Fungsi yang tidak terdefinisi di x = t, untuk a ≤t ≤

  Integrasi Numerik (Bag. 2)

  Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB)

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  

Singularitas

• Kita akan kesulitan melakukan menghitung integrasi numerik apabila fungsi tidak terdefenisi di x = t, dalam hal ini a < t < b. Misalnya dalam menghitung integrasi

  1

  cos( x )

  I I = = dx dx x

• Fungsi f(x) = cos x/√x jelas tidak terdefinisi di x = 0 (ujung bawah selang).

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Begitu juga pada perhitungan integrasi menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x =1 tidak dapat dihitung sebab fungsi f(x) = 1/(x-1) tidak terdefinisi di x = 1.

  I = dx x − 2 5 .

  1

  1

  ≤ t

  ≤

  b, dinamakan fungsi singular.

• Fungsi yang tidak terdefinisi di x = t, untuk a
• Singularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi

  persamaan fungsi sedemikian sehingga ia tidak singular lagi.

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Contoh: Ubahlah fungsi integrasi

  1 cos( x )

  I = dx x sehingga menjadi tidak singular lagi.

  Penyelesaian: Fungsi f(x) = cos(x)/√x tidak terdefenisi di x = 0. Fungsi f(x) = cos(x)/√x tidak terdefenisi di x = 0.

  Misalkan

  2 x = u → dx = 2u du Batas-batas selang integrasi juga berubah x = 0 → u = √x = 0 x = 1 → u = √x = 1

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode maka

  1 cos( x )

  I = dx x

  1

  2 cos( u )

  = ( 2 u ) du

  u

  1

  2 I = 2 cos ( u ) du → tidak singular lagi

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Contoh lain: Ubahlah fungsi integrasi berikut sehingga menjadi tidak singular:

  1

  dx I =

  3

  sin x 1 − x ( )

  ( ) Penyelesaian:

  3

3 Fungsi f(x) = 1/√(sin x)(1 - x √ ) tidak terdefenisi di x = 0 dan x = 1

  Pecah integral I menjadi dua bagian, I dan I :

  1

  2

  1 a

  1

  dx dx dx I = = +

  3

  3

  3

  ( x ) − x ( x ) − x ( x ) − x

  sin 1 sin ( 1 ) sin ( 1 )

  ( ) a

  I , singular di x = 0 I , singular x = 1

  1

  2

  dengan 0 < a < 1

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Misalkan

  x

  a u u du u

  2 1 sin

  6

  2

  a u u u u u

  −

  ( )( )

  2 = 2

  2 1 sin

  6

  −

  = u

  ( )( )

  I 1 =

  Maka,

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  = 0 → u = 0

  x

  = a → u = √a

  x

  → dx = 2u du Batas-batas integrasi

  2

  / du Mengingat lim →

  u

  − u

  a x x

  1

  3 1 sin

  1

  −

  ( ) ( )

  =

  2

  I

  1 du → tidak singular lagi

  6

  ( )

  2

  = 2

  1

  I

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  1 du → tidak singular lagi

  ( ) a

  = 2

  1

  I

  = 1 maka

  u u

  2 ) sin(

  → tidak dapat diterapkan pemisalan x = u²

  3

2 Uraikan (1 – x ) menjadi (1 – x)(1 + x + x ):

  1

  dx

  =

  I

  2

• 2

  ( ) a

  1 − x 1 x x + sin x ( )( )

  Misalkan

  2

  1 - x = u → - dx = 2u du 1 - x = u → - dx = 2u du Batas-batas integrasi :

  x = 1 → u = √(1- x) = 0 x = a → u = √(1- a)

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  − 1 a − 2 u du

  =

  I

  2

  2

  2

  2

  2

  2 − − − + + sin

  1 u u

  1 1 u 1 u

  ( ) ( ) ( ) [ ]

  − 1 a

  u du

  = 2

  2

  2

  4 − − sin

  1 u 3 3u u

• 1 − a

  [ ( ) ] ( )

  du

  = 2 → tidak singular lagi

  2

  2

  4 − − sin

  1 u 3 3u u

• IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  ( ) ( ) [ ]

  

Penerapan Ekstrapolasi untuk Integrasi

• Misalkan I(h) adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarak antara titik data adalah h (h < 1).

