Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi
berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis
ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis
ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi
Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 genap (Bang Julham (Ayah), Kak
Aida, Kak Mei, Kak Ayu, Amora, Kristin, Nina) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Semua pihak
yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak
dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Tuhan yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan
yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terima kasih.
Medan, 16 Desember 2015
Penulis,
Dian Yulis Wulandari
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Dian Yulis Wulandari, Lahir di Sawit Hulu tanggal 13 Juli 1991. Merupakan anak
kedua dari pasangan ibu Yuli Farida Wahyuni dan Bapak Karyadi SP. Memiliki seorang saudari kandung bernama Ayu Karmila ST (Mbak). Pertama sekali
mengenyam pendidikan tahun 1994 di TK Nusa Indah Sawit Hulu. Dilanjutkan
pendidikan formal di SDN 054608 Sawit Hulu pada tahun 1997, SLTP Negeri 1
Sawit Seberang pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Padang Tualang pada tahun
2006. Minat akan ilmu eksak dan bakat mengajar hingga menyukai anak kecil sudah terlihat sejak SMA. Selesai mengenyam pendidikan SMA tahun 2009 penulis
sama sekali tak tau akan melajut pendidikan tingkat kuliah di jurusan apa, sehingga melalui perundingan dengan orang tua dan pertimbangan nilai rapor selama
mengikuti pendidikan formal penulis melanjutkan studi di Pendidikan Matematika
FKIP UISU Medan. Ketertarikan penulis pada ilmu eksak semakin meningkat,
tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2)
Matematika Universitas Sumatera. Berawal dari kesukaan penulis kepada anakanak hingga membantu mereka mengerjakan tugas-tugas sekolah merupakan awal
ketertarikan penulis untuk terjun ke dunia pendidikan dan bertekad menjadi seorang pengajar sekaligus menjadi regenerasi bagi ibu penulis. Semoga niat baik
menjadi tenaga pengajar mampu membantu khalayak ramai dan bermanafaat.
Amin.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Graf
5
2.1.1 Jenis-jenis Graf
7
2.2 Pohon dan Hutan
13
2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree)
15
BAB 3 ANALISA GRAF KORDAL
18
3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf
19
3.2 Graf Kordal Bipartisi
21
vii
Universitas Sumatera Utara
3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph)
24
BAB 4 MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL
BIPARTISI
26
4.1 Analisa Algoritma
27
4.2 Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi
32
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
38
5.1 Kesimpulan
38
5.2 Saran
38
DAFTAR PUSTAKA
39
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
(a) Graf Sederhana,
(b) Graf Ganda, (c) Graf Semu
6
2.2
Graf berhingga
8
2.3
Graf tak berhingga
8
2.4
Graf berarah
9
2.5
Graf lengkap Kn , 1 ≤ n ≤ 6
9
2.6
Graf lingkar Cn , 3 ≤ n ≤ 68
10
2.7
Graf teratur derajat 0, 1, dan 2
10
2.8
Dua graf 3-bipartisi
10
2.9
Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3 = K32
11
2.10 Graf bipartit G(V1 , V2 )
12
2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung
12
2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah
13
2.13 Graf Pohon
14
2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1 , T2, T3, T4
16
2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap
sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon merentang
yang mempunyai jumlah jarak minimum
17
3.1
Graf kordal (sumber, Wikipedia)
18
3.2
Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmorris,
2006)
19
ix
Universitas Sumatera Utara
3.3
Clique pada graf
20
3.4
Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal. (Sumber: Golumbic, 1978)
22
3.5
Graf C6, 3K2 , C8
24
4.1
(a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sumber:
FÃNICÃ GAVRIL, 1974)
27
4.2
Irisan graf subpohon dari pohon adalah graf kordal.
32
4.3
Graf Kordal Bipartisi
34
4.4
Graf Kordal Bipartisi dengan Colouring Graph pada clique
34
4.5
Hasil bipartisi dari Clique
35
4.6
Representasi pohon dari graf kordal bipartisi
35
4.7
Pembagian Clique dengan Colouring Graph
36
4.8
(a) dan (b) hasil representasi pohon dari graf kordal bipartisi
37
x
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu dasar telah memberikan kemajuan yang begitu
banyak dalam berbagai bidang. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut memberikan andil dalam kemajuan tersebut. Teori graf ini
sebenarnya telah dikenal lebih dari 250 tahun yang silam. Teori graf lahir pada
tahun 1736 melalui tulisan euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah
jembatan konisberg yang sangat terkenal di Eropa. Kurang lebih seratus tahun
setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada perkembangan yang sangat berarti
berkenaan dengan teori graf. Tahun 1847, Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan
listrik. Sepuluh tahun kemudian Cayley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Hal yang penting
untuk dibicarakan sehubungan dengan teori graf adalah apa yang dikemukakan
oleh Hamilton (1805-1865). Tahun 1859 berhasil menemukan suatu permainan
yang kemudian dijualnya ke pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut dari
kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah pentagon beraturan
dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari em dedacahedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London, New
York, Paris, dan lain-lain. Masalah dalam permainan ini adalah kita diminta untuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari
20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali.
Ketertarikan dalam bidang graf dan aplikasinya belum berhenti sampai disitu. Pada tahun 1958 Hajnal dan Suranyi membahas rigid-circuit graf atau triangulated graph yang sekarang lebih dikenal dengan sebutan graf kordal. Sebuah
graf dikatakan graf kordal jika panjang lingkaran dari graf tersebut lebih besar
atau sama dengan 4 (empat) dan graf tersebut haruslah chord. Chord adalah segmen garis yang menghubungkan dua titik pada graf. Istilah ini sering digunakan
untuk menggambarkan segmen garis yang titik akhirnya terletak pada lingkaran
1
Universitas Sumatera Utara
2
graf tersebut. Istilah ini juga digunakan dalam teori graf, dimana sebuah chord
lingkaran dari graf lingkaran adalah sisi yang tidak terletak di lingkaran namun titik
akhir dari chord tersebut ada pada graf lingkaran (Mckee dan Mcmorris, 2006: 19).
Meskipun telah ada kegiatan yang cukup selama 1960-an, tidak sampai 1970
graf kordal telah dikarakteristikkan dalam irisan graf. Irisan graf adalah graf/pola
yang mewakili irisan dari titik ataupun garis yang terdapat pada himpunan keluarga suatu graf. Setiap graf dapat direpresentasikan sebagai irisan graf. Irisan graf
bertujuan mengelompokkan setiap himpunan yang memiliki kesamaan dalam suatu
keadaan sehingga membentuk pola yang tercipta dari hasil kesamaan (irisan) itu
sendiri. Kesamaan dalam suatu keadaan tersebutlah yang menjadikan irisan graf
banyak digunakan untuk menyajikan permasalahan-permasalahan di dunia nyata. Selanjutnya, permasalahan tersebut akan dipecahkan dan diperoleh solusinya
dengan cara matematis.
Nancy et al., (2006) berhasil mengembangkan graf kordal dengan merepresentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Sebuah graf G dalam keluarga [△, d, t]
(Catatan: △, d, t adalah derajat titik di graf G), jika terdapat pohon dengan derajat maksimum △ dan subpohon yang bersesuaian ke titik-titik di G sehingga setiap
subpohon yang mempunyai derajat yang paling maksimum d dan dua titik dari G
dikatakan bertetangga jika dan hanya jika subpohon yang bersesuaian kepada yang
memiliki setidaknya t umum titik.
