Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBM (2)
PEMBAHASAN MATEMATIKA DASAR
TES KEMAMPUAN DAN POTENSI AKADEMIK
SBMPTN 2014
1.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan √� 2 − 2� < √3� + 6 adalah
…
Pembahasan Perhatikan bahwa bilangan real yang terdapat dalam akar
kuadrat haruslah lebih besar atau sama dengan nol. Sehingga,
⟺
⟺
dan,
⟺
� 2 − 2� ≥ 0
�(� − 2) ≥ 0
� ≤ 0 atau � ≥ 2
3� + 6 ≥ 0
3� ≥ −6
syarat
faktorkan
selesaian 1
syarat
kurangi kedua ruas dengan 6
−6
= −2 selesaian 2
3
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan yang diberikan soal. Dengan
mengkuadrat kedua ruas, kita proleh
⟺
⟺
⟺
⟺
� ≥
� 2 − 2� < 3� + 6
� 2 − 5� − 6 < 0
(� + 1)(� − 6) < 0
−1 < � < 6
kuadratkan kedua ruas
kurangi dengan 3� + 6
faktorkan
selesaian 3
Dengan mengiriskan himpunan selesaian 1, 2, dan 3 pada garis bilangan
kita peroleh,
1
| ©yosprens.wordpress.com
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Garis bilangan dapat
digunakan untuk
memudahkan
menemukan
himpunan selesaian.
2.
cot � = 2 bisa
menghasilkan � =
−2 dan � = −1.
Tetapi nilai-nilai
tersebut
menyebabkan nilai
sin � cos � yang
sama, yaitu 2�5.
Sehingga, berdasarkan garis bilangan di atas, himpunan selesaian dari
pertidaksamaan yang diberikan adalah {x | –1 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 6}
(Jawaban E).
Jika cos � = 2 sin �, maka nilai sin � cos � adalah …
Pembahasan Pertama, kita selesaikan persamaan cos � = 2 sin �.
persamaan yang diberikan
cos � = 2 sin �
cos �
bagi kedua ruas dengan sin �
⟺
=2
sin �
2
identitas trigonometri
⟺ cot � =
1
Karena cot � = ��� maka kita peroleh � = 2 dan � = 1. Sehingga,
3.
� = �� 2 + � 2 = �22 + 12 = √5
Selanjutnya kita tentukan nilai dari sin � cos � sebagai berikut.
1 2
2
� �
∙
=
sin � cos � = ∙ =
� � √5 √5 5
Jadi sin � cos � = 2�5 (Jawaban D).
Jumlah suku ke-4 dan ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55,
sedangkan suku-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga
suku pertama barisan tersebut adalah …
Pembahasan Misalkan suku ke-n dari barisan aritmetika yang diberikan
adalah �� , maka informasi yang ada dalam soal dapat dimodelkan
sebagai berikut.
�4 + �5 = 55
…(3.1)
�9 − 2�2 = 1
…(3.2)
©yosprens.wordpress.com | 2
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
Karena barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, maka �� =
�1 + (� − 1)�. Sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat diubah
menjadi persamaan-persamaan yang ekuivalen sebagai berikut.
(�1 + 3�) + (�1 + 4�) = 2�1 + 7� = 55
…(3.3)
(�1 + 8�) − 2(�1 + �) = −�1 + 6� = 1
…(3.4)
Dengan mengalikan persamaan (3.4) dengan 2, kemudian
menjumlahkannya dengan persamaan (3.3) kita mendapatkan,
⟺
Jumlah n suku
pertama dari barisan
aritmetika dapat
dirumuskan dengan,
�
(2�1 + (� − 1)�)
2
(2�1 + 7�) + 2(−�1 + 6�) = 55 + 2(1)
19� = 57
⟺
� =3
Selanjutnya, substitusi � = 3 ke dalam persamaan (3.4) kita
mendapatkan,
−�1 + 6(3) = 1
⟺
−�1 + 18 = 1
⟺
4.
�1 = 17
Sehingga, jumlah tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah,
3
�3 = (2(17) + (3 − 1) ∙ 3) = 60
2
(Jawaban E).
Garis � mempunyai gradien 2. Jika � menyinggung grafik fungsi
2
�(�) = −� + �� + 1
di � = 1, maka persamaan � adalah …
Pembahasan Semua garis singgung dari fungsi �(�) = −� 2 + �� + 1
memiliki gradien,
�′(�) = −2� + �
Padahal garis � dengan gradien 2 menyinggung grafik � ketika � = 1.