• • Dari persaman galat kaidah integrasi (trapesium, Simpson 1/3,

  dll) yang dinyatakan dalam notasi orde:

  p E = O(h ) E = O(h )

• dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunakan h yang semakin kecil, seperti yang ditunjukkan oleh diagram garis berikut:

  arah h h

  0 ... h/8 h /4 h /2

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Nilai sejati integrasi adalah bila h = 0, tetapi

  pemilihan h = 0 tidak mungkin kita lakukan di dalam

  rumus integrasi numerik sebab ia akan membuat nilai integrasi sama dengan 0.
• Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik dengan melakukan ekstrapolasi ke h = 0. ekstrapolasi ke h = 0.

• • Ada dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan

  untuk integrasi:

  1. Ekstrapolasi Richardson

  2. Ekstrapoalsi Aitken

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  

Ekstrapolasi Richardson

Pandang kembali kaidah trapesium b n b − a f " t h ( ) ( )

  2

  = ( f + 2 f + f ) - n h f ( x ) dx i

  2

  12 i =

  1

  a yang dapat ditulis sebagai b

  2

  = I (h) + Ch f ( x ) dx a

dengan I(h) adalah integrasi dengan menggunakan kaidah trapesium dengan jarak antar

b − a f

  ( ) ( ) " t titik selebar h dan C = .

12 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita ditulis sebagai b q

  = I (h) + Ch f ( x ) dx a

dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. Nilai q dapat

ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya

  2

  kaidah trapesium, O(h ) → q = 2

  2

  kaidah titik-tengah, O(h ) → q = 2

  4

  kaidah 1/3 Simpson, O(h ) → q = 4

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik (improve) dibandingkan dengan I.
• Misalkan J adalah nilai integrasi yang lebih baik daripada I dengan jarak antar titik adalah h:

  q J = I(h) + Ch

  (1)

• Ekstrapolasikan h menjadi 2h, lalu hitung integrasi numeriknya numeriknya

  q J = I (2h) + C(2h) (2)

• • Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan

  persamaan (1) dan persamaan (2):

  q q I(h) + Ch = I (2h) + C(2h) (3)

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode sehingga diperoleh I ( ) ( ) h −

  I 2 h C =

  (4) q q

  −

  2 1 h ( )

  Sulihkan (4) ke dalam (3) untuk memperoleh: − I ( ) ( ) h

  I 2 h J = I(h) + q

  2 −

  1 yang merupakan persamaan ekstrapolasi Ricahrdson

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Sebagai contoh, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium (q = 2), maka ekstrapolasi Richardson-nya adalah

1 J

  = I(h) + [ I(h) - I(2h) ]

  3 dan bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah 1/3 Simpson (q = 4), maka ekstrapolasi Richardson-nya adalah

  1

1 J J

  = I(h) + = I(h) + [ I(h) - I(2h) ] [ I(h) - I(2h) ]

15 Perhatikanlah bahwa suku 1/3 [ I(h) - I(2h) ] dan suku 1/15 [I(h) - I(2h)]

  

merupakan faktor koreksi. Artinya, nilai taksiran integrasi I(h) dapat

ditingkatkan menjadi nilai yang lebih baik dengan menambahkan faktor koreksi

tersebut.

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Contoh: Hitung kembali integral

  dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson, yang dalam

  hal ini I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium dan h = 0.125.
• 1

  1

  1 dx x

• Penyelesaian: Jumlah upaselang: n = (1 - 0)/0.125 = 8 Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125:

  Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125:

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

r x _r f _r

  1 1 0.125 0.88889 2 0.250 0.80000 3 0.375 0.72727 4 0.500 0.66667 5 0.625 0.61538 6 0.750 0.57143 7 0.875 0.53333 8 1.000 0.50000

• 2f
• 2f
• 2f
• 2f
• 2f
• 2f
• f

  ) ≈ 0.250/2 [1 + 2(0.80000) + 2(0.66667) + 2(0.57143) + 0.50000) ≈ 0.69702

  8

  6

  4

  2

  ≈ (2h)/2 ( f + 2f

  1 dx x

  1

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode I (2h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan 2h = 0.250: I (2h) =

