N=8;
z=[5;8;14;21;30;36;45;60];
T=[21.75;22.68;25.62;30.87;40.5;48.72;63.75;96];
for i=1:N
G(i,1)=1;
G(i,2)=z(i,1);
G(i,3)=z(i,1)^2;
end
d=T;
A=G'*G;
b=G'*d;
m=gauss(A,b)
plot(z,T,'ro');
xlabel('kedalaman(meter)');ylabel('suhu(derajat celcius)');
title('data variasi suhu terhadap kedalaman');
hold on;
for i=1:max(z)
zi(i)=i;
Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;
end
plot(zi,Ti);
hold off;
16
grid on
2.Hasil perhitungannya dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss dan
LU decomposition pada Commond window
Soal
------------ Proyek Tugas Akhir Komputasi Fisika------------------------ Iswatul Hasanah_120210102111-----------------Hasil perhitungan dengan metode Eliminasi Gauss---m =
21.0000
0.0500
0.0200
% Perhitungan dengan metode LU Dekomposition
ludec(A,b)
ans =
21.0000
0.0500
0.0200
diary off
c. Perhitungan secara manual dengan menggunakan metode Eliminasi
Gauss dan LU Decomposition
1. Perhitungan Eliminasi Gauss
Dari semua data diperoleh persamaan linier berikut ini:
m1+m2z1+m3z12= T1
m1+m2z2+m3z22= T2
m1+m2z3+m3z32= T3
m1+m2z4+m3z42= T4
m1+m2z5+m3z52= T5
m1+m2z6+m3z62= T6
m1+m2z7+m3z72= T7
m1+m2z8+m3z82= T8
17
mengubah persamaan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut:
[ ] []
[]
1
1
1
1
1
1
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z 12
z 22
z 32
z 42
z 52
z 62
z 72
z 82
[]
m1
m2
m3
=
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
Agar dapat diselesaikan maka matriks tersebut kita ubah dulu bentuk
matriksnya.
a) Menentukan G tranpose
G=
1
1
1
1
1
1
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z 12
z 22
z 32
2
z4
z 52
z 62
z 72
z 82
menjadi
[
1
1
1
1
1
1
1
1
z 1 z2 z 3 z 4 z5 z 6 z 7 z 8
G =
z 12 z 22 z 32 z 42 z 52 z 62 z 72 z 82
b) Menentukan GtG
t
t
G G=
[
]
1
1
1
1
1
1
1
1
z 1 z2 z 3 z 4 z5 z 6 z 7 z 8
z 12 z 2 2 z 3 2 z 42 z 5 2 z 6 2 z 72 z 8 2
18
]
[]
1
1
1
1
1
1
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
z 12
z 22
z 32
z 42
z 52
z 62
z 72
z 82
[
=
N
∑ zi
∑ zi2
∑ z i ∑ z i2
∑ zi2 ∑ z i3
∑ z i3 ∑ z i4
]
Dimana N=8 dan i=1,2,3….8
c) Kemudian tentukan Gtd
t
G d=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
z 1 z2 z 3 z 4 z5 z 6 z 7 z 8
z 12 z 2 2 z 3 2 z 42 z 5 2 z 6 2 z 72 z 8 2
]
[]
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
=
∑ Ti
∑ zi T i
∑ z i2 T i
d) Sehingga menjadi persamaan
[
N
∑ zi
∑ zi2
∑ z i ∑ z i2
∑ zi2 ∑ z i3
∑ z i3 ∑ z i4
] []
m1
m2
m3
=
∑ Ti
∑ zi T i
∑ z i2 T i
e) Kemudian subsitusi angka dari data untuk membentuk matriks yang
akan dihitung menggunakan Eliminasi Gaus
[
N
∑ zi
∑ z i2
| ]
∑ z i ∑ zi2 ∑ T i
∑ z i2 ∑ zi3 ∑ zi T i
∑ z i 3 ∑ z i4 ∑ z i2 T i
[
|
P1 8
219
8547
349,89
P2 219
8547
393423 12894,81
8547
393423
19787859
594915,33
P3
]
f) Melakukan proses eliminasi untuk membentuk matriks eselon baris
(P2 − (219/8)P1) → P2
8
219
8547|
349,89
0
2551,88 159448,88| 3316,57
8547 393423 19787859| 594915,33
g) (P3 − (8547/8)P1) → P3 hasilnya adalah
8
219
8547|
349,89
0 2551,88
159448,88|
3316,57
0 159448,88 10656457,88| 221101,6
h) (P3 −(159448, 88/2551, 88)P2) → P3 hasilnya adalah
[
[
]
]
19
[
8
219
8547|
349,89
0 2551,88 159448,88| 3316,57
0
0
693609,48| 13872,19
] []
m1
¿ m2
m3