Atau dengan kata lain, gradien dari singgung grafik � ketika � = 1
bernilai 2. Sehingga,
⟺
−2(1) + � = 2
� =4
substitusi � = 1
tambahakan kedua ruas dengan 2
Diperoleh �(�) = −� 2 + 4� + 1. Sehingga,
3
�(1) = −12 + 4(1) + 1 = 4
| ©yosprens.wordpress.com
Turunan pertama
dari suatu fungsi
merupakan fungsi
gradien garis
singgung dari grafik
fungsi tersebut.
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Oleh karena itu, garis � menyinggung � pada titik (1, 4). Dengan
demikian, persamaan garis � dapat ditentukan sebagai berikut.
⟺
5.
⟺
� − 4 = 2(� − 1)
� − 4 = 2� − 2
� = 2� + 2
persamaan garis dengan gradien
2 dan melalui titik (1, 4)
sederhanakan
isolasi �
Jadi, persamaan garis � adalah � = 2� + 2 (Jawaban D).
Semua nilai � yang memenuhi pertidaksamaan
22�+2 − 17(2� ) + 4 < 0
adalah …
Pembahasan Pertama kita tulis suku 22�+2 sehingga menjadi suku yang
terdiri dari perkalian 2� .
22�+2 = 22 (22� ) = 4(2� )2
Sehingga pertidaksamaan yang diberikan dapat diubah menjadi
pertidaksamaan yang ekuivalen sebagai berikut.
…(5.1)
4(2� )2 − 17(2� ) + 4 < 0
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan (5.1) sebagai berikut.
⟺
⟺
⟺
⟺
Jika �1 dan �2
merupakan akar-akar
persamaan kuadrat
maka �1 + �2 =
− ��� dan �1 �2 =
�⁄ .
�
6.
4(2� )2 − 17(2� ) + 4 < 0
(4(2� ) − 1)(2� − 4) < 0
pertidaksamaan (5.1)
faktorkan
1
�
< 2� < 4 selesaian untuk 2
4
2−2 < 2� < 22 bentuk pangkat
−2 < � < 2
selesaian untuk �
Jadi selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah −2 < � < 2
(Jawaban E).
Diketahui �1 dan �2 akar-akar real persamaan � 2 + 3� + � = 0,
dengan �1 dan �2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika �1 + �2 ,
�1 �2 , dan �1 2 �2 2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka
�=…
Pembahasan Karena �1 dan �2 merupakan akar-akar real persamaan
� 2 + 3� + � = 0 maka �1 + �2 = −3 dan �1 �2 = �. Sehingga, –3, �,
dan �2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika. Hal ini
mengakibatkan,
©yosprens.wordpress.com | 4
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
⟺
⟺
� − (−3) = �2 − � beda barisan aritmetika
�2 − 2� − 3 = 0
(� + 1)(� − 3) = 0
� = −1 atau � = 3
kurangi kedua ruas dengan
�+3
faktorkan
selesaian
Karena �1 dan �2 akar-akar real, maka
9
� = 32 − 4(1)(�) ≥ 0 ⟺ � ≤
4
9
9
Karena 3 > �4 dan −1 ≤ �4 maka nilai � yang memenuhi adalah
7.
−1 (Jawaban B).
�
2 1 −1 4
Jika � � = �
� � � dengan � ≠ − 1�2, maka nilai 1�2 � +
�
−1
−1 �
� =…
Pembahasan Dengan mengalikan kedua ruas dengan matriks
2 1
�
�, kita mendapatkan
−1 �
5
1 �
4
�� � = � �
−1
� �
kalikan kedua ruas dengan
2
�
−1
1
�
�
2� + �
4
sederhanakan
� =� �
−� + � 2
−1
Sehingga diperoleh,
1
2� + � = 4 ⟺ � + � = 2
2
(Jawaban D).
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin
diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin
palsu adalah …
Pembahasan Misalkan kejadian terambilnya satu koin asli dan satu
koin palsu adalah �, maka
4!
8!
|�| = �14 ∙ �18 =
∙
= 4 ∙ 8 = 32
3! 1! 7! 1!
Sedangkan banyaknya anggota ruang sampel adalah
12!
|�| = �212 =
= 66
10! 2!
Sehingga peluang kejadian tersebut adalah
⟺
8.
2
�
−1
�
| ©yosprens.wordpress.com
Jika � dan �−1
adalah suatu matriks
dan inversnya, maka
� ∙ �−1 = �, dengan
� adalah matriks
identitas.