  ≈ 0.69412 I (2h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan 2h = 0.250:

  8 ) ≈ 0.125/2 [1 + 2(0.88889) + 2(0.80000) + ... + 0.50000)

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  ≈ h/2 ( f + 2f

  1 dx x

  1

  I (h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan h = 0.125: I (h) =

• 1
• 2f
• 2f
• f
• 1

Nilai integrasi yang lebih baik, J, diperoleh dengan ekstrpolasi Richardson: − I ( ) ( ) h

  I 2 h

• J = I(h)

  q −

  2

  1

yang dalam hal ini, q = 2, karena I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium (yang

mempunyai orde galat = 2) −

  . 69412 . 69702 = 0.69412 + = 0.69315 J

  2 −

  2

  1 Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah 0.69315. Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya:

  1 = x

  1

  1 = ln(1+x) = ln(2) - ln(1) = 0.69314718 dx

  =

• x

  1 x yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena, f(0.69314718) = 0.69315, hasilnya tepat sama dengan nilai integrasi yang dihitung dengan ekstrapolasi Richardson

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Contoh: Perlihatkan bahwa bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium, maka persamaan ekstrapolasi Richardson menyatakan kaidah Simpson 1/3.

  Penyelesaian: Kaidah 1/3 Simpson untuk sepasang upaselang adalah (lihat Gambar 6.10) adalah

  2 h I = f ( x ) dx

I (h) dan I(2h) adalah perkiraan hasil integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan pias

masing-masing selebar h dan 2h: h h h

  I (h) = / ( f + f ) + / ( f + f ) = / ( f + 2f + f )

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2 (2h)

  I (2h) = / ( f + f ) = h( f + f )

  2

  2

  2 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• f
• f
• f
• f
• h
• h
• h
• h

  h

  6

  /

  2

  f

  2

  /

  

1

  f

  3

  /

  1

  f + hf

  3

  /

  f -

  2

  6

  /

  h

  f +

  2

  /

  h

  =

  2

  f

  3

  /

  h

  f -

  f

  /

  /

  4h

  2

  1

  (f + 4f

  3

  /

  h

  =

  2

  f

  3

  /

  1

  3 f

  /

  f +

  3

  3

  /

  h

  =

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  / f

  h

  / f +

  4h

  / f +

  h

  =

  2

  f

  3

  2

  ) yang merupakan kaidah Simpson 1/3. J

  (

  1

  (f + 2f

  2

  /

  h

  ) ) =

  2

  ) - h(f + f

  2

  1

  (f + 2f

  2

  /

  h

  3

  ) +

  /

  1

  ) +

  2

  1

  (f + 2f

  2

  /

  h

  =

  1 [ I(h) - I(2h) ]

  3

  J = I(h) +

  Ekstrapolasi Richardson-nya (q = 2):

  2

  h

  f

  1

  6

  /

  1

  f

  

3

  /

  h

  f +

  6

  /

  2

  f

  2

  /

  f + hf

  /

  2

  /

  h

  ) =

  2

  (f + f

  3

  /

  h

  ) -

  2

  1

  (f + 2f

  6

• h
• h
• h
• h
• h
• f

• Persamaan ekstrapolasi Richardson memenuhi semua kaidah integrasi yang dirurunkan dengan metode pias maupun metode Newton-Cotes.
• Kita pun dapat menurunkan kaidah integrasi numerik yang baru dengan menerapkan ekstrapolasi Richardson.
• Misalkan bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson • Misalkan bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson 1/3, maka ekstrapolasi Richardson menyatakan kaidah Boole (buktikan!):

  h

  4

  2h J = f ( x ) dx = ( 7f + 32f + 12f + 32f + 7f )

  1

  2

  3

  4

45 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  

Metode Romberg

• Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi

  Richardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik.

• Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua:

  2N

  2N+2 O( h O( h ) → O(h ) → O(h ) )

• • Misalnya,bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium yang

  2

berorde galat O(h ), maka ekstrapolasi Richardson menghaslkan

  4 kaidah Simpson 1/3 yang berorde O(h ).

