Model Arima-Filter Kalman Untuk Prediksi Harga Komoditas Minyak Mentah - ITS Repository

TUGAS AKHIR SM-141501

  

MODEL ARIMA-FILTER KALMAN UNTUK PREDIKSI

HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH AMALIA SEFI ACHMADA NRP 1213 100 014 Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2017

FINAL PROJECT SM-141501

  

ARIMA-KALMAN FILTER MODEL TO PREDICTED

THE CRUDE OIL COMMODITY PRICES AMALIA SEFI ACHMADA NRP 1213 100 014 Supervisors: Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Science Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2017

  LEMBAR PENGESAHAN MODEL ARIMA-FILTER KALMAN UNTUK PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH ARIMA-FILTER KALMAN MODEL TO PREDICTED CRUDE OIL COMMODITY PRICES

  Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada

  Bidang Studi Matematika Terapan Program S-1 Departemen Matematika

  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

  Oleh: AMALIA SEFI ACHMADA NRP. 1213 100 014

  Menyetujui, Dosen Pembimbing II,

  Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes NIP. 19650220 198903 2 002

  Dosen Pembimbing I, Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

  NIP. 19660414 199102 2 001 Mengetahui,

  Ketua Departemen Matematika FMIPA ITS

  Dr. Imam Mukhlash,S.Si,MT NIP. 19700831 199403 1 003

  Surabaya, Juli 2017

  

MODEL ARIMA-FILTER KALMAN UNTUK PREDIKSI

HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH

Nama Mahasiswa : AMALIA SEFI ACHMADA NRP : 1213 100 014 Departemen : Matematika Dosen Pembimbing: 1. Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si

2. Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes

  

ABSTRAK

  Peramalan terhadap harga komoditas minyak mentah dunia merupakan salah satu studi yang dilakukan untuk mengantisipasi harga periode mendatang dari komoditas minyak guna menjaga kestabilan ekonomi. Pada penelitian ini, digunakan Metode

  

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) untuk

merumuskan model peramalan harga komoditas minyak mentah.

  Setelah didapatkan model yang sesuai dilakukan pengestimasian terhadap parameter dan perbaikan error pada model ARIMA dengan Filter Kalman. Pada ARIMA didapatkan model yang sesuai yaitu ARIMA

  [ ] dengan nilai Mean Absolute

  Percentage Error (MAPE) sebesar

  . Model ramalan yang didapatkan dari ARIMA yang diestimasi parameternya menggunakan Filter Kalman menghasilkan nilai MAPE sebesar Untuk hasil perbaikan error pada model ARIMA didapatkan nilai MAPE yang lebih kecil pada polinomial derajat dua, sehingga dapat diketahui bahwa semakin tinggi polinomial derajatnya maka error yang dihasilkan juga akan semakin kecil.

  Hasil akhir menunjukkan bahwa model peramalan pada harga minyak terbaik adalah dari hasil perbaikan error menggunakan Filter Kalman yang memiliki nilai MAPE terkecil sehingga hasil ramalan lebih akurat dan mendekati aslinya.

  

Kata Kunci : ARIMA, Estimasi Parameter, Filter Kalman,

  Perbaikan Error

  

ARIMA-KALMAN FILTER MODEL TO PREDICTED THE

CRUDE OIL COMMODITY PRICES

Student’s Name : AMALIA SEFI ACHMADA NRP : 1213 100 014 Department : Mathematics Supervisors : 1. Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si

2. Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes

  

ABSTRACT

Forecasting the crude oil commodity prices is the one of the

studies undertaken to anticipate future period prices of oil

commodities to maintaineconomic stability. In this study,

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) is used to

formulate models forecasting crude oil commodity prices. After

obtaining an appropriate model, an estimation of parameters and

errors of the ARIMA model with Kalman Filter is obtained. On

ARIMA got the appropriate model that is

   with MAPE,

  

whereas parameter estimation result yield Mean Absolute

Percentage Error (MAPE) value equal to

  .For the result

  

of error corection on ARIMA model got smaller MAPE value in

polynomial of degree 2, so it can be seen that the higher

polynomial degree, then the resulting error will also be smaller.

  

The final result shows that forecasting for error estimation

using Kalman Filter has the smallest MAPE value so it is so more

accurate.

  

Keywords : ARIMA, Error Corection, Parameter Estimation,

Kalman Filter

KATA PENGANTAR

  Segala puji bagi Allah SWT Tuhan semesta alam yang telah memberikan karunia, rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul: “Model

  

ARIMA-Filter Kalman Untuk Prediksi Harga Komoditas

Minyak Mentah” yang merupakan salah satu persyaratan

  akademis dalam menyelesaikan Program Studi S-1 pada Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

  Tugas Akhir ini dapat diselesaikan berkat kerjasama, bantuan, dan dukungan dari banyak pihak. Sehubungan dengan hal itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.

  Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA ITS.

  2. Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si dan Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes sebagai dosen pembimbing Tugas Akhir atas segala bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis.

  3. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si selaku Koordinator Program Studi S-1 Departemen Matematika FMIPA ITS.

  4. Drs. Soehardjoepri, M.Si, Dr. Dieky Adzkiya,S.Si, M.Si, Dr.

  Budi Setiyono, S.Si, MT selaku dosen penguji Tugas Akhir.