i) Menentukan nilai m1, m2 dan m3
1) 693609,48 m3
= 13872,19
13872,19
=0,02
m3
=
693609,48
2) 2551,88 m2 + 159448,88 (0,02) =3316,57
2551.88 m2 = 3316,57 – 3188,977692
127,592.308
m2
=
= 0,049
2551,88
3) 8 m1 +219 m2 + 8547 m3
= 349,89
8 m1 + 219 (0,049) + 8547 (0,02) = 349,89
8 m1
= 349,89 – 10,95-170,94
m1
= 168/8
m1
= 21
2. Perhitungan LU Decomposition
Ux = y
a11 a12 a13
8
219
8547
A= 219
A= a21 a22 a23
8547
393423
8547 393423 19787859
a31 a32 a33
[
M21 ¿
]
a21 219
=
a11
8
[
M31 ¿
]
a31 8547
=
a11
8
Kemudian Subsitusi kembali M1dan M2 ke dalam matriks A dengan
tanda berbeda sebagai berikut
[
8
−219
M 1=
8
−8547
8
219
8547
8547
393423
393423 19787859
]
A1= M1 . A
A1=
[
8
−219
8
−8547
8
219
8547
8547
393423
393423 19787859
20
][
8
219
8547
219
8547
393423
8547 393423 19787859
]
A1=
[
64
1752
68376
0
2551,875
159448,875
0 159448,875 10656457,88
]
Mencari nilai M32 dari matriks A1
M32=
a32 159448,875
=
a22
2551,875
M2 =
[
1
0
0
0
1
0
0 M 32 1
]
M2 =
[
1
0
0
1
−159448,875
0
2551,875
0
0
1
]
A2= M2 x A1
=
=
A2=
U=
[
1
0
[
[
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
[
]
0
1
−159448,875
0
2551,875
0
0
1
]
[
64
1752
68376
0
2551,875
159448,875
0 159448,875 10656457,88
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
]
]
]
A2= U
Jadi, U=
[
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
]
Sebagai Upper
Untuk mencari Lower memasukkan M21, M31, dan M32 kedalam bentuk matrik L
21
L=
[
[
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
1
219
8
8547
8
L=
[
]
[
0
0
1
0
159448,875
2551,875
1
1
0 0
M 21 1 0
M 31 M 32 1
L=
[
L=
[
[
]
1
0 0
L21 1 0
L31 L32 1
2)
3)
] [] []
] []
x
y1
y2
y3
y=
=
m1
m2
m3
b1
b2
b3
b=
]
][ ] [
[
1)
Sebagai Lower
1
0
0
27,375
1
0
1068,375 62,48302719 1
349,89
12894,81
594915,33
=
]
1
0
0
27,375
1
0
1068,375 62,48302719 1
Ly = b
]
1
0
0 x1
349,89
27,375
1
0 x2 =
12894,81
1068,375 62,48302719 1 x3
594915,33
x 1=349,89
27,375 x 1 + x 2=12894,81
x 2=12894,81−27,375 ( 349,89 )
x 2=12894,81−9578,23875
x 2=3316,57125
1068,375 x 1 +62,48302719 x2 + x 3=594915,33
3316,57125+ x 3=594915,33
1068,375(349,89)+ 62,48302719¿
x 3=594915,33−373813,7288−207229,4116
x 3=13872,1896
22
]
[][
]
x1
349,89
=
x
3316,57125
Jadi,
2
13872,1896
x3
Selanjutnya melakukan perhitungan menggunakan Upper
Ux = y
U=
[
[
U=
[
64
1752
68736
0 2551,875 159448,875
0
0
693609,4886
349,89
3316,57125
13872,1896
Jadi,
1)
2)
3)
[
U 11 U 12 U 13
0 U 22 U 23
0
0 U 33
] [] []
x
y1
y2
y3
x1
x2
x3
=
] []
y=
m1
m2
m3
b=
]
][ ] [
]
m1
64
1752
68736
349,89
=
0 2551,875 159448,875 m2
3316,57125
0
0
693609,4886 m3
13872,1896
693609,4886 m3=13872,1896
13872,1896
m 3=
693609,4886
m3=0,02
2551,875 m2 +¿
m3=3316,57125
159448,875
2551,875 m2 +¿
159448,875
(0,02)=3316,57125
3316,57125−3188,9775
m 2=
2551,875
287,042625
m 2=
2551,875
m2=0,05
64 m1 +1752m 2 +68736 m3=349,89
64 m1 +1752 ( 0,05 )+ 68736(0,02)=349,89
64 m1 +87,6+1367,52=349,89
64 m1=349,89−87,6−1367,52
64 m1=−1105,23
−1105,23
m 1=
64
23
m1=−17,26
Jadi,nilai
[ ][ ]
m1 −17,26
m2 = 0,05
0,02
m3
Hasil perhitungan yang dilakukan dengan menggunakan metode Eliminasi
Gauss dan LU decomposition pada program MATLAB adalah sama. Jadi, kedua
metode tersebut memiliki tingkat akurasi yang sama.