Pada tahun 2006, Huang mulai membahas karakteristik dari graf kordal bipartisi. Sebuah graf kordal dikatakan bipartisi jika dan hanya jika panjang cycle
dari graf tersebut paling sedikit 6 (enam) dan haruslah mengandung chord. Dalam
penelitiannya Huang menunjukkan bahwa graf bipartisi adalah graf kordal jika dan
hanya jika komplemen adalah irisan graf keluarga yang memasangkan claws yang
cocok dalam hypercircle yang berbobot (Hypercircle adalah graf yang terdiri dari
titik internal yang menghubungkan path antara dua titik utama dan claw dalam
hypercircle terhubung oleh tepat satu dari dua titik utama). Huang juga memperkenalkan dua kelas dari graf bipartisi, keduanya mengandung interval bigraf
(graf bipartisi) dan interval pertahanan bigraf. Penelitiannya menunjukkan bahwa
dua kelas tersebut untuk mengidentifikasi kelas kordal graf bipartisi.
Universitas Sumatera Utara
3
Dalam penelitian ini penulis akan meneliti representasi pohon dari graf kordal
bipartisi dengan cara mengembangkan model yang terlebih dahulu diperkenalkan
oleh FÃNICÃ GAVRIL. Penelitian ini terinspirasi dari tulisan N. Eaton et al ”Tree
Representation of Graph” dan tulisan Jiang Huang ”Representation Characterizations of Chordal Bipartite Graph” yang pada dasarnya merupakan kombinasi
dari keduanya. Hasil dari penelitian ini adalah representasi pohon yang diperoleh
melalui pengembangan model oleh FÃNICÃ GAVRIL dari graf kordal bipartisi.
1.2 Perumusan Masalah
Graf kordal adalah graf yang mengandung lingkaran (Cycle) dengan panjang
lingkaran lebih besar atau sama dengan 4 (empat). Seiring semakin berkembangnya
teori graf, Nancy et al., pada tahun 2006 menemukan cara bagaimana merepresentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Graf pohon merupakan graf yang tidak
mengandung lingkaran (Cycle). Jelaslah bahwa graf kordal bertolak belakang dengan graf pohon. Namun Nancy et al., mampu membuktikannya. Huang pada
tahun 2006 memperluas pengetahuan dengan membuat sebuah tulisan yang membahas karateristik dari graf kordal bipatisi. Berkaitan dengan hal-hal tersebut,
peneliti akan membahas representasi pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ
GAVRIL.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah merepresentasikan pohon dari graf kordal
bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ GAVRIL.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi dalam penyelesaian
persoalan yang berhubungan dengan merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan
oleh FÃNICÃ GAVRIL.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan merupakan studi literatur dan kepustakaan untuk
memberikan pemahaman tentang representasi pohon dari graf. Berikut adalah
langkah-langkah yang akan dilakukan:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai representasi pohon dari graf terutama graf kordal;
2. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai
teori graf, Dimulai dengan penjelasan definisi pengertian graf, jenis-jenis graf,
graf khusus yaitu graf pohon dan graf kordal;
3. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai
graf kordal bipartisi. Dimulai dengan penjelasan defenisi graf kordal bipartisi, sifat-sifat graf kordal bipartisi, serta pembuktian beberapa teorema yang
berhubungan dengan graf kordal bipartisi;
4. Mengembangkan representasi pohon dari graf kordal menjadi representasi
pohon dari graf kordal bipartisi.
(a) Memaparkan persoalan secara konseptual yang disertakan pembuktiannya;
(b) Memaparkan karakter-karakter khusus yang berkaitan dengan graf kordal bipartisi;
(c) Menganalisa algoritma yang akan dikembangkan untuk merepresentasikan
pohon dari graf kordal bipartisi;
(d) Menyusun cara kerja dan langkah-langkah representasi graf kordal bipartisi menjadi graf pohon;
(e) Merepresentasikan graf kordal bipartisi menjadi graf pohon.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Teori graf banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang timbul
di dunia nyata. Penggunaan graf dianggap bisa memodelkan masalah yang ada.
Hal ini menimbulkan ketertarikan untuk menggali dan meneliti lebih banyak lagi
tentang graf. Pada dasarnya graf memiliki banyak hal yang bisa diteliti, seperti
halnya graf-graf khusus yang berkaitan dengan titik, sisi, dan derajatnya. Salah
satu graf khusus yang akan dibahas pada penelitian ini adalah graf kordal. Mckee
dan Mcmorris secara khusus membahas graf kordal dalam bukunya yang berjudul
Intersection Graph Teory (1999). Dalam bukunya tersebut dibahas mengenai ciriciri dan karakteristik dari graf kordal beserta aplikasinya.
2.1 Graf
Bahan utama yang digunakan pada pembahasan berikut diambil dari Reinhard Diestel (2010) kecuali disebutkan berbeda.
Graf didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi
G = (V, E), dimana V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul dan E adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul. Himpunan simpul dari
graf G ditulis dengan V (G) = {v1, v2, v3, . . . , vn }, sedangkan himpunan sisi dari
graf G dinyatakan dengan E(G) = {e1, e2, e3, . . . , en } atau sisi yang menghubungkan simpul vi dengan simpul vj dapat dinyatakan dengan pasangan (vi , vj ). Pada
umumnya untuk menggambarkan sebuah graf terdiri atas dot sebagai titik (vertex)
dan gabungan dari 2 (dua) titik adalah garis (edge). Suatu graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap simpul dari graf G terdapat jalur yang menghubungkan
kedua simpul tersebut. Jalur pada graf G adalah perjalanan yang melewati semua
simpul yang berbeda-beda. Perjalanan pada suatu graf G adalah barisan simpul
dan ruas berganti-ganti. v1 , e1, v2, e2, v3, e3, . . . , vn , en .
Suatu graf dapat digambarkan secara lengkap dengan cara mendaftar titik
dan sisinya. Secara matematis, graf dapat di definisikan sebagai berikut:
5
Universitas Sumatera Utara
6
1. Graf G didefinisikan sebagai pemasangan himpunan (V, E) yang dalam hal
ini: V = {v1 , v2, . . . , vn } adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik (vertices atau node) dan E = {e1 , e2, . . . , en } adalah himpunan sisi (edges atau
arcs) yang menghubungkan sepasang titik;
2. Himpunan V tidak boleh kosong, sedangkan himpunan E boleh kosong. Jadi,
sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu pun, tetapi titiknya
harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu titik tanpa sisi
dinamakan graf trivial.
Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, . . . , v, w, . . . ,
dengan bilangan asli 1, 2, 3, . . . , atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang
menghubungkan titik v1 dinyatakan dengan pasangan (vi , vj ) atau dengan lambang e1 , e2, . . .. Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik vi ,
maka e dapat ditulis sebagai e = (vi , vj ).
Secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang
dwimatra yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi).