  5. Drs. Soetrisno, M.I.Komp selaku dosen wali penulis yang telah banyak membantu memberikan arahan akademik selama penulis menempuh pendidikan di Departemen Matematika FMIPA ITS.

  6. Bapak dan Ibu Dosen serta seluruh staff Tata Usaha dan Laboratorium Departemen Matematika FMIPA ITS.

  7. Teman-teman mahasiswa Departemen Matematika FMIPA ITS.

  Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dari pembaca. Akhir kata, semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.

  Surabaya, Juli 2017

  Penulis

  Special thanks to

  Selama proses pembuatan Tugas Akhir ini, banyak pihak yang telah memberikan bantuan dan dukungan untuk penulis. Penulis mengucapkan terima kasih dan apresiasi secara khusus kepada: 1.

  Kedua orang tua yaitu Bapak Ibrahim Achmadi dan Ibu Sriati, yang selalu mendukung dan mendoakan penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir.

  2. Saudara penulis yaitu Rizki Prassetya Achmadi yang selalu menanyakan kapan pulang ke rumah, dan selalu paling update menceritakan kisah-kisah dari sinetron Rompis. Terima kasih atas hiburan anti mainstreamnya.

  3. Teman-teman “Manis Manja” yang selama ini selalu menemani dan tidak bosan mengingatkan untuk tetap semangat untuk menyelesaikan Tugas Akhir, meskipun lebih banyak menghabiskan waktu hanya untuk bermain dan “tur” keliling Surabaya hanya untuk mencari secercah “kebahagiaan” :D Suwun ya dulur. Saudara baru ditempat yang baru. Terima kasih.

  4. Frikha Anggita yang selama ini sudah seperti saudara penulis sendiri, terima kasih sudah menemani dan mendengarkan segala keluh kesah selama menjalani perkuliahan di ITS.

  Thank you Mbul sudah menjadi saudara sekaligus sahabat

  selama ini. Semangat terus!!! 5. Mbak Popy (2012) terima kasih mbak yaa kemarin pas puasa sudah mau diajak ngebut ngerjain kodingan Kalman haha, terima kasih meskipun diajak ngebut tapi nggak pernah marah sedikitpun. Adik bayinya juga warbyasah haha tahan banget diajak belajar Kalman meski masih diperut. Semoga lancar sampai lahiran ya mbak, adik bayinya sehat terus, sekeluarga juga sehat terus. Aamiin.

  6. Ardi Firmansyah, komting 2013, meski tidak pernah memberi semangat maupun bantuan moril, tapi tetep penulis ingin berterima kasih untuk segalanya, yang secara tidak disadari penulis banyak belajar dari ketekunan, kesabaran, dan pertemanan yang meski banyak olok-olokan selama ini. Suwun bos. Kon keren! Tentu saja masih banyak pihak lain yang turut andil dalam penyelesaian Tugas Akhir ini yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas dengan balasan yang lebih baik bagi semua pihak yang telah membantu penulis.

  Aamiin ya rabbal ‘alamin.

  

DAFTAR ISI

  

  

  BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN

  

  

  BAB III METODOLOGI PENELITIAN

  

  

  

  

  Hal HALAMAN JUDUL......................................................................i

  BAB II TINJAUAN PUSTAKA

  

  

  

  

  

  

  BAB I PENDAHULUAN

  

  

  

  

  

  

  BAB V PENUTUP

  

  

  

DAFTAR GAMBAR

  Hal

Gambar 3.1 Block Diagram Penelitian .................................. 18Gambar 3.2 Block Diagram ARIMA ..................................... 19Gambar 3.3 Block Diagram Filter Kalman ............................ 20Gambar 4.1 Plot Box-Cox Data Sebelum Transformasi ........ 25Gambar 4.2 Plot Box-Cox Sesudah Transformasi ................. 25Gambar 4.3 Plot Data Hasil Transformasi ............................. 25Gambar 4.4 Plot Data Stasioner Terhadap Rata-rata ............. 26Gambar 4.5 Plot ACF Data .................................................... 26Gambar 4.6 Plot PACF Data .................................................. 27Gambar 4.7 Hasil Simulasi Perbandingan Hasil ARIMA

  

Gambar 4.8 Hasil Simulasi Perbandingan ARIMA,

  

Gambar 4.9 Hasil Peramalan Harga Minyak Mentah Filter

  

  

Gambar 4.10 Hasil Peramalan Harga Minyak Mentah Filter

  

  

Gambar 4.11 Hasil Prediksi Harga Komoditas Minyak

  

  

DAFTAR TABEL

  Hal

Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox ................................................ 6Tabel 2.2 Pola ACF dan PACF .................................................... 9Tabel 4.1 Deskripsi Data Harga Minyak Mentah Jenis WTI .... 23Tabel 4.2 Estimasi Parameter Model ARIMA

  

Tabel 4.3 Estimasi Parameter Model ARIMA

  

Tabel 4.4 Estimasi Parameter Model ARIMA

  

Tabel 4.5 Hasil Uji Asumsi White Noise dan Asumsi

  

Tabel 4.6 Nilai MAPE ARIMA ................................................. 35Tabel 4.7 Hasil Estimasi Parameter Model ARIMA

  

Tabel 4.8 Hasil MAPE ARIMA dengan Perbaikan Error ......... 42Tabel 4.9 Hasil Perbandingan MAPE ........................................ 44

  

DAFTAR LAMPIRAN

  Hal

  

LAMPIRAN 1 Data Harga Minyak Mentah Jenis WTI ........49

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan diuraikan hal-hal yang melatarbelakangi Tugas Akhir ini yang selanjutnya dituliskan dalam sub perumusan

  masalah. Dalam bab ini juga dicantumkan mengenai batasan masalah, tujuan, dan manfaat dari Tugas Akhir. Adapun sistematika penulisan Tugas Akhir diuraikan pada bagian akhir bab ini.