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
�(�) =
|�| 32 16
=
=
|�| 66 33
(Jawaban B).
9.
Jika �(�) = � + 1�� − 1, � ≠ 1, maka � −1 �1�� � =…
Pembahasan Pertama kita tentukan invers dari fungsi �.
�+1
fungsi � yang diberikan
� =
�−1
kali kedua ruas dengan � − 1
⟺
�� − � = � + 1
⟺
⟺
�� − � = � + 1
�(� − 1) = � + 1
�+1
�−1
�+1
⟺
� −1 (�) =
�−1
Selanjutnya,
1
+1
1
�
� −1 � � = 1
�
−1
�
1+�
=
1−�
�+1
=
−1(� − 1)
�+1
= −1 ∙
�−1
= −�(�)
⟺
� =
isolasi suku yang memuat variabel
�
faktorkan
bagi kedua ruas dengan � − 1;
� −1 (�)
fungsi invers � −1 (�)
substitusi 1�� ke � pada �(�)
kalikan pembilang dan penyebut
dengan �
faktorkan penyebut
faktorkan
sederhanakan
(Jawaban A)
10. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai
persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A
memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model
B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum
banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah …
Pembahasan Misalkan banyak model pakaian A dan B yang dapat
dibuat secara berturut-turut adalah � dan �. Maka permasalah di atas
dapat dimodelkan menjadi,
� + 2� ≤ 40;
©yosprens.wordpress.com | 6
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
1,5� + 0,5� ≤ 15 ⟺ 3� + � ≤ 30;
� ≥ 0;
� ≥ 0;
�, � ∈ ℤ (bilangan bulat);
dengan fungsi tujuan: �(�, �) = � + �.
Sehingga daerah selesaian dari kendala-kendala tersebut dapat
digambarkan sebagai berikut.
Dengan menggunakan uji titik pojok,
�(0, 20) = 0 + 20 = 20;
�(4, 18) = 4 + 18 = 22;
�(10, 0) = 10 + 0 = 10.
Jadi, maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22
(Jawaban C).
11. Jika �1 dan �2 akar-akar persamaan kuadrat � 2 + 3� + 1 = 0, maka
�
�
persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 + 2��1 dan 2 + 1��2 adalah
…
Pembahasan Misalkan,
�2
� =2+
�1
�1
� =2+
�2
7
| ©yosprens.wordpress.com
Untuk menentukan
nilai optimum dalam
program linear,
dapat digunakan uji
titik pojok atau
metode garis selidik.
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Persamaan kuadrat
yang memiliki akarakar � dan �
memiliki persamaan,
� 2 − (� + �)� +
�� = 0.
Dengan �1 + �2 = − 3�1 = −3 dan �1 �2 = 1�1 = 1, kita peroleh
�1
�2
� + � = �2 + � + �2 + �
�2
�1
2
2
�1 + �2
=4+
�1 �2
(�1 + �2 )2 − 2�1 �2
=4+
�1 �2
2
(−3) − 2(1)
=4+
1
=4+7
= 11
dan
�1
�2
� �2 + �
�2
�1
�1 �2
= 4 + 2� + � + 1
�2 �1
�1 2 + �2 2
= 5 + 2�
�
�1 �2
�� = �2 +
=5+2∙7
= 19
Jadi, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar � dan � adalah
� 2 − (� + �)� + �� = 0 ⟺ � 2 − 11� + 19 = 0.
(Jawaban A)
12. Agar sistem persamaan
2� − � − 1 = 0
�4� − � − 5 = 0
�� − � − 7 = 0
Mempunyai penyelesaian, maka nilai � adalah …
Pembahasan Perhatikan bahwa sistem persamaan tersebut terdiri dari
tiga persamaan dua variabel. Agar sistem persamaan tersebut memiliki
selesaian, maka persamaan �� − � − 7 = 0 haruslah memuat selesaian
dari persamaan-persamaan 2� − � − 1 = 0 dan 4� − � − 5 = 0.
Apabila digambarkan,
©yosprens.wordpress.com | 8
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
Pertama, kita tentukan titik potong garis dengan persamaan 2� − � −
1 = 0 dan 4� − � − 5 = 0. Dengan substitusi �, kita peroleh
⟺
⟺
⟺
2� − 1 = 4� − 5
2� − 4� = 1 − 5
−2� = −4
substitusi
isolasi suku dengan variabel �
sederhanakan
� =2
bagi kedua ruas dengan −2
�(2) − (3) − 7 = 0
substitusi 2 ke � dan 3 ke �
Sehingga, � = 2(2) − 1 = 3. Diperoleh titik potong kedua garis
tersebut adalah (2, 3). Karena persamaan �� − � − 7 = 0 harus
memenuhi (2, 3), maka
⟺
⟺
2� = 10 isolasi suku-�
� =5
bagi kedua ruas dengan 2
Jadi, nilai dari � adalah 5 (Jawaban B).
