makalah unnes terbaru
BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL
PADA RING TRANSFORMASI LINEAR1
Karyati
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
e-mail : [email protected]
Abstrak. Misalkan R adalah ring, Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q ,
dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah
irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X , yang selanjutnya dinotasikan dengan X q .
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika
dan hanya jika Q
x q untuk semua
x Q\ 0 .
Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V , W menotasikan
himpunan semua transformasi linear :V W . Misalkan k adalah bilangan kardinal tak
LF V , W rank
k . Himpunan LF V , W , k , membentuk
hingga dan LF V , W , k
grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untuk
suatu
pada LF V , W , k , yaitu:
LF W , V tertentu didefinisikan suatu operasi
LF V , W , k . Himpunan LF V , W , k bersama operasi
untuk semua ,
„+‟ dan „*‟ tersebut membentuk ring, yang selanjutnya dinotasikan dengan LF V , W , k , , .
Dalam tulisan ini akan diselidiki sifat-sifat quasi-ideal minimal pada ring LF V , W , k , , .
Diperoleh hasil sebagai berikut :Misal
LF V , W sedemikian sehingga Ran
F u untuk
suatu u W , Jika ,
LF W , W sedemikian sehingga u
u maka
dan
Jika
LF W , W sedemikian sehingga u
a u untuk suatu a F maka
a . Hasil
LF V , W , k , jika
lain yang berhasil diselidiki adalah: Misal ,
q dalam ring
maka
Ker
LF V , W , k , ,
memenuhi Ran
LF V , W , k sedemikian sehingga
Ran
Ran . Misal
F
dan Ran
dalam
Ker . Jika rank
1 , maka
q
LF V , W , k , , . Misal
LF V , W , k sedemikian sehingga memenuhi Ran
dan Ran
Ker . Jika rank
1, maka
q adalah quasi- ideal minimal
LF V , W , k , ,
Ker
dalam
.
Kata Kunci: ring, quasi-ideal, quasi – ideal minimal
1. Pendahuluan
Ring merupakan struktur aljabar yang melibatkan dua operasi biner yang disebut operasi jumlah
dan operasi perkalian. Terhadap operasi jumlah, ring membentuk grup abelian, sementara itu
terhadap operasi perkalian membentuk semigrup. Selain itu harus bersifat distributif kiri
maupun kanan. Ring terhadap operasi perkalian bersifat komutatif disebut ring komutatif.
Selanjutnya jika memuat elemen satuan disebut ring dengan elemen satuan. Misalkan R adalah
ring. Himpunan S
R disebut subring jika S terhadap operasi yang sama pada R membentuk
ring. Definisi ini ekuivalen dengan S membentuk sub grup terhadap operasi jumlah dan
1
Disampaikan pada Seminar Nasional dalam rangka Konferda IndoMS XIII Wilayah Jateng dan DIY, Jurusan
Matematika FMIPA UNNES, 24-27 Juli 2006
1
membentuk sub semigrup terhadap operasi perkaliannya. Himpunan Q
ideal dari R jika RQ
suatu himpunan X
QR
Q , dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh
R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X . Selanjutnya,
quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X
q.
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika
x q untuk semua x Q \ 0 .
dan hanya jika Q
dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V , W
Diberikan V
himpunan semua transformasi linear
hingga
R disebut quasi-
dan
rank
rank
rank
W . Misalkan k adalah bilangan kardina tak
:V
LF V , W rank
LF V , W , k
menotasikan
untuk semua
,
k .
Diketahui
LF V , W . Himpunan
bahwa
LF V , W , k ,
membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( [1]: p. 318 ).
Selanjutnya,
untuk suatu
LF V , W , k , yaitu:
LF V , W , k
LF W , V
tertentu didefinisikan
untuk semua
suatu operasi
pada
LF V , W , k . Terhadap operasi ini,
,
membentuk semigrup ( [3]: p.619 ). Juga berlaku distributif kiri dan kanan.
Selanjutnya himpunan demikian dinotasikan dengan LF V , W , k , ,
( [1]: p.317 ). Jelas
bahwa himpunan ini membentuk ring. Perlu diingat bahwa semua quasi-ideal minimal dalam
suatu ring adalah ideal utama ( [1]: p.318 ). Dalam tulisan ini akan diselidiki karakterisasi
semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring LF V , W , k , ,
dan mengindikasikan bilamana
ring tersebut mempunyai quasi-ideal minimal.
2. Kajian Teori
Pada bagian ini akan diberikan beberapa istilah dan sifat-sifat yang mendukung dalam
pembahasan artikel ini.
