Pertemuan 1 Sistem Bilangan Real dan Fungsi 1.1 Pendahuluan - 1 Sistem Bilangan Real dan Fungsi

  

Pertemuan 1

Sistem Bilangan Real dan Fungsi

  1.1 Pendahuluan

  Pada pertemuan pertama ini, kita akan membahas konsep-konsep dasar yang perlu diketahui untuk mempelajari Kalkulus. Beberapa materi yang dibahas, antara lain: sistem bilangan real, fungsi, dan trigonometri.

  1.2 Sistem Bilangan Real

  Pada subbab ini, kita akan membahas tentang bilangan real, interval, dan nilai absolut.

1.2.1 Bilangan real

  Banyak contoh kasus dalam Kalkulus didasarkan ada sistem bilangan real. Bilangan real adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai desimal, seperti: ⁄

  ⁄ √

  Tanda memperlihatkan bahwa barisan digit desimal terus berlanjut, seterusnya.

  Sistem bilangan real adalah sistem bilangan yang terdiri atas bilangan-bilangan real, dan dinotasikan sebagai . Sifat-sifat sistem bilangan real dapat dibedakan dalam tiga kategori, yakni sifat aljabar, sifat urutan, dan completeness.

  Sifat aljabar menyatakan bahwa sistem bilangan real dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi (kecuali oleh 0) untuk menghasilkan lebih banyak bilangan real. Sifat urutan dari bilangan real memungkinkan kita untuk membandingkan nilai dari dua bilangan real. Berikut beberapa contoh aturan yang dapat diturunkan berdasarkan sifat urutan bilangan real.

  Secara geometri, kita juga dapat membayangkan bilangan-bilangan real dengan menaruhnya dalam satu garis lurus. Sifat completeness menyatakan bahwa terdapat cukup bilangan real untuk mengisi seluruh garis bilangan real, tanpa lubang atau jarak sama sekali. Banyak teorema Kalkulus yang gagal jika sistem bilangan real-nya tidak complete.

  Terdapat beberapa himpunan bagian bilangan real, seperti bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional/ pecahan. Bilangan rasional lebih tepatnya adalah bilangan real dimana bentuk desimalnya, berhenti

  ( ) atau berulang ( ̅̅̅̅). Bilangan real yang tidak berbentuk rasional disebut bilangan irasional. Contohnya seperti:

  . √

  Suatu himpunan adalah kumpulan obyek-obyek yang disebut sebagai elemen dari himpunan tersebut. Jika merupakan suatu himpunan, notasi menyatakan bahwa merupakan anggota himpunan

  , dan menyatakan bukan anggota himpunan . Jika dan adalah himpunan, maka menyatakan gabungan kedua himpunan tersebut dan menyatakan irisan kedua himpunan tersebut. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali, dan dinotasikan sebagai .

1.2.2 Interval

  Himpunan bagian dari garis bilangan disebut suatu interval jika terdiri atas minimal dua bilangan dan mengandung seluruh bilangan real diantara dua elemennya. Sebagai contoh, himpunan bilangan real sehingga merupakan suatu interval, demikian pula himpunan seluruh sedemikian sehingga . Namun himpunan seluruh bilangan real tak nol bukan merupakan suatu interval karena 0 tidak ada, sehingga himpunannya tidak memiliki seluruh bilangan real di antara -1 dan 1 (sebagai contoh).

Gambar 1.1 Jenis-jenis interval

  th

  ed, p.4) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 1.1 Ketidaksamaan Selesaikan ketidaksamaan berikut dan tentukan himpunan solusinya.

  a.

  b. Jawaban a. kurangkan kedua sisi dengan 3 kurangkan kedua sisi dengan bagi kedua sisi dengan

  Himpunan solusinya adalah interval terbuka ( ).

  b. kali kedua sisi dengan 2 tambahkan kedua sisi dengan kurangkan kedua sisi dengan bagi kedua sisi dengan 5

  Himpunan solusinya adalah interval setengah terbuka [ ⁄ ).