9
| ©yosprens.wordpress.com
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Rata-rata (�̅ ) sama
dengan jumlah data
dibagi dengan
banyaknya data.
13. Tiga puluh data mempunyai rata-rata �. Jika rata-rata 20% data di
antaranya � + 0,1, 40% lainnya adalah � − 0,1, 10% lainnya lagi
adalah � − 0,5, dan rata-rata 30% data sisanya adalah � + �, maka
� =…
Pembahasan Rata-rata merupakan jumlah data dikurangi dengan
banyak data. Pertama, kita tentukan banyaknya data pada masingmasing kelompok.
�1 = 20% × 30 = 6;
�2 = 40% × 30 = 12;
�3 = 10% × 30 = 3;
�4 = 30% × 30 = 9;
Sehingga, informasi dalam soal di atas dapat dimodelkan sebagai
berikut.
6(� + 0,1) + 12(� − 0,1) + 3(� − 0,5) + 9(� + �)
�=
30
Selanjutnya kita sederhanakan dan selesaikan persamaan di atas seperti
berikut.
⟺
30� = 30� − 2,1 + 9�
9� = 2,1
sederhanakan
isolasi suku-�
2,1
bagi kedua ruas dengan 9
9
7
sederhanakan
⟺
� =
30
Jadi nilai � adalah 7�30 (Jawaban B).
⟺
� =
14. Nilai
1
+ (log 3 8)(log 2 3 + log 4 5) − 4 log 9 45
2
adalah …
Pembahasan Agar lebih mudah, kita sederhanakan satu per satu.
log 3 8 = log 3 23 = 3 log 3 2
1
log 2 3 + log 4 5 = log 2 3 + log 22 5 = log 2 �3 ∙ 52 �
4 log 9 45 = 4 log 32 45 = 2 log 3 45 = log 3 452
Sehingga, soal di atas ekuivalen dengan,
1
1
+ (3 log 3 2) �log 2 �3 ∙ 52 �� − log 3 452
2
©yosprens.wordpress.com | 10
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
=
1
1
+ 3 log 3 �3 ∙ 52 � − log 3 452
2
1
1 3
= log 3 32 + log 3 �3 ∙ 52 � − log 3 452
1
3
32 ∙ 33 ∙ 52
= log 3 �
�
452
7
3
log � � − log � �
�
= log � ��
1
= log 3 �3−2 ∙ 5−2 �
1
5)−2
�log � � = log � ��
= log 3 (3 ∙
1
= − log 3 15
2
= − log 32 15
= − log 9 15
(Jawaban D)
log �� � =
15. Jika fungsi �(�) = �2 � 2 − 12� + � 2 menyinggung sumbu � di � =
2� , maka �2 − � 2 =…
3
Pembahasan Fungsi kuadrat � menyinggung sumbu � di � = 2�3. Ini
artinya,
⟺
⟺
⟺
2
�′ � � = 0
3
2
2�2 � � − 12 = 0
3
4 2
� = 12
3
�2 = 9
gradien sumbu-� sama dengan 0
substitusi � = 2�3 ke �′(�)
isolasi suku-�2
kalikan kedua ruas dengan 3�4
Karena � ′ �2�3� = 0 maka titik (2�3, 0) merupakan titik puncak dari
fungsi kuadrat tersebut. Atau dengan kata lain, titik (2�3, 0) dilaui oleh
grafik fungsi �. Sehingga,
2
� � � = 0 substitusi � = 2�3 dan � = 0
3
2
2
2
⟺ 9 � � − 12 � � + � 2 = 0 substitusi � = 2�3
3
3
11 | ©yosprens.wordpress.com
log � � + log � �
= log � � ∙ �
log � � ∙ log � �
= log � �
32 ∙ 52
= log 3 � 2
�
(3 ∙ 5)2
1
Sifat-sifat logaritma
yang digunakan:
1
log � �
�
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
⟺
⟺
4 − 8 + � 2 = 0 sederhanakan
Sehingga,
�2 − � 2 = 9 − 4 = 5
(Jawaban D).
