IR este continu ã în
DERIVABILITATE ªI DIFERENÞIABILITATE
În acest capitol vom generaliza noþiunea de derivabilitate cunoscutã din liceu pentru funcþii de mai multe variabile. Noþiunea de diferenþiabilitate pe care o vom studia aici ne va permite sã aproximãm valoarea unei funcþii într-un punct cu valoarea unui polinom de gradul întâi în acel punct, îmbunãtãþind astfel rezultatele cunoscute de la funcþiile continue.
p
Reamintim cã dacã f : A IR a A , atunci existã o → IR este continuã în vecinãtate U pentru care f x f a , pentru x U A (aproximare cu o
V a
constantã). Aici vom arãta cã, în anumite condiþii, existã un polinom de gradul întâi de p variabile T pentru care f x T x , pentru x U A .
1
1 A. DERIVATE PARÞIALE
p
. Un punct a A se numeºte punct interior al mulþimii
Definiþia 1. Fie A IR A dacã existã o sferã cu centrul în a inclusã în A, adicã,
astfel încât S a, r A . r
Mulþimea punctelor interioare ale mulþimii A se numeºte interiorul mulþimii A ºi se noteazã Å sau int A.
p
este deschisã dacã ºi numai dacã A=Å. Într-
Observaþia 1. Mulþimea A IR
adevãr, dacã A este deschisã, atunci pentru orice aA existã r astfel ca S
a, r A A
, deci a este punct interior ºi prin urmare Å; în plus din definiþia1
rezultã cã ÅA, deci A=Å. Invers, dacã Å=A, atunci pentru orice aA existã r astfel ca S a, r A ; deci A este o mulþime deschisã.
Observaþia 2. Interiorul mulþimii A este cea mai mare mulþime deschisã inclusã în A; deci dacã G este o mulþime deschisã inclusã în A atunci G Å.
3
2
2
2 Exemplul 1. Fie A={(x,y,z) IR +y +z
x,y,z ≥ 0, x ≤ 1}.
3
2
2
2 Atunci Å={(x,y,z) IR 0, x +y +z < 1}.
x,y,z >
p atunci Å A ' .
Propoziþia 1. Dacã A IR
r astfel ca a Å. Conform definiþiei 1 rezultã cã existã
Demonstraþie. Fie
S
a, r A , deci S
a, r A \ a Ø, adicã a este un punct de acumulare al mulþimii
A.
x A \ a astfel ca lim x a .
Consecinþã. Dacã aÅ atunci existã n n n Afirmaþia rezultã din propoziþia 1 ºi propoziþia 5 din cap.1.
p q
B e ,..., e respectiv IR o funcþie ºi
Definiþia 2. Fie f : A IR 1 p p q
B e ,..., e , respectiv IR . Spunem cã
bazele canonice din spaþiile liniare IR
q 1 q
(unde i 1,2,..., p ) în punctul aÅ dacã
funcþia f este derivabilã parþial în raport cu x i
existã:
1
q
lim [f(a te ) f(a)]
IR . (*)
i t
t
t
I R
în
Aceastã limitã se numeºte derivata parþialã a funcþiei f în raport cu x i f a sau f a
punctul a ºi se noteazã . Dacã f este derivabilã parþial în raport cu
x i x
i
fiecare variabilã în a spunem cã f este derivabilã parþial în a. Dacã A=Å ºi f este derivabilã parþial în raport cu x în orice punct aA spunem cã f este derivabilã parþial
i în raport cu x
(pe A); în acest caz funcþia:
i
f
q
f : A
IR , a f ( a ) x x i i
x
i
. Dacã f este continuã pe A, se numeºte derivata parþialã a funcþiei f în raport cu x i derivabilã parþial în raport cu x , i 1, p ºi cu derivatele parþiale continue spunem cã
i
1
1 f este de clasã C f C (A) .
pe A ºi scriem astfel ca S a, r A ; în acest r
Observaþia 1. Dacã aÅ, atunci existã
caz pentru t r, a te A , deci are sens problema determinãrii derivatei parþiale
i din (*).
