Notasi untuk Populasi dan Sampel

  Ukuran Pemusatan Data Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si. Notasi untuk Populasi dan Sampel Notasi:

  Sample Populasi

  Mean (rata-rata) μ

  Variansi s

  2

  σ

  2 Simpangan baku s

  σ

  

x Ukuran Pemusatan Data

  1. Mean (rata-rata)

  2. Median

  3. Modus

  Mean

1. Mean untuk data tunggal

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x , x , x ,

  1

  2 3 , …, x n

  dirumuskan: _n

  

x

_i  _{i  1} x  n

• Contoh: The birth weights in pounds of five babies born in a hospital on a certain day are 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, and 7.8.
• The mean birth weight for these data is

  9.2 6.4 10.5 8.1 7.8

  42    

  8.4 x 

   

  5

  5

• Mean sampel dari himpunan n observasi: x

  , f

  

  

  

1

^{n i i} _i

_n

_i f x x f

  , dirumuskan:

  3 , …, f n

  , f

  2

  1

  1

  , yang mempunyai frekuensi berturut-turut f

  n

  , …, x

  3

  , x

  2

  , x

  

 Nilai Frekuensi x ₁ f ₁ x ₂ f ₂ x ₃ f ₃ … … x _n f _n Latihan: Mean

• Loss of calcium is a serious problem for older women. To investigate the amount of loss, a researcher measured the initial amount of bone mineral content in the radius bone of the dominant hand of elderly women and then the amount remaining after one year. The differences, representing the loss of bone mineral content, are given in the following table (courtesy of E. Smith).

2. Estimasi Mean data berkelompok

a) Menghitung mean data kelompok dengan metode biasa

• Penyajian data berkelompok:

  Interval/ Selang Titik Tengah (x _i ) Frekuensi (f _i ) Limit kelas ke-1

  X ₁ f ₁ Limit kelas ke-2

  X ₂ f ₂ … … … Limit kelas ke-n

  X _n f _n

• Mean dihitung dengan formula:

  1 ^{n i i} _{i n i} f x x f

  

  

   

• Contoh:

  Interval Kelas Titik Tengah Frekuensi f x _{i i} Kelas (x ) (f ) _{i i}

  7

  8

  2

  16

• – 9

  10

  11

  8

  88

• – 12

  13

  14 14 196

• – 15

  16

  17 19 323

• – 18

  19

  20 7 140

• – 21 _n

  Jumlah 50 763 f x _{i i}

   _{i  1} 763

  15.26

  x    _n

  50

  f _i 

b) Menghitung mean data kelompok dengan metode simpangan rata-rata

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:
• Maka rataan hitung dirumuskan:
¹

  2 ⁿ

  x x A

   

• – A x _i

  1

  1 ^{n i i i n i i} f d x A f

   

   

    x ₁ : limit bawah kelas pertama x _n

: limit atas kelas terakhir

d _i : x _i

  : nilai tengah masing-masing kelas f _i : frekuensi kelas

• Contoh:

  Interval Titik Deviasi Frekuensi Kelas Tengah (d ) (f ) f d _{i i i i} Kelas (x ) _i

  7 8 -6 2 -12

• – 9

  10 11 -3 8 -24

• – 12

  Untuk banyak interval kelas ganjil,

  13

  14

  14

• – 15

  ‘0’ pasti terletak di

  16

  17

  3

  19

  57

• – 18

  kelas yang tengah

  19

  20

  6

  7

  42

• – 21

  Jumlah _n

  50

  63 f d

_{i i}

  

  63 7 21  _{i } ¹

  14

  15.26

  

x   A   

  14 A   _n

  50

  2

  f

_i



c) Mean berkelompok dengan metode coding

• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:

  x x x : limit bawah kelas pertama ₁  _{n 1} A  x : limit atas kelas terakhir _n

  2

• Mean dengan metode coding dirumuskan: _n

  f c _{i i}  _{i  1 i} c : kode untuk setiap kelas x    A p _{n x : nilai tengah masing-masing kelas i} f : frekuensi kelas _i f _i

   _{i 1} p: panjang kelas 

• Contoh:

  Interval Kode Frekuensi f c _{i i} Kelas (c ) (f ) _{i i} 7 -2 2 -4

• – 9 10 -1

  8 -8

• – 12

  ‘0’