� 2 = 4 hasil
©yosprens.wordpress.com | 12
TES KEMAMPUAN DAN POTENSI AKADEMIK
SBMPTN 2014
1.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan √� 2 − 2� < √3� + 6 adalah
…
Pembahasan Perhatikan bahwa bilangan real yang terdapat dalam akar
kuadrat haruslah lebih besar atau sama dengan nol. Sehingga,
⟺
⟺
dan,
⟺
� 2 − 2� ≥ 0
�(� − 2) ≥ 0
� ≤ 0 atau � ≥ 2
3� + 6 ≥ 0
3� ≥ −6
syarat
faktorkan
selesaian 1
syarat
kurangi kedua ruas dengan 6
−6
= −2 selesaian 2
3
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan yang diberikan soal. Dengan
mengkuadrat kedua ruas, kita proleh
⟺
⟺
⟺
⟺
� ≥
� 2 − 2� < 3� + 6
� 2 − 5� − 6 < 0
(� + 1)(� − 6) < 0
−1 < � < 6
kuadratkan kedua ruas
kurangi dengan 3� + 6
faktorkan
selesaian 3
Dengan mengiriskan himpunan selesaian 1, 2, dan 3 pada garis bilangan
kita peroleh,
1
| ©yosprens.wordpress.com
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Garis bilangan dapat
digunakan untuk
memudahkan
menemukan
himpunan selesaian.
2.
cot � = 2 bisa
menghasilkan � =
−2 dan � = −1.
Tetapi nilai-nilai
tersebut
menyebabkan nilai
sin � cos � yang
sama, yaitu 2�5.
Sehingga, berdasarkan garis bilangan di atas, himpunan selesaian dari
pertidaksamaan yang diberikan adalah {x | –1 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 6}
(Jawaban E).
Jika cos � = 2 sin �, maka nilai sin � cos � adalah …
Pembahasan Pertama, kita selesaikan persamaan cos � = 2 sin �.
persamaan yang diberikan
cos � = 2 sin �
cos �
bagi kedua ruas dengan sin �
⟺
=2
sin �
2
identitas trigonometri
⟺ cot � =
1
Karena cot � = ��� maka kita peroleh � = 2 dan � = 1. Sehingga,
3.
� = �� 2 + � 2 = �22 + 12 = √5
Selanjutnya kita tentukan nilai dari sin � cos � sebagai berikut.
1 2
2
� �
∙
=
sin � cos � = ∙ =
� � √5 √5 5
Jadi sin � cos � = 2�5 (Jawaban D).
Jumlah suku ke-4 dan ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55,
sedangkan suku-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga
suku pertama barisan tersebut adalah …
Pembahasan Misalkan suku ke-n dari barisan aritmetika yang diberikan
adalah �� , maka informasi yang ada dalam soal dapat dimodelkan
sebagai berikut.
�4 + �5 = 55
…(3.1)
�9 − 2�2 = 1
…(3.2)
©yosprens.wordpress.com | 2
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
Karena barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, maka �� =
�1 + (� − 1)�. Sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat diubah
menjadi persamaan-persamaan yang ekuivalen sebagai berikut.
(�1 + 3�) + (�1 + 4�) = 2�1 + 7� = 55
…(3.3)
(�1 + 8�) − 2(�1 + �) = −�1 + 6� = 1
…(3.4)
Dengan mengalikan persamaan (3.4) dengan 2, kemudian
menjumlahkannya dengan persamaan (3.3) kita mendapatkan,
⟺
Jumlah n suku
pertama dari barisan
aritmetika dapat
dirumuskan dengan,
�
(2�1 + (� − 1)�)
2
(2�1 + 7�) + 2(−�1 + 6�) = 55 + 2(1)
19� = 57
⟺
� =3
Selanjutnya, substitusi � = 3 ke dalam persamaan (3.4) kita
mendapatkan,
−�1 + 6(3) = 1
⟺
−�1 + 18 = 1
⟺
4.
�1 = 17
Sehingga, jumlah tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah,
3
�3 = (2(17) + (3 − 1) ∙ 3) = 60
2
(Jawaban E).
Garis � mempunyai gradien 2. Jika � menyinggung grafik fungsi
2
�(�) = −� + �� + 1
di � = 1, maka persamaan � adalah …
Pembahasan Semua garis singgung dari fungsi �(�) = −� 2 + �� + 1
memiliki gradien,
�′(�) = −2� + �
Padahal garis � dengan gradien 2 menyinggung grafik � ketika � = 1.
