Suatu Ukuran Bernilai C[a, b]
Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami)
Vol.1, No.1, Juli 2017, Hal. 523-531
p-ISSN : 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X
Halaman | 523
Suatu Ukuran Bernilai C[a, b]
Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember Email: firdaus_u@yahoo.com
Info Artikel ABSTRACT Riwayat Artikel: Dalam paper ini dikonstruksi suatu ukuran bernilai
[ , ], dimana [ , ] adalah koleksi semua fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada selang Diterima: 15 Mei 2017 tertutup dan terbatas
[ , ]. Dalam mengkonstruksi ukuran bernilai [ , ] Direvisi: 1 Juni 2017 tersebut, terlebih dahulu dikonstruksi ukuran luar bernilai
[ , ]. Kemudian Diterbitkan: 31 Juli 2017 membangkitkan ukuran melalui ukuran luar tersebut. Beberapa sifat sederhana yang berkaitan dengan ukuran bernilai ini.
Keyword:
Ukuran luar Ukuran Himpunan terukur Ruang ukuran Copyright © 2017SIMANIS.
All rights reserved.
Corresponding Author:
Third Author, Departement of Mathematics, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, Jl. Gajayana No. 50 Malang, JawaTimur, Indonesia 65144 Email: xxxxxxx@gmail.com 1.
PENDAHULUAN Salah satu bagian dalam bidang matematika yang terus berkembang adalah matematika analisis.
Terkadang dalam pengembangan tersebut, diperlukan perluasan definisi, seperti definisi ukuran yang sudah dikenal selama ini bernilai real, untuk keperluan tertentu. Sebagai contoh, Boccuto, Riecan, dan Vrabelova [2] dalam mendefinisikan jumlah Riemann (Riemann sum) fungsi : → , dengan ruang Riesz, adalah
( , ) = ∑ ( ) ) (
=
, dengan = {( ), = , , … , } partisi -fine atas dan ukuran bernilai Riesz , yakni : → dengan merupakan aljabar- atas semua himpunan bagian Borel dari . Dalam definisinya, mereka berasumsi bahwa ruang Riesz lengkap Dedekind. Sekarang, jika diambil = [ , ] ruang atas semua fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada selang tertutup dan terbatas [ , ] yang merupakan ruang Riesz yang tidak lengkap Dedekind, ini menarik untuk membahasnya karena menjadi ukuran bernilai [ , ]. Sebelumnya, Ghoussoub [3] telah membahas ukuran bernilai ruang Riesz, bahkan lebih awal lagi, Wright [7] juga telah membahas ukuran bernilai ruang terurut parsial.
Tahun 2014, Ubaidillah dkk [5] telah membahas suatu ukuran bernilai [ , ], namun definisi ukuran tersebut masih pada koleksi tertentu saja dan belum pada himpunan kuasanya. Hasil ukuran tersebut kemudian digunakan Ubaidillah dkk [6] untuk mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil di dalam ruang [ , ]. Tujuan dari tulisan ini adalah mengkonstruksi suatu ukuran bernilai [ , ] yang terdefinisi pada himpunan
[ , ]
dengan melalui ukuran luar. Dalam tulisan ini, terlebih dahulu dikonstruksikan suatu ukuran luar kuasa pada [ , ] kemudian membangkitkan ukuran melalui ukuran luar tersebut dengan membatasi pada aljabar-
Laman Prosiding Halaman | 524 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X nya saja. Beberapa sifat ukuran bernilai [ , ] juga akan dibahas dalam tulisan ini.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam seksi ini akan dikonstruksi suatu ukuran bernilai [ , ] dengan terlebih dahulu mengkonstruksi ukuran luar. Untuk keperluan hal-hal tersebut, diperlukan perluasan sistem [ , ] dan pengertian aljabar- himpunan pada [ , ]. Perluasan sistem [ , ] sebagai berikut
̅[ , ] = [ , ] ∪ {−∞, ∞} yang disebut dengan sistem [ , ] yang diperluas. Elemen , ∈ ̅[ , ] dengan = ∞ dan = −∞ mempunyai arti berturut-turut ( ) = ∞ dan ( ) = −∞ untuk setiap ∈ [ , ]. Operasi-operasi aljabar antara simbol ±∞ dan elemen ∈ [ , ] sebagai berikut (i). −∞ < < ∞ untuk setiap ∈ [ , ] (ii). + ∞ = ∞ dan − ∞ = −∞ untuk setiap [ , ] (iii). ∙ ∞ = ∞ dan ∙ (−∞) = −∞ untuk setiap ∈ [ , ] dengan > (iv). ∙ ∞ = −∞ dan ∙ (−∞) = ∞ untuk setiap ∈ [ , ] dengan < (v). ∞ + ∞ = ∞ dan −∞ + (−∞) = −∞, dan (vi). ∙ ∞ = ∙ (−∞) = Selanjutnya, diberikan pengertian aljabar- himpunan yang diambilkan dari [1]. yang mempunyai sifat-sifat
Definisi 1. Diberikan himpunan ≠ ∅. Koleksi ∈
(i). ∅ ∈ ∈
(ii). ∈ ⇒
∞
(iii). { ∈ } ∈ ⇒ ⋃ = disebut aljabar- himpunan pada .