f
1 p 1, a lim f a t f a , sau , notând x=a+t,
Observaþia 2. În cazul
t
x t f f x f a
atunci a ; deci în cazul funcþiilor de o variabilã derivata
lim
x a x x a df
f a a . parþialãcoincide cu derivata ºi vom pãstra notaþiile din liceu:
dx
2
În cazul p 2 , dacã
a, b Å : IR
1
1 f a, b f(
a, b t 1,0 ) f
a, b lim f a t, b f
a, b
lim x
t x a t t
t t f x, b f a, b f
a, y f
a, b
lim f a, b .
ºi, analog
lim
y
x a t x a y b x a y b f f ,..., f
, iar aÅ, atunci conform propoziþiei 1,
Observaþia 3. Dacã 1 q
a a ,..., a A' , iar din teorema 7 (cap.1) rezultã cã f este derivabilã parþial dacã ºi
1 p
numai dacã cele q componente scalare sunt derivabile parþial în a; în plus: f f f
q
1 a a ,..., a .
x x x
i i i
Dacã notãm x a te atunci t x a
dacã ºi numai dacã ºi:
i i i i
f f a ,..., a , x , a ,..., a f a ,..., a
j j 1 i 1 i i 1 p j 1 p a lim .
x a i i
x x a
i i i
Prin urmare, derivata parþialã a funcþiei f j în a este derivata funcþiei parþiale în raport cu variabila x
i , adicã derivata unei funcþii de o singurã variabilã. Prin urmare din derivabilitatea parþialã a funcþiei f în a rezultã continuitatea sa parþialã în a.
p 1 , nu implicã continuitatea, dupã cum aratã Derivabilitatea parþialã, pentru urmãtorul exemplu. 2 2 xy
, x y 2
2
2
f x, y x y este
Exemplul 2. Funcþia f : IR IR,
, x y
discontinuã în (0,0) (vezi exemplul 26, cap.1) dar este derivabilã parþial, cãci :
f x,0 f 0,0
f 0,0 lim
ºi
x x
x
2
2
2
2
2
y x y 2x y y y x
f x, y , pentru x, y 0,0 .
x
2
2
2
2
2
2
x y x y
2
2 2 2
y y x
x y
, dacã f
2
2
2 Deci x, y
ºi analog
x y
x
x y , dacã
2
2
x x y 2 2
, x y
f
2
2
2
x, y
x y
y
, x y
0.
2
1
2 Prin urmare fC (IR ) deci f C (IR ).
2 Exemplul 3. Fie f : A 0, 0,2
IR , f ñ , ñ cos , ñ sin . Desigur f C A . Deoarece f ñ , cos , sin f ñ , ñ sin , ñ cos rezultã cã
ºi
ñ
1 f , f C A . Prin urmare f C A . ñ p q
IR ºi aÅ. Dacã f este derivabilã parþial în raport
Definiþia 3. Fie f:A IR
cu x pe o sferã S
a, r A f x , x S
a, r iar
i , i.e. f este derivabilã parþial în x x i i
raport cu x ;
j în a spunem cã f este derivabilã parþial de douã ori în raport cu x i ºi x j
deci existã: 1 f
q
lim a te f a IR .
j
t
t x
i
2
f Notãm aceastã limitã(dacã existã) cu f a sau a
ºi o numim
x x i j
x x
i j
. Dacã
derivata parþialã de ordinul doi (derivata a II -a) a funcþiei f în raport cu x i ºi x j
2
2
f f a a le numim derivate mixte în raport cu x în a. ij ºi existã ºi
i ºi x j
x x x x
i j j i
Dacã i=j numim derivata a II- a în raport cu x
i ºi x j derivata parþialã de ordinul doi(ori
2
f
derivata a II -a) în raport cu x în a , ori f 2 a . Analog se definesc i a ºi o notãm
2 x i
x
i
derivatele de ordin superior lui doi. Dacã A=Å, f este continuã ºi admite derivate
n
h n , continue pe A spunem cã f este de clasã C parþiale de orice ordin pe A ºi
n n
scriem f C A . Dacã f C A pentru orice nIN spunem cã f este de clasã C pe
f C A .