Gambar 2.1 (a) Graf Sederhana,
(b) Graf Ganda, (c) Graf Semu
Universitas Sumatera Utara
7
2.1.1 Jenis-jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang
berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi gelang, berdasarkan jumlah titik,
atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Sehingga
secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 (dua) jenis:
1. Simple Graph
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut. Jadi menuliskan
sisi (u, v) sama saja dengan (v, u). Graf sederhana G = (V, E) terdiri dari
himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan
tak-terurut yang berbeda disebut sisi;
2. Unsimple Graph
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana.
Ada 2 (dua) macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu. Graf
ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. G2 pada Gambar 2.1 adalah
graf ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari
dua buah. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak-terurut yang
sama (Rinaldi Munir, 2010: 357). Graf semu adalah graf yang mengandung
gelang. G3 adalah graf semu (meskipun memiliki sisi ganda sekalipun). Graf
semu lebih umum daripada graf ganda, karena sisi pada graf semu dapat
terhubung ke dirinya sendiri.
Jumlah titik pada graf disebut sebagai kardinalitas graf, dan dinyatakan dengan n = |V |, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = |E|. Pada Gambar
2.1 , G1 mempunyai n = 4, dan m = 5, sedangkan G2 mempunyai n = 4 dan
m = 7.
Universitas Sumatera Utara
8
Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf, graf digolongkan menjadi 2 (dua)
jenis:
1. Limited Graph
Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik n yang berhingga.
Gambar 2.2 Graf berhingga
2. Unlimited Graph
Graf tak-berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang tak-berhingga.
Gambar 2.3 Graf tak berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, secara umum graf dapat dibedakan atas
2 (dua) jenis:
1. Undirected Graph
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
Pada graf tak-berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi
tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang sama. Tiga buah
graf pada Gambar 2.1 adalah graf tak-berarah.
Universitas Sumatera Utara
9
2. Directed graph atau Digraph
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain (u, v) 6= (v, u). Titik u dinamakan titik asal dan titik v
dinamakan titik terminal.
Gambar 2.4 Graf berarah
Ada beberapa graf khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi. Beberapa di
antaranya adalah:
1. Complete Graph
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke
semua titik lainnya. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan
Kn . Setiap titik pada Kn berderajat n − 1.
Gambar 2.5 Graf lengkap Kn , 1 ≤ n ≤ 6
2. Cyclic Graph
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat 2 (dua).
Graf lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan Cn adalah v1 , v2, . . . , vn ,
sehingga sisi-sisinya adalah (v1, v2), (v2, v3), . . . , (vn−1 , vn ), dan (vn , v1). Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir vn ke titik pertama v1.
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.6 Graf lingkar Cn , 3 ≤ n ≤ 68
3. Regular Graph
Graf teratur adalah graf yang memiliki derajat yang sama. Jika derajat setiap
titik adalah r, maka graf disebut sebagai graf teratur derajat r. Graf lengkap
Kn dan graf lingkar Cn juga termaksud ke dalam graf teratur.
Gambar 2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2
4. Bipartie Graph
Jika r ≥ 2 adalah bilangan bulat. Graf G = (V, E) disebut r-partite jika V
menambahkan partisi kedalam kelas r sehingga setiap sisi mempunyai titik
akhir di kelas yang berbeda: titik di kelas partisi yang sama tidak harus
bertetangga sebagai ganti 2-partisi.
Sebuah graf r-partite yang mana setiap 2 titik dari kelas partisi berbeda
yang saling bertetangga disebut lengkap: graf r-partite lengkap untuk semua
r yang bersamaan adalah graf lengkap multipartite.
Gambar 2.8 Dua graf 3-bipartisi
Universitas Sumatera Utara
11
Graf G yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi 2 (dua) himpunan bagian V1 dan V2 , sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah titik di V1 ke sebuah titik di V2 disebut graf bipartit dan
dinyatakan sebagai G(V1 , V2 ). Dengan kata lain, setiap pasangan titik di V1
(demikian pula dengan titik-titik di V2 ) tidak bertetangga. Jika setiap titik
di V1 bertetangga dengan semua titik di V2 , maka G(V1 , V2 ) disebut sebagai
graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan Km,n . Jumlah sisi pada bipartit
lengkap adalah mn.
Teorema 2.1.1 Asratian et al.,(1998)) Sebuah graf G adalah graf bipartisi
jika dan hanya jika G tidak mempunyai cycle ganjil.
Bukti: Andaikan G adalah sebuah graf bipastisi dengan partisi (V1 , V2 ) dan
C = v0v1 v2, .vk v0 adalah sebuah cycle di G. tanpa menghilangkan keumumannya asumsikan v0 ∈ V1 . Maka, karena G graf bipartisi, v1 haruslah sebuah
titik di subset V2 . Tentu harus punya v2i ∈ V1 dan v2i+1 ∈ V2 . Karena itu k
haruslah ganjil, dan C adalah cycle genap.
Graf r-partite lengkap K¯n1 ∗ . . . ∗ K¯nr dinotasikan oleh Kn1,...,nr ; jika n1 =
. . . = nr =: s. Dengan mempertimbangkan Ksr · Ksr adalah graf lengkap rpartite yang mana setiap kelas partisi mengandung tepat s titik. Graf dari
Gambar 2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3 = K32
bagian K1,n disebut stars; titik di kelas partisi singleton dari K1,n adalah stars
centre. Jelaslah bahwa sebuah graf bipartisi tidak dapat mengandung sebuah
odd cycle, panjang lingkaran odd. Pada kenyataannya graf dikarakteristikkan
oleh sifat berikut:
Proposisi 2.1 Sebuah graf adalah bipartisi jika dan hanya jika graf tersebut
tidak mengandung ood cycle.
Universitas Sumatera Utara
12
Bukti: jika G = (V, E) menjadi sebuah graf tanpa odd cycle, dapat ditunjukkan bahwa G bipartisi. Jelaslah bahwa sebuah graf adalah bipartisi jika
semua komponen adalah biparitisi atau trivial dan graf G terhubung.
Gambar 2.10 Graf bipartit G(V1 , V2 )
5. Connected
Keterhubungan dua buah titik adalah penting di dalam graf. Jika dua buah
titik u dan titik v dikatakan terhubung, maka terdapat lintasan dari u dan
v. Jika 2 (dua) buah titik terhubung, maka pasti titik yang pertama dapat
dicapai dari titik yang ke dua.
Jika setiap pasang titik di dalam graf terhubung, maka graf tersebut dikatakan
graf terhubung. Secara formal, definisi graf terhubung menurut Rinaldi Munir (2010: 372) adalah sebagai berikut: Graf tak-berarah G disebut graf
terhubung untuk setiap pasang titik u dan v dalam himpunan V dan terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak ada keterhubungan antara titik u dan v,
maka G disebut graf tak-terhubung.
Gambar 2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung
Universitas Sumatera Utara
13
Graf yang hanya terdiri atas satu titik saja (tidak ada sisi) tetap dikatakan
terhubung, karena titik tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri juga
dikatakan graf terhubung. Jika graf tak berarahnya terhubung (graf takberarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya), maka graf berarah
G dikatakan terhubung.