  13

  14

• – 15

  16

  1

  19

  19

• – 18

  19

  2

  7

  14

• – 21

  50 _n

  21 f c _{i i}

  

  21 7 21  _{i } ¹ 14 3

  15.26

  x    A p    

  14 A   _n

  50

  2

  f _i 

3. Mean data gabungan

• Sample berukuran n , n diambil dari k populasi,

  1 2 , …, n k

  , ,...,

  x x x

  masing-masing memiliki mean , maka mean _{1 2 k} gabungan: _k

  

n x

_{i i}

 _{i  1} x  _{c k}

n

_i

   _{i 1} 

4. Mean terboboti

• Terdapat k buah nilai x , x dengan bobot masing-

  1 2 , …, x k

  masing w , w , maka mean dirumuskan: , …, w _k

  1 2 k w x _{i i}

   _{i  1} x  _{w k} w _i

   _{i 1} 

• Contoh:

  Komponen Tugas Quiz UTS UAS Bobot 20% 10% 30% 40% Nilai

  80

  75

  65

  75 0.2 80   0.1 75   0.3 65   0.4 75 

         

  Nilai akhir: x

  73   Median

1. Median data tunggal

• Median sampel dari himpunan n observasi: x , x , x ,

  1

  2 3 , …, x n

  adalah nilai tengah dari observasi terurut dari yang terkecil hingga terbesar.

• Letak median:
• – Ukuran data ganjil

  n

  1 

  Median terletak di data ke-

  2

• – Ukuran data genap

  n

  Median terletak diantara data ke- dan data ke-

  1

  n 

  2

  2

• Contoh 1 (median):

  Data 5 bobot bayi ketika lahir: 3.04; 4.20; 3.28; 3.12; 2.56 Diurutkan: 2.56, 3.04, 3.12, 3.28, 4.20 (n = 5) 5 1

   Median terletak pada data ke- , yaitu 3.12.

  3 

  2 Data: 3, 15, 46, 64, 126, 623 (n = 6)

  6

  6

  3

  1

  4 Median terletak pada data ke- dan ke- , yaitu:   

  2

  2 46 64 

  55 

  2

• Contoh 2 (median) Lamanya enam pasien pencangkokan jantung adalah sebagai berikut: 15, 3, 46, 623, 126, dan 64 hari. Data terurut: 3, 15, 46, 64, 126, 623 Median-nya adalah 55, sementara mean-nya 146.2

  Perhatikan: jika dilihat dari nilai mean, maka hanya ada 1 pasien yang

hidup di atas 146.2 hari. Di sini median menjadi indikator yang lebih baik,

yaitu ada 3 pasien yang bertahan hidup lebih dari 55 hari.

  

Contoh ini menunjukkan bahwa median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem

pada sampel.

  

Bagi distribusi yang tidak simetrik, kiranya median akan menjadi ukuran nilai tengah

2. Estimasi median data berkelompok

• Rumus untuk median data berkelompok (data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi):

  1

  2 ^k _me

  n f Me b p f

    

      

      

  b: batas bawah kelas median p: panjang kelas n: banyak data f _k : frekuensi kumulatif sebelum kelas median f _me : frekuensi kelas median

  Modus

• Modus suatu sampel adalah nilai yang paling banyak muncul atau paling tinggi frekuensinya.
• Estimasi modus untuk data berkelompok:

   d  ₁ Mo b p     d d ₁  ₂  

• dimana:

  b: batas bawah kelas modus d f f _{1 mo mo}   ₁

   p: panjang kelas d f f _{2 mo mo}  

_{1 f : frekuensi kelas modus}

   _mo f : frekuensi kelas sebelum kelas modus _mo-1 f : frekuensi kelas setelah kelas modus _mo+1

  

Persentil

• Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama.
• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P

  1

  , P

  2

  , …, P

  99

  , yang bersifat 1% dari seluruh data terletak di bawah P

  1

  , 2% terletak di bawah P

  2

  ,…, dan 99% terletak di bawah P

  99 .

• Menghitung persentil ke-p: – Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.
• – Tentukan hasil kali: banyak data × proporsi = np.
>Jika np bukan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke atas dan tentukan data pada urutan tersebut.
• Jika np adalah bilangan bulat (misalkan: k), hitung rata-rata dari data ke-k dan ke- (k+1).

