PERLUASAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK PARSIAL
PERLUASAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG
METRIK PARSIAL
Devi Arintika
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia
Email : devi_arintika@rocketmail.com
Abstrak. Dalam skripsi ini dipelajari teorema titik tetap Banach pada ruang metrik parsial. Hasil dan pembahasan
menunjukkan bahwa teorema titik tetap Banach berlaku pada ruang metrik parsial.
Kata kunci : ruang metrik parsial, titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Dalam ilmu matematika, ruang metrik merupakan kesatuan jarak yang didefinisikan antara
unsur-unsur dari suatu himpunan. Metode ruang metrik telah digunakan selama puluhan tahun dalam
berbagai aplikasi, misalnya dalam mesin pencari internet, klasifikasi citra atau klasifikasi protein.
Diperkenalkan oleh Matthews pada tahun 1992, sebuah ruang metrik parsial merupakan
generalisasi dari sebuah ruang metrik. Jarak suatu titik dari dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol.
Hal ini memotivasi seorang ahli komputer untuk mendalami tentang ruang metrik parsial (Bukatin,
2009).
Ruang metrik yang tidak selalu bernilai nol ketika berjarak dengan dirinya sendiri membuat
teorema tentang pemetaan kontraksi sedikit mengalami perubahan. Dalam skripsi ini akan dibahas
tentang teorema pemetaan kontraksi pada ruang metrik parsial.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Misalkan
(Kreyzig, 1978).
adalah pemetaan
. Titik
disebut titik tetap
Teorema 1. Misalkan
adalah ruang metrik lengkap. Jika
pada , maka mempunyai titik tetap yang tunggal (Kreyzig, 1978).
Bukti : Ambil
dan dibentuk barisan
karena
untuk
Misal
adalah pemetaan kontraksi
dengan suku-suku sebagai berikut
Akan ditunjukkan bahwa
adalah barisan Cauchy.
Ambil
, karena kontraksi maka
(
)
dimana
. Ambil bilangan
, dengan
segitiga pada metrik, didapatkan
∑
, maka deret ∑
jika
maka dengan sifat pertidaksamaan
(1)
pada ketaksamaan (1) konvergen ke
sehingga diperoleh
.
Dengan demikian
Karena lengkap,
pemetaan . Karena
, maka
barisan Cauchy.
konvergen, katakan
, berlaku :
(
)
. Akan ditunjukkan bahwa
adalah titik tetap dari
.
Karena
sebarang, (
. Berdasarkan sifat metrik didapatkan
. Jadi, menurut
)
definisi kontraksi, merupakan titik tetap dari pemetaan kontraksi .
Sekarang akan ditunjukkan bahwa titik tetap tunggal. Andaikan dan adalah titik tetap dari ,
136
sehingga berlaku
) dan
.
Dengan demikian
.
(
)
.
Karena
sehingga
. Sehingga berdasarkan sifat metrik didapatkan
Dengan demikian terbukti bahwa pemetaan konraksi pada yang lengkap mempunyai titik tetap yang
tunggal.
Definisi 2. Diberikan himpunan yang tidak kosong. Fungsi
→
disebut metrik parsial
pada jika memenuhi aksioma-aksioma dibawah ini:
P1.
, untuk semua
;
P2.
jika dan hanya jika
;
P3.
(simetri);
P4.
(pertidaksamaan segitiga).
Sebuah ruang metrik parsial adalah pasangan dari
yang mana adalah sebuah himpunan
tidak kosong dan adalah suatu metrik parsial pada .
Contoh 1. Misalkan
Maka
didefinisikan
|
adalah metrik parsial.
Contoh 2. Diberikan
|
sehingga
| | | |
adalah ruang metrik parsial. Didefinisikan
, sehingga
.
Maka
adalah ruang metrik.
Definisi 3. Sebuah barisan titik
di dalam ruang metrik parsial
adalah Cauchy jika terdapat
sedemikian sehingga untuk setiap
terdapat
sehingga untuk semua
,
|
|
Dengan kata lain,
atau
adalah Cauchy jika barisan
konvergen ke
. Jika
adalah ruang metrik maka
Definisi 4. Sebuah barisan titik
setiap
maka terdapat
di dalam ruang metrik parsial
sedemikian sehingga
berlaku
untuk
.
konvergen ke
,
, untuk
dan
.
Barisan
yang konvergen ke
dapat ditulis
Jika sebuah barisan titik konvergen maka jarak terhadap dirinya sendiri adalah konvergen pada titik
yang berjarak.
Teorema 2. Misal
konvergen, maka
adalah ruang metrik parsial dan barisan
adalah barisan Cauchy.
Bukti : Misalkan barisan
sedemikian sehingga setiap
konvergen ke
, berlaku :
maka untuk sebarang
di dalam
. Jika
terdapat
dan
Untuk
juga berlaku persamaan yang sama.
Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
|
|
Jadi, terbukti bahwa suatu barisan yang konvergen dalam ruang metrik parsial adalah Cauchy.
Definisi 5. Suatu ruang metrik parsial
(Bukatin, 2009).
dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy konvergen
137
Definisi 6. Diberikan ruang metrik parsial
sedemikian sehingga untuk semua
(
(Bukatin, 2009).
