IR în raport cu variabila y, g(x) = x
Capitolul 3
TRANSFORMÃRI PUNCTUALE
, , , , f ( ,
2 cos , sin care realizeazã trecerea de la coordonatele polare , la
coordonatele carteziene x cos , y sin este o transformare punctualã
1
bijectivã de clasã C (deci o schimbare de coordonate), iar inversa sa definitã prin y
1
2 2
1
f ( x , y ) x y , arctg este de asemenea de clasã C , realizând x
trecerea de la coordonatele carteziene x, y la coordonatele polare , . Prin urmare f
1 sunt transformãri regulate.
ºi f
3
, definitã prin:
Exemplul 2. Funcþia f : A = (0, ) (0, 2) (0, ) IR
f(r, , ) = (x, y, z), cu x r cos sin , y r sin sin , z r cos are
D ( x , y , z )
2
r sin pe A; prin urmare, conform determinantul funcþional D ( r , , )
teoremei de inversiune localã, f este o schimbare de coordonate; în particular f(A)
3 .
este o mulþime deschisã din IR
Exemplul 3
x , . Coordonatele cilindrice , , z introduse prin cos y , z = z definesc un sistem ortogonal pentru care parametrii Lamé sunt sin
H =H = ; de asemenea coordonatele sferice r, , introduse prin
= 1 ºi H z
x r cos sin , y r sin sin , z r definesc un triedru ortogonal, iar cos parametrii Lamé sunt H
1 H r sin , H r . ,
r Exemplul 4. Sã calculãm div v , grad div v , rot grad div v si rot v , unde este dat în coordonate sferice.
v r e r e sin e
r
1 2 cos
3
2
div v r sin r sin 3 ,
2
r sin r r
2 cos 1 2 cos
2 grad div v
3 e 3 cos e sin e ,
r r
2
r r r r r
e r sin e r e
r __
1
2
2
2
rot v r cos e r sin e 2 r sin e ,
r
2
r r sin
2
r r sin r sin
__ iar rot grad div v conform teoremei 10, cap.2.
3 Exemplul 5. Ecuaþia f(x,y)=0, unde f : IR IR IR, f(x,y) = x y1 defineºte
3
1 în orice unic funcþia implicitã g : IR IR în raport cu variabila y, g(x) = x
2
2
vecinãtate a lui (a,b) IR pentru care f(a,b)=0; aici fC (IR (IR). De ) ºi gC
3
h ( y ) y
1 asemenea, funcþia , h : IR IR este o funcþie definitã implicit de ecuaþia
2
f(x,y)=0 în raport cu variabila x pe IR ; în schimb h este doar de clasã C , nefiind derivabilã în y=1. În fine, luând de exemplu (a,b)=(1,2), restricþia funcþiei h la mulþimea (1,) este o funcþie implicitã definitã de ecuaþia f(x,y)=0 în raport cu
variabila x pe (1,) IR de clasã C .
2
2 Exemplul 6. Fie f : E=(-1, 1) (-1, 1) IR, f(x,y)=x
y 1. Atunci ecuaþia f(x,y)=0 defineºte implicit o infinitate de funcþii în raport cu variabila y; de exemplu
2
2
g ( x ) 1 x g ( x ) 1 x , g ,g : (-1, 1) IR sunt de clasã C funcþiile ºi ºi
1
2
1
2
f(x,g (x)) = f(x,g (x))=0, pentru orice x(-1, 1), deci ele sunt funcþii implicite definite
1
2
ecuaþia f(x,y)=0 în raport cu variabila y în orice vecinãtate inclusã în E a unui punct (a , b ) E (respectiv (a , b ) E) pentru care g (a ) = b (respectiv g (a ) = b ).
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
Dacã fixãm (a,b)= , E atunci ecuaþia defineºte o unicã funcþie implicitã de
2
2
V
clasã C în raport cu variabila y pe E
(a,b) ºi anume funcþia g 1 . Funcþia
g ( x ), x ,
1
1
g x este, de asemenea, definitã implicit de ecuaþia datã,
2
- g ( x ), x 1,0
în raport cu y pe E, dar ea nu este nici mãcar continuã.