1.2.3 Nilai absolut

  Nilai absolut dari suatu bilangan , dinotasikan dengan | | dan didefinisikan sebagai

  | | { Karena notasi

  √ selalu menyatakan akar persegi nonnegative dari , definisi lain dari | | adalah | | √

  Beberapa sifat nilai absolut adalah sebagai berikut: 1. | | | |

  2. | | | || |

  | |

  3. | |

  | | Triangle inequality.

  4.

  | | | | | | Jika sembarang bilangan positif, maka jika dan hanya jika 5. | | jika dan hanya jika

  6.

  | | jika dan hanya jika 7. atau

  | | jika dan hanya jika

  8.

  | | jika dan hanya jika 9. atau

  | | Contoh 1.2 Nilai absolut Selesaikan persamaan dan ketidaksamaan yang melibatkan nilai absolut berikut.

  a.

  | |

  b. | | Jawaban

  a. | | berdasar sifat 5 Terdapat dua kemungkinan jawaban:

  Solusi dari | | adalah dan

  .

  b. | | berdasar sifat 6 kurangkan dengan kali dengan kali silang

  Solusi dari | | adalah interval terbuka ( ).

1.3 Garis, Lingkaran, dan Parabola

  Pada subbab ini akan dibahas tentang koordinat, garis, jarak, lingkaran, dan parabola dalam suatu bidang.

1.3.1 Koordinat Kartesius

Gambar 1.2 Koordinat Kartesius

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed) Sistem koordinat Kartesius didasarkan pada nama matematikawan abad 16 yakni

  Rene Descartes. Sistem koordinat ini terdiri atas dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu koordinat. Titik merupakan pasangan koordinat dan terletak di pasangan berurutan

  ( ). Bilangan pertama adalah koordinat- (atau absis) dari , sementara Sumbu koordinat Kartesius membagi bidang menjadi empat daerah atau kuadran, yang dinomori berlawanan arah jarum jam.

Gambar 1.3 Kuadran dalam koordinat Kartesius

  th

  ed) (Thomas’s Calculus, 11

1.3.2 Increment dan garis lurus

  Saat suatu partikel bergerak dari satu titik ke titik lainnya dalam bidang, terjadi perubahan nilai koordinatnya yang disebut increment. Jika ke , berubah dari

  increment dari

  adalah .

  Contoh 1.3 Increment Tentukan increment dalam koordinat dan dari titik ( ) ke titik ( )! Jawaban , ( ) .

  Diberikan dua titik ) dalam bidang koordinat. Sembarang

  ( ) dan ( garis tidak vertikal dalam bidang memiliki sifat perbandingan berikut:

  . Sebuah garis dengan disebut sebagai kemiringan (slope) dari garis tidak vertikal

  

slope positif naik ke kanan, garis dengan slope negatif turun ke kanan. Semakin besar nilai

  absolut dari slope, makin terjal kenaikan atau penurunannya. Slope untuk garis vertikal tidak terdefinisikan, karena untuk garis vertikal adalah 0.

  Kita dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui titik ) dan

  ( memiliki slope dari persamaan:

  ( ) Contoh 1.4 Persamaan garis Tentukan persamaan garis berikut.

  ⁄

  a. Melalui titik ( ) dengan slope

  b. Melalui titik ( ) dan ( ) Jawaban

  )

  a. ( ( )

  Saat . sehingga garis tersebut melewati sumbu- pada

  b. Pertama dicari nilai slope garis ( )

  Kita dapat menggunakan slope ini bersama dengan salah satu titik untuk memperoleh persamaan garis: ( ) Persamaan

  ( ) disebut persamaan linear umum dalam dan karena grafiknya selalu memperlihatkan sebuah garis dan setiap garis memiliki persamaan dalam bentuk ini. Contoh 1.5 Menemukan slope dan

• intercept Temukan slope dan
• intercept dari garis Jawaban .

  Slope-nya adalah dan -intercept adalah .

  1.3.3 Garis paralel dan tegak lurus Garis yang saling paralel memiliki sudut kemiringan yang sama, sehingga memiliki

  

slope yang sama (jika keduanya bukan garis vertikal). Jika dua garis tidak vertikal saling tegak

  lurus, maka slope mereka dan memenuhi .

