Pertemuan 15 Bilangan Kompleks 15.1 Pendahuluan - 15 Bilangan Kompleks

  

Pertemuan 15

Bilangan Kompleks

  15.1 Pendahuluan

  Bilangan kompleks adalah bilangan dengan bentuk

  a ib  , dimana a dan b adalah bilangan- i  . Bagian pertama dari suatu bilangan

  1 kompleks (yang diwakili dengan

  a ) disebut bagian real, sedangkan bagian kedua bilangan

  kompleks (yang ditandai dengan

  b ) disebut bagian imajiner. Bagian kedua bilangan

  kompleks disebut demikian karena bagian itulah yang mencirikan suatu bilangan kompleks tidak nyata, dan tidak dapat diwakili dengan sistem bilangan real yang telah ada. Pada pembahasan bab ini, kita akan mengenal sistem bilangan kompleks sebagai pengembangan dari sistem bilangan yang telah ada sebelumnya. Pembahasan dilanjutkan dengan operasi dasar bilangan kompleks, argand diagram, dan rumus Euler dalam sistem bilangan kompleks.

  15.2 Sistem Bilangan

  Sebelum pembahasan mengenai sistem bilangan kompleks dimulai, ada baiknya kita mengingat kembali beberapa sistem bilangan umum yang telah ada, seperti sistem bilangan asli, sistem bilangan bulat, sistem bilangan rasional, dan sistem bilangan real.

15.2.1 Sistem Bilangan Umum

  Sistem bilangan adalah suatu sistem yang mendefinisikan dan mencirikan karakteristik suatu kelompok bilangan tertentu. Perkembangan sistem bilangan di Matematika dimulai dari sistem bilangan asli (natural numbers, N ), yang mewakili bilangan-bilangan 1, 2,3, , dan

   

  sistem bilangan cacah, yang mewakili bilangan-bilangan dalam sistem bilangan asli ditambah bilangan ), 0 . Dalam perkembangan selanjutnya, dikenal sistem bilangan bulat (integers, Z yang mewakili semua bilangan dalam sistem bilangan cacah ditambah bilangan-bilangan negatif, , 2, 1, 0,1, 2, . Selanjutnya, sistem bilangan rasional atau pecahan (rational

   

   

numbers, ) dikembangkan dari sistem bilangan bulat, yang berarti mewakili seluruh

  Q

  bilangan dalam sistem bilangan bulat ditambah bilangan-bilangan pecahan,

   2 1 1 2 

  . Dari sistem bilangan pecahan, kemudian dikembangkan sistem

  ,  ,  , 0, , ,   3 5 3 4  

  bilangan real yang paling umum digunakan dalam pemecahan masalah perhitungan, dimana selain mewakili sistem bilangan pecahan yang telah ada sebelumnya, sistem bilangan real (biasa disimbolkan dengan ) juga mewakili bilangan-bilangan yang tidak dapat diwakili

  R

  oleh pembagian dua buah bilangan bulat, seperti 2 . Perhatikan gambar berikut yang merepresentasikan posisi sistem bilangan yang dikenal dalam Matematika.

  R Q

Z

N

Gambar 15.1 Sistem bilangan Matematika

15.2.2 Sistem Bilangan Kompleks

  Sebelum sistem bilangan kompleks dibangun, setidaknya ada tiga sistem bilangan yang telah dibangun dan dikembangkan, yakni:

  1. Sistem bilangan bulat (integers), yang dibangun dari sistem bilangan cacah.

  m , yang dibangun dari sistem bilangan bulat.

  2. Sistem bilangan pecahan (rational)

  n 3. Sistem bilangan real x , yang dibangun dari sistem bilangan rasional.

  Setiap sistem bilangan di atas memiliki hirarki, dimana sistem bilangan yang dibangun selalu lebih luas dibandingkan sistem bilangan sebelumnya, yang berarti mengizinkan operasi- operasi tambahan dilakukan tanpa keluar dari sistem.