• • Selanjutnya, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson 1/3,

  ekstrapolasi Richardson menghaslkan kaidah Boole yang berorde

6 O(h ).

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson: − I ( ) ( ) h

  I 2 h J = I(h) + q

  2 −

  1

• Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai

  2

  4

  6 I = A + Ch + Dh + Eh + ... k yang dalam hal ini yang dalam hal ini h = (b - a)/n dan A = Perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapesium k k dan jumlah pias n = 2

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  

Gunakan A , A ,...A pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan

  1 k

  runtunan B , B , ...,B , yaitu

  1 2 k

  A − A

  −

  k k

1 B = A +

  k k

  2

  −

  2

  1

  4

  6 Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = B + D'h + E'h +… dengan

  k

  4 orde galat B adalah O(h ). k

  Selanjutnya, gunakan B , B ,.., B pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk

  1 2 k

  mendapatkan runtunan C , C ,..., C , yaitu

  2 3 k

  B − B k k −

  1

• C = B

  k k

  4

  2 −

  1

  6 Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = C + E " h + ... dengan orde galat

  k

6 C adalah O(h ).

  k

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  

Selanjutnya, gunakan C , C ,..., C pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk

  2 3 k

  mendapatkan runtunan D3 , D4 , ... , D , yaitu

  k

  − C C k k −

1 D = C +

  k k

  6

  −

  2

  1

  8 Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = D + E "' h + ... dengan orde galat

  k

8 D adalah O(h ). Demikian seterusnya.

  k

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Dari runtunan tersebut, diperoleh tabel yang dinamakan tabel Romberg seperti berikut ini

  5 D

  3 A

  4 B

  4 C

  4 D

  4 E

  4 A

  5 B

  5 C

  5 E

  3 C

  5 F

  5 A

  6 B

  6 C

  6 D

  6 E

  6 F

  6 G

  6 Nilai integrasi

  3 D

  3 B

  O (h

  10

  2

  ) O (h

  4

  ) O (h

  6

  ) O (h

  8

  ) O (h

  ) O (h

  2 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode A

  12

  ) O (h

  14

  )

  A A

  1 B

  1 A

  2 B

  2 C

  yang lebih baik

• Contoh: Hitung integral dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka bena.
• 1

  1

  1

  dx x Penyelesaian: Jarak antar titik: h = (1 - 0)/8 = 0.125 Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125: r x r f r

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

1.0000

1 0.125 0.88889

  

2 0.250 0.80000

3 0.375 0.72727

4 0.500 0.66667

5 0.625 0.61538

6 0.750 0.57143

7 0.875 0.53333

8 1.000 0.50000

• f
• 2f
• 2f
• f
• 2f
• 2f
• 2f
• 2f
• 2f
• 2f
• f
• =

• =
• =
• =
• =

  1

  4

  2

  1

  A A A B 69317 .

  −

  3 = −

  3

  2

  2

  1

  2

  1

  A A A B 69315 .

  −

  2 = −

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  2 = −

  −

  −

  3 = −

  3

  3

  3

  6

  2

  1

  B B B C 69314 .

  −

  3 = −

  3

  3

  2

  4

  2

  1

  B B B C (B k berorde 4, jadi q = 4) 69314 .

  2

• =

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode 1 2 − 69325 .

  1

  ] = 0.5/2[1 + 2(0.66667) + 0.50000] = 0.70833

  6

  4

  2

  /2 [ f + 2f

  2

  = h

  2

  A

  8

  ] = 0.250/2[1 + 2(0.80000) + 2(0.66667) + 2(0.57143) + 0.50000] = 0.69702

  4

  /2 [ f + 2f

  1

  = h

  1

  A

  ] = 1/2 (1 + 0.50000) = 0.75000

  8

  A = h /2 [ f + f

  8

  A

  A A A B (A k berorde 2, jadi q = 2)

  8

  −

  1 = −

  1

  1

  2

  2

  1

  ] = 0.125/2[1 + 2(0.88889) + 2(0.80000) + … + 2(0.53333) + 0.50000] = 0.69412 69445 .