Pasangan dan aljabar- himpunan padanya, ( , ), disebut ruang terukur dan setiap anggota dari ruang terukur disebut himpunan terukur. Beberapa sifat aljabar- himpunan diberikan dalam dua teorema berikut yang buktinya dapat dilihat di [4].
Teorema 2. Jika aljabar- himpunan pada , maka
(i). , ∈ ⇒ ∩ ∈ (ii). , ∈ ⇒ − ∈ (iii). , ∈ ⇒ ( − ) ∪ ( − ) ∈ .
Teorema 3
. Jika ( , ) ruang terukur dan { } ⊆ maka terdapat { } ⊆ sehingga ∩ = ∅
∞ ∞
untuk = ⋃
≠ dan ⋃ =1 =1
2.1. Ukuran Luar
Dalam subseksi ini akan dikonstruksi ukuran luar dan aljabar- himpunan pada [ , ] yang dibangkitkan melalui ukuran luar pada [ , ]. Untuk mengawali hal itu, diberikan pengertian ukuran luar pada [ , ].
∗ [ , ] Definisi 4 . Fungsi himpunan
: 2 → ̅[ , ] yang memenuhi sifat-sifat
∗ (i).
( ) ≥ , untuk setiap ⊆ [ , ]
∗
(∅) =
∗ ∗ (ii).
, ⊆ [ , ] dan ≤ ⇒ ( ) ≤ ( )
∗ ∞ ∞ ∗ (iii).
{ } ⊆ [ , ] ⇒ ( ) (⋃ =1 ) ≤ ∑ =1 disebut ukuran luar pada [ , ].
Untuk , ∈ [ , ], selang-selang terbuka di dalam [ , ] dinyatakan dengan ( , ∞), (−∞, ), ( , ) asalkan
< , atau [ , ] sendiri, dan koleksi semua selang terbuka di dalam [ , ] dan himpunan kosong dinyatakan oleh . Jika , ∈ , mudah dipahami bahwa ∩ ∈ dan jika ∩ ≠ ∅ maka ∪ ∈ .
Selanjutnya, jika , ∈ [ , ] dengan < , didefinisikan fungsi ℓ: → ̅[ , ] dengan
Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 525 , jika = ∅
− , jika = ( , )
ℓ( ) = { ∞
, jika = ( , ∞), = (−∞, )atau = [ , ] Diperhatikan bahwa
ℓ( ) senantiasa ada di dalam ̅[ , ] dan ℓ( ) ≥ untuk setiap ∈ . Untuk selanjutnya, ∞
koleksi semua dinyatakan dengan {
( ). Diperhatikan bahwa, untuk setiap } ⊆ sehingga ⊆ ⋃ =1 ⊆ berlaku ( ) ⊆ ( ).
Lemma 5. Jika
, ∈ dan ∩ ≠ ∅, maka
ℓ( ∪ ) + ℓ( ∩ ) = ℓ( ) + ℓ( ).
Bukti
: Anggap , , dan . Karena = ( , ) dan = ( , ) dengan < < < ∩ ≠ ∅, maka
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
diperoleh ∩ = (
2 , 1 ) dan ∪ = ( 1 , 2 ). Oleh karena itu, diperoleh
− − − −
ℓ( ∪ ) + ℓ( ∩ ) = (
2 1 ) + (
1
2 ) = (
1 1 ) + (
2 2 ) = ℓ( ) + ℓ( ). ∎ [ , ]
Selanjutnya didefiniskan pemetaan ̅: 2 → [ , ] dengan
∞
̅( ) = inf {∑ ℓ( ): { } ∈ ( ) } , untuk setiap ⊆ [ , ]
=1 asalkan infimum tersebut ada.