1.1 Latar Belakang

  Manusia tidak lepas dari energi. Semua aktifitas yang dilakukan baik kecil maupun besar pasti membutuhkan energi. Kebutuhan energi suatu negara erat kaitannya dengan jumlah penduduk dan tingkat perkembangan terutama perkembangan industri. Kebutuhan energi dunia saat ini masih sangat bergantung pada bahan bakar fosil terutama minyak. Minyak mentah merupakan salah satu komoditas utama dalam ekonomi global dan merupakan suatu komponen penting dalam pertumbuhan dan perkembangan ekonomi untuk negara yang sedang mengalami industrialisasi dan perkembangan. Harga minyak mentah memainkan peran penting dalam sektor perekonomian global, rencana pemerintah, dan sektor komersial. Dampak kenaikan harga minyak mentah dan fluktuasi harian tidak hanya mempengaruhi perekonomian dan pasar keuangan, tetapi juga memiliki efek langsung terhadap harga bahan bakar, barang, dan jasa.

  Selain itu, dampak penurunan harga minyak mentah seperti yang terjadi pada tahun 1998 mengakibatkan masalah defisit anggaran yang serius bagi negara-negara pengekspor minyak. Hal ini membuat bank pusat dan perusahaan pribadi selalu mempertimbangkan harga minyak sebagai salah satu kunci untuk menentukan proyeksi makroekonomi dan menaksir adanya kemungkinan kerugian terhadap makroekonomi. Oleh karena itulah peramalan yang tepat dan akurat terhadap harga minyak dapat berpotensi meningkatkan keakuratan hasil peramalan terhadap komoditas makroekonomi yang lainnya, serta dapat meningkatkan reaksi terhadap kebijakan makroekonomi [1]. Peramalan harga minyak mentah, selain ditujukan untuk mengurangi dampak dari fluktuasi harga, juga ditujukan untuk membantu investor dan individu dalam membuat keputusan yang berhubungan dengan pasar energi [2].

  Peramalan adalah suatu proses untuk membangun sebuah hipotesa masa mendatang [3], dan model peramalan yang memprediksi kejadian di masa mendatang telah diterapkan di banyak bidang seperti pada bidang ekonomi dan science karena merupakan suatu metode yang bermanfaat untuk membantu membuat keputusan. Dengan adanya peramalan, dapat mengolah data yang ada untuk menjelaskan suatu kejadian yang akan datang.

  Salah satu metode peramalan yang sering digunakan adalah peramalan dengan metode ARIMA, atau yang dikenal juga dengan sebutan Metode Box-Jenkins. ARIMA sebenarnya adalah teknik untuk mencari pola yang paling cocok dari sekelompok data, dengan demikian ARIMA memanfaatkan sepenuhnya data masa lalu dan sekarang untuk melakukan peramalan jangka pendek yang akurat [4].

  Model peramalan yang diperoleh dari model ARIMA memiliki beberapa parameter dan error yang berguna untuk menentukan peramalan, sehingga dibutuhkan sebuah metode untuk mengestimasi parameter dan memperbaiki error pada ARIMA. Oleh karena itulah diterapkan Metode Filter Kalman untuk dapat mengestimasi parameter serta memperbaiki nilai error ang diperoleh dengan ARIMA. Keunggulan metode Filter Kalman adalah kemampuannya dalam mengestimasi suatu keadaan berdasarkan data pengukuran (data aktual yang ada). Data pengukuran terbaru menjadi bagian penting dari algoritma Filter Kalman karena data mutakhir akan berguna untuk mengoreksi hasil prediksi, sehingga hasil estimasinya selalu mendekati kondisi yang sebenarnya [5].

  Dalam tugas akhir ini dibahas tentang penerapan metode ARIMA untuk mendapatkan model ramalan terbaik pada prediksi harga minyak mentah. Setelah mendapatkan model terbaik ARIMA, parameter yang didapatkan akan diestimasi, serta akan dilakukan perbaikan terhadap nilai error pada ARIMA untuk mendapatkan hasil prediksi harga minyak mentah.

  1.2 Rumusan Masalah

  Jenis minyak yang digunakan adalah West Texas Intermediate (WTI).

  2. Mendapatkan estimasi parameter dan tingkatan polinomial derajat error residual pada Filter Kalman terhadap hasil prediksi nilai peramalan ARIMA.

  Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Mendapatkan model terbaik untuk peramalan harga minyak jenis WTI dengan Metode ARIMA.

  5. Software yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah Minitab, Eviews, dan MATLAB.

  4. Polinomial derajat error residual ARIMA yang diambil adalah 2 dan 3.

  3. Nilai yang digunakan adalah .

  www.eia.doe.gov 2.