A ºi scriem
n
f
n
Derivata de ordinul n în raport cu x (dacã existã) se noteazã: , sau f , n
i n x i
x
i n
f o notãm: iar derivata parþialã de ordinul m în raport cu x (dacã existã) a funcþiei n
j x i m j n i m n
x x f
2
, iar:
2
2
2
2
3
5
2
2
6
2
3
2
2
3 ' y
y x y x x y x
2x y y x x y x, f
ºi
y x 3x y y 6x x
4
y x, f y x 4x y x x y x y x y 3x 5x y x, f
2
4
2
2
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4 y x xy
y x 3x y y x y x 4y y x y 9x x y x, f y x, f /
3
2
2
4
2
xy
ºi
, lim f
y 0,0 f y 0, f lim
0,0 f
x x y
xy
, iar
y , f y , f
y y
ºi
1 x x lim x
, f , x f lim , f
x y x yx
ºi
4
2
2
2
2
3
5
2
2
2
2
2
2
4 yx
.
Pentru
0,0 y x,
:
x 0,0 f x,0 f
0,0 lim f
x x
C 7 y x e e e y x C e y x C y x, x f
y x y x
6
7 y x
7
7 k x y x k
7 x 7 k k
7
7
7
k
k 7
Atunci:
, unde prin derivata de ordinul zero a funcþiei u (sau v) se înþelege chiar funcþia u (respectiv v). Cum derivatele parþiale sunt, de fapt, derivatele funcþiilor parþiale, deci derivate ale unor funcþii de o singurã variabilã, rezultã cã formula lui Leibniz este valabilã ºi pentru produse de funcþii scalare de mai multe variabile.
sau
m n x x m j n i
f
.
Observaþie. Pentru funcþiile de o singurã variabilã derivabile de n ori se
cunoaºte din liceu formula de derivare a produsului(formula lui Leibniz):
k k n n k k n n
C v u v u
Exemplul 4. Sã calculãm
f :
6
7
13
y x f
pentru funcþia
y x
e y x y x, f
. Calculãm întâi
7 x 7
k y k
2
2
3
, y x , y x 2 2
. Pentru
0,0 y x, avem:
2
2
3
, y x, f
2
4
2
2
2
4
2
2
2 x
y x 3x y y x y x
2x y y x y 3x y x, f
2
y x y x
6 y y x
1 y x e C 1 e
6 k k
6
7
7
6
6
6
7
13 k k 6 C 7 y x e y x,
x f y y x, y x f
C 7 y x e
y x y x
1
6 y x
6
.
Exemplul 5.
Sã calculãm derivatele mixte de ordinul doi pentru funcþia f : IR
2
IR
2
2
f f
Deci: x y y x
Sã remarcãm cã dacã trecem la coordonate polare: x cos , y sin ,
2
atunci: , deci lim f x , y f , ; prin
x , y , ºi: f x , y x , y
2
urmare f C
IR , iar:
( )
2
f x , y 4 , deci f C ( IR ) ºi
x x
2
f x , y 2 , deci ( IR ),
f C y y
1
2 adicã f C ( IR ).
2 Cu toate cã existã derivatele mixte f , f :
IR
IR ele nu sunt continue,
xy yx
2
2
deci f C (IR ). Într-adevãr dacã y mx este ecuaþia unei drepte prin origine, atunci:
2
4
1 6 m 3 m lim f x , y lim f x , mx lim f x , y ,
xy xy yx
3 2 x x x
1 m
y mx y mx
deci nu existã limita în origine (în raport cu ansamblul variabilelor), adicã (0,0) este un punct de discontinuitate al derivatelor mixte.
2 au derivatele mixte egale.
În continuare vom arãta cã funcþiile de clasã C p 2 q 1 în
Pentru simplificarea notaþiilor vom arãta aceastã proprietate pentru ºi ipoteze mai generale.