Definisi 1. ( [2] : p.1 ) Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner “ ”
dikatakan semigrup jika
bersifat asosiatif yaitu :
x, y , z
Definisi 2. ( [2] : p.1 ) Misalkan S suatu semigrup, P
S ( x y) z
x ( y z)
S disebut sub semigrup jika terhadap
operasi yang didefinisikan pada S , P membentuk semigrup.
Definisi tersebut ekuivalen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisikan pada S .
Berikut diberikan definisi quasi-ideal suatu ring:
Definisi .3. ( [1]: p.317 ). Misalkan R adalah ring, maka Q
jika RQ
QR
Q , dengan Q adalah subring.
2
R disebut quasi-ideal dari R
Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X
R adalah irisan semua quasi-ideal
dari R yang memuat X . Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X
q.
Quasi-
x q untuk semua x Q \ 0 .
ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q
Beberapa sifat yang berlaku bahwa:
Proposisi .1. ( [1] : p.317). Misal Q suatu quasi-ideal ring R , maka berlaku:
i.
Jika Q quasi-ideal minimal maka Q adalahsubringnol atausubringpembagi dari R .
ii. Jika Q subringpembagi dari R , maka Q adalah quasi-ideal minimal dari R .
R , maka berlaku
Proposisi.2. ( [1] : p.318). Untuk suatu himpunan tak kosong X
X q
ZX
XR , dengan Z adalah himpunan semua bilangan integer.
RX
Dari Proposisi 2 diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat 1. ( [1] : p.318). Dalam LF V , W , k , ,
LF V , W , k
Z
q
, berlaku:
L F V , W , k untuk setiap
LF V , W , k
Bukti:
Menurut Proposisi 2 berlaku bahwa untuk suatu himpunan bagian tak kosong X dari suatu
X q
ring R berlaku
ZX
LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
berikut :
Z
q
RX
sehingga
=
XR . Dalam hal ini
LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
= LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
LF V , W , k
adalah ring dan
serta
, akibatnya dipenuhi persamaan sebagai
LF V , W , k
3. Pembahasan
Misalkan F adalah suatu lapangan dan
atas lapangan
adalah suatu transformasi linear dari ruang vektor
F , yaitu transfprmasi linear dari ruang vector V ke ruang vektor W , serta
Ran
w W v
w, untuk suatu v V .
Ran
F u untuk suatu u W .
Lemma 1 . ( [1] : p.318). Misal
Lemma berikut
sebagai akibat dari kondisi
LF V , W sedemikian sehingga Ran
F u untuk suatu
u W
i.
Jika
ii. Jika
,
LF W , W sedemikian sehingga u
LF W , W sedemikian sehingga u
u maka
a u untuk suatu a F maka
3
a
Bukti:
( i ). Ambil sebarang c F , sehingga berlaku cu
Ran
w W v
Ran
cu
c
Selanjutnya,
Ran
w, untuk suatu v V
cu
cu W v
cu
. Diketahui bahwa
cu untuk setiap c F dan suatu u W
F , untuk suatu u W .
diperoleh
bahwa
Ran
: cu
cu
cu
sehingga
berlaku
. Hal ini mempunyai konsekuensi :
Ran
Untuk sebarang v V berlaku
Sebagai akibatnya berlaku
LF W , W . Sehingga
a 1W
v
v
cu
cu
v
v
.
( ii ). Dapat dipandang bahwa a
cu
a 1W dengan 1W
adalah
pemetaan
identitas
a u.1W . Menurut bagian (i) sebelumnya
u
di
berakibat
a.
■
Lemma berikut memberikan hubungan antara suatu transformasi dalam quasi-ideal minimal
dengan transformasi pembangun quasi-idealnya:
Lemma 2. ( [1] : p.318). Misal
maka Ran
LF V , W , k , ,
,
LF V , W , k , jika
q
dalam ring
Ran .
Bukti:
q,
Diketahui
sehingga menurut Akibat 1 berlaku
t
untuk suatu t Z
LF V , W , k .
dan suatu
Selanjutnya ambil w Ran , maka terdapat v V sedemikian sehingga berlaku:
w
v
v t
vt
v
vt v
Akibatnya w Ran . Dengan demikian Ran
Ran
■
Lemma berikutnya menjelaskan suatu kondisi yang menjamin bilamana quasi-ideal minimal
q
F :
Lemma 3. ( [1] : p.318). Misal
Ran
Ker
LF V , W , k , ,
dan
Ran
LF V , W , k
Ker .