Keterhubungan 2 (dua) buah titik pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah. Dua titik u dan v pada graf berarah G
disebut terhubung kuat karena terdapat lintasan berarah dari u ke v, dan juga sebaliknya lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat
tetapi tetap terhubung pada graf tak-berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah. Ke dua pernyataan tersebut (terhubung kuat dan terhubung
lemah) melahirkan definisi graf terhubung kuat: Graf berarah G disebut graf
terhubung kuat apabila untuk setiap pasang titik sembarang vi dan vj di G
terhubung kuat. Jika tidak, maka G disebut graf terhubung lemah.
Gambar 2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah
2.2 Pohon dan Hutan
Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat lingkaran. Jika sebuah
graf terdiri dari beberapa komponen dan tiap-tiap komponen merupakan pohon
maka graf tersebut disebut hutan (forest). Titik yang berderajat 1 di pohon disebut
sebagai daun. Gambar 2.13 menggambarkan graf pohon.
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 2.13 Graf Pohon
Pohon adalah tipe graf sederhana yang tidak biasa. Seperti yang akan dijelaskan, pohon memiliki sifat-sifat yang relatif bagus sehingga pada kenyataannya
setiap dua simpul yang terhubung membentuk sisi akan menghasilkan lintasan yang
unik.
Daftar teorema berikut adalah beberapa sifat sederhana dari pohon.
Teorema 2.2.1 Jika T adalah graf dengan n titik, maka pernyataan berikut akan
ekuivalen.
i T adalah pohon
ii T tidak mengandung lingkaran dan mempunyai n − 1 sisi.
iii T terhubung dan mempunyai n − 1 sisi.
iv T terhubung dan setiap sisi adalah sebuah lintasan/jembatan.
v Dua titik dari T terhubung oleh tepat satu jalur.
vi T tidak mengadung lingkaran, tetapi penambahan setiap sisi baru akan menciptakan tepat satu lingkaran.
Bukti. jika n = 1, maka keenam hasil adalah biasa, oleh karena itu diasumsikan
bahwa n ≥ 2.
Universitas Sumatera Utara
15
(i) → (ii), karena T tidak mengandung lingkaran, maka penghapusan beberapa sisi
harus memutuskan T ke dalam 2 (dua) graf yang masing-masing adalah pohon.
Berdasarkan induksinya, jumlah sisi di setiap 2 (dua) pohon adalah kurang satu
dari jumlah titik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa total keseluruhan jumlah sisi
pada pohon T adalah n − 1.
(ii) → (iii) jika T tidak terhubung, maka setiap komponen T adalah graf terhubung
dengan tanpa lingkaran dan karenanya pada bagian sebelumnya jumlah titik di
setiap komponen melebihi jumlah sisi yaitu 1. Total jumlah titik dari graf T
melebihi total jumlah sisi sedikitnya 2. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa
T mempunyai n − 1 sisi.
(iii) → (iv) penghapusan beberapa hasil sisi dari graf dengan n titik dan n − 2 sisi.
(iv) → (v) karena T terhubung, setiap pasang titik terhubung oleh paling sedikit
satu lintasan. Jika diberikan pasangan titik terhubung oleh 2 (dua) lintasan, maka
mereka akan memiliki lingkaran. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa setiap
sisi adalah jembatan.
(v) → (vi) jika T mengandung sebuah lingkaran, maka ada 2 (dua) titik dalam lingkaran yang akan terhubung dengan kurang lebih 2 (dua) lintasan, ini
berlawanan dengan pernyataan (v). Jika sebuah sisi e ditambahkan ke T , maka titik yang bertetangga dengan e telah terhubung di T dan akan membentuk
sebuah lingkaran.
(vi) → (i) Diperkirakan bahwa T tidak terhubung. Jika ditambahkan ke T gabungan beberapa titik yang menghasilkan sisi dari komponen titik yang lain, maka
tidak akan ada lingkaran yang terbentuk.
2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree)
Misalkan G = (V, E) adalah graf tak berarah terhubung yang bukan pohon,
yang berarti G memiliki sirkuit. G dapat diubah menjadi pohon T = (V1 , E1 )
dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Caranya, mula-mula pilih salah
satu sirkuit, lalu hapus satu buah sisi dari sirkuit ini. G akan tetap terhubung dan
jumlah sirkuitnya berkurang satu. Bila proses ini dilakukan berulang-ulang sampai
Universitas Sumatera Utara
16
semua sirkuit di G hilang, maka G menjadi sebuah pohon T yang dinamakan pohon
merentang (spanning tree). Disebut pohon merentang karena semua simpul pada
pohon T sama dengan simpul semua simpul pada graf G, dan sisi-sisi pada pohon
T ⊆ sisi-sisi pada graf G. dengan kata lain, V1 = V dan E1 ⊆ E.
Aplikasi pohon merentang misalnya pada pemeliharaan jalan raya. Misalkan
pada gambar 2.14 di bawah ini, adalah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan empat buah kota. Karena dana pemeliharaan yang terbatas, pemerintah
daerah mempertimbangkan hanya memelihara jalan-jalan sesedikit mungkin sedemikian sehingga keempat kota masih tetap terhubung satu sama lain. Pohon
merentang juga memainkan peranan penting dalam jaringan komputer.
Gambar 2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1, T2, T3 , T4
Harus diingat bahwa pohon merentang didefenisikan hanya untuk graf terhubung, karena pohon selalu terhubung. Pada graf tak terhubung dengan n buah
simpul tidak akan dapat menemukan upagraf terhubung dengan n buah simpul.
Tiap komponen dari graf tak terhubung mempunyai satu buah pohon merentang.
Dengan demikian, graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai hutan merentang (spanning tree) yang terdiri dari k buah pohon merentang. Sisi pada
pohon merentang disebut cabang (branch) adalah sisi dari graf semula, sedangkan
tali hubung (chord atau link)dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat
di dalam pohon merentang.
Jika G adalah graf berbobot, maka bobot pohon merentang T dari G didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T . Pohon merentang yang berbeda
mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang di G, pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum
(minimum spanning tree) merupakan pohon yang paling penting. Pohon merentang minimum mempunyai terapan yang cukup luas. Misalkan pemerintah akan
Universitas Sumatera Utara
17
membangun jalur rel kereta api yang menghubungkan sejumlah kota seperti gambar 2.3. Membangun rel kereta api membutuhkan biaya yang tidak sedikit. Oleh
karena itu, dibutuhkan perencanaan terbaik dengan menentukan jarak minimum
untuk menghubungkan dua kota.
Gambar 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada
setiap sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon
merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum
Pada kebanyakan aplikasi pohon, simpul tertentu diperlukan sebagai akar
(root). Sekali sebuah simpul dinyatakan sebagai akar, maka titik-titik yang lainnya
dapat dicapai dari akar dengan memberi arah pada sisi-sisi pohon yang mengikutinya. Dengan begitu, Pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar dinamakan pohon berakar (rooted tree).
Akar mempunyai derajat masuk sama dengan nol dan titik-titik lainnya berderajat masuk sama dengan satu. Titik yang mempunyai derajat keluar sama dengan
nol disebut daun atau titik terminal. Titik yang mempunyai derajat keluar tidak
sama dengan nol disebut titik dalam atau titik cabang. Setiap titik di pohon dapat dicapai dari akar dengan sebuah lintasan tunggal (unik). Sembarang pohon
tak-berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilihi sebuah simpul
sebagai akar.