2 Teorema 1 (Schwarz). Fie f : A IR a , b
IR ºi Å. Dacã existã o
vecinãtate deschisã V f x , y , f x , y , f x , y ºi existã derivatele parþiale
V (a,b) x y xy ''
pentru orice x , y V , iar f este continuã în a , b atunci existã f a , b
ºi
xy yx f a , b f a , b .
xy yx
- a h , b k
astfel ca
V ºi Demonstraþie. Fie h, k IR
F h , k f a h , b k f a h , b f a , b k f a , b (1)
Dacã notãm g x , y f x , y k f x , y , atunci:
F h , k g a h , b g a , b
g x , b pe intervalul a , a h Aplicând teorema lui Lagrange funcþiei parþiale rezultã
cã existã , 1 astfel încât:
F h , k h g a h , b .
x
Þinând seama de definiþia funcþiei g rezultã cã: F h , k h f a h , b k f a h , b .
x x
Deoarece pe V existã derivata mixtã f a h , y f rezultã cã funcþia parþialã
xy x '
verificã ipotezele teoremei lui Lagrange pentru y b , b k , deci existã ,
1 astfel încât:
F h , k hk f a h , b k (2)
xy
Dar f este continuã în a , b
, deci funcþia: xy
h , k f a h , b k f a , b (3)
xy xy
are limita în origine: lim h , k . (4)
h , k
Fie h lim h , k . (5)
k
Desigur, din (4) ºi (5) rezultã cã: lim h . (6)
h
1 F h , k f a h , b k din (3) Înmulþind egalitatea (1) cu ºi înlocuind din (2) ºi
xy
k obþinem:
1
1 h f a , b h h , k f a h , b k f a h , b f a , b k f a , b . (7)
xyk k f , trecând la limitã pentru k Deoarece pe V existã derivata parþialã în (7) ºi
y
þinând seama de (5) avem: h f a , b h h f a h , b f a , b , sau:
xy y y
1 f a h , b f a , h f a , b h . (8)
y y xy
h Trecând la limitã în (8) pentru , din (6) rezultã cã existã f a , b h ºi
yx f a , b f a , b .
yx xy p
2
f C A , atunci o mulþime deschisã. Dacã
Consecinþã. Fie A IR
2 derivatele mixte de ordinul doi sunt egale pe A (numãrul lor fiind C pentru p2). p
B. DERIVATE DUPÃ VECTORI
presupune Am vãzut cã derivata parþialã a unei funcþii în raport cu variabila x
i
existenþa limitei (*) (definiþia2). În acest context vectorul
p 2 y
a te tinde la a IR când t . De exemplu în IR
i (a,b)
pentru derivata în a , b în raport cu variabila x, a t , b
A
tinde (când t ) la a , b de-a lungul unei drepte
paralele cu Ox. Fie ( u , v ) , . Atunci punctul de
x
coordonate a tu , b tv tinde la punctul de coordonate
a , b (când t ) de-a lungul unei drepte paralele cu
(a,b)
vectorul u i v j . Vom generaliza noþiunea de derivatã e din (*) cu un vector oarecare, parþialã înlocuind vectorul
i (u,v)
introducând conceptul de derivatã dupã un vector (ori o
x
direcþie), concept care joacã un rol important în studiul fenomenelor electromagnetice.
p q p
a A \{0} un IR o funcþie vectorialã, ºi v IR
Definiþia 4. Fie f : A IR
vector. Dacã existã
1
q
lim f a tv f a
I R (**)
t
t
t
I R
spunem cã f este derivabilã în a dupã (în raport cu) vectorul v. Limita (**), dacã f existã, se noteazã a
ºi se numeºte derivata funcþiei f dupã (în raport cu) vectorul
v
*
, luând a x vt avem:
(P3) y , x , I , y , x y , x R
, IR). Atunci existã un unic a IR
Teorema 2 (Riesz). Fie f L(IR p
(inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky- Schwarz).
p
IR
, y x , y x y , x
(P5)
p
IR
(P4) z , y , x , z , y z , x z , y x
p
IR
p
astfel încât:
(P2) <x,y>=<y,x>, x,y IR
ºi , x x x
p
(P1) x , x x , x
Observaþie. Produsul scalar are urmãtoarele proprietãþi:
... y x y x y x y , x se numeºte produsul scalar al vectorilor x ºi y.