, suatu fungsi
berlaku
)
disebut kontraksi jika terdapat
Teorema 3. Diberikan ruang metrik parsial
. Jika
maka mempunyai titik tetap yang tunggal (Bukatin, 2009).
Bukti : Andaikan
, kemudian dibentuk barisan
(
)
Dari definisi kontraksi diperoleh
(
)
adalah pemetaan kontraksi pada
dengan
,
, sehingga diperoleh
Secara umum diperoleh
(2)
Ambil
Karena
diperoleh
dengan
(
∑
, maka dengan pertidaksamaan segitiga dan (2) diperoleh
)
, maka deret ∑
Dimisalkan
pada pertidaksamaan (3) konvergen ke
(3)
sehingga
.
, untuk
diperoleh
.
Dengan demikian
adalah barisan Cauchy.
Karena lengkap,
konvergen, katakan
tetap pemetaan . Menurut (definisi 4) berlaku
. Akan ditunjukkkan bahwa
adalah titik
(4)
dan
(5)
Untuk untuk setiap
dan
Dengan (4) dan (5) diperoleh
.
(
Untuk semua
dan
(
)
)
(
(
)
)
, atau
sehingga
,
dengan cara yang sama akan dibuktikan juga bahwa
(
Untuk semua
dan
diperoleh
Berdasarkan persamaan (6) dan (7) diperoleh
Jadi
Misalkan
Karena
, maka adalah titik tetap.
dimana
dan
)
(
(
(
, sehingga
)
)
(
(6)
.
, atau
(
)
, akan ditunjukkan
)
(7)
).
tunggal.
Atau
138
(8)
Demikian juga dengan
Karena
(
, sehingga
(
)
(
)
)
atau
(9)
Berdasarkan persamaan (8) dan (9) diperoleh
Menurut aksioma P2 diperoleh
.
. Sehingga titik tetap dari pemetaan
adalah tunggal.
3. KESIMPULAN
Dari pembahasan didapatkan kesimpulan bahwa ruang metrik parsial merupakan generalisasi
dari ruang metrik dan pada ruang metrik parsial berlaku teorema titik tetap Banach.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Mohamad Muslikh, Ratno Bagus E. W., dan Sa’adatul Fitri atas
segala bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Bukatin, M., dkk., (2009), Partial Metric Spaces, Publ. Int. Math, 116, hal. 708-718.
Kreyszig, E., (1978), Introductory Functional Analysis with Aplications, John Wiley and Sons, Inc.,
Canada, hal. 299-303.
139
METRIK PARSIAL
Devi Arintika
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia
Email : devi_arintika@rocketmail.com
Abstrak. Dalam skripsi ini dipelajari teorema titik tetap Banach pada ruang metrik parsial. Hasil dan pembahasan
menunjukkan bahwa teorema titik tetap Banach berlaku pada ruang metrik parsial.
Kata kunci : ruang metrik parsial, titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Dalam ilmu matematika, ruang metrik merupakan kesatuan jarak yang didefinisikan antara
unsur-unsur dari suatu himpunan. Metode ruang metrik telah digunakan selama puluhan tahun dalam
berbagai aplikasi, misalnya dalam mesin pencari internet, klasifikasi citra atau klasifikasi protein.
Diperkenalkan oleh Matthews pada tahun 1992, sebuah ruang metrik parsial merupakan
generalisasi dari sebuah ruang metrik. Jarak suatu titik dari dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol.
Hal ini memotivasi seorang ahli komputer untuk mendalami tentang ruang metrik parsial (Bukatin,
2009).
Ruang metrik yang tidak selalu bernilai nol ketika berjarak dengan dirinya sendiri membuat
teorema tentang pemetaan kontraksi sedikit mengalami perubahan. Dalam skripsi ini akan dibahas
tentang teorema pemetaan kontraksi pada ruang metrik parsial.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Misalkan
(Kreyzig, 1978).
adalah pemetaan
. Titik
disebut titik tetap
Teorema 1. Misalkan
adalah ruang metrik lengkap. Jika
pada , maka mempunyai titik tetap yang tunggal (Kreyzig, 1978).
Bukti : Ambil
dan dibentuk barisan
karena
untuk
Misal
adalah pemetaan kontraksi
dengan suku-suku sebagai berikut
Akan ditunjukkan bahwa
adalah barisan Cauchy.
Ambil
, karena kontraksi maka
(
)
dimana
. Ambil bilangan
, dengan
segitiga pada metrik, didapatkan
∑
, maka deret ∑
jika
maka dengan sifat pertidaksamaan
(1)
pada ketaksamaan (1) konvergen ke
sehingga diperoleh
.
Dengan demikian
Karena lengkap,
pemetaan . Karena
, maka
barisan Cauchy.
konvergen, katakan
, berlaku :
(
)
. Akan ditunjukkan bahwa
adalah titik tetap dari
.
Karena
sebarang, (
. Berdasarkan sifat metrik didapatkan
. Jadi, menurut
)
definisi kontraksi, merupakan titik tetap dari pemetaan kontraksi .