Universitas Sumatera Utara
ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis
ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi
Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 genap (Bang Julham (Ayah), Kak
Aida, Kak Mei, Kak Ayu, Amora, Kristin, Nina) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Semua pihak
yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak
dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Tuhan yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan
yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terima kasih.
Medan, 16 Desember 2015
Penulis,
Dian Yulis Wulandari
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Dian Yulis Wulandari, Lahir di Sawit Hulu tanggal 13 Juli 1991. Merupakan anak
kedua dari pasangan ibu Yuli Farida Wahyuni dan Bapak Karyadi SP. Memiliki seorang saudari kandung bernama Ayu Karmila ST (Mbak). Pertama sekali
mengenyam pendidikan tahun 1994 di TK Nusa Indah Sawit Hulu. Dilanjutkan
pendidikan formal di SDN 054608 Sawit Hulu pada tahun 1997, SLTP Negeri 1
Sawit Seberang pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Padang Tualang pada tahun
2006. Minat akan ilmu eksak dan bakat mengajar hingga menyukai anak kecil sudah terlihat sejak SMA. Selesai mengenyam pendidikan SMA tahun 2009 penulis
sama sekali tak tau akan melajut pendidikan tingkat kuliah di jurusan apa, sehingga melalui perundingan dengan orang tua dan pertimbangan nilai rapor selama
mengikuti pendidikan formal penulis melanjutkan studi di Pendidikan Matematika
FKIP UISU Medan. Ketertarikan penulis pada ilmu eksak semakin meningkat,
tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2)
Matematika Universitas Sumatera. Berawal dari kesukaan penulis kepada anakanak hingga membantu mereka mengerjakan tugas-tugas sekolah merupakan awal
ketertarikan penulis untuk terjun ke dunia pendidikan dan bertekad menjadi seorang pengajar sekaligus menjadi regenerasi bagi ibu penulis. Semoga niat baik
menjadi tenaga pengajar mampu membantu khalayak ramai dan bermanafaat.
Amin.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Graf
5
2.1.1 Jenis-jenis Graf
7
2.2 Pohon dan Hutan
13
2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree)
15
BAB 3 ANALISA GRAF KORDAL
18
3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf
19
3.2 Graf Kordal Bipartisi
21
vii
Universitas Sumatera Utara
3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph)
24
BAB 4 MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL
BIPARTISI
26
4.1 Analisa Algoritma
27
4.2 Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi
32
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
38
5.1 Kesimpulan
38
5.2 Saran
38
DAFTAR PUSTAKA
39
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
(a) Graf Sederhana,
(b) Graf Ganda, (c) Graf Semu
6
2.2
Graf berhingga
8
2.3
Graf tak berhingga
8
2.4
Graf berarah
9
2.5
Graf lengkap Kn , 1 ≤ n ≤ 6
9
2.6
Graf lingkar Cn , 3 ≤ n ≤ 68
10
2.7
Graf teratur derajat 0, 1, dan 2
10
2.8
Dua graf 3-bipartisi
10
2.9
Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3 = K32
11
2.10 Graf bipartit G(V1 , V2 )
12
2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung
12
2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah
13
2.13 Graf Pohon
14
2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1 , T2, T3, T4
16
2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap
sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon merentang
yang mempunyai jumlah jarak minimum
17
3.1
Graf kordal (sumber, Wikipedia)
18
3.2
Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmorris,
2006)
19
ix
Universitas Sumatera Utara
3.3
Clique pada graf
20
3.4
Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal. (Sumber: Golumbic, 1978)
22
3.5
Graf C6, 3K2 , C8
24
4.1
(a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sumber:
FÃNICÃ GAVRIL, 1974)
27
4.2
Irisan graf subpohon dari pohon adalah graf kordal.
32
4.3
Graf Kordal Bipartisi
34
4.4
Graf Kordal Bipartisi dengan Colouring Graph pada clique
34
4.5
Hasil bipartisi dari Clique
35
4.6
Representasi pohon dari graf kordal bipartisi
35
4.7
Pembagian Clique dengan Colouring Graph
36
4.8
(a) dan (b) hasil representasi pohon dari graf kordal bipartisi
37
x
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu dasar telah memberikan kemajuan yang begitu
banyak dalam berbagai bidang. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut memberikan andil dalam kemajuan tersebut. Teori graf ini
sebenarnya telah dikenal lebih dari 250 tahun yang silam. Teori graf lahir pada
tahun 1736 melalui tulisan euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah
jembatan konisberg yang sangat terkenal di Eropa. Kurang lebih seratus tahun
setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada perkembangan yang sangat berarti
berkenaan dengan teori graf. Tahun 1847, Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan
listrik. Sepuluh tahun kemudian Cayley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Hal yang penting
untuk dibicarakan sehubungan dengan teori graf adalah apa yang dikemukakan
oleh Hamilton (1805-1865). Tahun 1859 berhasil menemukan suatu permainan
yang kemudian dijualnya ke pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut dari
kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah pentagon beraturan
dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari em dedacahedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London, New
York, Paris, dan lain-lain. Masalah dalam permainan ini adalah kita diminta untuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari
20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali.
Ketertarikan dalam bidang graf dan aplikasinya belum berhenti sampai disitu. Pada tahun 1958 Hajnal dan Suranyi membahas rigid-circuit graf atau triangulated graph yang sekarang lebih dikenal dengan sebutan graf kordal. Sebuah
graf dikatakan graf kordal jika panjang lingkaran dari graf tersebut lebih besar
atau sama dengan 4 (empat) dan graf tersebut haruslah chord. Chord adalah segmen garis yang menghubungkan dua titik pada graf. Istilah ini sering digunakan
untuk menggambarkan segmen garis yang titik akhirnya terletak pada lingkaran
1
Universitas Sumatera Utara
2
graf tersebut. Istilah ini juga digunakan dalam teori graf, dimana sebuah chord
lingkaran dari graf lingkaran adalah sisi yang tidak terletak di lingkaran namun titik
akhir dari chord tersebut ada pada graf lingkaran (Mckee dan Mcmorris, 2006: 19).
Meskipun telah ada kegiatan yang cukup selama 1960-an, tidak sampai 1970
graf kordal telah dikarakteristikkan dalam irisan graf. Irisan graf adalah graf/pola
yang mewakili irisan dari titik ataupun garis yang terdapat pada himpunan keluarga suatu graf. Setiap graf dapat direpresentasikan sebagai irisan graf. Irisan graf
bertujuan mengelompokkan setiap himpunan yang memiliki kesamaan dalam suatu
keadaan sehingga membentuk pola yang tercipta dari hasil kesamaan (irisan) itu
sendiri. Kesamaan dalam suatu keadaan tersebutlah yang menjadikan irisan graf
banyak digunakan untuk menyajikan permasalahan-permasalahan di dunia nyata. Selanjutnya, permasalahan tersebut akan dipecahkan dan diperoleh solusinya
dengan cara matematis.
Nancy et al., (2006) berhasil mengembangkan graf kordal dengan merepresentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Sebuah graf G dalam keluarga [△, d, t]
(Catatan: △, d, t adalah derajat titik di graf G), jika terdapat pohon dengan derajat maksimum △ dan subpohon yang bersesuaian ke titik-titik di G sehingga setiap
subpohon yang mempunyai derajat yang paling maksimum d dan dua titik dari G
dikatakan bertetangga jika dan hanya jika subpohon yang bersesuaian kepada yang
memiliki setidaknya t umum titik.