2
2
2
y
Exemplul 7. Ecuaþia x 0 defineºte pe IR o infinitate de funcþii
implicite în raport cu y; în schimb pentru (a,b)=(0,0) singurele asemenea funcþii
continue pe IR sunt g (x)=x, g (x)=x, g (x)= |x|; dintre acestea doar g
(x)=|x| ºi g ºi
1
2
3
4
1
g sunt de clasã C pe IR.
2
2
2
2
2
2
2
y z y z =0 nu definesc nici o
Exemplul 8. Ecuaþiile x 1=0 ºi x funcþie implicitã. Exemplul 9. Dacã f(x,y)=|x||y| iar (a,b)=(0,0), ecuaþia f(x,y)=0 defineºte o
1
(x)=x, g (x)=x, infinitate de funcþii implicite în raport cu cu variabila y, printre care g
2
g (x)=|x|, g (x)= |x|, g : IR IR, k 1 , 4 ; g sunt derivabile iar g nu sunt
3 4 k 1 ºi g
2 3 ºi g
4 derivabile (în a=0).
2
2
- y
Exemplul 10. Sã considerãm ecuaþia arctg(x+y)=ln(x +1) ºi sã examinãm
2
2 +y +1).
în ce condiþii defineºte ea o funcþie implicitã y=y(x). Fie f(x,y)=arctg(x+y) ln(x
1 2 y
IR f ' ( x , y )
( . Conform teoremei funcþiilor ) ºi y
2
2
2
1 ( x y ) x y
1
2
implicite, dacã (a,b) IR ºi
2
2
arctg(a+b)=ln(a +b +1), iar f ' ( a , b ) ,
y
V V
existã U
a , ºi V b ºi o unicã funcþie y=y(x), y : U V definitã implicit de ecuaþia
datã, yC ( U ).
Dacã, de exemplu a=b=0, aceste condiþii sunt verificate ºi y(0)=0, iar
2
2
arctg(x+y(x))=ln(x +y (x)+1), xU; de aici, prin derivare, obþinem:
2
2
2
( 1 y ' )( x y 1 ) 2 ( x yy ' )[ 1 ( x y ) ] , xU de unde, pentru x=0 avem y ' ( )
1 ; derivând încã odatã ºi þinând cont de faptul cã y y ( x ) , y ' y ' ( x ) obþinem
2
2
2
2
y ( x y 1 ) 2 ( 1 y ' )( x yy ' ) 2 ( 1 y ' y y )[ 1 ( x y ) ] 2 ( x yy ' ) 2 ( x y )( 1 y ' ) ; y ' ( )
1 , punând x=0 rezultã cã y ( )
4 y=y(x), xU admite în origine o tangentã de pantã m y ' ( ) 1 ºi de ecuaþie
''
; în plus, cum y ( ) 4 , rezultã cã existã o vecinãtate a punctului (0,0) în y x bã convexã. în care graficul este o cur
Observaþie. Sã presupunem cã sunt îndeplinite condiþiile din teorema
funcþiilor implicite astfel ca într-o vecinãtate a punctului (a,b) ecuaþia f(x,y)=0 sã defineascã o funcþie y=y(x) care admite un extrem local în x=a. Atunci, conform teoremei lui Fermat, y ' ( a )
ºi, conform formulei (1), cuplul (a,b) trebuie sã fie o soluþie a sistemului: f ( x , y )
f ' ( x , y )
x
Dacã, în plus, k2, din (2) rezultã cã
''
f 2
'' x
y ( a ) ( a , b ) , f '
y ''
deci dacã y ( a ) , funcþia y=y(x) are un maxim local în a ºi y max y(a)=b; analog,
''
dacã y ( a ) , atunci y are un minim local în x=a.
2 Exemplul 11. Sã determinãm extremele funcþiilor implicite y=y(x) de clasã C
y
2
2 +y )+2 arctg =0.
definite de ecuaþia f(x,y)=ln(x x
- 2
Sã remarcãm mai întâi cã f C (E), unde E = IR IR ºi 2 ( x y ) f ' ( x , y ) .
y
2
2
x y
V V
Prin urmare pentru orice (a,b)E cu ba ºi f(a,b)=0 existã U ºi V ºi o unicã
a b
2
funcþie y : UV, y C (U) definitã implicit de ecuaþia datã pentru care y(a)=b. Cum teorema funcþiilor implicite dã doar condiþii suficiente de existenþã a acestor funcþii trebuie sã examinãm douã cazuri: ba ºi b a.