  Desil

• Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian yang sama.

  , D yang , …, D

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D

  1

  2

  9

  bersifat 10% data berada di bawah D , 20% di bawah D

  1 2 , …, dan 90% di bawah D .

  9

  Kuartil

1. Kuartil data tunggal

• Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 4 bagian sama besar.
• Dilambangkan dengan:
• – Q (25% data jatuh di bawah nilai Q )
₁ 1<
• – Q (50% data jatuh di bawah nilai Q )
₂ 2<
• – Q (75% data jatuh di bawah nilai Q )
_{3 3}
• Contoh:

  2

  5 7 7 8 9 9 11 13 15 Q ₁ Q ₃ Q

  

  8.5

• Contoh:

  Data Pengukuran Tingkat Kebisingan Lalu Lintas (Decibel)

  52 55.9 56.7 59.4 60.2 61 62.1 63.8 65.7 67.9 54.4 55.9 56.8 59.4 60.3 61.4 62.6 64 66.2 68.2 54.5 56.2 57.2 59.5 60.5 61.7 62.7 64.6 66.8 68.9

  55.7 56.4 57.6 59.8 60.6 61.8 63.1 64.8

  67

  69.4 55.8 56.4 58.9

  60

  60.8 62 63.6 64.9 67.1 77.1

• Kuartil ke-1:
• – letak: 0.25 × 50 = 12.5 (pecahan), maka bulatkan ke atas menjadi 13. Kuartil pertama adalah data ke-13 yaitu 57.2.
• Persentil ke-10:
• – letak: 0.1 × 50 = 5 (bilangan bulat), sehingga letak persentil ke sepuluh adalah di antara data ke 5 dan 6 yaitu: (55.8 + 55.9)/2 = 55.85

2. Estimasi Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok

  Rumus menghitung kuartil data berkelompok:

  i Q : kuartil ke-i, D : desil ke-i, P : persentil ke-i

    _{i i i}

  n  f _k

  b: batas bawah kelas kuartil, desil, atau

   

  4 Q b p _i

  persentil

     

  f _{Q p: panjang kelas}

   

  n: banyak data

   

  f : frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil, _k i

   

  n  f _k desil, atau persentil.

   

  10

  f : frekuensi kelas kuartil, f : frekuensi kelas _{Q D} D b p _i

      desil, f : frekuensi kelas persentil.

  f _{D P}

     

  i

   

  n  f _k

    100

  P b p _i

     

  f _P

  Latihan

  1. Delapan peserta lomba sepeda mencatat waktu tempuh sebagai berikut: 28, 22, 26, 33, 21, 23, 37, 24. Hitunglah mean dan mediannya.

2. Perhatikan tabel banyak anak pada setiap keluarga di Kampung Sejahtera.

  Banyak anak Frekuensi

  Tentukan mean dan

  1

  

2

mediannya.

  2

  

4

  3

  

21

  4

  

18

  5

  

10

  6

  

4

  3. Perhatikan diagram tangkai-daun skor ujian akhir mata kuliah statistika berikut: 2 48

  Hitunglah: 3 155

a. Mean

  b. Median 4 002 c. Kuartil: Q , Q , dan Q

  1

  2

  3

  5 03368 6 0124479 7 22355689 8 004577 9 0025

  4. Berdasarkan dari data berikut:

  Hitung:

  a) Mean

  b) Median

  c) Modus

  d) Kuartil pertama

  e) P ₄₅

  5. Berdasarkan data berikut:

  Hitung:

  a) Mean

  b) Median

  c) Modus

  d) Kuartil pertama

  e) P ₄₅

  6. Seorang mahasiwa mendapatkan nilai 87.4 untuk mata kuliah Metode Statistika. Nilai yang diperoleh mahasiswa tersebut dan bobot nilai pada mata kuliah Metode Statistika adalah sebagai berikut:

  Penilaian Bobot Nilai Tugas 20%

  88 Quiz 10%

  75 UTS 30%

  85 UAS 40% x

  Berapakah nilai UAS yang diperoleh mahasiswa tersebut?

  Referensi

• • Bhattacharya, G. K., dan R. A., Johnson, 1997,

  

Statistical Concept and Methods, John Wiley

and Sons, New York.

• • Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi

  ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.