Gembong Edhi Setyawan gembongub.ac.id gembong

  Gembong Edhi Setyawan gembong@ub.ac.id @gembong

Penyederhanaan fungsi Boolean

TujuanPerkuliahan

• • Menggambar peta karnaugh berdasarkan fungsi boolean atau

  tabel kebenaran yang diketahui

• • Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan peta

  karnaugh
• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metoda tabulasi.

  Karnaugh maps 

• Aljabar boolean membantu kita untuk menyederhanakan persamaan dan circuit
• Karnaugh Map : teknis grafis yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi boolean kedalam form :
• – minimal sum of products (MSP)
• – minimal product of sums(MPS)
• Tujuan dari penyederhanaan
• – Menghasilkan jumlah minimal dari terms product/sum
• – Masing-masing term akan memiliki jumlah literal minimal
Pengaturan ulang tabel kebenaran

• 2 variabel fungsi memiliki 4 kemungkinan minterms. Kita dapat melakukan perubahan minterm sini kepeta karnaugh
• Sekarang kita dapat dengan mudah melihat minterms yang memiliki literal umum

  x y minterm x’y’

  1 x’y 1 xy’ 1 1 xy

  Y

  1 x’y’ x’y

  X 1 xy’ xy Y

• – Minterms pada bagian kiri dan kanan mengandung y’ and y
• – Minterms pada bagian atas dan bawah mengandung x’ and x

  1 x’ y’ x’ y

  X 1 x y’ x y

  Y’ Y X’ x’ y’ x’ y

  X x y’ x y PenyederhanaanKarnaughMap

• Bayangkan 2 variable sum pada minterms

  x’y’ + x’y

• Setiap minterms yang terlihat pada baris atas

  Y

  dari K-map mengandung literal x’ x’y’ x’y

  X xy’ xy

• Apa yang terjadi bila kita melakukan penyederhanaan expresi tersebut dengan

  x’y’ + x’y = x’(y’ + y) [ Distributive ] aljabar boolean ?

  1 [ y + y’ = 1 ]

• = x’
• = x’ [ x 1 = x ]

Contoh 2 variabel x’y+ xy

• Contoh 2 : untuk expression
• – Setiap minterms yang tampak bada sisi kanan dimana y tidak dikomplemenkan

  x’y+ xy to just y

• – Kita dapat menyederhanakan

  Y x’y’ x’y X xy’ xy

  x’y’ + x’y + xy ?

• Bagaimana jika

  x’y’ + x’y pada baris atas, yang dapat

• – Kita memiliki disederhanakan menjadi x’

  x’y + xy bagian kanan yang dapat kita

• – Ada juga sederhanakan menjad i y

  Y

  x’ + y

• – Persamaan ini dapat kita sederhanakan menjadi

  x’y’ x’y

Minterm Maxterm x y z Suku Lambang Suku Lambang

M M

  ’+ y + z’ x

  4 m

  5 m

  6 m

  7 x + y + z x

  x

  x

  x ’+ y + z x

  ’+ y’+ z’

  ’+ y’+ z x

  2 m

  1 M

  2 M

  3 M

  4 M

  5 M

  6 M

  7

  3 m

  1 m

  1

  ’y’z x

  ’y’z’ x

• y + z’

  ‘y z’ x

• y’+z

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  ’y z x y

  1

  ’ x y z m m

  1

• y’+z’

  1

  1 x

  ’z x y z

  ’z’ x y

  1 Karnaugh Map 3 variabel

• untuk 3 variabel dengan input x,y,z , susunannya adalah sebagai berikut :

  YZ

  YZ

  00

  01

  11

  10

  00

  01

  11

  10

  

x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’ m m m m

  1

  3

  2 X

  X

  1 m m m m

  1 xy’z’ xy’z xyz xyz’

  4

  5

  7

  6

• Cara lain untuk menyusun Kmap 3

  Y Y

  variabel ( pilih yang anda sukai )

  x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’ m m m m

  1

  3

  2 X xy’z’ xy’z xyz xyz’

  X m m m m

  4

  5

  7

  6 Z

  Z Why the funny ordering? • . x’y’z + x’yz = x’z(y’ + y) = x’z

• 1 = x’z

  x’y’z’ + xy’z’ + x’yz’ + xyz’ = z’(x’y’ + xy’ + x’y + xy) = z’(y’(x’ + x) + y(x’ + x)) = z’(y’+y) = z’

  Y x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’ X xy’z’ xy’z xyz xyz’

  Z Y

  x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’