Pada tahun 2006, Huang mulai membahas karakteristik dari graf kordal bipartisi. Sebuah graf kordal dikatakan bipartisi jika dan hanya jika panjang cycle
dari graf tersebut paling sedikit 6 (enam) dan haruslah mengandung chord. Dalam
penelitiannya Huang menunjukkan bahwa graf bipartisi adalah graf kordal jika dan
hanya jika komplemen adalah irisan graf keluarga yang memasangkan claws yang
cocok dalam hypercircle yang berbobot (Hypercircle adalah graf yang terdiri dari
titik internal yang menghubungkan path antara dua titik utama dan claw dalam
hypercircle terhubung oleh tepat satu dari dua titik utama). Huang juga memperkenalkan dua kelas dari graf bipartisi, keduanya mengandung interval bigraf
(graf bipartisi) dan interval pertahanan bigraf. Penelitiannya menunjukkan bahwa
dua kelas tersebut untuk mengidentifikasi kelas kordal graf bipartisi.
Universitas Sumatera Utara
3
Dalam penelitian ini penulis akan meneliti representasi pohon dari graf kordal
bipartisi dengan cara mengembangkan model yang terlebih dahulu diperkenalkan
oleh FÃNICÃ GAVRIL. Penelitian ini terinspirasi dari tulisan N. Eaton et al ”Tree
Representation of Graph” dan tulisan Jiang Huang ”Representation Characterizations of Chordal Bipartite Graph” yang pada dasarnya merupakan kombinasi
dari keduanya. Hasil dari penelitian ini adalah representasi pohon yang diperoleh
melalui pengembangan model oleh FÃNICÃ GAVRIL dari graf kordal bipartisi.
1.2 Perumusan Masalah
Graf kordal adalah graf yang mengandung lingkaran (Cycle) dengan panjang
lingkaran lebih besar atau sama dengan 4 (empat). Seiring semakin berkembangnya
teori graf, Nancy et al., pada tahun 2006 menemukan cara bagaimana merepresentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Graf pohon merupakan graf yang tidak
mengandung lingkaran (Cycle). Jelaslah bahwa graf kordal bertolak belakang dengan graf pohon. Namun Nancy et al., mampu membuktikannya. Huang pada
tahun 2006 memperluas pengetahuan dengan membuat sebuah tulisan yang membahas karateristik dari graf kordal bipatisi. Berkaitan dengan hal-hal tersebut,
peneliti akan membahas representasi pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ
GAVRIL.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah merepresentasikan pohon dari graf kordal
bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ GAVRIL.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi dalam penyelesaian
persoalan yang berhubungan dengan merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan
oleh FÃNICÃ GAVRIL.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan merupakan studi literatur dan kepustakaan untuk
memberikan pemahaman tentang representasi pohon dari graf. Berikut adalah
langkah-langkah yang akan dilakukan:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai representasi pohon dari graf terutama graf kordal;
2. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai
teori graf, Dimulai dengan penjelasan definisi pengertian graf, jenis-jenis graf,
graf khusus yaitu graf pohon dan graf kordal;
3. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai
graf kordal bipartisi. Dimulai dengan penjelasan defenisi graf kordal bipartisi, sifat-sifat graf kordal bipartisi, serta pembuktian beberapa teorema yang
berhubungan dengan graf kordal bipartisi;
4. Mengembangkan representasi pohon dari graf kordal menjadi representasi
pohon dari graf kordal bipartisi.
(a) Memaparkan persoalan secara konseptual yang disertakan pembuktiannya;
(b) Memaparkan karakter-karakter khusus yang berkaitan dengan graf kordal bipartisi;
(c) Menganalisa algoritma yang akan dikembangkan untuk merepresentasikan
pohon dari graf kordal bipartisi;
(d) Menyusun cara kerja dan langkah-langkah representasi graf kordal bipartisi menjadi graf pohon;
(e) Merepresentasikan graf kordal bipartisi menjadi graf pohon.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Teori graf banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang timbul
di dunia nyata. Penggunaan graf dianggap bisa memodelkan masalah yang ada.
Hal ini menimbulkan ketertarikan untuk menggali dan meneliti lebih banyak lagi
tentang graf. Pada dasarnya graf memiliki banyak hal yang bisa diteliti, seperti
halnya graf-graf khusus yang berkaitan dengan titik, sisi, dan derajatnya. Salah
satu graf khusus yang akan dibahas pada penelitian ini adalah graf kordal. Mckee
dan Mcmorris secara khusus membahas graf kordal dalam bukunya yang berjudul
Intersection Graph Teory (1999). Dalam bukunya tersebut dibahas mengenai ciriciri dan karakteristik dari graf kordal beserta aplikasinya.
2.1 Graf
Bahan utama yang digunakan pada pembahasan berikut diambil dari Reinhard Diestel (2010) kecuali disebutkan berbeda.
Graf didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi
G = (V, E), dimana V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul dan E adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul. Himpunan simpul dari
graf G ditulis dengan V (G) = {v1, v2, v3, . . . , vn }, sedangkan himpunan sisi dari
graf G dinyatakan dengan E(G) = {e1, e2, e3, . . . , en } atau sisi yang menghubungkan simpul vi dengan simpul vj dapat dinyatakan dengan pasangan (vi , vj ). Pada
umumnya untuk menggambarkan sebuah graf terdiri atas dot sebagai titik (vertex)
dan gabungan dari 2 (dua) titik adalah garis (edge). Suatu graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap simpul dari graf G terdapat jalur yang menghubungkan
kedua simpul tersebut. Jalur pada graf G adalah perjalanan yang melewati semua
simpul yang berbeda-beda. Perjalanan pada suatu graf G adalah barisan simpul
dan ruas berganti-ganti. v1 , e1, v2, e2, v3, e3, . . . , vn , en .
Suatu graf dapat digambarkan secara lengkap dengan cara mendaftar titik
dan sisinya. Secara matematis, graf dapat di definisikan sebagai berikut:
5
Universitas Sumatera Utara
6
1. Graf G didefinisikan sebagai pemasangan himpunan (V, E) yang dalam hal
ini: V = {v1 , v2, . . . , vn } adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik (vertices atau node) dan E = {e1 , e2, . . . , en } adalah himpunan sisi (edges atau
arcs) yang menghubungkan sepasang titik;
2. Himpunan V tidak boleh kosong, sedangkan himpunan E boleh kosong. Jadi,
sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu pun, tetapi titiknya
harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu titik tanpa sisi
dinamakan graf trivial.
Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, . . . , v, w, . . . ,
dengan bilangan asli 1, 2, 3, . . . , atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang
menghubungkan titik v1 dinyatakan dengan pasangan (vi , vj ) atau dengan lambang e1 , e2, . . .. Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik vi ,
maka e dapat ditulis sebagai e = (vi , vj ).
Secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang
dwimatra yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi).