Koleksi semua ⊆ [ , ] sehingga ̅( ) ada dinyatakan dengan ℳ[ , ].
Lemma 6. Diberikan , ⊆ [ , ] dengan ⊆ . Jika , ∈ ℳ[ , ], maka ̅( ) ≤ ̅( ). Bukti : Diberikan
, ∈ ℳ[ , ]. Karena ⊆ , diperoleh ( ) ⊆ ( ). Oleh karena itu diperoleh
∞ ∞
{∑ ℓ( } ∈ ( ) } ⊆ {∑ ℓ( } ∈ ( ) } (1) ): { ): {
=1 =1
Karena , ∈ ℳ[ , ], maka kedua himpunan pada ruas kiri dan kanan (1) mempunyai infimum dan diperoleh
∞ ∞
̅( ) = {∑ ℓ( } ∈ ( ) } ≤ {∑ ℓ( } ∈ ( ) } = ̅( ). ∎ ): { ): {
=1 =1
Jika ∈ [ , ], maka untuk setiap bilangan > terdapat { } ∈ ( ) sehingga berlaku
∞
̅( ) ≤ ∑ ℓ( ) ≤ ̅( ) + ,
=1 dan berlaku sebaliknya.
Teorema 7.
Diberikan , ⊆ [ , ]. Jika , ∈ ℳ[ , ], maka ∪ ∈ ℳ[ , ].
Bukti : Untuk setiap
> 0, terdapat { } ∈ ( ) sehingga berlaku
∞
̅( ) ≤ ∑ ℓ( ) ≤ ̅( ) +
2
=1
dan terdapat { } ∈ ( ) sehingga berlaku
∞
̅( ) ≤ ∑ ℓ( ) ≤ ̅( ) + 2 .
=1
Jika { ∪ } dinyatakan sebagai { } ⊆ , maka { } ∈ ( ∪ ) dan berdasarkan Lemma 5, diperoleh
∞ ∞
̅( ) + ̅( ) ≤ ∑ ℓ( ) + ∑ ℓ( ) < ̅( ) + ̅( ) +
=1 =1
atau
∞ ∞ ̅( ) + ̅( ) ≤ ∑ ℓ( ) + ∑ ℓ( ∩ ) < ̅( ) + ̅( ) + .
=1 =1
Dengan demikian, diperoleh
Suatu Ukuran Bernilai Halaman | 526 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X
∞
̅( ) + ̅( ) − ̅( ∩ ) ≤ ∑ ℓ( ) < ̅( ) + ̅( ) − ̅( ∩ ) + . ∎
=1 Sebagai akibat dari Teorema 7, diperoleh hasil berikut.
Akibat 8.
Diberikan ∈ [ , ] untuk setiap = 1,2, … , . Jika ∈ ℳ[ , ] untuk setiap = 1,2, … , , maka
⋃ ∈ ℳ[ , ].
=1 ∞
Lemma 9. Jika
{ } ⊆ ℳ[ , ] dengan ̅( ∈ ℳ[ , ] dan ) = untuk setiap ∈ ℕ, maka ⋃ =1
∞ ) = .
̅(⋃ =1
Bukti
: Untuk setiap > 0 dan setiap ∈ ℕ, diambil { } ∈ ( ) sehingga berlaku
∞
) ∑ ℓ( < .
2
=1 ∞
Jika { } dinyatakan dengan sebagai { } ⊆ , maka { ) dan diperoleh
} ∈ (⋃ =1
∞ ∞ ∞ ∞
) ) ≤ ∑ ℓ( = ∑ ∑ ℓ( ≤ ∑ = .
2
∞ ∞
Jadi, ⋃ =1 ∈ ℳ[ , ] dan ̅(⋃ =1 ) = .
∞ Lemma 10. Diberikan
{ ∈ ℳ[ , ], maka } ⊆ ℳ[ , ]. Jika ⋃ =1
∞ ∞
) ≤ ∑ ̅( ) ̅ (⋃
=1 =1 ∞ Bukti
: Diambil . Untuk setiap
∈ ℳ[ , ] dan { > 0 dan setiap ∈
} ⊆ ℳ[ , ] sehingga ⊆ ⋃ =1 ℕ, diambil {
} ⊆ sehingga berlaku
∞
∑ ℓ( ) < + ̅( ).