  X xy’z’ xy’z xyz xyz’ Z K-mapsdari sebuah tabel kebenaran

• Kita dapat mengisi K-map langsung dari sebuah tabel kebenaran
• – Output dari barisipada tabel dimasukkan pada kotak m pada K-map

  i

• – Ingat bahwa bagian kanan kolom darik-map “ditukar”

  x y z f(x,y,z)

  1

  1

  1

  1

  1 Y Y

  m m m m

  1

  3

  2

  1

  1

  4

  5

  7

  1 X m m m m

  6 Z

  Z

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Membaca MSP dariK-map

• • Kita dapat menemukan expression SoP minimal

• – Setiap kotak sesuai dengan 1 term of product

• – Produk ditentukan dengan mencari literal umum

  padakotak

  Y

  x’y’z’ x’ y’z x’yz x’yz’

  X xy’z’ x y’z xy z xy z’ Z Y

  1 X

  1

  1

  1 Z

  

xy y’z F(x,y,z)= y’z + xy Mengelompokkanminterms

• Pengelompokanpadak-map
• – Buat persegi panjangan yang mengelilingi group dari 1,2,4, atau 8 dari nilai 1

• – Semua nilai 1 pada map harus dimasukkan paling

  tidak pada 1 persegipanjang.
• – Jangan memasukkan nilai 0

  Y

• – Setiap kelompok terdiri dari satu term of product

  1 X

  1

  1

  1 Z

  

PIs AND EPIs (1/3)

• Untuk menemukan expresi SOP yang paling sederhana kita harus mendapatkan :
• – jumlah minimum literals per product term
• – Jumla

  h minimum product terms

• Bisa kita dapatkan melalui K-Map menggunakan
• – Group terbesar dari sebuah minterms ( prime implicants ) bila mungkin
• – Tidakada redundant grouping ( essential prime implicants )
• Implicant : product term yang dapat digunakan untuk mengkover minterms dari sebuah fungsi

  

PIs AND EPIs (2/3)

  (PI): product term yang didapatkan dari

menggabungkan jumlah minterms yang memungkinkan dari

kotak yang terdapat pada map. ( kemungkinan pengelompokan terbesar )

• Prime implicant
• Selalu cari prime implicants pada sebuah K-map

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 P

• Tidak ada redundant groups:

  1

  

Essential prime implicant (EPI): prime implicant yang terdiri

setidaknya satu minterm yang tidak dikover prime implicant

yang lain.

  1 

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  

PIs AND EPIs (3/3)

  1

  1 P

  1

  1

  1

  1

  1

  Essential prime implicants

• Mari kita sederhanakan persamaan berikut
• Kita harus mengkonversi persamaan tersebut ke minterms form

• – Hal yang paling mudah adalah dengan membuat tabel

  kebenaran dari fungsi dan kemudian kita temukan mintermsnya
• – Anda dapat menuliskan literals nya atau dengan minterm
• Berikut adalah tabel kebenaran dan mintermdari fungsi diatas :

  1

  6

  5

  1

  

= m

  1 f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ + xyz

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  x y z f ( x , y , z )

  f(x,y,z) = xy + y’z + xz

  K-map Simplificationof SoP Expressions

• m
• m
• m

  

7

  UnsimplifyingExpressions

• Kita juga dapat mengkonversi fungsi diatas dengan menggunakan aljabar boolean
• – Terapkan hukum distribusi untuk menambahkan variabel yang hilang

  xy + y’z + xz = (xy

• 1) + (y’z
• 1) + (xz
• 1) = (xy
• (z’ + z)) + (y’z
• (x’ + x)) + (xz
• (y’ + y)) = (xyz’ + xyz) + (x’y’z + xy’z) + (xy’z + xyz) = xyz’ + xyz + x’y’z + xy’z = m
• m
• m
• m

  1

  5

  6

  7

• Dalam contoh diatas, kita sama sekali tidak “menyederhanakan”
• – Hasil dari expres idiatas lebih luas dari pada fungsi aslinya
• – Tetapi dengan menemukan minterms akan memudahkan kita untuk menggabungkan terms tersebut pada sebuah k-map
ExampleK-map

• Pada contoh kita , kita bisa menuliskan f(x,y,z) dengan cara sbb:

  f(x,y,z) = + + xy’z + x’y’z xyz’ xyz

• m + + f(x,y,z) = m m m

  1

  5

  6

  7 Y Y x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’ m m m m

  1

  3

  2 X xy’z’ xy’z xyz xyz’ X m m m m

  4

  5

  7

  6 Z Z

• Hasil dari tabel kebenaran ditunjukkan

  Y

  pada k-map dibawah ini

  1 X

  1

  1

  1 Z

  FIGURE 4-11Karnaugh maps and truth tables for (a) two, (b) three, and (c) four variables.

  Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss _{Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.}

  FIGURE 4-12 Examples of looping pairs of adjacent 1s.

  Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss _{Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.}

  FIGURE 4-14 Examples of looping groups of eight 1s (octets).

  Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss _{Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.}

  Latihansoal

• m
• m
• m
• Simplify the sum of minterms m

  1

  3

  5

  6 Y

  X Z Y m m

  1 m

  3 m

  2 X m

  4 m

  5 m

  7 m

  6 Z Solusi

• – Hijau dan merah muda overlap ditulis lengkap
• – Minterm m

  1

  1

• Hasil minimal sum of product adalahsbb :
• x’z + y’z xyz’

K-maps can be tricky!

  1

  1 Z

  1

  1

  1 X

  1

  1 Z Y

  1

  Y

  1

  1

  Y

  y’z + yz’ + xy y’z + yz’ + xz

  1 Z

  1

  1

  1 X

  1 X

  4 variable K-maps – f(W,X,Y,Z)

• – Minterms pada kolom ketiga dan keempat, dan juga baris ke 3 dan bariske 4 dibalik
• Pengelompokan mirip dengan 3 variable, tetapi :
• – Kita bisa mengelompokkan persegipanjang 1,2 ,4 ,8,16 minterms

  4 variable K-maps

  Y Y w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’ m m m m

  1

  3

  2

  w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’ m m m m

  4

  5

  7

  6 X

  X wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’ m m m m

  12

  13

  15

  14 W

  W wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’ m m m m

  8

  9

  11

  10 Z

  Z

Contoh : Simplify m +m +m +m +m +m

  2

  5

  8

  10

  13

• • The expression is already a sum of minterms, so here’s the

  Y

  K-map:

  Y

  1

  1 m m m m

  1

  3

  2

  1 m m m m

  4

  5

  7

  6 X

  X

  1 m m m m

  12

  13

  15

  14 W

  W

  1

  1 m m m m

  8

  9

  11

  10 Z

  Z

  Y Y

  1

  1 w ’ x ’ y ’ z ’ w ’x ’y ’z w ’x ’y z w ’ x ’ y z ’

  1 w ’x y ’z ’ w ’ x y ’z w ’x y z w ’x y z ’

  X X

  1 w x y ’z ’ w x y ’z w x y z w x y z ’

  W W w x ’ y ’ z ’ w x ’y ’z w x ’y z w x ’ y z ’

  1

  1

  Z x’z’ xy’z

• Z
• MSP = MSP

Contoh : Simplify m +m +m +m +m +m

  2

  5

  8

  10

  13

• • The expression is already a sum of minterms, so here’s the

  Y

  K-map:

  Y

  1

  1 m m m m

  1

  3

  2

  1 m m m m

  4

  5

  7

  6 X

  X

  1 m m m m

  12

  13

  15

  14 W

  W

  1

  1 m m m m

  8

  9

  11

  10 Z

  Z

  Y Y

  1

  1 w ’ x ’ y ’ z ’ w ’x ’y ’z w ’x ’y z w ’ x ’ y z ’

  1 w ’x y ’z ’ w ’ x y ’z w ’x y z w ’x y z ’

  X X

  1 w x y ’z ’ w x y ’z w x y z w x y z ’

  W W w x ’ y ’ z ’ w x ’y ’z w x ’y z w x ’ y z ’

  1

  1

  Z x’z’ xy’z

• Z
• MSP = MSP

  FIGURE 4-18 “Don’t-care” conditions should be changed to 0 or 1 to produce K-map looping that yields the simplest expression.

  Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss _{Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.}

  ContohKasus Mari kita merancang sirkuit logika yang mengendalikan pintu lift di sebuah bangunan tiga lantai. sirkuit ini memiliki empat masukan. M adalah sebuah sinyal logika yang menunjukkan saat lift bergerak (M = 1) atau berhenti (M = 0). F1, F2, dan F3 adalah indikator sinyal lantai yangnormally LOW , danF1,F2,F3menjadi HIGHhanya ketika lift diposisikan pada tingkat dari lantai tertentu. Sebagai contoh, ketika elevator sedangberadadilantai dua, F2 = 1 dan F1 = = F3 0. Output sirkuit merupakan sinyalOpen, yangnormally LOWdan akanmenjadi High ketika pintu lift akan dibuka.

  Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss _{Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.}

  Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss _{Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.}