Gambar 2.1 (a) Graf Sederhana,
(b) Graf Ganda, (c) Graf Semu
Universitas Sumatera Utara
7
2.1.1 Jenis-jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang
berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi gelang, berdasarkan jumlah titik,
atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Sehingga
secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 (dua) jenis:
1. Simple Graph
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut. Jadi menuliskan
sisi (u, v) sama saja dengan (v, u). Graf sederhana G = (V, E) terdiri dari
himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan
tak-terurut yang berbeda disebut sisi;
2. Unsimple Graph
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana.
Ada 2 (dua) macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu. Graf
ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. G2 pada Gambar 2.1 adalah
graf ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari
dua buah. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak-terurut yang
sama (Rinaldi Munir, 2010: 357). Graf semu adalah graf yang mengandung
gelang. G3 adalah graf semu (meskipun memiliki sisi ganda sekalipun). Graf
semu lebih umum daripada graf ganda, karena sisi pada graf semu dapat
terhubung ke dirinya sendiri.
Jumlah titik pada graf disebut sebagai kardinalitas graf, dan dinyatakan dengan n = |V |, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = |E|. Pada Gambar
2.1 , G1 mempunyai n = 4, dan m = 5, sedangkan G2 mempunyai n = 4 dan
m = 7.
Universitas Sumatera Utara
8
Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf, graf digolongkan menjadi 2 (dua)
jenis:
1. Limited Graph
Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik n yang berhingga.
Gambar 2.2 Graf berhingga
2. Unlimited Graph
Graf tak-berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang tak-berhingga.
Gambar 2.3 Graf tak berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, secara umum graf dapat dibedakan atas
2 (dua) jenis:
1. Undirected Graph
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
Pada graf tak-berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi
tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang sama. Tiga buah
graf pada Gambar 2.1 adalah graf tak-berarah.
Universitas Sumatera Utara
9
2. Directed graph atau Digraph
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain (u, v) 6= (v, u). Titik u dinamakan titik asal dan titik v
dinamakan titik terminal.
Gambar 2.4 Graf berarah
Ada beberapa graf khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi. Beberapa di
antaranya adalah:
1. Complete Graph
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke
semua titik lainnya. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan
Kn . Setiap titik pada Kn berderajat n − 1.
Gambar 2.5 Graf lengkap Kn , 1 ≤ n ≤ 6
2. Cyclic Graph
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat 2 (dua).
Graf lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan Cn adalah v1 , v2, . . . , vn ,
sehingga sisi-sisinya adalah (v1, v2), (v2, v3), . . . , (vn−1 , vn ), dan (vn , v1). Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir vn ke titik pertama v1.
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.6 Graf lingkar Cn , 3 ≤ n ≤ 68
3. Regular Graph
Graf teratur adalah graf yang memiliki derajat yang sama. Jika derajat setiap
titik adalah r, maka graf disebut sebagai graf teratur derajat r. Graf lengkap
Kn dan graf lingkar Cn juga termaksud ke dalam graf teratur.
Gambar 2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2
4. Bipartie Graph
Jika r ≥ 2 adalah bilangan bulat. Graf G = (V, E) disebut r-partite jika V
menambahkan partisi kedalam kelas r sehingga setiap sisi mempunyai titik
akhir di kelas yang berbeda: titik di kelas partisi yang sama tidak harus
bertetangga sebagai ganti 2-partisi.
Sebuah graf r-partite yang mana setiap 2 titik dari kelas partisi berbeda
yang saling bertetangga disebut lengkap: graf r-partite lengkap untuk semua
r yang bersamaan adalah graf lengkap multipartite.
Gambar 2.8 Dua graf 3-bipartisi
Universitas Sumatera Utara
11
Graf G yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi 2 (dua) himpunan bagian V1 dan V2 , sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah titik di V1 ke sebuah titik di V2 disebut graf bipartit dan
dinyatakan sebagai G(V1 , V2 ). Dengan kata lain, setiap pasangan titik di V1
(demikian pula dengan titik-titik di V2 ) tidak bertetangga. Jika setiap titik
di V1 bertetangga dengan semua titik di V2 , maka G(V1 , V2 ) disebut sebagai
graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan Km,n . Jumlah sisi pada bipartit
lengkap adalah mn.
Teorema 2.1.1 Asratian et al.,(1998)) Sebuah graf G adalah graf bipartisi
jika dan hanya jika G tidak mempunyai cycle ganjil.
Bukti: Andaikan G adalah sebuah graf bipastisi dengan partisi (V1 , V2 ) dan
C = v0v1 v2, .vk v0 adalah sebuah cycle di G. tanpa menghilangkan keumumannya asumsikan v0 ∈ V1 . Maka, karena G graf bipartisi, v1 haruslah sebuah
titik di subset V2 . Tentu harus punya v2i ∈ V1 dan v2i+1 ∈ V2 . Karena itu k
haruslah ganjil, dan C adalah cycle genap.
Graf r-partite lengkap K¯n1 ∗ . . . ∗ K¯nr dinotasikan oleh Kn1,...,nr ; jika n1 =
. . . = nr =: s. Dengan mempertimbangkan Ksr · Ksr adalah graf lengkap rpartite yang mana setiap kelas partisi mengandung tepat s titik. Graf dari
Gambar 2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3 = K32
bagian K1,n disebut stars; titik di kelas partisi singleton dari K1,n adalah stars
centre. Jelaslah bahwa sebuah graf bipartisi tidak dapat mengandung sebuah
odd cycle, panjang lingkaran odd. Pada kenyataannya graf dikarakteristikkan
oleh sifat berikut:
Proposisi 2.1 Sebuah graf adalah bipartisi jika dan hanya jika graf tersebut
tidak mengandung ood cycle.
Universitas Sumatera Utara
12
Bukti: jika G = (V, E) menjadi sebuah graf tanpa odd cycle, dapat ditunjukkan bahwa G bipartisi. Jelaslah bahwa sebuah graf adalah bipartisi jika
semua komponen adalah biparitisi atau trivial dan graf G terhubung.
Gambar 2.10 Graf bipartit G(V1 , V2 )
5. Connected
Keterhubungan dua buah titik adalah penting di dalam graf. Jika dua buah
titik u dan titik v dikatakan terhubung, maka terdapat lintasan dari u dan
v. Jika 2 (dua) buah titik terhubung, maka pasti titik yang pertama dapat
dicapai dari titik yang ke dua.
Jika setiap pasang titik di dalam graf terhubung, maka graf tersebut dikatakan
graf terhubung. Secara formal, definisi graf terhubung menurut Rinaldi Munir (2010: 372) adalah sebagai berikut: Graf tak-berarah G disebut graf
terhubung untuk setiap pasang titik u dan v dalam himpunan V dan terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak ada keterhubungan antara titik u dan v,
maka G disebut graf tak-terhubung.
Gambar 2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung
Universitas Sumatera Utara
13
Graf yang hanya terdiri atas satu titik saja (tidak ada sisi) tetap dikatakan
terhubung, karena titik tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri juga
dikatakan graf terhubung. Jika graf tak berarahnya terhubung (graf takberarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya), maka graf berarah
G dikatakan terhubung.