  Permasalahan yang dibahas pada Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

  1. Data harga minyak yang digunakan adalah data minyak harian (5 hari kerja yaitu Senin sampai Jumat dan hari efektif) bulan Januari 2016 hingga Februari 2017 yang diambil dari website

  Dalam pengerjaan Tugas Akhir ini diberikan suatu batasan masalah, sebagai berikut:

  1.3 Batasan Masalah

  3. Bagaimana prediksi harga minyak mentah untuk periode selanjutnya menggunakan ARIMA-Filter Kalman ?

  2. Bagaimana estimasi parameter dan perbaikan error ARIMA menggunakan Metode Filter Kalman ?

  1. Bagaimana mendapatkan model terbaik harga minyak dengan menggunakan Metode ARIMA ?

1.4 Tujuan

3. Mendapatkan prediksi harga minyak mentah.

1.5 Manfaat

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

  1. Mengetahui pola harga minyak dunia menggunakan Metode ARIMA.

  2. Mengetahui prediksi harga minyak mentah dengan ARIMA dan Filter Kalman.

1.6 Sistematika Penulisan

  Penulisan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab sebagai berikut:

  BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisan Tugas Akhir yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan.

  BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini membahas tentang teori dasar yang relevan untuk memecahkan persoalan yang dibahas pada Tugas Akhir ini, yaitu meliputi cara merumuskan model ARIMA Box-Jenkins dan metode Filter Kalman.

  BAB III METODOLOGI PENELITIAN Dalam bab ini membahas tentang metode yang akan digunakan dan tahapan-tahapan yang dilakukan dalam pengerjaan Tugas Akhir.

  BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Bab ini membahas secara detail proses pemilihan model yang sesuai untuk prediksi harga minyak mentah. Kemudian mengaplikasikan metode Filter Kalman untuk mengestimasi parameter model ARIMA dan perbaikan error-nya.

  BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan tugas akhir yang diperoleh dari bab pembahasan dan saran untuk pengembangan lebih lanjut dari Tugas Akhir.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dibahas teori-teori yang berhubungan dengan

  permasalahan dalam Tugas Akhir. Bahasan pertama mengenai analisis time series, pengertian dan bentuk umum model ARIMA serta langkah-langkah dalam merumuskan model ARIMA. Kemudian, dijelaskan mengenai metode Filter Kalman dan implementasinya untuk mengestimasi parameter dan perbaikan

  error model ARIMA.

2.1 Analisis Time series

  Time series atau runtun waktu merupakan serangkaian

  pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu tetap. Analisis time series merupakan metode peramalan kuantitatif untuk menentukan pola data pada masa lampau yang dikumpulkan berdasarkan urutan waktu [6].

2.1.1 Stasioneritas Stasioneritas artinya tidak terjadi pertumbuhan dan penurunan.

  Data dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata (mean) dan varian yang konstan selama waktu tertentu. Data dikatakan sudah stasioner dalam varian apabila nilai rounded value-nya bernilai satu pada plot Box-Cox. Apabila data tidak stasioner dalam varian, maka dapat dilakukan transformasi agar nilai varian menjadi konstan. Persamaan umum dari Transformasi Box-Cox adalah sebagai berikut [7]: dengan disebut sebagai parameter transformasi. Dalam Transformasi Box-Cox akan diperoleh nilai

  , yang nantinya akan menentukan transformasi yang harus dilakukan. Untuk = 0 dapat dinotasikan sebagai berikut [7]:

  ( )

  Nilai beserta aturan pada Transformasi Box-Cox dapat dilihat pada Tabel 2.1 [7]:

Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox Tranformasi Box-Cox Nilai

  ⁄ ⁄

  √ √

  Selanjutnya, apabila data sudah stasioner dalam varian, dilanjutkan dengan mengecek apakah data sudah stasioner dalam rata-rata (mean). Untuk data yang tidak stasioner terhadap rata- rata dapat diatasi dengan melakukan differencing. Operator shift mundur (backward shift) sangat tepat untuk mendeskripsikan proses differencing. Berikut adalah penggunaan dari operator

  backward shift [7]:

  (2.1) dengan: : nilai variabel pada waktu

  : nilai variabel pada waktu : operator backward shift

  Notasi mempunyai pengaruh yang dipasang pada menggeser data satu waktu ke belakang [7]. Apabila data tidak stasioner terhadap rata-rata, maka data tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan melakukan proses differencing orde pertama dari data.

2.1.2 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

  Fungsi autokorelasi (ACF) merupakan suatu fungsi yang digunakan untuk mengidentifikasi model time series dan melihat kestasioneran data dalam rata-rata. Fungsi autokorelasi yang dihitung berdasarkan sampel data dapat ditulis sebagai berikut [7]:

  ∑ ̅ ̅ ̂

  ∑ ̅ dengan:

  : koefisien autokorelasi pada lag ke- ̂

  : nilai variabel pada waktu ̅ : nilai rata-rata : jumlah data

  Fungsi autokorelasi parsial (PACF) digunakan sebagai alat untuk mengukur tingkat keeratan antara dan , apabila pengaruh lag dianggap terpisah. Untuk PACF dapat didekati dengan persamaan sebagai berikut [7]:

  ̂ ∑ ̂ ̂ ̅

  ∑ ̂ ̂ dan ̂ ̂ ̂ ̂ dengan

2.2 Model ARIMA

  Model ARIMA telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins pada tahun 1967. Model diterapkan untuk analisis time series, peramalan, dan pengendalian. Model AR (autoregressive) pertama kali diperkenalkan oleh Yule pada tahun 1926, kemudian dikembangkan oleh Walker. Sedangkan pada tahun 1937, model MA (moving average) pertama kali digunakan oleh Slutzsky. Sedangkan Wold adalah orang pertama yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA (Autoregressive Moving Average). Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan untuk mencakup time series musiman dan pengembangan sederhana yang mencakup proses- proses nonstasioner (ARIMA) [8].