  1.3.4 Jarak dan lingkaran Jarak antara

  ( ) adalah ) dan (

  ) ) √( ) ( ) √( (

  Contoh 1.6 Jarak Jarak antara

  ( ) dan ( ) adalah ) ( ) √( ( )) ( ) √( ) ( ) √ √

  √( √

  Sebuah lingkaran dengan radius adalah himpunan seluruh titik ( ) yang jaraknya dari suatu titik pusat

  ( ) sama dengan . Dari rumus jarak, terletak pada lingkaran jika dan hanya jika √( ) ( ) sehingga

  ( ) ( )

  Contoh 1.7 Lingkaran Tentukan titik pusat dan radius dari lingkaran

  Jawaban (

  ( ) membentuk daerah interior dari lingkaran dengan titik pusat ( ) dan radius . Daerah eksterior lingkaran terdiri atas titik-titik

  ( ) dimana disebut range dari fungsi. Range fungsi bisa saja tidak mencakup seluruh elemen dalam himpunan . Dalam Kalkulus, persamaan fungsi kerap

  ( ) ke tiap elemen . Himpunan terdiri atas seluruh kemungkinan nilai masukan disebut domain fungsi. Himpunan seluruh nilai dari

  Sebuah fungsi dari himpunan ke himpunan adalah suatu aturan yang menetapkan suatu elemen tunggal (unik)

  ; koordinat- ditemukan dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan parabola.

  Grafik dengan persamaan merupakan suatu parabola. Parabola terbuka ke atas jika dan terbuka ke bawah jika . Sumbunya adalah garis dengan persamaan . Vertex adalah titik dimana parabola dan sumbunya beririsan. Koordinat- adalah

  ( ) yang memenuhi ( ) ( )

  ( ) yang memenuhi ketidaksamaan ( )

  ) ( ) ( (

  ( ) dan radiusnya adalah Titik-titik

  ( ) Titik pusatnya adalah

  ) ( ) ( )

  ) (

  ) (

  ) ) (

  ) ) ( (

1.3.5 Parabola

1.4 Fungsi dan Grafik Fungsi

  Sebuah fungsi juga dapat digambarkan sebagai suatu diagram panah. Setiap anak panah menghubungkan suatu elemen dari domain ke elemen tunggal di himpunan .

Gambar 1.4 Sebuah fungsi dari himpunan ke himpunan

  th

  ed, p.20) (Thomas’s Calculus, 11

  Cara lain untuk menggambarkan fungsi adalah melalui grafiknya. Jika adalah suatu fungsi dengan domain

  , grafiknya terdiri atas titik-titik dalam bidang Kartesius yang koordinatnya merupakan pasangan input-output dari . Dalam notasi himpunan, grafiknya adalah

  {( ( ))| } Contoh 1.8 Grafik fungsi Grafik dari suatu populasi lalat buah diperlihatkan dalam gambar berikut.

  a. Temukan populasinya setelah 20 dan 30 hari.

  b. Berapakah perkiraan range fungsi populasi tersebut terhadap interval waktu ?

Gambar 1.5 Grafik fungsi populasi lalat buah terhadap waktu

  th

  ed, p.22) Jawaban

a. Dari gambar 1.5 di atas, dapat dilihat bahwa nilai populasi pada 20 hari adalah ( ) . Demikian pula, ( ) kira-kira sekitar 260.

  b. Range dari fungsi populasi terhadap kira-kira adalah [ ]. Dapat dilihat pula bahwa populasinya makin mendekati nilai saat waktunya bertambah besar.

  Tidak semua kurva grafik merupakan sebuah fungsi. Sebuah fungsi hanya dapat memiliki satu nilai

  ( ) untuk setiap dalam domainnya, sehingga tidak ada garis vertikal yang dapat menyinggung grafik sebuah fungsi lebih dari satu kali.