  7

  3

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  /2 [ f + 2f

  3

  = h

  C C C D (C k berorde 6, jadi q = 6)

  = 0.693145 )

  8

  dx x

  1

  1

  ≈ 0.69314 (Bandingkan dengan solusi sejatie

  dx x

  1

  1

  Jadi,

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  0.69314

  0.75000 1 0.70833 0.69445 2 0.69702 0.69325 0.69317 3 0.69412 0.69315 0.69314

  )

  (h

  Tabel Romberg:

  O

  )

  6

  (h

  O

  )

  

4

  (h

  O

  )

  2

  (h

  k O

• 1
• 1

  

Ekstrapolasi Aitken

• Mengatasi kasus pada esktrapolasi Richradosn jika q tidak diketahui.
• Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu I(h), I(2h), dan I(4h).
• − − − =

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

( ) ( ) ( ) [ ]

  ( ) ( ) ( ) I h h

  I h

  I h I h

  I h

  I J

  4

  2

  2

  2

  2

  

Integral Ganda

b d d b

  

=

f ( x , y ) dA = [ f ( x , y ) dy ] dx [ f ( x , y ) dx ] dy

  A a c c a Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitung Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitung volume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang alasnya adalah berupa bidang yang dibatasi oleh garis-garis x = a, x = b, y = c, dan y = d.

  Volume benda berdimensi tiga adalah V = luas alas × tinggi

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• • Solusi integral lipat dua diperoleh dengan melakukan integrasi

  dua kali, pertama dalam arah x (dalam hal ini nilai, nilai y tetap),
• selanjutnya dalam arah y (dalam hal ini, nilai x tetap), atau sebaliknya.
• Dalam arah x berarti kita menghitung luas alas benda, • Dalam arah x berarti kita menghitung luas alas benda,
• sedangkan dalam arah y berarti kita mengalikan alas dengan tinggi untuk memperoleh volume benda.
• Tinggi benda dinyatakan secara tidak langsung dengan koefisien-koefisien w

  i pada persamaan

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Misalkan integrasi dalam arah x dihitung dengan kaidah

  trapesium, dan integrasi dalam arah y dihitung dengan kaidah

  Simpson 1/3. Maka:

  d b m n [ f ( x , y ) dx ] dy ≈ v w f j i ij

  = =

  j

  1 i

  1

  c a

  ∆ ∆ y ∆ ∆ x

  ≈ [ ( f + 2f + 2f + ... + 2f + f ) +

  0,0 1,0 2,0 n -1,0 n ,0

  3

  2 ∆ x

• 4 × ( f + 2f + 2f + ... + 2f + f )

  0,1 1,1 2,1 n -1,1 n ,1

  2 ∆ x

• 2 × ( f + 2f + 2f + ... + 2f + f )

  0,2 1,2 2,2 n -1,2 n ,2

  2 ...

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  ∆

  x

• 2 × (f + 2f + 2f + ... + 2f + f )

  0,m-2 1,m-2 2,m-2 n -1,m-2 n ,m-2

  2 ∆

  x

• 4 × (f + 2f + 2f + ... + 2f + f )

  0,m-1 1,m-1 2,m-1 n -1,m-1 n ,m-1

  2 ∆

  x (f + + 2f + 2f + ... + 2f + f ) ] (P.6.62)

  0,m 1,m 2,m n -1,0 n ,m

  2

  dengan ∆x = jarak antar titik dalam arah x, ∆y = jarak antar titik dalam arah y, n

  = jumlah titik diskrit dalam arah x, m = jumlah titik diskrit dalam arah y.

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Contoh: Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut:

  Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut:

  y

  0.2

  0.3

  0.4

  0.5

  0.6

  x 1.5 0.990 1.524 2.045 2.549 3.031 2.0 1.568 2.384 3.177 3.943 4.672 2.5 2.520 3.800 5.044 6.241 7.379 3.0 4.090 6.136 8.122 10.030 11.841

  .

  6 3 .

  Hitung f ( x , y ) dxdy .

  2 1 .

  5 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  Penyelesaian: Misalkan

• dalam arah x kita gunakan kaidah trapesium
• dalam arah y kita gunakan kaidah Simpson 1/3 Dalam arah x (y tetap): 3 .