  Model AR adalah model yang mendeskripsikan bahwa variabel terikat dipengaruhi oleh variabel terikat itu sendiri pada periode sebelumnya. Model AR orde ke- atau ARIMA secara umum dapat dinyatakan pada persamaan sebagai berikut [8]: dengan:

  : nilai variabel pada waktu ke- : parameter AR ke-

  : nilai error pada waktu ke- Model MA adalah model yang mendeskripsikan secara eksplisit hubungan ketergantungan antara nilai-nilai kesalahan yang berurutan. Model MA orde ke- atau model ARIMA secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut [8]: dengan:

  : nilai variabel pada waktu ke- : parameter MA ke-

  : nilai error pada waktu ke- Model ARMA adalah gabungan dari model AR dan MA. Bentuk fungsi persamaan untuk model ARMA atau model ARIMA secara umum dinyatakan sebagai berikut [7]:

  Model ARIMA diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Dimana orde menyatakan operator AR, orde menyatakan hasil differencing, dan orde q menyatakan operator dari MA. Bentuk persamaan umum dari model ARIMA adalah sebagai berikut [7]:

  (2.2) dengan: : nilai variabel pada waktu ke- : operator backward shift

  : orde differencing nonmusiman : parameter AR ke- : parameter MA ke- : nilai error pada waktu ke-

2.3 Perumusan Model ARIMA

  Terdapat empat tahapan yang akan dilalui dalam merumuskan model ARIMA yaitu identifikasi model, penaksiran dan pengujian parameter, pemeriksaan diagnosis, dan peramalan [8].

2.3.1 Identifikasi Model ARIMA

  Pada tahapan ini, data diuji kestasionerannya baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Setelah data stasioner dalam varian dan rata-rata, maka akan dilakukan proses identifikasi orde AR dan MA pada grafik ACF dan PACF. Tabel 2.2 menunjukkan cara menentukan orde pada model AR, MA, dan ARMA. Untuk menentukan orde tertinggi dapat dilihat dari banyaknya lag pada plot ACF yang berbeda nyata dari nol. Seperti halnya pada plot ACF, untuk menentukan orde tertinggi dapat dilihat dari banyaknya lag pada plot PACF yang berbeda nyata dari nol [8].

Tabel 2.2 Pola ACF dan PACF Model ACF PACF

  AR Menurun secara Terpotong setelah eksponensial lag ke-

  MA Terpotong setelah lag Menurun secara eksponensial ke-

  ARMA Menurun secara Menurun secara eksponensial setelah eksponensial setelah lag ke lag ke

  2.3.2 Penaksiran dan Pengujian Parameter ARIMA

  Tahapan selanjutnya dalam merumuskan model ARIMA adalah menentukan parameter model AR dan MA. Untuk penaksiran parameter model ARIMA dilakukan dengan menggunakan metode Least Square.

  Setelah diperoleh nilai estimasi dari masing-masing parameter, kemudian dilakukan pengujian signifikansi parameter untuk mengetahui apakah model sudah layak atau belum untuk digunakan. Untuk pengujian signifikansi parameter menggunakan uji t-student. Secara umum dan adalah parameter pada model ARIMA, sedangkan ̂ dan ̂ adalah estimasi parameternya. Hipotesis: estimasi parameter (parameter model tidak signifikan) estimasi parameter (parameter model signifikan)

  Statistik uji: (2.3)

  Kriteria Pengujian: Jika nilai (dengan

  | | ), maka ditolak yang berarti parameter model signifikan.

  2.3.3 Pemeriksaan Diagnostik

  Pengujian diagnostik residual dilakukan setelah pengujian signifikansi parameter model ARIMA, untuk membuktikan kecukupan model. Pemeriksaan diagnostik residual meliputi uji asumsi white noise, berdistribusi normal, dan overfitting. White

  

noise merupakan proses dimana tidak terdapat korelasi dalam

deret residual [6].

  Berikut ini uji diagnostik pada model ARIMA: 1.

  Uji Asumsi Residual White Noise White Noise artinya tidak ada korelasi pada deret residual. Pengujian asumsi residual white noise dapat menggunakan uji Ljung-Box. Pengujiannya dapat dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut [6]:

  Hipotesis: (residual bersifat white noise) minimal ada satu untuk

  (residual tidak bersifat white noise) Statistik uji:

  ̂

  ∑ (2.4) dengan: : lag maksimum : jumlah data

  : autokorelasi residual untuk lag ke- ̂ Kriteria Pengujian: Jika (dengan nilai

  ), maka diterima yang berarti bahwa residual white noise.

2. Uji Asumsi Distribusi Normal

  Untuk pengujian residual berdistribusi normal dapat menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov [7]. Hipotesis: untuk semua (residual berdistribusi normal) untuk beberapa (residual tidak berdistribusi normal)

  Statistik uji | | (2.5) dengan:

  : deviasi maksimum : nilai supremum (maksimum) untuk semua dari selisih mutlak dan

  : fungsi peluang kumulatif yang berdistribusi normal atau fungsi yang dihipotesiskan : fungsi distribusi kumulatif dari data sampel Kriteria pengujian: Jika (dengan diterima yang

  ), maka artinya residual berdistribusi normal.