Cazul b a. Presupunem cã f(a,b)=0 ºi cã funcþia y=y(x) definitã de ecuaþia
datã pe U admite un extrem în x=a; atunci y ( a ) , deci (a,b) verificã ecuaþiile
2 ( x y )
2
4
f ' ( x , y ) f ' ( x , y ) ; prin urmare a b e f(x,y)=0 ºi . Dar ºi
x x
2
2
x y
2 f 2
1
x y ( a ) ( a , a ) .
f ' 2 a
y
În consecinþã ecuaþia f(x,y)=0 defineºte douã funcþii implicite care au extreme locale
V V
2
y : U V , i 1 , 2 , unde U , V , U , V
i i i
1
1
2
2 4 sunt mulþimi deschise ºi e
2 4
2 e
2
2
2
2
2
4
4
4
4
iar ; nu putem y y e e y y e e
1 min
1
2 max
2
2
2
2
2 afirma cã y =y !
1
2
funcþiilor implicite. Presupunem cã existã totuºi y=y(x) definitã de ecuaþia f(x,y)=0,
1
4
y ' ( a ) a e ; derivând ambii membri y(a) b a ºi ; atunci f(a, a)=0, deci 2 ai ecuaþiei obþinem, dupã eliminarea numitorului,
V
, xU , x y ( x y ) y '
a
iar pentru x=a ºi y= a obþinem a=0; contradicþie!
2 Exemplul 12. Sã se determine d z
unde z=z(x,y) este funcþia definitã
( , )
3
3
- 3xyzz implicit de ecuaþia f(x,y,z)=x +z=0 ºtiind cã z(0,0)=1. Pentru început
2
3
(IR ), iar verificãm corectitudinea textului. Luând a=(0,0) ºi b=1 avem f(0,0,1)=0, fC f
V V
( , , 1 )
2 . Conform teoremei funcþiilor implicite existã U ºi V ºi o
(0,0)
1
z
2
unicã funcþie z:UV, z C (U) (deci de douã ori diferenþiabilã în origine) astfel ca z(0,0)=1 ºi f(x,y,z(x,y))=0, (x,y)U; prin urmare textul este corect. Ca în exemplul precedent derivãm în raport cu x apoi cu y ambii membri ai ecuaþiei date, cu z=z(x,y):
2
2
3 x 3 yz ( 3 xy 3 z 1 ) z ' (1)
x
2
3 xz ( 3 xy 3 z 1 ) z ' (2)
y
Punând x=y=0 ºi z=1 în (1) ºi (2) obþinem z ' ( , ) z ' ( , ) (3)
x y
Derivând în raport cu x, apoi cu y în (1) ºi cu y în (2) avem
2 ''
6 x 3 yz ' ( 3 y 6 zz ' ) z ' ( 3 xy 3 z 1 ) z 2
x x x x 2 ''
3 z 3 yz ' ( 3 x 6 zz ' ) z ' ( 3 xy 3 z 1 ) z
y y x xy 2 ''
3 xz ' ( 3 x 6 zz ' ) z ' ( 3 xy 3 z 1 ) z 2
y y y y
pentru (x,y)U; pentru x=y=0 obþinem, conform (3):
3
'' '' '' z ( , ) z ( , ) z ( , ) . 2 2 ºi xy x y
2
( , ) '' '' Exemplul 13. Sã determinãm y ( ) z ( )
ºi pentru funcþiile y=y(x) ºi z=z(x) definite de sistemul
- 2xy+z
- 1 (0) z' ºi
(IR
3
' v v 3 ' zuu 2 y 3 x
' vv 2 ' uu 2 yz
pentru care u(1,1,1)= 1 ºi v(1,1,1)=1. Derivãm în raport cu x cele douã ecuaþii þinând cont cã u=u(x,y,z) ºi v=v(x,y,z). Rezultã:
V )) z , y , x ( v ), z , y , x ( u ( ) z , y , x (
V (1,1) ºi o unicã funcþie UV,
V (1,1,1) ºi o vecinãtate V
; prin urmare existã o vecinãtate U
) v , u ( D ) g , f ( D
1 , 1 , 1 , 1 (
), f(1,1,1,1,1)=0= g(1,1,1,1,1) iar 2 ) 1 ,
5
1
2
. Verificãm întâi condiþiile din teorema funcþiilor implicite. Desigur f,gC
) 1 , 1 , 1 (
ºi v d
) 1 , 1 , 1 (
defineºte funcþiile implicite u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) ºi sã determinãm u d
3
2
3
2
2
) v u z xyz v , u , z , y , x ( g v zu xy ) 3 x v , u , z , y , x ( f
sistemul :
5
x x x 2 x
iar pentru 1 z y x avem
.