  1. Pada sistem bilangan bulat, kita dapat menyelesaikan seluruh persamaan dengan bentuk

  x a

    , dimana

  a adalah sembarang bilangan bulat.

  2. Pada sistem bilangan rasional, kita dapat menyelesaikan seluruh persamaan dengan bentuk

  ax b

    , dimana

  a dan b adalah bilangan rasional dan a  .

  3. Pada sistem bilangan real, kita dapat menyelesaikan persamaan-persamaan di atas ditambah seluruh persamaan kuadrat ₂

     , ax bx c ₂ dimana   . a  dan b 4 ac

  Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus ₂

  b b

  4 ac   

  x 

  2 a ₂ dimana diskriminan, , tidak boleh negatif. Jika diperoleh

  D  b  4 ac D  , maka solusi persamaan kuadrat tersebut tidak ada dalam ketiga sistem bilangan yang disebutkan di atas.

  Bahkan persamaan kuadrat sederhana, seperti ₂

    , x

  1 tidak dapat diselesaikan jika kita hanya menggunakan ketiga sistem bilangan di atas.

  Karena itu, diperkenalkan sistem bilangan kompleks yang lebih luas dari sistem bilangan real. Sistem bilangan kompleks terdiri atas bilangan-bilangan kompleks

  a ib  , atau biasa disingkat sebagai

  a b , dimana , a disebut bagian real dan b disebut bagian imajiner dari  

  bilangan kompleks adalah simbol untuk menyatakan

  1

  i  

  a b . Notasi ,  .

15.3 Operasi Dasar Bilangan Kompleks

  Berikut beberapa operasi dasar bilangan kompleks yang perlu diketahui:

  1. Persamaan    jika dan hanya jika a c 

  Dua bilangan kompleks

  a b dan , c d dikatakan sama atau sebanding jika dan hanya ,    

  jika a  dan b d c  .

  2. Penjumlahan

  a ib    c id  a c   i b d         

  Jumlahan dua bilangan kompleks

  a b dan , c d adalah bilangan kompleks ,     . a c b d  , 

   

  3. Perkalian

  a ib    c id  ac bd   i ad  bc         i.

  Hasil kali dua bilangan kompleks

  a b dan , c d adalah bilangan kompleks ,     . ac bd ad  ,  bc

    c a ib   ac i bc 

  ii.     Hasil kali suatu bilangan real c dengan bilangan kompleks a b adalah bilangan ,

   

  kompleks

  ac bc . ,  

  Bilangan kompleks 0, 0 adalah bernilai 0 pada sistem bilangan kompleks, dan bilangan

    kompleks 1, 0 merupakan elemen satuannya.  

  Bilangan kompleks , dan bilangan

  0,1     menghasilkan bilangan imajiner i 1 i i _{2 2}   kompleks .

  0,1    i

  1  

  Untuk menyederhanakan bentuk pecahan bilangan kompleks menjadi satu bilangan kompleks, dapat digunakan operasi aljabar sederhana, seperti perkalian dengan sekawannya berikut

  c id    a ib ac bd   i ad  bc c id          .

    _{2 2}

  a ib  a ib    a ib a  b  i ab ab       

   

  Hasilnya adalah bilangan kompleks

  x iy

   , dengan

  ac bd  ad  bc

  dan ,

  x y   _{2 2 2 2 2 2} a  b a  b serta   karena . a b a ib   a b ,  0, 0

     

  Bilangan kompleks

  a ib  disebut kompleks konjugat dari a ib  . Untuk menyatakan kompleks konjugat dari bilangan kompleks digunakan notasi (dibaca bar). z z z Contoh 15.1 Operasi aritmatika dengan bilangan kompleks 2 3  i   6 2 i  2 6   i 3 2  8 i

    .□ i.         2 3  i   6 2 i  2 6   i 3 2  4 5 i

     .□ ii.         2 3  i   6 2 i      2 6 3 2  i 2    2 3 6 iii.            