3. Overfitting

  Salah satu prosedur pemeriksaan diagnostik yang dikemukakan Box Jenkins adalah overfitting, yakni dengan menambah satu atau lebih parameter dalam model yang dihasilkan pada tahap identifikasi. Model yang dihasilkan dari hasil overfitting dijadikan sebagai model alternatif yang kemudian dicari model yang terbaik diantara model-model yang signifikan [8].

2.3.4 Pemilihan Model Terbaik

  Pemilihan model terbaik dapat dilakukan berdasarkan kriteria, untuk data in sample yang digunakan adalah Aikaike's

  

Information Criterion (AIC) dan Scwartz's Bayesian Criterion

  (SBC). AIC adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik yang mempertimbangkan banyaknya parameter dalam model. Kriteria AIC dapat dirumuskan sebagai berikut [7]:

  ( ) dengan: : Sum Square Error : banyak pengamatan : banyak parameter dalam model

  SBC adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik yang berdasarkan pada nilai terkecil. Kriteria SBC dapat dirumuskan sebagai berikut [7]:

  ( ) dengan: : Sum Square Error : banyak pengamatan : banyak parameter dalam model

  Selain itu, pemilihan model terbaik juga dapat dilihat dengan menggunakan perhitungan nilai MAPE, yaitu ukuran kesalahan yang dihitung dengan mencari nilai tengah dari presentase absolut perbandingan kesalahan atau error dengan data aktualnya. Didenifisikan MAPE adalah sebagai berikut [7]:

  ̂ |

  ∑ | dengan: : nilai data ke- : nilai peramalan ke-

  ̂ : banyak data

  2.4 Metode Least Square

  Metode ini merupakan salah satu metode yang dilakukan untuk mencari nilai parameter dengan meminimumkan jumlah kuadrat keasalahan. Dimisalkan metode Least Square diaplikasikan pada model AR atau ARIMA dengan persamaan sebagai berikut[6]:

  Maka model Least Square untuk AR ditunjukkan dalam persamaan berikut[6]:

  ∑ ∑ [ ] Berdasarkan prinsip dari metode Least Square, pendugaan parameter dengan cara meminimumkan . Hal ini dilakukan dengan cara menurunkan terhadap kemudian disamadengankan nol. Untuk turunan dari terhadap menghasilkan[6]:

  ∑ [ ] Sehingga diperoleh estimasi parameter sebagai berikut:

  ∑ ̂

  ∑

  2.5 Metode Filter Kalman Filter Kalman adalah suatu metode estimasi yang optimal.

  Komponen dasar dari metode Filter Kalman adalah persamaan pengukuran dan persamaan transisi. Data pengukuran digunakan untuk memperbaiki hasil estimasi. Secara umum algoritma Filter Kalman untuk sistem dinamik linear waktu diskrit dapat dinyatakan sebagai berikut [9]:

1. Model sistem dan model pengukuran:

  (2.6) (2.7)

  ( ̅ ) 2. Inisialisasi:

  ̂ ̅ 3. Tahap prediksi:

  Estimasi: ̂ ̂

  ̅

  Kovarians eror:

  ̅ 4.

  Tahap Koreksi: Kalman Gain:

  ̅ ̅

  Kovarians eror: [ ]

  ̅

  Estimasi: ̂ ̂ [ ̂ ]

  ̅ ̅

  dengan: : variabel keadaan sistem pada waktu yang nilai estimasi awalnya adalah dan kovarian awal

  ̅ : variabel input deterministik pada waktu

  : noise pada pengukuran dengan mean sama dengan nol dan kovariansi : variabel pengukuran

  : noise pada pengukuran dengan mean sama dengan nol dan kovarian : matriks koefisien model pengukuran

  : matriks koefisien model sistem : matriks koefisien noise sistem

  Dalam penelitian ini untuk merupakan parameter dan juga

  error dari ARIMA.

  

2.5.1 Penerapan Filter Kalman dalam Estimasi Parameter

Model ARIMA

  Pada Tugas Akhir ini berdasarkan atas pengamatan dan sesuai dengan hasil model peramalan analisis deret waktu (time series) dari data harga minyak mentah jenis WTI. Setelah diperoleh model ARIMA maka akan dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan Filter Kalman. Seperti pada model ARIMA [7]:

  Dengan koefisien adalah parameter yang akan diestimasi menggunakan Filter Kalman. Diasumsikan sebagai

  

state vektor yang dibentuk dari koefisien yaitu

  . Berikut ini persamaan model sistem [

  ] dan model pengukuran pada metode Filter Kalman [7]: dengan:

  : variabel keadaan sistem pada waktu yang nilai estimasi awalnya adalah dan kovarian awal

  ̅ : noise pada model sistem

  : variabel pengukuran : matriks koefisien model pengukuran

  : noise pada model pengukuran : matriks konstan di dalam ukuran yang bersesuaian dengan dan

  

2.5.2 Penerapan Filter Kalman dalam Perbaikan Error Model

ARIMA

  Pada tahapan ini, hasil model peramalan analisis time series dari pola harga minyak mentah jenis WTI dapat dinyatakan sebagai parameter dan akan dilakukan pendekatan yang didasarkan pada koreksi dari bias prakiraan dalam penggunaan Filter Kalman. Selanjutnya akan difokuskan pada studi parameter satu waktu. Diberikan polinomial [10]:

  (2.8) dengan: : selisih data aktual dan data prediksi ARIMA ke-

  : koefisien atau parameter yang harus diestimasi oleh Filter Kalman, dengan

  : data ke- : konstanta

  Misalkan state vektor yang dibentuk dari koefisen yaitu , pengamatan bias adalah ,

  [ ] matriks pengamatan adalah [ ] , dan sistem adalah . Sehingga persamaan sistem dan pengamatan adalah sebagai berikut [10]:

  [ ] [

  ] dengan adalah matriks identitas.