y y y 2 y
3
2 x
2 u u 2 xz v v 3 u zu
v v
. (1) Analog, derivând în raport cu y avem:
x
1 1 , 1 , 1 v
ºi
x
3 1 , 1 , 1 u
2
; prin urmare
ºi
1 , 1 , 1 v
3 1 , 1 , 1 u
2
x x
1 , 1 , 1 v
2 1 , 1 , 1 u
2
1
x x
Exemplul 14. Sã arãtãm cã într-o vecinãtate a punctului (1,1,1,1,1)IR
2 3y - 1 z
, astfel ca y(0)=z(0)=1, y,z C
ºi unica funcþie UV, V )) x ( z ), x ( y ( x
V (1,1)
, V
V
; deci existã vecinãtãþile U
2
) 1 , ( 1 ,
) g , f ( D
( 1 , ) z , y ( D
2 ) 1 ,
3 1 3z x
6 2 - 3 -
(U) ºi f(x,y(x),z(x))=0 = g(x,y(x),z(x)), pentru orice xU. Pentru calculul lui z'
3
2 z yz
3 x z z xy 2 x
2
3
3
ºtiind cã z(0)=1. Fie f(x,y,z)= x
3
) ºi
z ºi g(x,y,z)= x
2
3yz+z+2. Deoarece f(0,y,1)=0 ºi g(0,y,1)= 3y+3, considerãm, pentru verificarea condiþiilor din teorema funcþiilor implicite, a=0 ºi b=(1,1). Desigur f(0,1,1)= g(0,1,1)=0, f,gC
2
(IR
3
2
ºi ' y derivãm ecuaþiile sistemului þinând seama cã y=y(x) ºi z=z(x); deci:
32 ) ( y
9
ºi
13 ) ( z
3
ºi punând x=0 obþinem:
2
2
6
2 ' y 4 x
2 z z z 3 ' zz 6 y x
3
' 3 ' z y 6 z y
z z y
2
' z ' yz ' 3 z y 3 x
2 ' z ' z z 3 ' xy
2 y 2 x
3
2
(1) Pentru x=0 obþinem
3
2 ) ( ' y
. Prin derivare din (1) rezultã cã:
,
de unde pentru x y z 1 :
3 u 1 , 1 , 1 v 1 , 1 ,
1 2 (2)
ºi y y
2 x y z
1 Derivând în raport cu z ºi punând obþinem: u 1 , 1 ,
1 3 v 1 , 1 ,
1 4 (3) ºi
z z
Din (1), (2) ºi (3) rezultã cã:
3
3 d u dx dy 3 dz d v dx 2 dy 4 dz .
1 , 1 , 1 1 , 1 , 1
2
2
1 Problema dependenþei funcþionale: În ce condiþii existã o funcþie de clasã C q
F : E IR f x ,..., f x , E x U , astfel încât ecuaþia → IR pentru care
1 q
F ( y ,..., y ) sã defineascã implicit funcþiile y y ( y ,..., y ) f x y f x ,..., f x , ºi
1 q i i 1 r i i 1 r
x U , pentru i r 1 , q ?
3
, f , f : IR f x , y , z x y z ,
Exemplul 15. Fie funcþiile f IR,
1
2
3 1
2
2
2
2
f x , y , z x y z , f x , y , z xy yz zx ; considerând F u , v , w u v 2 w ,
2
3
3
3 F: IR F f x , y , z , f x , y , z , f x , y , z
IR, atunci , pentru (x,y,z) IR . Deci ecuaþia
1
2
3 F u , v , w F
1 F 2 v v u , w , respectiv , pentru care ºi , defineºte
v w
1
2
3
2
w w u , v ; de fapt: f f 2 f (respectiv f f f ) pe IR .