2
=1 ∞
Jika dan diperoleh
{ } dinyatakan dengan sebagai { } ⊆ , maka ⊆ ⋃ =1
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
) ) ̅( ) ≤ ∑ ℓ( = ∑ ∑ ℓ( ≤ ∑ ( + ̅( )) = + ∑ ̅( ). ∎
2
=1 =1 =1 =1 =1
Selanjutnya, dibentuk koleksi-koleksi himpunan ℳ [ , ] = { ⊆ [ , ]: ∉ ℳ[ , ], terdapat ∈ ℳ[ , ] dengan ⊆ dan ̅( ) = }
1
ℳ
2 [ , ] = { ⊆ [ , ]: ∉ ℳ[ , ] terdapat 1 , 2 ∈ ℳ[ , ] dengan 1 ⊆ ⊆
2
dan < ̅( ) < ∞, = 1,2}
ℳ
3 [ , ] = { ⊆ [ , ]: ∉ ℳ[ , ], ∉ ℳ 1 [ , ], ∉ ℳ 2 [ , ]} ∗ [ , ]
dan didefinisikan fungsi : 2 → ̅[ , ] dengan
∈ ℳ [ , ]
1
, ∈ ℳ[ , ]
∗ ̅( ),
(2) ( ) = {
∗
∈ ℳ [ , ] dengan ⊆ ∈ ℳ[ , ] dan ̅( ),
2 ( − ) = ∞ ,
∈ ℳ [ , ]
3 Akan ditunjukkan [ , ] well-defined.
Diperhatikan bahwa ℳ
[ , ] ∩ ℳ [ , ] = ∅ untuk setiap , = 1,2,3 dan ≠ dan ℳ [ , ] ∩ ℳ[ , ] = ∅ untuk setiap , = 1,2,3. Dari koleksi
ℳ
3 [ , ], diperoleh
ℳ
3 [ , ] = (ℳ[ , ]) ∩ (ℳ
1 [ , ]) ∩ (ℳ
2 [ , ])= (ℳ[ , ] ∪ ℳ
1 [ , ] ∪ ℳ 2 [ , ])
= ℳ[ , ] ∪ ℳ (ℳ
3 [ , ]) 1 [ , ] ∪ ℳ 2 [ , ] ∗ ∗ Teorema 11. Diberikan , ⊆ [ , ]. Jika ⊆ , maka ( ) ≤ ( ). Bukti : Akan dibuktikan per kasus.
∗ ∗ ∗
Kasus ( ) = ∞. Cukup jelas berlaku ( ) ≤ ( ).
Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 527
∗ ∗
Kasus ( ) = . Ini berakibat ∈ ℳ[ , ] atau ∈ ℳ
1 [ , ] dan ( ) = . Dengan menggunakan ∗ ∗
Lemma 6, diperoleh ( ) ≤ ( ).
∗
Kasus <
( ) < ∞. Ini berakibat ∈ ℳ[ , ] atau ∈ ℳ
2 [ , ]. Dengan menggunakan Lemma 6, ∗ ∗
∎
diperoleh ( ) ≤ ( ). Bukti telah lengkap.
∗ ∗ ∗ Lemma 12. Diberikan
, ⊆ [ , ]. Jika ∈ ℳ[ , ] dan ( ) = , maka ( ∪ ) = ( ) Teorema 13.
Jika { } ⊆ [ , ], maka
∞ ∞ ∗ ∗
) ) ≤ ∑ (
(⋃
=1 =1 ∗ Bukti : Ambil sebarang sehingga
{ } ⊆ [ , ]. Jika terdapat ( ) = ∞, bukti selesai.
∗
Selanjutnya, dianggap ( ) < ∞ untuk setiap ∈ ℕ. Dibentuk himpunan-himpunan
= { ∈ ℕ: ∈ ℳ[ , ]} = { ∈ ℕ: ∈ ℳ
1 1 [ , ]}
= { ∈ ℕ: ∈ ℳ [ , ]}
2
2 Untuk setiap dan
∈ , terdapat ∈ ℳ[ , ] dengan ⊆ ̅(
1 ) = .