Gambar 1.6 Grafik lingkaran (a) bukan fungsi, grafik (b) dan (c) merupakan fungsi

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.24) Terkadang suatu fungsi dideskripsikan dengan menggunakan beberapa rumus berbeda pada bagian berbeda domainnya. Misalnya fungsi nilai absolut,

  | | { Fungsi seperti demikian disebut sebagai fungsi piecewise.

1.5 Identifikasi Fungsi

  Terdapat beberapa jenis fungsi yang kerap dijumpai dalam Kalkulus, seperti fungsi linear, fungsi pangkat, polinomial, fungsi rasional, fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi transcendental. Fungsi linear Suatu fungsi dengan bentuk ( ) , untuk konstanta dan , disebut sebagai fungsi linear.

Gambar 1.7 Kumpulan garis memiliki slope dan seluruh garis melalui titik pusat

  th

  (Th ed, p.28) omas’s Calculus, 11 Fungsi pangkat (power) Sebuah fungsi , dimana ( ) suatu konstanta, disebut sebagai fungsi pangkat. Terdapat beberapa kasus yang perlu diperhatikan.

  a. , bilangan bulat positif

Gambar 1.8 Grafik dari ,

  ( ) untuk

  th

  ed, p.29) (Thomas’s Calculus, 11

  b. atau

Gambar 1.9 Grafik dari

  ( ) , untuk (a)

  , dan (b) (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.29)

  c. a

Gambar 1.10 Grafik dari

  ( ) , untuk a

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.30) Polinomial Sebuah fungsi disebut sebagai polinomial jika

  ( ) dimana merupakan adalah bilangan bulat nonnegative dan bilangan konstanta real (disebut koefisien polinomial). Semua polinomial memiliki domain ( ).

  Jika koefisien pertama dan , maka disebut sebagai derajat polinomial.

Gambar 1.11 Contoh grafik polinomial

  th

  (Th ed, p.30) omas’s Calculus, 11 Fungsi rasional Fungsi rasional merupakan pecahan atau rasio dari dua polinomial

  ( ) ( )

  ( ) dimana dan adalah polinomial. Domain dari fungsi rasional adalah himpunan seluruh bilangan real dimana ( ) .

Gambar 1.12 Contoh grafik fungsi rasional

  th

  ed, p.31) (Thomas’s Calculus, 11

  Fungsi aljabar Fungsi aljabar merupakan sebuah fungsi yang dibangun dari polinomial-polinomial dengan menggunakan operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, dan akar). Fungsi rasional merupakan contoh khusus dari fungsi aljabar.

Gambar 1.13 Contoh grafik fungsi aljabar

  th

  ed, p.32) (Thomas’s Calculus, 11

  Fungsi trigonometri Fungsi trigonometri akan dibahas lebih lanjut di akhir bab ini.

  Fungsi eksponensial Fungsi dengan bentuk , dimana

  ( ) dan disebut sebagai fungsi eksponensial. Seluruh fungsi eksponensial memiliki domain ( ) dan range ( ).

Gambar 1.14 Contoh grafik fungsi eksponensial

  th

  ed, p.32) (Thomas’s Calculus, 11

  Fungsi logaritma Fungsi dengan bentuk

  ( ) , dimana dan merupakan konstanta positif, disebut sebagai fungsi logaritma. Fungsi ini merupakan invers dari fungsi eksponensial, dimana domain fungsi adalah ( ) dan range adalah ( ).

Gambar 1.15 Contoh grafik fungsi logaritma

  th

  ed, p.33) (Thomas’s Calculus, 11

  Fungsi transcendental Fungsi ini merupakan fungsi yang tidak termasuk fungsi aljabar, seperti trigonometri, invers trigonometri, eksponensial, logaritma, dan fungsi-fungsi lainnya.