2
1
3
3
1
2
2
p Exemplul 16. Fie f x ,..., x a x , i
1 , q f ,..., f sunt . Aplicaþiile liniare
i 1 p ij j 1 q
j
1 p
. Cum dx ,..., dx este baza dualã elemente ale spaþiului dual al IR-spaþiului liniar IR
1 p p
p
putem scrie f a dx , i 1 , q . Sã bazei canonice a spaþiului euclidian IR
i ij j j
1
presupunem cã p q , r este rangul matricii J a i
1 , q d det a este un
ºi
ij ij i , j
1 , r j 1 , p minor principal al matricii J.
D f ,..., f
1 q
1. Dacã r q , sau, echivalent f ,..., f sunt , atunci aplicaþiile
1 q
D x ,..., x
1 q p
f ,..., f sunt liniar independente în spaþiul dual L al spaþiului IR . Funcþiile
1 q
independente ºi în sens funcþional; într-adevãr, dacã ele nu ar fi independente
p p
1 V , U
IR IR, F C (E) nenulã astfel funcþional ar exista aIR a ºi o funcþie F : E ca F f x ,..., f x , x U ; derivând în raport cu x
obþinem sistemul liniar omogen:
1 q i
a F a F ... a F , i 1 , p
1 i y 1 2 i y qi y 2 q
F ... F (matricea sistemului fiind matricea care are doar soluþia banalã
y y 1 q
nesingularã J); prin urmare dF , deci F ; contradicþie!
D f ,..., f
1 r
2. Fie r q . Atunci d iar f ,..., f este o bazã a spaþiului
1 r
D x ,..., x
1 r
generat de f ,..., f ; prin urmare existã constantele unice
IR astfel ca
1 q ij r p
f f pe IR , i r 1 , q
i ij j j
1
f ,..., f de relaþii explicite care exprimã dependenþa(liniarã ºi funcþionalã) a funcþiilor
r 1 q
f ,..., f funcþiile ; cu ajutorul minorilor caracteristici(teorema lui Rouché) relaþiile
1 r
a ... a f
11 1 r
1 ... ... ... ...
p
pe IR , i r 1 , q a ... a f
r 1 rr r
a ... a f
i 1 ir i
reprezintã relaþii de dependenþã funcþionalã implicite (care definesc unic funcþiile f ,..., f ).
r 1 q Exemplul 17. Fie u f x y z , y g x
2 y z , w h x y z unde
1
f , g , h C funcþiile (IR) ºi sunt strict crescãtoare. Sã se determine á IR astfel încât
3
u , v , w sã fie dependente funcþional pe IR ºi sã se gãseascã o relaþie de dependenþã funcþionalã.
Conform teoremei dependenþei funcþionale trebuie sã impunem ca matricea jacobianã sã aibã rangul r
3 x , y , z
. Determinantul funcþional în punctul curent
3 IR este
1
1
1 D u , v , w
f g h
1
2
1
3 1 f g h .
D x , y , z
1
1
Dar f t g t h t , t
IR; prin urmare pentru á IR \
1
funcþiile sunt
1 sunt dependente. Fie 1 ; sã alegem, independente funcþional iar pentru D u , v
de exemplu minorul principal ; cum f, g, h sunt inversabile (ca funcþii între
D x , y
IR ºi imaginea lui IR) putem scrie sistemul:
1
x y z f u
1
x 2 y z g v ,
1
x y z h w
sistem care este compatibil nedeterminat; atunci, conform teoremei lui Rouché minorul caracteristic este nul, deci:
1
1 1 f u
1
1 2 g v
1
1 1 h w
reprezintã o relaþie de dependenþã funcþionalã implicitã care se poate explicita; de
1
1
exemplu: w h f u 2 g v .