Jika
.
4
sedemikian sehingga memenuhi kondisi
rank
1,
maka
q
F
dalam
Bukti:
( i ). Dibuktikan F
Misal
q
dan
u Ran \ Ker
u'
W dan z
0, u'
maka
u
0, u
dan
V
u ' untuk suatu z W \ 0 . Karena rank
Fu dan akibatnya u'
Ran
u' Ran \ Ker ,
1 , sehingga
a.u untuk suatu a F dan a 0
Misal B adalah basis untuk V yang memuat u
dan B' adalah basis untuk W yang
memuat u . Selanjutnya didefinisikan suatu transformasi linear sebagai berikut:
u
jika v u
0 jika v B \ u
v
Jelas bahwa
a 1z
jika w u
0
jika w B'\ u
w
dan
LF V , W
LF V , W , rank
LF W , W . Dari definisi tersebut diperoleh bahwa
1 sehingga
a 1 u'
a 1au
1 , rank
,
LF V , W , k .
Berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh:
a 1z
u
Karena
a 1 z
u
u
Fu , menurut Lemma 1, diperoleh
Ran
u
.
.
Sehingga untuk setiap b F , maka berlaku :
b
b
b
b
b
LF V , W , k
b
b
t
Akibat selanjutnya : Ran
Akan tetapi u Ran
v
q
. Dengan demikian terbukti F
q.
maka menurut Lemma 2 berakibat Ran
Akibat 1 berlaku
sehingga
LF V , W , k
F
q
q,
LF V , W , k
F , maka b
dan menurut Akibat 1 maka b
Ambil
dan
LF V , W , k . Akibatnya
b
, sehingga
LF V , W , k
b
LF V , W , k
Dengan kata lain jika b
( ii ). Dibuktikan
, sehingga
Fu
Ran
, dan menurut
untuk suatu t Z dan untuk suatu
LF V , W , k .
Ran
t
Ran
(sebab rank
u . Akibat selanjutnya
.
1 ), maka terdapat v V sedemikian
v
sehingga
u
v
u
cu
untuk suatu c F .
Dengan demikian dipenuhi kondisi:
LF V , W , Ran
Fu ,
LF W , W
c F , sehingga menurut Lemma 1 (ii) berlaku
t
t
c = t c
cu untuk suatu
c . Akibatnya diperoleh:
F . Dengan demikian dipenuhi
5
q
F
Dari (i) dan (ii) maka terbukti
F
q
■
Sebagai hasil akhir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu kondisi yang dapat menjamin
bilamana
membentuk quasi- ideal minimal dalam LF V , W , k , ,
q
Misal
Lemma 4. ( [1]: p.318).
Ran
dan Ran
Ker
dalam LF V , W , k , ,
sedemikian sehingga memenuhi kondisi
LF V , W , k
Ker . Jika rank
.
1 , maka
q
adalah quasi- ideal minimal
.
Bukti:
Menurut Lemma 3, kondisi ini berakibat
F . Ambil
q
\ o , maka
q
a
untuk suatu a F , a 0
Akibatnya Ker
Ker
v Ker
v
0
v' Ker
v'
0,
tetapi
v"
0 , sehingga v" Ker
av"
v" a
, sebab:
v a
va
v Ker
v 0
untuk
v' av"
suatu
v" V .
Akibatnya
:
dan karena v' av" sehingga a 1v' Ker
0 . Diketahui a 0 , sehingga a 1
0 atau a 1 v'
atau a 1v'
va 0
0
0 . Dengan demikian
0 atau v' Ker
v'
Akibat lain adalah Ran
w Ran ,
Ambil
w
v a
va
w'
q
terdapat
a 0
v a
Karena Ran
sehingga
yang
v V
memenuhi
v
Ran
dan
v V
v
w,
akibatnya
.
, sehingga terdapat v' V yang memenuhi, v'
a F,
av
, sebab:
. Disimpulkan bahwa w Ran
Ambil w' Ran
terdapat
Ran
sedemikian
w' . Karena v' V , maka
sehingga
v' av .
Akibatnya
. Dengan kata lain w' Ran
, maka rank
F , sehingga berlaku juga F
1 (sebab rank
Fa
Fa
1 ). Menurut Lemma 3, berakibat
F . Akibatnya
q
=
q.
■
4. Simpulan
Berdasarkan hasil penyelidikan di atas dapat disimpulkan bahwa:
i.