Atau dengan kata lain, gradien dari singgung grafik � ketika � = 1
bernilai 2. Sehingga,
⟺
−2(1) + � = 2
� =4
substitusi � = 1
tambahakan kedua ruas dengan 2
Diperoleh �(�) = −� 2 + 4� + 1. Sehingga,
3
�(1) = −12 + 4(1) + 1 = 4
| ©yosprens.wordpress.com
Turunan pertama
dari suatu fungsi
merupakan fungsi
gradien garis
singgung dari grafik
fungsi tersebut.
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Oleh karena itu, garis � menyinggung � pada titik (1, 4). Dengan
demikian, persamaan garis � dapat ditentukan sebagai berikut.
⟺
5.
⟺
� − 4 = 2(� − 1)
� − 4 = 2� − 2
� = 2� + 2
persamaan garis dengan gradien
2 dan melalui titik (1, 4)
sederhanakan
isolasi �
Jadi, persamaan garis � adalah � = 2� + 2 (Jawaban D).
Semua nilai � yang memenuhi pertidaksamaan
22�+2 − 17(2� ) + 4 < 0
adalah …
Pembahasan Pertama kita tulis suku 22�+2 sehingga menjadi suku yang
terdiri dari perkalian 2� .
22�+2 = 22 (22� ) = 4(2� )2
Sehingga pertidaksamaan yang diberikan dapat diubah menjadi
pertidaksamaan yang ekuivalen sebagai berikut.
…(5.1)
4(2� )2 − 17(2� ) + 4 < 0
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan (5.1) sebagai berikut.
⟺
⟺
⟺
⟺
Jika �1 dan �2
merupakan akar-akar
persamaan kuadrat
maka �1 + �2 =
− ��� dan �1 �2 =
�⁄ .
�
6.
4(2� )2 − 17(2� ) + 4 < 0
(4(2� ) − 1)(2� − 4) < 0
pertidaksamaan (5.1)
faktorkan
1
�
< 2� < 4 selesaian untuk 2
4
2−2 < 2� < 22 bentuk pangkat
−2 < � < 2
selesaian untuk �
Jadi selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah −2 < � < 2
(Jawaban E).
Diketahui �1 dan �2 akar-akar real persamaan � 2 + 3� + � = 0,
dengan �1 dan �2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika �1 + �2 ,
�1 �2 , dan �1 2 �2 2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka
�=…
Pembahasan Karena �1 dan �2 merupakan akar-akar real persamaan
� 2 + 3� + � = 0 maka �1 + �2 = −3 dan �1 �2 = �. Sehingga, –3, �,
dan �2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika. Hal ini
mengakibatkan,
©yosprens.wordpress.com | 4
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
⟺
⟺
� − (−3) = �2 − � beda barisan aritmetika
�2 − 2� − 3 = 0
(� + 1)(� − 3) = 0
� = −1 atau � = 3
kurangi kedua ruas dengan
�+3
faktorkan
selesaian
Karena �1 dan �2 akar-akar real, maka
9
� = 32 − 4(1)(�) ≥ 0 ⟺ � ≤
4
9
9
Karena 3 > �4 dan −1 ≤ �4 maka nilai � yang memenuhi adalah
7.
−1 (Jawaban B).
�
2 1 −1 4
Jika � � = �
� � � dengan � ≠ − 1�2, maka nilai 1�2 � +
�
−1
−1 �
� =…
Pembahasan Dengan mengalikan kedua ruas dengan matriks
2 1
�
�, kita mendapatkan
−1 �
5
1 �
4
�� � = � �
−1
� �
kalikan kedua ruas dengan
2
�
−1
1
�
�
2� + �
4
sederhanakan
� =� �
−� + � 2
−1
Sehingga diperoleh,
1
2� + � = 4 ⟺ � + � = 2
2
(Jawaban D).
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin
diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin
palsu adalah …
Pembahasan Misalkan kejadian terambilnya satu koin asli dan satu
koin palsu adalah �, maka
4!
8!
|�| = �14 ∙ �18 =
∙
= 4 ∙ 8 = 32
3! 1! 7! 1!
Sedangkan banyaknya anggota ruang sampel adalah
12!
|�| = �212 =
= 66
10! 2!
Sehingga peluang kejadian tersebut adalah
⟺
8.
2
�
−1
�
| ©yosprens.wordpress.com
Jika � dan �−1
adalah suatu matriks
dan inversnya, maka
� ∙ �−1 = �, dengan
� adalah matriks
identitas.