3
2
x y x y x y y ln x în urma
Exemplul 18. Ce devine ecuaþia t
schimbãrii de variabilã x e ? d
Pentru a rãspunde la aceastã întrebare construim operatorul de derivare dx folosind, cu observaþia precedentã, schema: y x y t x (1)
x x t (în cazul nostru t x ln x ). Derivând (în unde t reprezintã inversa funcþiei raport cu x) ambii membri din (1), obþinem: dy dy dt
1 dy 1 dy dy
t t
y e e y (2) dx dx dt dx dt x dt dt dt de unde: d d
t
e . (3) dx dt d y d y d
t t t
2 t
Atunci: y e e e y e y y . (4)
3
2
dx dt dt Analog: d y d y d
t t 2 t 3 t 3 t
y e e e y y e y y 2 y y e y 3 y 2 y . (5)
3
4
dx dt dt
t 2 2t 3t
, x =e , respectiv x=e Din (2), (4) ºi (5) (prin înmulþire cu x=e ) ecuaþia datã
devine: y 3 y 2 y y y y y t , deci y 2 y 2 y y t
, adicã o ecuaþie care defineºte noua funcþie y=y(t).
Observaþie. Uneori, îndeosebi pentru rezolvarea unor ecuaþii diferenþiale, se
schimbã rolul variabilei independente x cu cel al funcþiei y (adicã se considerã cã y y x soluþia ecuaþiei este o schimbare de coordonate, deci existã inversa funcþiei
y : x x y ). Atunci Y y x , t y ºi:
dy
1
1 y ,
dx dx x dy d 1 d iar operatorul de derivare devine:
dx dt d
1 d ,
dx x dy
y , y , y ,... x , x , x ,... operator care serveºte la calculul derivatelor în funcþie de
2
y y 3 y schimbând rolul variabilei
Exemplul 19. Ce devine ecuaþia
independente x cu cel al funcþiei y? y y x este Pentru a rezolva aceastã problemã considerãm cã funcþia
d 1 d
1 x x y este inversa ei. Atunci y este operatorul de inversabilã ºi ºi
x dx x dy
d y 1 d 1 x d y 1 d x
derivare; deci y , iar y
3
3
dx x dy x x dx x dy x
3
2
2
1 x x 3 x x
1
2
x x 3 x . Înlocuind y , y , y
în ecuaþia datã obþinem
6
4
x x x
2
1 x
2
x x 3 x 3 , deci x . Remarcãm aici utilitatea acestei transformãri;
6
6
x x
2
ecuaþia
y y x prin urmare soluþia a ecuaþiei date este definitã implicit de ecuaþia
2 ay by c x .
x x t nu este datã explicit ci ca
Observaþie. Dacã schimbarea de variabilã
dx f
t
f x , t , atunci x soluþia implicitã a unui ecuaþii de forma: ºi dt f
x
dy 1 dy f dy d f d
x x y , iar operatorul de derivare devine: .
dx x dt f dt dx f dt
t t
Observaþie. Schimbarea de variabilã ºi de funcþie descrisã este o generalizare a schimbãrii de variabilã.
dy y Remarcãm, de asemenea, cã ºi în acest caz derivata ºi operatorul dx d de derivare se pot obþine dupã urmãtoarea schemã: dx y u , v u u , v u (4)
din care, prin derivare(în raport cu variabila independentã u) obþinem (2), deci ºi (3).
Derivatele y , y , y ,... se pot obþine ºi fãrã operatorul (3) prin derivãri succesive în (4).
Exemplul 20. Fie y y x
ecuaþia unei curbe plane, unde y este de clasã
3
2
1 y
2
C . Sã exprimãm raza de curburã R în coordonate polare , , y considerând .
Deoarece y , iar x cos ºi sin dx dy
cos sin , sin cos , d d dy
1 atunci y sin cos .
dx cos sin d
1 d Pentru calculul lui y folosim operatorul: ,
dx cos sin d 1 d sin cos deci y
cos sin d cos sin
1 sin 2 cos sin cos sin
3
cos sin
2
2
2
sin cos cos 2 sin cos
3
cos sin
3
2
2
2
Prin urmare .