  3 .

  y y f f x x y y dx dx ≈ f f x x dx dx = 0.2 ; = 0.2 ; ( ( , , ) ) ( ( , , . . 2 ) )

  

2

1 .

  5 1 .

  5

  ≈ ∆x/2 ( f + 2f + 2f + f )

  0,0 1,0 2,0 3,0

  

≈ 0.5/2 (0.990 + 2 × 1.658 + 2 × 2.520 + 4.090)

≈ 3.3140

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• 2f
• 2f
• f

  1 5 .

  1 )

  3 5 .

  1 .

  3 5 .

  ≈ .

  y = 0.6;

  , 5 . ( ) , ( dx x f dx y x f ≈ 8.2368

  1 )

  3 5 .

  1 .

  3 5 .

  ≈ .

  y = 0.5;

  1

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode 5 .

  y = 0.3 ; ≈ .

  1,1

  3 5 .

  1 .

  3 5 .

  1 )

  , 3 . ( ) , ( dx x f dx y x f ≈ ∆x/2 (f

  0,1

  2,1

  , 4 . ( ) , ( dx x f dx y x f ≈ 6.6522

  3,1

  ) ≈ 0.5/2 (1.524 + 2 ( 2.384 + 2 × 3.800 + 6.136) ≈ 5.0070

  y = 0.4 ;

  ≈ .

  3 .

  3 )

  , 6 . ( ) , ( dx x f dx y x f ≈ 9.7345 Dalam arah y : .

  6

  f x y dy ≈ ∆y/3 (3.3140 + 4 × 5.0070 + 2 × 6.6522 + 4 × 8.2368 + 9.7435) ( , ) .

  2

  ≈ 0.1/3 (3.3140 + 4 × 5.0070 + 2 × 6.6522 + 4 × 8.2368 + 9.7435) ≈ 2.6446 Jadi, .

  6 3 . f ( x , y ) dxdy ≈ 2.6446 .

  2 1 .

5 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  ≈ c

  1 f (x

  I =

  1 ≈ c f(x ) + c f(x )

  Persamaan kuadratur Gauss

  2 ) dengan c

  2 f(x

  1 ) + c

  −1 ) ( dx x f

  Kuadratur Gauss y y = f(x)

• 1

  1 x

  1 x x

2 I =

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  1 , c

  2 , x

  1 , dan x

  2 adalah sembarang nilai.

  = -1 , x =1, dan c = c = 1,

• Perhatikan bahwa bila dipilih x

  1

  2

  1

  2 maka persamaan kuadratur Gauss menjadi kaidah trapesium:

  1 h

  I = ≈ [ f(1) + f(-1)] ≈ f(1) + f(-1) f ( dx x )

  2 −

  1 dengan h = (1-(-1)) = 2.

• Jadi, kaidah trapesium memenuhi persamaan kuadratur Gauss

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Persamaan kuadratur Gauss mengandung empat

  buah peubah yang tidak diketahui (unknown), yaitu

  x , x , c , dan c .

  1

  2

  1

  2 , x , c , dan c sedemikian

• Kita harus memilih x

  1

  2

  1

  2 sehingga galat integrasinya minimum. sehingga galat integrasinya minimum.

• • Karena ada empat buah peubah yang tidak diketahui,

  maka kita harus mempunyai empat buah persamaan simultan yang mengandung x , x , c , dan c .

  1

  2

  1

  2 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

• Di atas telah dikatakan bahwa kaidah trapesium bersesuaian dengan kuadratur Gauss.
• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan kaidah

  trapesium akan tepat (galatnya = 0) untuk fungsi tetap dan

  fungsi lanjar. Misalnya untuk f(x) = 1 dan f(x) = x

  y y y =x y y = 1 = 1

• 1
• 1

  1 x x

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  1 = x

  1 f

  (x) = 1 → = 1 - (-1) = 2 = c + c

  1

  2 1dx = x

  = − x

  1 −

  1

  1 = x

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2 f x x

  (x) = x → / x = / (-1) = 0 = c + c - / (1) 2 -

  2

  2

  1

  1

  2

  2 xdx =

  = − x

  1 −

1 Kita memerlukan dua buah persamaan lagi agar x , x , c , dan c dapat ditentukan. x , x , c , dan c dapat ditentukan.

  1

  2

  1

2 Dari penalaran bahwa kaidah trapesium sejati untuk

  fungsi tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini juga kita perluas dengan menambahkan anggapan bahwa integrasinya juga sejati untuk