1.6 Operasi Fungsi

  Seperti halnya bilangan, fungsi juga memiliki operasi-operasi, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali penyebutnya nol) untuk menghasilkan fungsi baru. Jika dan merupakan fungsi, maka untuk setiap yang berada dalam domain dan (yakni, ( ) ( )), maka

  ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

  ( )( ) ( ) ( ) Untuk sembarang nilai di

  ( ) ( ) dimana ( ) , dapat didefinisikan fungsi ( )

  ( ( ) ) ( )

  Fungsi juga dapat dikalikan dengan konstanta. Jika suatu bilangan real, maka fungsi didefinisikan untuk seluruh dalam domain fungsi dengan

  ( )( ) ( ) Contoh 1.9 Operasi fungsi Fungsi yang didefinisikan oleh rumus

  ( ) √ dan ( ) √ memiliki domain ( ) [ ) dan ( ) ( ]. Titik-titik yang berada dalam domain ini adalah titik-titik

  [ ) ( ] [ ] Operasi fungsi yang dapat berlaku untuk kedua fungsi di atas:

  domain

  [ ] ( )( ) √ √

  domain

  [ ] ( )( ) √ √

  domain

  [ ] ( )( ) √ √

  domain

  [ ] ( )( ) ( ) ( ) √ ( )

  ( ) √ domain

  ( ) [ )

  √

  ( )

  Jawaban

  Ukuran radian dari sudut di titik pusat sebuah lingkaran sama dengan panjang busur yang dipotong oleh dari lingkaran tersebut. Gambar berikut memperlihatkan bahwa merupakan panjang busur yang dipotong dari sebuah lingkaran dengan jari- jari saat sudut diukur dalam radian.

  Pada subbab ini akan dibahas dasar-dasar fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri penting karena sifatnya yang berulang dan dapat memodelkan banyak proses alami yang berulang.

  ( )( ) ( ( )) ( ) ( )

  ⁄ d.

  ( )( ) ( ( )) ( ) √ c. ( )( ) ( ( )) √ ( ) √√

  a. ( )( ) ( ( )) √ ( ) √ b.

  ( )( ) b. ( )( ) c. ( )( ) d. ( )( )

  ( ) ( ) √ √

  ( ) √ dan ( ) , tentukan a.

  Contoh 1.10 Fungsi komposisi Jika

  terdiri atas bilangan-bilangan dalam domain fungsi dimana ( ) terletak dalam domain fungsi .

  Domain dari

  Jika dan adalah fungsi, maka fungsi komposisi didefinisikan sebagai ( )( ) ( ( ))

  domain ( ].

  √

1.7 Fungsi Trogonometri

1.7.1 Ukuran radian

Gambar 1.16 Ukuran radian dari sudut adalah panjang dari busur pada lingkaran

  dengan pusat di (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.48) Rumus konversi dari derajat ke radian:

1.7.2 Trigonometri

Gambar 1.17 Rasio trigonometri

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.50) Enam fungsi trigonometri dasar, antara lain sebagai berikut. Gambar berikut memperlihatkan beberapa nilai fungsi trigonometri.

Gambar 1.18 Nilai untuk nilai tertentu

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.51)

Gambar 1.19 Aturan CAST

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.51)

1.7.3 Fungsi periodik, identitas, dan hukum Cosinus

  Sebuah fungsi dikatakan periodik jika terdapat bilangan positif sedemikian sehingga

  ( ) ( ) untuk setiap nilai dari . Nilai terkecil dari adalah periode dari .

Gambar 1.20 Segitiga siku-siku

  (Thomas’s Calculus, 11

  th

  ed, p.50) Koordinat suatu titik ( ) dalam sebuah bidang dapat dinyatakan sebagai jarak dari titik pusat dan sudut yang dibentuk ruas garis dengan sumbu- positif. Karena dan , maka

  Bila , dengan menerapkan teorema Pythagoras diperoleh persamaan

  Dengan membagi persamaan di atas, baik terhadap maupun , diperoleh

  Rumus berikut juga berlaku untuk seluruh besar sudut dan .

  ( ) ( )

  ( ) ( )

Gambar 1.21 Kuadrat dari jarak antara dan menghasilkan hukum cosinus

  th

  ed, p.54) (Thomas’s Calculus, 11

  Jika dan adalah sisi-sisi segitiga dan adalah sudut lawan dari , maka Persamaan di atas dikenal sebagai hukum Cosinus. Hukum ini memperumum teorema