R
2
Observaþia 1. Ca ºi în cazul funcþiilor de o singurã variabilã se noteazã
uneori, prin abuz de notaþie, noua funcþie Z = Z(u, v) tot cu z = z(u, v). Schema care genereazã legãtura dintre noile derivate z ' , z ' z , z este: ºi cele vechi
u v x y
z ( u , v ) z ( u , v ), ( u , v ) (*) adicã exprimarea lui z ca funcþie de u ºi v direct (membrul stâng), respectiv prin intermediul transformãrii regulate x =(u, v), y = (u, v), (membrul drept).
Observaþia 2. Uneori este mai comod ca în locul egalitãþii (*) sã folosim schema
z x , y z u x , y , v x , y (**)
unde u x , y , v x , y este inversa transformãrii regulate u , v , u , v . În acest caz
z , z exprimate în raport cu noile derivate obþinem, prin derivare, direct funcþiile
x y
z ' , z ' :
u v
z z u z v , z z u z v ;
x u x v x y u y v y
derivatele u , v , u , v se obþin, aplicând regula lui Cramer, din sistemele rezultate
x x y y
prin derivarea parþialã în raport cu x, respectiv y, a legãturilor x = (u, v), y = (u, v), adicã: u v
1 u v u y v y
u x v x
; . u v
1 u v
u x v x u y v y
Observaþia 3. Dacã transformarea regulatã (x, y) (u, v) este datã sub
formã implicitã: F x , y , u , v
(0)
G x , y , u , v
D F , G D F , G
atunci ºi pe domeniul comun de definiþie.
D x , y D u , v
Dacã folosim schema * avem nevoie de derivatele parþiale ale funcþiilor x=x(u,v) , y=y(u, v) pe care le obþinem prin rezolvarea sistemelor liniare rezultate prin derivarea relaþiilor (0), adicã:
F x F y F F x F y F
x u y u u x v y v v
; .
G x G y G G x G y G
x u y u u x v y v v
u , u , v , v Dacã folosim schema **, obþinem prin derivare în relaþiile (0)
x y x y
în raport cu x, resp ectiv y, þinând seama cã u = u(x, y) ºi v = v(x, y), deci:
F F u F v
F F u F v y u y v y
x u x v x
; .
G G u G v G G u G v
x u x v v y u y v y
Observaþia 4. Dacã expresia E conþine o funcþie de mai multe variabile:
E E x ,..., x , y , y ,..., y , y 2 , y ,...
1 p x x x x 1 p x 1 1
2
unde y = y(x ,...,x ), schimbarea variabilelor independente x ,...,x cu variabilele
1 p 1 p
u ,...,u prin intermediul unei transformãri regulate definite prin
1 p
x u ,..., u , k 1 , p se face analog.
k k 1 p
2
z z
2
a , unde, a 0
Exemplul 21. Ce devine ecuaþia coardei vibrante
2
2
t x este o constantã dacã trecem la noile variabile u, v definite prin u = x + at, v = x – at?
2
2
z C (IR ). Cum noile
Rezolvare. Presupunem cã ecuaþia datã defineºte
variabile sunt date sub formã explicitã : u = u(x, t), v = v(x, t) este mai firesc sã folosim schema **: z(t, x) = z(x + at, x – at). (1)
Derivând în raport cu t, respectiv x, obþinem din (1): z ' a ( z ' z ' ) , z ' z ' z ' (2)
t u v x u v
de unde: z 2 a a z 2 a z a z a z 2 ,
uv vu t u v
deci conform teoremei lui Schwarz:
2
z a z 2 2 2 z z ; 2
uv t u v
analog z z z z z , deci: 2 2 2
uv vu x u v
z z 2 2 2 z z 2
uv x u v
ºi prin înlocuire în ecuaþia coardei vibrante obþinem : z .
uv Exemplul 22. Sã se transforme ecuaþia cu derivate parþiale de ordinul al
doilea:
2
2
2
z z z z z
2
2
y 2 xy x x y
2
2
x x y y x y prin trecere la coordonate polare.
Rezolvare. Din nou considerãm cã ecuaþia datã defineºte funcþia z=z(x,y) de
2
clasã C . Transformarea regulatã : x= sin , , , , 2 x x , ,
cos , y= defineºte funcþiile y y , explicit, prin urmare vom folosi schema (*:
z( , )=z( cos , sin ), de unde , prin derivare, obþinem: z z z
z z x z y cos sin
x y
x y z z z
z z x z y sin cos .
y x y