Keterhubungan 2 (dua) buah titik pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah. Dua titik u dan v pada graf berarah G
disebut terhubung kuat karena terdapat lintasan berarah dari u ke v, dan juga sebaliknya lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat
tetapi tetap terhubung pada graf tak-berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah. Ke dua pernyataan tersebut (terhubung kuat dan terhubung
lemah) melahirkan definisi graf terhubung kuat: Graf berarah G disebut graf
terhubung kuat apabila untuk setiap pasang titik sembarang vi dan vj di G
terhubung kuat. Jika tidak, maka G disebut graf terhubung lemah.
Gambar 2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah
2.2 Pohon dan Hutan
Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat lingkaran. Jika sebuah
graf terdiri dari beberapa komponen dan tiap-tiap komponen merupakan pohon
maka graf tersebut disebut hutan (forest). Titik yang berderajat 1 di pohon disebut
sebagai daun. Gambar 2.13 menggambarkan graf pohon.
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 2.13 Graf Pohon
Pohon adalah tipe graf sederhana yang tidak biasa. Seperti yang akan dijelaskan, pohon memiliki sifat-sifat yang relatif bagus sehingga pada kenyataannya
setiap dua simpul yang terhubung membentuk sisi akan menghasilkan lintasan yang
unik.
Daftar teorema berikut adalah beberapa sifat sederhana dari pohon.
Teorema 2.2.1 Jika T adalah graf dengan n titik, maka pernyataan berikut akan
ekuivalen.
i T adalah pohon
ii T tidak mengandung lingkaran dan mempunyai n − 1 sisi.
iii T terhubung dan mempunyai n − 1 sisi.
iv T terhubung dan setiap sisi adalah sebuah lintasan/jembatan.
v Dua titik dari T terhubung oleh tepat satu jalur.
vi T tidak mengadung lingkaran, tetapi penambahan setiap sisi baru akan menciptakan tepat satu lingkaran.
Bukti. jika n = 1, maka keenam hasil adalah biasa, oleh karena itu diasumsikan
bahwa n ≥ 2.
Universitas Sumatera Utara
15
(i) → (ii), karena T tidak mengandung lingkaran, maka penghapusan beberapa sisi
harus memutuskan T ke dalam 2 (dua) graf yang masing-masing adalah pohon.
Berdasarkan induksinya, jumlah sisi di setiap 2 (dua) pohon adalah kurang satu
dari jumlah titik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa total keseluruhan jumlah sisi
pada pohon T adalah n − 1.
(ii) → (iii) jika T tidak terhubung, maka setiap komponen T adalah graf terhubung
dengan tanpa lingkaran dan karenanya pada bagian sebelumnya jumlah titik di
setiap komponen melebihi jumlah sisi yaitu 1. Total jumlah titik dari graf T
melebihi total jumlah sisi sedikitnya 2. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa
T mempunyai n − 1 sisi.
(iii) → (iv) penghapusan beberapa hasil sisi dari graf dengan n titik dan n − 2 sisi.
(iv) → (v) karena T terhubung, setiap pasang titik terhubung oleh paling sedikit
satu lintasan. Jika diberikan pasangan titik terhubung oleh 2 (dua) lintasan, maka
mereka akan memiliki lingkaran. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa setiap
sisi adalah jembatan.
(v) → (vi) jika T mengandung sebuah lingkaran, maka ada 2 (dua) titik dalam lingkaran yang akan terhubung dengan kurang lebih 2 (dua) lintasan, ini
berlawanan dengan pernyataan (v). Jika sebuah sisi e ditambahkan ke T , maka titik yang bertetangga dengan e telah terhubung di T dan akan membentuk
sebuah lingkaran.
(vi) → (i) Diperkirakan bahwa T tidak terhubung. Jika ditambahkan ke T gabungan beberapa titik yang menghasilkan sisi dari komponen titik yang lain, maka
tidak akan ada lingkaran yang terbentuk.
2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree)
Misalkan G = (V, E) adalah graf tak berarah terhubung yang bukan pohon,
yang berarti G memiliki sirkuit. G dapat diubah menjadi pohon T = (V1 , E1 )
dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Caranya, mula-mula pilih salah
satu sirkuit, lalu hapus satu buah sisi dari sirkuit ini. G akan tetap terhubung dan
jumlah sirkuitnya berkurang satu. Bila proses ini dilakukan berulang-ulang sampai
Universitas Sumatera Utara
16
semua sirkuit di G hilang, maka G menjadi sebuah pohon T yang dinamakan pohon
merentang (spanning tree). Disebut pohon merentang karena semua simpul pada
pohon T sama dengan simpul semua simpul pada graf G, dan sisi-sisi pada pohon
T ⊆ sisi-sisi pada graf G. dengan kata lain, V1 = V dan E1 ⊆ E.
Aplikasi pohon merentang misalnya pada pemeliharaan jalan raya. Misalkan
pada gambar 2.14 di bawah ini, adalah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan empat buah kota. Karena dana pemeliharaan yang terbatas, pemerintah
daerah mempertimbangkan hanya memelihara jalan-jalan sesedikit mungkin sedemikian sehingga keempat kota masih tetap terhubung satu sama lain. Pohon
merentang juga memainkan peranan penting dalam jaringan komputer.
Gambar 2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1, T2, T3 , T4
Harus diingat bahwa pohon merentang didefenisikan hanya untuk graf terhubung, karena pohon selalu terhubung. Pada graf tak terhubung dengan n buah
simpul tidak akan dapat menemukan upagraf terhubung dengan n buah simpul.
Tiap komponen dari graf tak terhubung mempunyai satu buah pohon merentang.
Dengan demikian, graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai hutan merentang (spanning tree) yang terdiri dari k buah pohon merentang. Sisi pada
pohon merentang disebut cabang (branch) adalah sisi dari graf semula, sedangkan
tali hubung (chord atau link)dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat
di dalam pohon merentang.
Jika G adalah graf berbobot, maka bobot pohon merentang T dari G didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T . Pohon merentang yang berbeda
mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang di G, pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum
(minimum spanning tree) merupakan pohon yang paling penting. Pohon merentang minimum mempunyai terapan yang cukup luas. Misalkan pemerintah akan
Universitas Sumatera Utara
17
membangun jalur rel kereta api yang menghubungkan sejumlah kota seperti gambar 2.3. Membangun rel kereta api membutuhkan biaya yang tidak sedikit. Oleh
karena itu, dibutuhkan perencanaan terbaik dengan menentukan jarak minimum
untuk menghubungkan dua kota.
Gambar 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada
setiap sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon
merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum
Pada kebanyakan aplikasi pohon, simpul tertentu diperlukan sebagai akar
(root). Sekali sebuah simpul dinyatakan sebagai akar, maka titik-titik yang lainnya
dapat dicapai dari akar dengan memberi arah pada sisi-sisi pohon yang mengikutinya. Dengan begitu, Pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar dinamakan pohon berakar (rooted tree).
Akar mempunyai derajat masuk sama dengan nol dan titik-titik lainnya berderajat masuk sama dengan satu. Titik yang mempunyai derajat keluar sama dengan
nol disebut daun atau titik terminal. Titik yang mempunyai derajat keluar tidak
sama dengan nol disebut titik dalam atau titik cabang. Setiap titik di pohon dapat dicapai dari akar dengan sebuah lintasan tunggal (unik). Sembarang pohon
tak-berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilihi sebuah simpul
sebagai akar.
Universitas Sumatera Utara