Misal
LF V , W sedemikian sehingga Ran
a. Jika
,
b. Jika
LF W , W sedemikian sehingga u
LF W , W sedemikian sehingga u
6
F u untuk suatu u W , maka berlaku:
u maka
a u untuk suatu a F maka
a
ii. Misal
Ran
iii.
LF V , W , k
Ker . Jika rank
Misal
Ran
q
dalam ring LF V , W , k , ,
maka
Ran .
Misal
Ran
iv.
LF V , W , k , jika
,
LF V , W , k
Ker . Jika rank
LF V , W , k , ,
sedemikian
1 , maka
sehingga
F
q
sedemikian
q
Ran
dalam LF V , W , k , ,
sehingga
1, maka
memenuhi
memenuhi
Ran
Ker
dan
Ker
dan
.
adalah quasi- ideal minimal
dalam
.
Daftar Pustaka
[1] Chinram, R., Kemprasit, Y. 2002. Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear
Transformations. PU.M.A Vol. 13, No. 3, p: 317 – 324.
[2] Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London
[3] Kemprasit, Y. 2002. Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of Linear
Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 25, p:617 – 622
7
PADA RING TRANSFORMASI LINEAR1
Karyati
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
e-mail : [email protected]
Abstrak. Misalkan R adalah ring, Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q ,
dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah
irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X , yang selanjutnya dinotasikan dengan X q .
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika
dan hanya jika Q
x q untuk semua
x Q\ 0 .
Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V , W menotasikan
himpunan semua transformasi linear :V W . Misalkan k adalah bilangan kardinal tak
LF V , W rank
k . Himpunan LF V , W , k , membentuk
hingga dan LF V , W , k
grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untuk
suatu
pada LF V , W , k , yaitu:
LF W , V tertentu didefinisikan suatu operasi
LF V , W , k . Himpunan LF V , W , k bersama operasi
untuk semua ,
„+‟ dan „*‟ tersebut membentuk ring, yang selanjutnya dinotasikan dengan LF V , W , k , , .
Dalam tulisan ini akan diselidiki sifat-sifat quasi-ideal minimal pada ring LF V , W , k , , .
Diperoleh hasil sebagai berikut :Misal
LF V , W sedemikian sehingga Ran
F u untuk
suatu u W , Jika ,
LF W , W sedemikian sehingga u
u maka
dan
Jika
LF W , W sedemikian sehingga u
a u untuk suatu a F maka
a . Hasil
LF V , W , k , jika
lain yang berhasil diselidiki adalah: Misal ,
q dalam ring
maka
Ker
LF V , W , k , ,
memenuhi Ran
LF V , W , k sedemikian sehingga
Ran
Ran . Misal
F
dan Ran
dalam
Ker . Jika rank
1 , maka
q
LF V , W , k , , . Misal
LF V , W , k sedemikian sehingga memenuhi Ran
dan Ran
Ker . Jika rank
1, maka
q adalah quasi- ideal minimal
LF V , W , k , ,
Ker
dalam
.
Kata Kunci: ring, quasi-ideal, quasi – ideal minimal
1. Pendahuluan
Ring merupakan struktur aljabar yang melibatkan dua operasi biner yang disebut operasi jumlah
dan operasi perkalian. Terhadap operasi jumlah, ring membentuk grup abelian, sementara itu
terhadap operasi perkalian membentuk semigrup. Selain itu harus bersifat distributif kiri
maupun kanan. Ring terhadap operasi perkalian bersifat komutatif disebut ring komutatif.
Selanjutnya jika memuat elemen satuan disebut ring dengan elemen satuan. Misalkan R adalah
ring. Himpunan S
R disebut subring jika S terhadap operasi yang sama pada R membentuk
ring. Definisi ini ekuivalen dengan S membentuk sub grup terhadap operasi jumlah dan
1
Disampaikan pada Seminar Nasional dalam rangka Konferda IndoMS XIII Wilayah Jateng dan DIY, Jurusan
Matematika FMIPA UNNES, 24-27 Juli 2006
1
membentuk sub semigrup terhadap operasi perkaliannya. Himpunan Q
ideal dari R jika RQ
suatu himpunan X
QR
Q , dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh
R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X . Selanjutnya,
quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X
q.
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika
x q untuk semua x Q \ 0 .
dan hanya jika Q
dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V , W
Diberikan V
himpunan semua transformasi linear
hingga
R disebut quasi-
dan
rank
rank
rank
W . Misalkan k adalah bilangan kardina tak
:V
LF V , W rank
LF V , W , k
menotasikan
untuk semua
,
k .
Diketahui
LF V , W . Himpunan
bahwa
LF V , W , k ,
membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( [1]: p. 318 ).