∗
Untuk setiap dan ∈ , terdapat ∈ ℳ[ , ] dengan ⊆ −
Oleh karena itu, diperoleh hubungan
∞
⋃ = ⋃ ∪ ⋃ ∪ ⋃
=1 ∈ ∈ 1 ∈ 2
. ⊆ ⋃ ∪ ⋃ ∪ ⋃
∈ ∈ 1 ∈ 2 ∞ ∗ ∗
Jika ∑ ) )
( = , maka ( ) = untuk setiap ∈ ℕ. Akibatnya
2 = ∅. Karena ̅( ) = = ̅( =1
untuk setiap , berdasar Lemma 9, diperoleh ∈ ∪
1
∈ ℳ[ , ] ⋃ ∪ ⋃
∈ ∈ 1
dan ) = .
̅ (⋃ ∪ ⋃
∈
∈ 1
Berdasarkan Teorema 11, diperoleh
∞ ∗ ∗
≤ ) ≤ ) = .
(⋃ (⋃ ∪ ⋃ ) = ̅ (⋃ ∪ ⋃
=1 ∈ ∈ ∈ 1 ∈ 1 ∞ ∗
∞ ∗
Jika < ∑ ) < ∞, maka untuk setiap > 0 terdapat ∈ ℕ sehingga ∑ ) < . Oleh
=1 ( = +1 (
karena itu, berdasar Teorema 11, Lemma 12 dan Akibat 8, diperoleh
∞ ∞ ∗ ∗ ∗
) ≤ ) = ) (⋃ (⋃ ∪ ⋃ (⋃
=1 =1 = +1 =1 ∗
≤ ) (⋃ ∪ ⋃ ) = ̅ (⋃ ∪ ⋃
∈ ∈ ∈ 2 ∈ 2
≤ ∑ ̅( ) + ∑ ̅( )
∈ ∈ 2 ∗ ∗
= ∑ ( ) + ∑ ( )
∈ ∈ 2 ∞ ∗ ∗
= ∑ ( ) ≤ ∑ ( ) .
=1 =1 Suatu Ukuran Bernilai Halaman | 528 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X Bukti telah lengkap.
∎
∗ Teorema 14.
Fungsi yang didefinisikan pada (2) merupakan ukuran luar pada [ , ].
∗ Bukti : Akan dibuktikan memenuhi sifat-sifat di dalam Definisi 4.
∗ [ , ] ∗
Pertama, akan dibuktikan dan ( ) ≥ untuk setiap ∈ 2 (∅) = .
∗ ∗
Karena pada (2), diperoleh
̅( ) ≥ untuk setiap ∈ ℳ[ , ] dan berdasarkan definisi ( ) ≥ untuk
[ , ] setiap .
∈ 2
∗
∅ ∈ (∅) dan ℓ(∅) = , karena itu disimpulkan ∅ ∈ ℳ[ , ] dan (∅) = ̅(∅) = ℓ(∅) = .
∗ ∗
Selanjutnya, berdasarkan Teorema 11, diperoleh sifat setiap ⊆ ⊆ [ , ] berlaku ( ) ≤ ( ).
Untuk membuktikan sifat (iii) di dalam Definisi 4, berdasarkan Teorema 13, diperoleh untuk setiap { } ⊆
∗ ∞ ∞ ∗ ) .
[ , ] berlaku (⋃ ) ≤ ∑ (
=1 =1 ∗
∎
Jadi, merupakan ukuran luar pada [ , ].
∗ Definisi 15.
Himpunan , jika setiap ⊆ [ , ] dikatakan terukur- ⊆ [ , ] benar bahwa
∗ ∗ ∗ ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ).
Untuk setiap ⊆ [ , ], benar bahwa = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ), sehingga menurut sifat (iii) di dalam
Definisi 4, diperoleh
∗ ∗ ∗ ( ) ≤ ( ∩ ) + ( ∩ ).
∗
Oleh karena itu diperoleh definisi baru sebagai berikut: himpunan jika setiap ⊆ [ , ] dikatakan terukur- ,
⊆ [ , ] berlaku
∗ ∗ ∗ ( ) ≥ ( ∩ ) + ( ∩ ). ∗ ∗ Teorema 16.