  2 3. f(x) = x dan f(x) = x

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  2 x

  1 x

  1

  2 dx x

  = 1/4 x

  4

  1 − = =

x

  = 0 = c

  3

  (x) = x

  2 x

  3 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode f

  (x) = x → −1 dx x

  = 1/4 x

  1 − =

x

  = 0 = c

  1 x

  3 →

  2 f

  3

  1 /

  f (x) = x

  2

  2 →

  1

  = 2/3 = c

  1 − = = x x

• c

  2

  3 x

  

1

  1 xdx =

  1 x

  −

  1

  2 x

• c
• c
• Sekarang, kita sudah mempunyai empat buah persamaan simultan c + c = 2

  1

  2 c x + c x = 0

  1

  1

  2

  2

  2

  2 c x + c x = 2/3

  1

  1

  2

  2

  3

  3 c x + c x = 0

  1

  2 yang bila dipecahkan menghasilkan: c = c = 1

  1

  2 x = 1/√3 = 0.577350269

  1 x -1/(3 = -0.577350269

  2 =

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Jadi,

  1 ≈ f (1/√3) + f (-1/√3) f ( dx x )

  −

  1 • Persamaan ini dinamakan kaidah Gauss-Legendre 2-titik.

• • Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang [- • Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang [-

  1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilai fungsi f di x =1/√3 dan di x = -1√3.

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Untuk menghitung integrasi

1 I

  = f x dx

  ( ) −

  1 kita harus melakukan transformasi:

  a. selang [a, b] menjadi selang [-1, 1]

  b. peubah x menjadi peubah t

  b. peubah x menjadi peubah t

  c. diferensial dx menjadi dt Selang [a, b] dan [-1, 1] dilukiskan oleh diagram garis berikut: a x b

• 1 t

  1 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Dari kedua diagram garis itu kita membuat perbandingan: − − x − a t ( )

  1 ⇔ = b − a 1 − −

  1 ( )

  − +

  1 x a t

  ⇔ = − b a

  2 ⇔ 2x - 2a = (t + 1)(b - a) ⇔ 2x = (t + 1)(b - a) + 2a bt bt − + + + − + at at b b − − a a 2a 2a

  ⇔ x = ⇔ x =

  2

• a b bt − at =

  2

• −

  ( a b ) ( b a ) t ⇔ x =

  2 b − a dx = dt

2 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  1

  1

  − − − − ( a b ) ( b a ) t ( b a ) ( b a ) ( a b ) ( b a ) t = f [ ] dt = f [ ] dt f ( x ) dx

• b

  2

  

2

  2

  2 −

  1 −

  1 a

  Contoh: Hitung integral Hitung integral

  2

  2

• x dx (

  1 )

  1 dengan kaidah Gauss-Legendre 2-titik

  

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode

  ] 1 ) 5 . 5 . 1 [( dt t

  1

  :

  1

  2

  ) 1 ( dx x

  =

  −

  1

  −1

  2 ] 5 .

  1 ) 5 . 5 . 1 [( dt t

  = 0.5

  −

  1

  1

  2

  

) ( dt

t f

  ) ( dx x f menjadi

  Penyelesaian: a = 1 , b = 2 x

  − + + = 1.5 + 0.5 t dx

  = ( ) ( )

  2

  1

  2

  2

  1 t

  =

  1

  2 1 2 − dt = 0.5 dt Transformasikan

  2

  ) ( dx x f menjadi

  1

  

) ( dt

t f

  :

• 2

  IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Transformasikan Jadi, dalam hal ini

  2

  f (t) = (1.5 + 0.5 t) + 1 maka

  2

  f (1/√3) = (1.5 + 0.5 × 1/√3) + 1) = 4.1993587371

  2