BAB III METODOLOGI PENELITIAN Pada bab ini akan diuraikan langkah-langkah sistematis yang

  dilakukan dalam proses pengerjaan Tugas Akhir. Tahapan penelitian dalam Tugas Akhir ini terdiri dari beberapa tahapan, yaitu studi literatur, pengumpulan data, analisis model ARIMA, simulasi Filter Kalman, dan penarikan kesimpulan. Tahapan tersebut direpresentasikan pada Gambar 3.1 sampai dengan Gambar 3.3.

3.1 Tahapan Penelitian

  Dalam melakukan penelitian Tugas Akhir ini terdapat beberapa tahapan yaitu sebagai berikut:

  1. Studi literatur Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan yang akan dibahas. Dari permasalahan dan tujuan yang sudah dirumuskan, selanjutnya dilakukan studi literatur untuk mendukung pengerjaan Tugas Akhir dan pemahaman yang lebih mendalam tentang metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam Tugas Akhir. Literatur yang dipelajari bersumber dari jurnal, penelitian-penelitian sebelumnya, dan dari website-website di internet.

  2. Pengumpulan data Pengumpulan data dilakukan untuk mendapatkan data yang dibutuhkan untuk pengerjaan Tugas Akhir, yaitu data sekunder dari website Crushing, OK WTI Spot Price FOB (Dollars per Barrel).

  3. Analisis model ARIMA Pada tahap ini dilakukan analisis data untuk mendapatkan model ARIMA. Langkah pertama yang harus dipenuhi adalah data yang harus stasioner dalam varian dan mean. Langkah kedua yaitu analisis nilai ACF dan PACF. Setelah data stasioner, maka akan didapatkan hasil ACF dan PACF data yang dapat digunakan untuk membuat suatu model peramalan. Setelah didapatkan model kemudian peramalan dapat dilakukan dengan menggunakan data out-sample.

  Data Harga Minyak Mentah WTI

Pemodelan ARIMA

  T

  

Model

Terbaik ?

Y

  Model ARIMA

Terbaik

Peramalan Harga Perbaikan Error dengan Estimasi Parameter

  Komoditas Minyak menggunakan Filter dengan Metode Filter Kalman Kalman Mentah dengan ARIMA

  Simulasi Matlab Simulasi Matlab Peramalan Harga Peramalan Harga Komoditas Minyak Komoditas Minyak Mentah dengan Mentah dengan

  Perbaikan Error Estimasi Parameter ARIMA-Filter Kalman ARIMA-Filter Kalman

Perbandingan nilai MAPE

Analisis Hasil dan kesimpulan

  

Selesai

Gambar 3.1 Block Diagram Penelitian

  T Y

Gambar 3.2 Block Diagram ARIMA

  A Mulai Studi Literatur

  Data Harga Minyak Mentah WTI

  Rumuskan kelompok model-model yang umum Penetapan model untuk sementara

  Model sesuai? A Peramalan Harga

  Komoditas Minyak Mentah dengan ARIMA Selesai

  Penaksiran parameter pada model sementara Pemeriksaan diagnostik Tahap

  Identifikasi Tahap Penaksiran dan Pengujian

  Mulai Mengubah bentuk model ARIMA terbaik ke dalam state space

  Menentukan nilai awal

̂

Menghitung

  Menghitung vektor estimasi dan matriks Iterasi kovarian error sebanyak ̂ ̅ ̂

  

̅

Menghitung Kalman Gain

  ̅ ̅ Update matriks kovarian untuk estimasi yang telah di update

  [ ] ̅

  Update estimasi dengan input pengukuran ̂ ̂ [ ̂ ]

  ̅ ̅ Penarikan Kesimpulan

  Selesai

Gambar 3.3 Block Diagram Filter Kalman

4. Hasil dan simulasi data metode Filter-Kalman

  Pada tahap ini dilakukan implementasi simulasi Filter Kalman sebagai estimasi parameter dan perbaikan error atas hasil ARIMA dengan bantuan software MATLAB.

  forecasting 5.

  Kesimpulan Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil penelitian, dimana MAPE dianalisis melalui perbandingan hasil

  

forecasting yang telah didapatkan dari hasil metode ARIMA dan

ARIMA-Filter Kalman.