Sedangkan untuk hasil dari tiga bentuk perhitungan yang dilakukan pada
metode Eliminasi Gauss didapatkan nilai yang sama yaitu
[ ][ ]
m1
21,00
m2 = 0,05
0,02
m3
Hal ini berarti semua perhitungan yang dikerjakan baik secara analitik, manual
dan matlab adalah benar.
Sedangkan dalam perhitungan metode LU Dekomposition mempunyai hasil
yang sama dari ketiga bentuk perhitungannya, namun terdapat satu hasil
perhitungan manual pada nilai m1 yang tidak sama.Hal ini dikarenakan kurangnya
tingkat ketelitian dalam menghitung secara manual. Oleh karena itu untuk
menyelesaikan suatu permasalahan yang sudah sedikit rumit, sebaiknya
menggunakan perhitungan numerik dibandingkan dengan perhitungan manual.
BAB 5. PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Hasil perhitungan dari permasalahan fisika yang dibahas memiliki hasil
yang sama baik dengan metode Eliminasi Gauss dan LU Dekomposition.
2.
Jadi, kedua metode tersebut memiliki tingkat akurasi yang sama.
Hasil perhitungan dengan menggunakan MATLAB dan secara analitik
adalah sama. Namun, untuk perhitungan yang sangat rumit lebih baik
menggunakan metode numerik karena jika menggunakan analitik dan
manual diperlukan tingkat ketelitian yang tinggi dan memerlukan waktu
yang panjang.
24
3.5 Saran
Untuk menyelesaikan berbagai permasalahan fisika yang menggunakan
persamaan matematika yang sangat rumit diperlukan pemahaman yang sangat
luas tentang penggunaan program MATLAB agar lebih mudah untuk
menyelesaikannya.
25
LAMPIRAN
1.
Editor
26
2.
Command Window
3.
Gambar Grafil
27
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2013. Pengertian perpindahan panas konveksi, radiasi dan konduksi
lengkap. http://www.miung.com/2013/05/pengertian-perpindahan-panaskonveksi.html. (24 November 2014)
Apriyahanda, Onny. 2014. Perpindahan Panas. http://artikelteknologi.com/perpindahan-panas/. (diakses 22 November 2014)
Geofisika.
2014.
Sejarah
Geofisika.
http://geofisika.ub.ac.id/profil/sejarah.
Sejarah. (diakses 22 November 2014)
Indoenergi. .2012. Energi Geothermal (Energi Panas Bumi)
http://www.indoenergi.com/2012/03/energi-geothermal-energi-panasbumi.html. (diakses 23 November 2014)
Muntahar, Rahadian. 2014 Energi dan Penerapannya.
http://www.slideshare.net/rahadianmuntahar/energi-dan-penerapannya.
(diakses 22 November 2014)
Purwanto, Slamet. 2011. Metode Numerik: Pengertian dan Kegunaan Metode
Numerik.http://slametpurwanto.com/metode-numerik-pengertian-dankegunaan-metode-numerik/#ixzz3JlVfwD1I ( diakses 22 November
2014)
Rahayudin,
Yudi.
2013.
Sistem
Panas
Bumi.
http://www.pusdiklat-
geologi.esdm.go.id/index.php/artikel/publikasi-ilmiah/68-sistempanas-bumi. (diakses 24 November 2014)
28
Saptadji, Nenny. Tanpa Tahun. Panas Bumi.
http://geothermal.itb.ac.id/sites/default/files/public/Sekilas_tentang_Pana
s_Bumi.pdf. /ITB) (diakses tanggal 23 November 2014)
STMIK AUB. 2013. Pengertian metode numerik.www.bibliopedant.com..
Surakarta: STMIK (diakses 22 November 2014)
Supriyanto, Suparno. 2007. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan
Matlab. Jakarta: Departemen Fisika-FMIPA.
Tim Komputasi. 2014. Modul Fisika Komputasi. Jember: Universitas Jember
29