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
�(�) =
|�| 32 16
=
=
|�| 66 33
(Jawaban B).
9.
Jika �(�) = � + 1�� − 1, � ≠ 1, maka � −1 �1�� � =…
Pembahasan Pertama kita tentukan invers dari fungsi �.
�+1
fungsi � yang diberikan
� =
�−1
kali kedua ruas dengan � − 1
⟺
�� − � = � + 1
⟺
⟺
�� − � = � + 1
�(� − 1) = � + 1
�+1
�−1
�+1
⟺
� −1 (�) =
�−1
Selanjutnya,
1
+1
1
�
� −1 � � = 1
�
−1
�
1+�
=
1−�
�+1
=
−1(� − 1)
�+1
= −1 ∙
�−1
= −�(�)
⟺
� =
isolasi suku yang memuat variabel
�
faktorkan
bagi kedua ruas dengan � − 1;
� −1 (�)
fungsi invers � −1 (�)
substitusi 1�� ke � pada �(�)
kalikan pembilang dan penyebut
dengan �
faktorkan penyebut
faktorkan
sederhanakan
(Jawaban A)
10. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai
persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A
memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model
B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum
banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah …
Pembahasan Misalkan banyak model pakaian A dan B yang dapat
dibuat secara berturut-turut adalah � dan �. Maka permasalah di atas
dapat dimodelkan menjadi,
� + 2� ≤ 40;
©yosprens.wordpress.com | 6
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
1,5� + 0,5� ≤ 15 ⟺ 3� + � ≤ 30;
� ≥ 0;
� ≥ 0;
�, � ∈ ℤ (bilangan bulat);
dengan fungsi tujuan: �(�, �) = � + �.
Sehingga daerah selesaian dari kendala-kendala tersebut dapat
digambarkan sebagai berikut.
Dengan menggunakan uji titik pojok,
�(0, 20) = 0 + 20 = 20;
�(4, 18) = 4 + 18 = 22;
�(10, 0) = 10 + 0 = 10.
Jadi, maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22
(Jawaban C).
11. Jika �1 dan �2 akar-akar persamaan kuadrat � 2 + 3� + 1 = 0, maka
�
�
persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 + 2��1 dan 2 + 1��2 adalah
…
Pembahasan Misalkan,
�2
� =2+
�1
�1
� =2+
�2
7
| ©yosprens.wordpress.com
Untuk menentukan
nilai optimum dalam
program linear,
dapat digunakan uji
titik pojok atau
metode garis selidik.
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Persamaan kuadrat
yang memiliki akarakar � dan �
memiliki persamaan,
� 2 − (� + �)� +
�� = 0.
Dengan �1 + �2 = − 3�1 = −3 dan �1 �2 = 1�1 = 1, kita peroleh
�1
�2
� + � = �2 + � + �2 + �
�2
�1
2
2
�1 + �2
=4+
�1 �2
(�1 + �2 )2 − 2�1 �2
=4+
�1 �2
2
(−3) − 2(1)
=4+
1
=4+7
= 11
dan
�1
�2
� �2 + �
�2
�1
�1 �2
= 4 + 2� + � + 1
�2 �1
�1 2 + �2 2
= 5 + 2�
�
�1 �2
�� = �2 +
=5+2∙7
= 19
Jadi, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar � dan � adalah
� 2 − (� + �)� + �� = 0 ⟺ � 2 − 11� + 19 = 0.
(Jawaban A)
12. Agar sistem persamaan
2� − � − 1 = 0
�4� − � − 5 = 0
�� − � − 7 = 0
Mempunyai penyelesaian, maka nilai � adalah …
Pembahasan Perhatikan bahwa sistem persamaan tersebut terdiri dari
tiga persamaan dua variabel. Agar sistem persamaan tersebut memiliki
selesaian, maka persamaan �� − � − 7 = 0 haruslah memuat selesaian
dari persamaan-persamaan 2� − � − 1 = 0 dan 4� − � − 5 = 0.
Apabila digambarkan,
©yosprens.wordpress.com | 8
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
Pertama, kita tentukan titik potong garis dengan persamaan 2� − � −
1 = 0 dan 4� − � − 5 = 0. Dengan substitusi �, kita peroleh
⟺
⟺
⟺
2� − 1 = 4� − 5
2� − 4� = 1 − 5
−2� = −4
substitusi
isolasi suku dengan variabel �
sederhanakan
� =2
bagi kedua ruas dengan −2
�(2) − (3) − 7 = 0
substitusi 2 ke � dan 3 ke �
Sehingga, � = 2(2) − 1 = 3. Diperoleh titik potong kedua garis
tersebut adalah (2, 3). Karena persamaan �� − � − 7 = 0 harus
memenuhi (2, 3), maka
⟺
⟺
2� = 10 isolasi suku-�
� =5
bagi kedua ruas dengan 2
Jadi, nilai dari � adalah 5 (Jawaban B).
