BAB 2 Sistem Bilangan Riil - Bab 2 Sistem Bilangan Riil
Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan q Z, dengan q 0} contoh :
Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan
bilangan rasional :p q 1 4 57 , ,
3 9
1
- Himpunan bilangan asli , N = {1,2,3,….}
p iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk } q contoh : , e, log 5,
2
Teorema : “Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”
Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama : contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….
13/11 =1.1818181818…
Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271…..
Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional
Bilangan Riil
Gambar N : 1,2,3,….
Z : …,-2,-1,0,1,2,..
Q : N : bilangan asli a q , a , b Z , b b
Z : bilangan bulat R Q Irasional
Q : bilangan rasional Contoh Bil Irasional Untuk sebarang R berlaku sifat- sifatnsebagai berikut:
1. Sifat komutatif
) . ( ) . ( ) .( c a b a c b a , 1 .
a . c b c a .
1 a a
a a
0 a
a a ) (
) . ( ). ( ) .( b a b a b a . b a b a ) ).( (
b b a b a
. . . . . . ). ii ( ). i (
2. Sifat asosiatif
c b a c b a c b a c b a c b a c b a
. . ). ii ( ). i (
7. Hukum Kanselasi (i). Jika dan maka (ii). Jika maka a b b a a b b a
(iii). untuk setiap bilangan
(ii). (iii). 6. (i). , untuk setiap bilangan (ii). tak terdefinisikan
5. (i).
3. Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan 4. (i).
c b a , c b a c a .
Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z
→ x < z
Penambahan Jika x < y ↔ x + z < y + z
Perkalian Misalkan z bilangan positif, x < y
Ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi hasil bagi
dua bilangan bulat.a. 0,123123123...
b. 2,56565656...
Selang (Interval)
Selang adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunyai sifat relasi tertentu.
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda- tanda < , > , ≤ atau ≥.
Contoh Pertidaksamaan: 1. 2x
- – 7 < 4x – 2 2.
- –5 ≤ 2x + 6 < 4
Pertidaksamaan
Bentuk umum pertidaksamaan : dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan
B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
E x D x B x A x
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)Cara menentukan HP : 1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P ( x )
, dengan cara :
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
5
8
4 x
8
8 x
4
16 x
2
x
3
13
3
2
5
3
13 x
2
8 ,
2.
2
6
4
8 x 1
Hp ,
2
8
4
2 x
2
8
4
2 x
2
4
8 x
2
1
2
1
2 x
2
1 3.
Titik Pemecah (TP) :
2
3
3 x
dan
1 x
2
2 x x
3
1
3
2 x x
2
5
2 x
4
6 7 x 3 x
4. dan
6
2
4
6
7
6
7
3
6
x x x x
2 x
7
6
dan
7
3
6
4 x
6 x x
dan
9
10 x
10 x
10
10
x x
dan
9
10
10 , ,
Hp =
9
10
9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
- 3
1 1 ,
x x
1
3
1
2
2
1
3
x x x x
5.
3
1 Hp =
3 ,
3
1
1
1
1
3
1
3
x x x
3
2
2
1
1
x x
- 1
1
3
x x x x
2
3
x x x x x x
1
3
2
2
3
x x x x
1
2
3
1
2
3
2 2 x x 6.
2
2
3
x x
mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah
- 3
2
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :
, x x
x
, x x
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak: 2 1.
x x 2.
, x a a a x a
x a
3. atau
, x a a x a
2
2 4. x
y x y x 5. x y y
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
Contoh : 1.2
5
3
x Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
2
5
3
x
5
3
2
3
5
x
2
2
8 x
1
4
x
1 ,
4
Hp =
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
2.2 x
5
3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2
2
5
9 x
2 4 x 20 x 25
9
2
4
20
16 x x
2
1
4
2
10
8 x x
2
2
4 x x
Hp =
1 ,
4
5
9
3
7
4
2 x x
12
28
16
2 x x x x
2
4
12
16
4
40
25
2 x x
3
4
5
2
2
Kita bisa menggunakan sifat 4
2 x x 3.
3
2 x x Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
- 1
4
[ 4 / 3 , 1 ]
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
2 x
10
, 18 ,
18 x
10 x
2 x
9
5
2
2 x
7
2
2 x
7
2
2 x
7
4. atau atau atau Hp =
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
2
7
4
2 x x 1.
5 2 x 6
4 2.
3 2 3.
5 x
2
7
3 x 4. x
2 3 x
5.
7