Sekarang akan ditunjukkan bahwa titik tetap tunggal. Andaikan dan adalah titik tetap dari ,
136
sehingga berlaku
) dan
.
Dengan demikian
.
(
)
.
Karena
sehingga
. Sehingga berdasarkan sifat metrik didapatkan
Dengan demikian terbukti bahwa pemetaan konraksi pada yang lengkap mempunyai titik tetap yang
tunggal.
Definisi 2. Diberikan himpunan yang tidak kosong. Fungsi
→
disebut metrik parsial
pada jika memenuhi aksioma-aksioma dibawah ini:
P1.
, untuk semua
;
P2.
jika dan hanya jika
;
P3.
(simetri);
P4.
(pertidaksamaan segitiga).
Sebuah ruang metrik parsial adalah pasangan dari
yang mana adalah sebuah himpunan
tidak kosong dan adalah suatu metrik parsial pada .
Contoh 1. Misalkan
Maka
didefinisikan
|
adalah metrik parsial.
Contoh 2. Diberikan
|
sehingga
| | | |
adalah ruang metrik parsial. Didefinisikan
, sehingga
.
Maka
adalah ruang metrik.
Definisi 3. Sebuah barisan titik
di dalam ruang metrik parsial
adalah Cauchy jika terdapat
sedemikian sehingga untuk setiap
terdapat
sehingga untuk semua
,
|
|
Dengan kata lain,
atau
adalah Cauchy jika barisan
konvergen ke
. Jika
adalah ruang metrik maka
Definisi 4. Sebuah barisan titik
setiap
maka terdapat
di dalam ruang metrik parsial
sedemikian sehingga
berlaku
untuk
.
konvergen ke
,
, untuk
dan
.
Barisan
yang konvergen ke
dapat ditulis
Jika sebuah barisan titik konvergen maka jarak terhadap dirinya sendiri adalah konvergen pada titik
yang berjarak.
Teorema 2. Misal
konvergen, maka
adalah ruang metrik parsial dan barisan
adalah barisan Cauchy.
Bukti : Misalkan barisan
sedemikian sehingga setiap
konvergen ke
, berlaku :
maka untuk sebarang
di dalam
. Jika
terdapat
dan
Untuk
juga berlaku persamaan yang sama.
Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
|
|
Jadi, terbukti bahwa suatu barisan yang konvergen dalam ruang metrik parsial adalah Cauchy.
Definisi 5. Suatu ruang metrik parsial
(Bukatin, 2009).
dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy konvergen
137
Definisi 6. Diberikan ruang metrik parsial
sedemikian sehingga untuk semua
(
(Bukatin, 2009).
, suatu fungsi
berlaku
)
disebut kontraksi jika terdapat
Teorema 3. Diberikan ruang metrik parsial
. Jika
maka mempunyai titik tetap yang tunggal (Bukatin, 2009).
Bukti : Andaikan
, kemudian dibentuk barisan
(
)
Dari definisi kontraksi diperoleh
(
)
adalah pemetaan kontraksi pada
dengan
,
, sehingga diperoleh
Secara umum diperoleh
(2)
Ambil
Karena
diperoleh
dengan
(
∑
, maka dengan pertidaksamaan segitiga dan (2) diperoleh
)
, maka deret ∑
Dimisalkan
pada pertidaksamaan (3) konvergen ke
(3)
sehingga
.
, untuk
diperoleh
.
Dengan demikian
adalah barisan Cauchy.
Karena lengkap,
konvergen, katakan
tetap pemetaan . Menurut (definisi 4) berlaku
. Akan ditunjukkkan bahwa
adalah titik
(4)
dan
(5)
Untuk untuk setiap
dan
Dengan (4) dan (5) diperoleh
.
(
Untuk semua
dan
(
)
)
(
(
)
)
, atau
sehingga
,
dengan cara yang sama akan dibuktikan juga bahwa
(
Untuk semua
dan
diperoleh
Berdasarkan persamaan (6) dan (7) diperoleh
Jadi
Misalkan
Karena
, maka adalah titik tetap.
dimana
dan
)
(
(
(
, sehingga
)
)
(
(6)
.
, atau
(
)
, akan ditunjukkan
)
(7)
).
tunggal.
Atau
138
(8)
Demikian juga dengan
Karena
(
, sehingga
(
)
(
)
)
atau
(9)
Berdasarkan persamaan (8) dan (9) diperoleh
Menurut aksioma P2 diperoleh
.
. Sehingga titik tetap dari pemetaan
adalah tunggal.
3. KESIMPULAN
Dari pembahasan didapatkan kesimpulan bahwa ruang metrik parsial merupakan generalisasi
dari ruang metrik dan pada ruang metrik parsial berlaku teorema titik tetap Banach.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Mohamad Muslikh, Ratno Bagus E. W., dan Sa’adatul Fitri atas
segala bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Bukatin, M., dkk., (2009), Partial Metric Spaces, Publ. Int. Math, 116, hal. 708-718.
Kreyszig, E., (1978), Introductory Functional Analysis with Aplications, John Wiley and Sons, Inc.,
Canada, hal. 299-303.
139