9
| ©yosprens.wordpress.com
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
Rata-rata (�̅ ) sama
dengan jumlah data
dibagi dengan
banyaknya data.
13. Tiga puluh data mempunyai rata-rata �. Jika rata-rata 20% data di
antaranya � + 0,1, 40% lainnya adalah � − 0,1, 10% lainnya lagi
adalah � − 0,5, dan rata-rata 30% data sisanya adalah � + �, maka
� =…
Pembahasan Rata-rata merupakan jumlah data dikurangi dengan
banyak data. Pertama, kita tentukan banyaknya data pada masingmasing kelompok.
�1 = 20% × 30 = 6;
�2 = 40% × 30 = 12;
�3 = 10% × 30 = 3;
�4 = 30% × 30 = 9;
Sehingga, informasi dalam soal di atas dapat dimodelkan sebagai
berikut.
6(� + 0,1) + 12(� − 0,1) + 3(� − 0,5) + 9(� + �)
�=
30
Selanjutnya kita sederhanakan dan selesaikan persamaan di atas seperti
berikut.
⟺
30� = 30� − 2,1 + 9�
9� = 2,1
sederhanakan
isolasi suku-�
2,1
bagi kedua ruas dengan 9
9
7
sederhanakan
⟺
� =
30
Jadi nilai � adalah 7�30 (Jawaban B).
⟺
� =
14. Nilai
1
+ (log 3 8)(log 2 3 + log 4 5) − 4 log 9 45
2
adalah …
Pembahasan Agar lebih mudah, kita sederhanakan satu per satu.
log 3 8 = log 3 23 = 3 log 3 2
1
log 2 3 + log 4 5 = log 2 3 + log 22 5 = log 2 �3 ∙ 52 �
4 log 9 45 = 4 log 32 45 = 2 log 3 45 = log 3 452
Sehingga, soal di atas ekuivalen dengan,
1
1
+ (3 log 3 2) �log 2 �3 ∙ 52 �� − log 3 452
2
©yosprens.wordpress.com | 10
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014
=
1
1
+ 3 log 3 �3 ∙ 52 � − log 3 452
2
1
1 3
= log 3 32 + log 3 �3 ∙ 52 � − log 3 452
1
3
32 ∙ 33 ∙ 52
= log 3 �
�
452
7
3
log � � − log � �
�
= log � ��
1
= log 3 �3−2 ∙ 5−2 �
1
5)−2
�log � � = log � ��
= log 3 (3 ∙
1
= − log 3 15
2
= − log 32 15
= − log 9 15
(Jawaban D)
log �� � =
15. Jika fungsi �(�) = �2 � 2 − 12� + � 2 menyinggung sumbu � di � =
2� , maka �2 − � 2 =…
3
Pembahasan Fungsi kuadrat � menyinggung sumbu � di � = 2�3. Ini
artinya,
⟺
⟺
⟺
2
�′ � � = 0
3
2
2�2 � � − 12 = 0
3
4 2
� = 12
3
�2 = 9
gradien sumbu-� sama dengan 0
substitusi � = 2�3 ke �′(�)
isolasi suku-�2
kalikan kedua ruas dengan 3�4
Karena � ′ �2�3� = 0 maka titik (2�3, 0) merupakan titik puncak dari
fungsi kuadrat tersebut. Atau dengan kata lain, titik (2�3, 0) dilaui oleh
grafik fungsi �. Sehingga,
2
� � � = 0 substitusi � = 2�3 dan � = 0
3
2
2
2
⟺ 9 � � − 12 � � + � 2 = 0 substitusi � = 2�3
3
3
11 | ©yosprens.wordpress.com
log � � + log � �
= log � � ∙ �
log � � ∙ log � �
= log � �
32 ∙ 52
= log 3 � 2
�
(3 ∙ 5)2
1
Sifat-sifat logaritma
yang digunakan:
1
log � �
�
Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014
⟺
⟺
4 − 8 + � 2 = 0 sederhanakan
Sehingga,
�2 − � 2 = 9 − 4 = 5
(Jawaban D).
� 2 = 4 hasil
©yosprens.wordpress.com | 12