Jika ( ) = , maka terukur- . Bukti: Untuk setiap
⊆ [ , ], berlaku ∩ ⊆ dan berdasarkan sifat (ii) Definisi 4, diperoleh ≤
∗ ∗ ∗ ( ∩ ) ≤ ( ) = . Dengan kata lain ( ∩ ) = .
Di sisi lain, sehingga diperoleh ⊇ ∩
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
( ) ≥ ( ∩ ) = + ( ∩ ) = ( ∩ ) + ( ∩ ). ∎
Teorema 17. Pernyataan-pernyataan berikut bernilai benar ∗ (i).
dan [ , ] terukur- .
∗ ∗
(ii). Jika , maka terukur- ⊆ [ , ] terukur- .
∗ ∗ (iii). Jika , maka dan keduanya terukur- .
, ⊆ [ , ] terukur- ∪ ∩
1
2
1
2
1
2 Berdasarkan Teorema 17, diperoleh akibat berikut ∗ Akibat 18. Jika masing-masing himpunan terukur- , maka himpunan
, , … ,
1
2
⋃ dan ⋂
=1 =1 ∗
keduanya terukur- .
∗ Teorema 19. Jika saling asing dan terukur- , maka untuk setiap
, , … , ⊆ [ , ] berlaku
1
2 ∗ ∗
) = ∑ ( ∩ ⋃ ( ∩ ).
=1 =1 Bukti : Akan dibuktikan dengan induksi matematika.
Jelas teorema benar untuk = 1. Selanjutnya, anggap teorema benar untuk himpunan-himpunan
, , … , , yakni benar bahwa
1 2 −1 −1 −1 ∗ ∗
) = ∑ ( ∩ ⋃ ( ∩ ),
=1 =1 Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 529 untuk setiap ⊆ [ , ]. Karena saling asing, dipunyai
, , … ,
1 2 −1
) ∩ = ∩ ∩ (⋃
=1
dan
−1 ) ∩ ).
∩ (⋃ = ∩ (⋃
=1 =1
∗Karena terukur- , maka diperoleh
∗ ∗ ∗
) = ) ∩ ) + ) ∩ ) ( ∩ ⋃ ( ∩ (⋃ ( ∩ (⋃
=1 =1 =1 −1 ∗ ∗
= ( ∩ ) + )) ( ∩ (⋃
=1 −1
∗ ∗ ∗
= ) = ∑ ) . ∎ ( ∩ ) + ∑ ( ∩ ( ∩
=1 =1 ∗ Teorema 20. Jika , maka himpunan
{ } barisan himpunan terukur-
∞ ∞
⋃ dan ⋂
=1 =1 ∗
keduanya terukur- .
∗ Teorema 21. Untuk setiap .
∈ [ , ], selang-selang ( , ∞), [ , ∞), (−∞, ) dan (−∞, ] terukur-
∗ Akibat dari Teorema 21, maka setiap selang di dalam .
[ , ] terukur-
∗
Teorema berikut memperlihatkan bahwa koleksi semua himpunan terukur- pada [ , ] merupakan aljabar- pada [ , ].
∗ Teorema 22. Jika
, maka menyatakan koleksi semua himpunan terukur- merupakan aljabar- pada [ , ].
Bukti
: Karena ∅ ∈ , maka ≠ ∅. Berdasarkan Definisi 1, jika ∈ diperoleh ∈ , dan berdasarkan
∞
Teorema 20, jika ∈ . ∎
∈ untuk setiap ∈ ℕ maka ⋃ =1
2.2. Ukuran
∗
Dalam subseksi ini, akan dibangun suatu ukuran dan ruang yang dibangkitkan oleh ukuran luar ukuran pada [ , ]. Sebelum itu, diberikan pengertian ukuran dan ukuran lengkap pada [ , ].
Definisi 23. Diberikan
aljabar- pada [ , ]. Fungsi : → ̅[ , ] yang memenuhi sifat-sifat (i). ( ) ≥ untuk setiap ∈ ,
(∅) = ,
∞ ∞
(ii).{ } ⊆ dan ∩ ) = ∑ ( ) , = ∅, ≠ maka (⋃ =1 =1 disebut ukuran pada
[ , ]. Ruang terukur [ , ] yang dilengkapi dengan ukuran [ , ] padanya disebut
ruang ukuran
dan dituliskan dengan ( [ , ], , ). Ruang ukuran ( [ , ], , )dikatakan lengkap jika untuk setiap
∈ dengan ( ) = maka untuk setiap ⊆ berakkibat ∈ .