3.2 Tahap Penelitian

  Tahapan-tahapan untuk melakukan penelitian ini digambarkan seperti pada diagram alir Gambar 3.1 sampai dengan Gambar 3.3. Pada Gambar 3.1 dapat dilihat bahwa dalam mendapatkan nilai prediksi harga komoditas minyak mentah untuk periode 3 bulan ke depan (periode Desember 2016 hingga Februari 2017) dilakukan dengan membandingkan nilai MAPE dari proses ARIMA, ARIMA-Filter Kalman untuk estimasi parameter, serta ARIMA-Filter Kalman untuk polinomial derajat 1 dan 2. Setelah didapatkan nilai MAPE masing-masing proses maka dilihat manakah proses yang menghasilkan nilai MAPE terendah, proses dengan nilai MAPE terendah akan digunakan sebagai model untuk meramalkan harga komoditas minyak mentah periode selanjutnya karena memiliki tingkat error yang lebih rendah dan lebih akurat.

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dilakukan analisis dan pembahasan mengenai

  langkah-langkah penerapan Filter Kalman dalam estimasi parameter sekaligus perbaikan error terhadap model ARIMA.

  4.1 Varibel dan Data Penelitian

  Dalam tugas akhir ini, penulis menggunakan data harian minyak mentah dunia jenis WTI. Data yang digunakan sebanyak 291 data harga minyak mentah yang diambil setiap hari mulai Januari 2016 sampai Februari 2017 yaitu sebanyak 291. Data yang diperoleh kemudian dibagi menjadi dua yaiu data in-sample dan data out-sample. Data in-sample yang digunakan sebanyak 231 data (Januari 2016-November 2016), sedangkan data out-

  

sample sebanyak 60 data (Desember 2016-Februari 2017). Data

in-sample digunakan untuk membentuk model dan data out-

sample digunakan untuk mengecek ketepatan model. Data yang

  digunakan pada penelitian ini yaitu data harian minyak mentah dunia jenis WTI. Deskripsi data harga minyak mentah jenis WTI didapatkan dari data in-sample pada Lampiran 1, yang secara umum ditampilkan dalam Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Deskripsi Data Harga Minyak Mentah Jenis WTI

  Data Mean St.Dev Max Min WTI

Tabel 4.1 menunjukkan rata-rata, standar deviasi, data terbesar, dan data terkecil pada data harga minyak mentah jenis

  WTI. Pada Tabel 4.1 diketahui bahwa harga minyak terendah untuk periode Januari 2016 hingga November 2016 adalah , sedangkan harga tertingginya adalah .

  4.2 Analisis dan Perumusan Model ARIMA

  Langkah awal dalam merumuskan model ARIMA adalah menguji kestasioneran data. Dalam hal ini, data harga minyak yang diuji haruslah stasioner terhadap varian maupun rata-rata. Jika data sudah stasioner terhadap varian maupun rata-rata, maka dilakukan proses pemilihan model yang tepat dengan cara mengidentifikasi orde AR dan MA pada grafik ACF dan PACF. Setelah memperoleh model dilakukan uji signifikansi parameter, uji residual white noise dan berdistribusi normal. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter model terbaik dengan menggunakan Filter Kalman.

  Berikut ini penjabaran langkah-langkah perumusan model ARIMA pada harga minyak mentah dunia jenis WTI.

4.2.1 Stasioneritas

  Akan dilakukan identifikasi stasioneritas terhadap data harga minyak mentah dunia jenis WTI. Time series dikatakan stasioner apabila tidak terdapat perubahan kecenderungan, baik dalam varian maupun rata-rata. Dengan kata lain, time series stasioner apabila relatif tidak terjadi kenaikan ataupun penurunan nilai secara tajam pada data.

  Plot Box-Cox terhadap data minyak mentah jenis WTI dapat dilihat pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 menunjukkan nilai λ dengan nilai kepercayaan berada diantara dan , dengan nilai estimate sebesar dan rounded value sebesar . Hal ini menunjukkan bahwa data belum stasioner terhadap varian karena nilai rounded value-nya tidak sama dengan 1. Sehingga data tersebut perlu distasionerkan dengan menggunakan Transformasi Box-Cox agar didapatkan nilai rounded value sama dengan 1.

  Dengan memasukkan nilai , dapat dilihat pada Gambar

  4.2 bahwa data sudah stasioner terhadap varian setelah dilakukan Transformasi Box-Cox yaitu dengan nilai rounded value sama dengan 1.

  Pada Gambar 4.3 secara visual dapat diketahui bahwa data belum memiliki pola yang teratur. Oleh karena itulah, perlu dilakukan proses differencing. Hasil dari proses differencing dapat dilihat pada Gambar 4.4. Gambar 4.4 menunjukkan bahwa setelah dilakukan proses differencing data sudah terlihat stasioner terhadap mean. Hal ini dapat diketahui dari plot rata-rata deret pengamatan yang berfluktuasi di sekitar nilai tengah dan trend sudah mendekati sumbu horizontal.

Gambar 4.1 Plot Box-Cox Data Sebelum TransformasiGambar 4.2 Plot Box-Cox Sesudah TransformasiGambar 4.3 Plot Data Hasil TransformasiGambar 4.4 Plot Data Stasioner Terhadap Rata-rata

4.2.2 Identifikasi Model ARIMA

  Data yang sudah stasioner terhadap varian maupun mean, selanjutnya akan dilanjutkan dengan mengidentifikasi model ARIMA melalui pengecekan pola ACF dan PACF. Pola ACF dan PACF masing-masing dapat dilihat pada Gambar 4.5 dan Gambar

  4.6. Terlihat pada Gambar 4.5 plot ACF keluar pada lag ke-60, sedangkan untuk plot PACF pada Gambar 4.6 keluar pada lag ke-