1 1 k k
p 1 k p p
. Numãrul real
p
p
(a)
p
p .
IR
,..., e f e f a
1
p
, a x e f x e x f x f , unde
1 i i i
p 1 i i i p
a
. Atunci:
p
IR
,..., x x x
1
p
Demonstraþie. Fie
(b) a A , unde A este matricea aplicaþiei liniare f.
p
, x x f , pentru orice x IR
) IR
…, y
v în punctul a. Derivata în a a funcþiei f dupã versorul vectorului v (adicã dupã v v
a x v 1 t
a v f v
, deci, în acest caz particular, derivabilitatea dupã un vector implicã derivabilitatea. Invers, dacã f este derivabilã în a ºi v IR
a x
a f v a x a f x f lim a v f
remarcãm cã (**) devine:
1 lim a x a f x f lim a f
, sau
1 q p notând x tv a
Observaþia 2. Pentru
.
i i
a x f a e f
B e v atunci
Observaþia 1. Dacã p i
1 ) se mai numeºte derivata lui f dupã direcþia lui v.
1 v 1 a f tv a f t
I t t a x
1,
\{0} atunci
), y = (y
p
…, x
Definiþia 5. Fie x = (x 1,
p .
, oricare ar fi a IR
v f a v f
, pentru orice t IR. Din (**) rezultã cã
v tf a f tv a f
p
IR
ºi v
p
), a IR
q
, IR
p
chiar aplicaþia respectivã calculatã în v. Într-adevãr dacã fL(IR
Exemplul 6. Derivata dupã orice vector v nenul a unei aplicaþii liniare este
, deci derivabilitatea implicã derivabilitatea dupã orice vector nenul.
R
2 IR
p p
Dacã existã b b ,..., b
IR astfel ca: f x x , , pentru orice x IR , atunci b
1 p
e , b e , a , pentru orice i 1 , p , deci b a , i 1 , p adicã b a
ºi punctul (a)
i i i i este demonstrat. Desigur A =a, deci (b) este, de asemenea, dovedit.
Vom da în continuare un set de condiþii suficiente pentru derivabilitatea dupã un vector ºi formula de calcul a derivatei dupã un vector.
p q
IR Teorema 3 (Condiþii suficiente de derivabilitate). Fie f : A IR ºi aÅ. Dacã existã o vecinãtate V
V a astfel ca f sã aibã derivate parþiale pe V, continue în p
a, atunci f este derivabilã dupã orice vector v IR \{0} ºi:
p
f f a a v ,
i
v x
i
1 i
unde v = (v , …, v ).
1 p
- astfel ca a tv
V . Atunci:
Demonstraþie. Fie t IR
f a tv f a f a tv , a tv ,..., a tv f a , a tv ,..., a tv
1
1
2 2 p p
1
2 2 p p
f a , a tv , a tv ,..., a tv f a , a , a tv ,..., a tv ...
1
2
2
3 3 p p
1
2
3 3 p p
f a , a ,..., a , a tv f a , a ,..., a , a . (1)
1 2 p 1 p p
1
2 p
1 pCum f este derivabilã parþial pe V, aplicând teorema lui Lagrange pe intervalele a , a tv , k 1 , p
, pentru cele p diferenþe din (1) rezultã existenþa elementelor
k k kc t a , a tv , k 1 , p , astfel ca:
k k k k
f f a tv f a tv c t , a tv ,..., a tv
1
1
2 2 p p
x
1 f
f
tv a tv , c t , a tv ,..., a tv ... tv a , a , a ,..., a , c t
(2) 2
1
1
2
3 3 p p p
1
2 3 p 1 p x
x
2
2 Din ipoteza teoremei ºtim cã derivatele parþiale sunt continue în a; înmulþind
1 ambii membri din (2) cu t , cum c t a , k 1 , p ,
ºi trecând la limitã cu
k k
t rezultã: f 1 f f a lim f a tv f a a v ... a v ,
1 p t
v t x x
1 p
deci f este derivabilã dupã vectorul v ºi formula de calcul a derivatei este demonstratã.
p IR o funcþie scalarã derivabilã parþial în aÅ.