∗
Suatu ruang ukuran dapat dibangkitkan melalui apa yang dinamakan dengan ukuran luar yang pengertiannya telah diberikan dalam Definisi 4. Teorema berikut menunjukkan terdapat suatu ruang ukuran lengkap pada [ , ].
Teorema 24.
Diberikan ( [ , ], ) ruang terukur. Fungsi : → ̅[ , ] dengan rumus
∗
( ) = ( ) , untuk setiap ∈ adalah ukuran pada ( [ , ], ). Lebih jauh, ruang ukuran ( [ , ], , ) lengkap.
Suatu Ukuran Bernilai Halaman | 530 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X
∗ ∗ Bukti :
( ) = ( ) ≥ untuk setiap ∈ dan (∅) = } ∈ dan saling-asing, (∅) = . Jika { berdasarkan Teorema 19 dengan mengambil
= [ , ], diperoleh
∗ ∗ ) = ) = ∑ ( ) = ∑ ( ) .
(⋃ (⋃
=1 =1 =1 =1 ∗
Selanjutnya, ambil sebarang ∈ dengan ( ) = . Jadi
( ) = . Akibatnya untuk setiap ⊆ , dengan
∗ ∗
sifat kemonotonan, diperoleh . Dengan Teorema
( ) = . Akibatnya, berdasarkan Teorema 16, terukur- 22, diperoleh ∈ .
∎ Jika diperhatikan, ukuran adalah suatu fungsi himpunan yang diperoleh dengan cara membatasi ukuran luar
∗
pada aljabar- himpunan .
Sebagai akhir dari subseksi ini, diberikan beberapa sifat ukuran dalam satu teorema berikut.
Teorema 25. Diberikan { } barisan himpunan terukur.
(i). Jika untuk setiap ⊆ ∈ ℕ, maka
- 1 ∞
) = lim ( ) (⋃
→∞ =1
jika limitnya ada. (ii). Jika untuk setiap
⊆ ∈ ℕ, maka
- 1 ∞
) = lim ( ) (⋂
→∞ =1
jika limitnya ada.
Bukti : Akan dibuktikan untuk bagian (i) saja, bagian (ii) serupa.
Jika ( ) = ∞ untuk suatu , penyelesaian trivial. Jika
( ) < ∞ untuk setiap , dibentuk himpunan
∞
.= ⋃
=1
Karena untuk setiap dan saling-asing untuk ⊆ , himpunan-himpunan \ \ ≠ . Oleh
- 1 +1 +1
karena itu, berdasarkan bukti Teorema 24, diperoleh )
( ) = lim ∑ ( \
- 1 →∞ =1
= lim ∑( ( +1 ) − ( ))
→∞ =1
= lim ( ) . ∎
→∞ 3.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh suatu kesimpulan bahwa terdapat suatu ukuran bernilai [ , ]. Ukuran bernilai [ , ] yang dikonstruksi di atas diperoleh dengan cara membangkitkan ukuran luar pada
[ , ]dan membatasinya pada aljabar- himpunannya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bartle, R.G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure. John Wiley & Sons, New York; 1995. [2] Boccuto, A., Riecan, B. and Vrabelova, M., Kurzweil-Henstock Integral in Riesz Spaces. Bentham Books; 2009. [3]
Ghoussoub, N., Riesz Spaces Valued Measures and Processes, Bull. Soc. Math. France, 1982. (110), hal. 233257 [4]
Royden, H.L. and Fitzpatrick, P.M., Real Analysis, Fourth Edition, Pearson Education Asia Limited and China Machine Press; 2010. [5] Ubaidillah, F., Darmawijaya, S., dan Rini, Ch. I., C[a,b]-Valued Measure and Some of Its Properties Proc. Int.
Conf. on Research, Imp. and Edu. of Math. and Sci ., Yogyakarta State University; 2014. hal. M21-M26
[6] Ubaidillah, F., Darmawijaya, S., dan Rini, Ch. I., On the Henstock-Kurzweil Integral of C[a; b] Space-valued
Functions, Int. J. Math. An. 2015. 9 (37) hal. 1831 – 1846 Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 531
Suatu Ukuran Bernilai
[7] Wright, J.D.M., Measures with Values in a Partially Ordered Vector Space, Proc. London Math. Soc; 1972. 25 hal. 675- 688