  .  12 6     i 4 18   18 14 i

  □

     

  2 3  i 2 3 6 2  i  i        iv.

  6 2  i 6 2 6 2  i  i 6 6     2 2

     

  12 6   i 4 18 

     

  6

  22

  3

  11 .

  

i i

       □ 36 4 

  40

  40

  20

  20

15.3.1 Argand Diagram

  Terdapat dua representasi geometri dari suatu bilangan kompleks z   , yakni: x iy .

  P x y dalam bidang- , xy

  1. sebagai titik   .

  

P

  2. sebagai vektor OP dari titik pusat O ke Dalam tiap representasi, sumbu- disebut

  x disebut sebagai sumbu real dan sumbu- y

  sebagai sumbu imajiner. Kedua representasi tersebut merupakan Argand Diagram untuk bilangan kompleks x iy  .

Gambar 15.2 Argand diagram di atas menunjukkan z   , baik sebagai titik x iy P x y ,

   

  maupun sebuah vektor

  OP th

  ed, p.AP-16) (Thomas’s Calculus, 11

  Dalam bidang koordinat kutub (akan dibahas pada sub bab 15.4 di bawah), diperoleh dan

  x  r cos  y  r sin  sehingga z x iy r cos i sin .

       

   

  Kita definisikan nilai mutlak dari suatu bilangan kompleks dari

  x iy  sebagai panjang r

  vektor OP (dari titik pusat O ke titik P x y ), sehingga , _{2 2}   .

  x iy   x  y

  Jika dipilih koordinat kutub dengan dan non negatif, maka

  r  tertentu sehingga r r   . x iy Sudut , dan ditulis .

   disebut argumen dari z   arg z Perhatikan bahwa, _{2 2 2} .

  z z   x y ,  x ,   y x  y , 0  z    

   

15.3.2 Rumus Euler

  Identitas _{i }

      e cos i sin disebut sebagai rumus Euler. _{i }

  Bilangan kompleks , kerap disebut juga bentuk

  z    x iy r cos   i sin   re   eksponensial dari bilangan kompleks.

  Rumus Euler memberikan aturan-aturan baru yang dapat digunakan untuk menghitung perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar pangkat dari bilangan kompleks. Perkalian Untuk mengalikan dua bilangan kompleks, kita kalikan nilai absolut-nya dan jumlahkan sudutnya. Misal, _{i i}

    _{1 2}

  dan

  z  r e z  r e _{1 1 2 2}

  sehingga .

  z  , r arg z  , z  , dan r arg z _{1 1 1}    _{1 2 2 2 2} Maka, _{i i i  }      _{1 2 1 2} z z r e r e r r e , _{1 2}    _{1 2 1 2} diperoleh

  dan .

  z z  r r  z  z arg z z      arg z  arg z _{1 2 1 2 1 2 1 2}

₁

_{2 1 2}  

  Karena itu, hasil kali dua bilangan kompleks ditunjukkan oleh sebuah vektor yang panjangnya merupakan hasil kali dari panjang kedua faktor dan argumennya merupakan jumlahan dari argumen-argumen kedua faktor (bilangan kompleks) tersebut. Contoh 15.2 Hasil kali bilangan kompleks Misal

  z   dan ₁ 1 i z  ₂ 3  . Kita menggambar bilangan-bilangan kompleks ini dalam i

  Argand Diagram, dimana dapat ditemukan _{i i}   ₄  ₆ dan .

  z  ₁ 2 e z  ₂ 2 e

  Maka,

    _{i  i}   ^{4 6 } ₁₂ z z  2 2 e  2 2 e _{1 2}

   

    .  2 2 cos  i sin  2, 73 0, 73  i

  □

   