Definiþia 6. Fie f : A IR
Vectorul:
p
f f f
a ,..., a a e
k
x x x
k 1 1 p k
f a , sau f a (a se citi se numeºte gradientul funcþiei f în a ºi se noteazã grad
“nabla aplicat funcþiei f în punctul a”). Dacã A=Å ºi f este derivabilã parþial pe A; funcþia vectorialã:
p
f
p
grad f f e , f : A
IR , f ( a ) a→
k
x
k 1 k
se numeºte gradientul funcþiei f, sau, operatorul nabla aplicat lui f.
ºi
1 , mx x f lim
2 t t
1 lim
1 , lim f v , u t , f t
v u , tv tu f t
\{(0,0)}, cãci pentru v :
2
IR
pentru m
2 x
m
Exemplul 8. Fie f : IR
.
Observaþie. Derivabilitatea unei funcþii într-un punct dupã orice vector nenul
implicã continuitatea acesteia de-a lungul oricãrei drepte care trece prin punctul respectiv. Totuºi ea nu implicã continuitatea pentru 1 p .
2
→ IR,
y x , y x f
2
, y , y
. Funcþia f nu este continuã în (0,0) cãci
, iar pentru v :
, f , tu f t 1 lim
1
1
1 a g f tv a g f t
a g tv a g t 1 a f tv a f t
t în egalitãþile:
Demonstraþie. Trecând la limitã când
.
a h a v f a f a v h a v hf
,
t
A : h
.
Propoziþia 2. Fie f, g : A IR p
IR
q
ºi
IR derivabile în aÅ dupã v IR
p
\{0}. Atunci funcþiile g f
ºi hf sunt derivabile în a în raport cu v ºi
a v g a v f a v g f
2
Dacã 2 p , j y f i x f f
p
. Sã calculãm derivata lui f
, ye xe y , x f
z x z x
,
2
→ IR
2
Exemplul 7. Fie f : IR
, v f v f .
atunci f este derivabilã dupã orice vector v nenul pe A ºi
1
ºi ) A ( C f
IR
1
, iar dacã 3 p , k z f j y f i x f f
Consecinþa 2. Dacã A = Å
.
Consecinþa 1. Dacã f : A IR p
IR verificã ipotezele teoremei 3, atunci
, v f a v f .
în (0,0) dupã un versor v=(v
,v
, v f
, ye e x , 1 y x f
, v x f
3 , v y f
2
1
1 ,
2
v 1 ,
ºi, conform teoremei 3:
e y , 1 , xe y x f
y x y x y
,
y x y x x
2
1 30 sin v
) care formeazã un unghi de 30 cu axa Ox. Atunci
2
3 30 cos v
1
ºi
2
2
3 v . În plus:
. Prin urmare
2
1 ,
2
- , deci nici mãcar nu are limitã (în raport cu ansamblul variabilelor) în origine. Totuºi ea este derivabilã dupã orice vector (u,v) IR
1
1
1 hf a tv hf a h a tv h a f a tv f a tv f a h a ,
t t t cum lim f a tv f a
, conform observaþiei precedente, obþinem concluziile din text.
t p q
derivabile în aÅ dupã v IR
Observaþie. Mulþimea funcþiilor f : A IR
dotatã cu operaþia de adunare a funcþiilor ºi cu operaþia de înmulþire cu scalari din corpul IR este, conform propoziþiei 2, un spaþiu liniar peste IR.
p q p