  12

  12  

  Pembagian _i

   ₂ Misal, pada , maka r  z  r e _{2 i 2 2}

   ₁ z r e r i  _{1 1 1  }   _{1 2} .

    e _i

   ₂ z r e r _{2 2 2} Perhatikan,

  z z r  z  _{1 1 1 1} dan .

    arg      arg z  arg z _{1 2 1 2}  

  z r z z _{2 2 2 2}

    Contoh 15.3 Hasil bagi bilangan kompleks Misal

  z

  1 i z  3  , maka i ₁   dan _{2 i}  _{4 i 5 }

  1  i 2 e

  2 5  5  ₁₂   e 0.707 cos i sin

      

   i   ₆

  2

  12

  12 3  i   2 e   .

  0,183 0, 683i

  □ Perpangkatan Jika

  n adalah bilangan bulat positif, kita dapat menerapkan rumus perkalian untuk mencari _n z     . z z z _{i n faktor} 

  Dengan  , diperoleh

  z re _{n i  n in  n} . z re r e

   

   

  Jika diambil

  r 

  1

  , diperoleh De Moivre’s Theorem, yakni _n .

  cos  i sin  cos n  i sin n      

  Contoh 15.4 Pangkat bilangan kompleks Jika n 3 

   dan r

  1 , dengan De Moivre’s Theorem diperoleh ₃ . cos   i sin   cos 3   i sin 3 

   

  Ruas kiri persamaan di atas diperluas dengan menggunakan teorema Binomial menjadi _{3 2 2 3}          .

  cos 3 cos i sin 3cos sin i sin

  Bagian real persamaan ini harus sama dengan cos 3  dan bagian imajiner harus sama dengan sin 3

   , sehingga _{3 2} , dan

       

  cos3 cos 3cos sin _{2 3}       . sin 3 3cos sin sin □

  Akar pangkat _{i } Jika  adalah bilangan kompleks tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka terdapat

  z re , yang merupakan akar-akar dari . n bilangan kompleks berbeda w w , , , w z _{i 1 n  1}

   i 

  Misal adalah akar ke- , sehingga

  w e n dari z  re   _n w  z

  atau _{n in i}

    . e re

    Maka, _n

    r adalah akar ke- n yang real dan positif dari . Untuk nilai argumen-nya, meskipun tidak

  

z

  dapat dinyatakan bahwa n dan

    harus sama, namun dapat dinyatakan bahwa kedua nilai

  tersebut berbeda hanya dengan kelipatan

  2  . , Oleh karena itu, 

  2  .

   k

    n n _{i }

  Perhatikan, semua akar-akar diberikan oleh persamaan ₂ z  re _{i  k}     _{n i  n n n}  

   

  ,   

  re  re k 0, 1, 2,

  Contoh 15.5 Akar pangkat bilangan kompleks Tentukan keempat akar pangkat 4 dari -16 dalam sistem bilangan kompleks! Jawaban Pertama, kita gambarkan Argand Diagram bilangan -16 dan menentukan koordinat kutubnya. Diperoleh untuk z

  16 r 16 dan   , maka     . _{i  i}  ₄ Salah satu akar dari adalah .

  2 e

  16 e 2  

  Selanjutnya kita peroleh akar-akar lainnya dengan penjumlahan berulang terhadap

  

  4

  2 argumen akar yang pertama.

  Karena itu, _{3 5 7 i , , ,}       _{4 i  4 4}   _{4 4}   , 16 e

  2 e  dan keempat akar dari -16 adalah

   

   

  ,

  w 2 cos i sin 2 1 i    

     

  4

  4  

   

  3

  3  

  ,

  w 2 cos i sin

    2 1 i _{1  }     

  4

  4  

   

  5

  5  

  , dan

  w 2 cos i sin

    2 1 i _{2  }     

  4

  4  

   

  7

  7  

  .

  w 2 cos i sin 2 1 i _{3  }     □  

  4

  4  