Selanjutnya,
untuk suatu
LF V , W , k , yaitu:
LF V , W , k
LF W , V
tertentu didefinisikan
untuk semua
suatu operasi
pada
LF V , W , k . Terhadap operasi ini,
,
membentuk semigrup ( [3]: p.619 ). Juga berlaku distributif kiri dan kanan.
Selanjutnya himpunan demikian dinotasikan dengan LF V , W , k , ,
( [1]: p.317 ). Jelas
bahwa himpunan ini membentuk ring. Perlu diingat bahwa semua quasi-ideal minimal dalam
suatu ring adalah ideal utama ( [1]: p.318 ). Dalam tulisan ini akan diselidiki karakterisasi
semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring LF V , W , k , ,
dan mengindikasikan bilamana
ring tersebut mempunyai quasi-ideal minimal.
2. Kajian Teori
Pada bagian ini akan diberikan beberapa istilah dan sifat-sifat yang mendukung dalam
pembahasan artikel ini.
Definisi 1. ( [2] : p.1 ) Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner “ ”
dikatakan semigrup jika
bersifat asosiatif yaitu :
x, y , z
Definisi 2. ( [2] : p.1 ) Misalkan S suatu semigrup, P
S ( x y) z
x ( y z)
S disebut sub semigrup jika terhadap
operasi yang didefinisikan pada S , P membentuk semigrup.
Definisi tersebut ekuivalen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisikan pada S .
Berikut diberikan definisi quasi-ideal suatu ring:
Definisi .3. ( [1]: p.317 ). Misalkan R adalah ring, maka Q
jika RQ
QR
Q , dengan Q adalah subring.
2
R disebut quasi-ideal dari R
Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X
R adalah irisan semua quasi-ideal
dari R yang memuat X . Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X
q.
Quasi-
x q untuk semua x Q \ 0 .
ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q
Beberapa sifat yang berlaku bahwa:
Proposisi .1. ( [1] : p.317). Misal Q suatu quasi-ideal ring R , maka berlaku:
i.
Jika Q quasi-ideal minimal maka Q adalahsubringnol atausubringpembagi dari R .
ii. Jika Q subringpembagi dari R , maka Q adalah quasi-ideal minimal dari R .
R , maka berlaku
Proposisi.2. ( [1] : p.318). Untuk suatu himpunan tak kosong X
X q
ZX
XR , dengan Z adalah himpunan semua bilangan integer.
RX
Dari Proposisi 2 diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat 1. ( [1] : p.318). Dalam LF V , W , k , ,
LF V , W , k
Z
q
, berlaku:
L F V , W , k untuk setiap
LF V , W , k
Bukti:
Menurut Proposisi 2 berlaku bahwa untuk suatu himpunan bagian tak kosong X dari suatu
X q
ring R berlaku
ZX
LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
berikut :
Z
q
RX
sehingga
=
XR . Dalam hal ini
LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
= LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,
LF V , W , k
adalah ring dan
serta
, akibatnya dipenuhi persamaan sebagai
LF V , W , k
3. Pembahasan
Misalkan F adalah suatu lapangan dan
atas lapangan
adalah suatu transformasi linear dari ruang vektor
F , yaitu transfprmasi linear dari ruang vector V ke ruang vektor W , serta
Ran
w W v
w, untuk suatu v V .
Ran
F u untuk suatu u W .
Lemma 1 . ( [1] : p.318). Misal
Lemma berikut
sebagai akibat dari kondisi
LF V , W sedemikian sehingga Ran
F u untuk suatu
u W
i.
Jika
ii. Jika
,
LF W , W sedemikian sehingga u
LF W , W sedemikian sehingga u
u maka
a u untuk suatu a F maka
3
a
Bukti:
( i ). Ambil sebarang c F , sehingga berlaku cu
Ran
w W v
Ran
cu
c
Selanjutnya,
Ran
w, untuk suatu v V
cu
cu W v
cu
. Diketahui bahwa
cu untuk setiap c F dan suatu u W
F , untuk suatu u W .
diperoleh
bahwa
Ran
: cu
cu
cu
sehingga
berlaku
. Hal ini mempunyai konsekuensi :
Ran
Untuk sebarang v V berlaku
Sebagai akibatnya berlaku
LF W , W . Sehingga
a 1W
v
v
cu
cu
v
v
.
( ii ). Dapat dipandang bahwa a
cu
a 1W dengan 1W
adalah
pemetaan
identitas
a u.1W . Menurut bagian (i) sebelumnya
u
di
berakibat
a.
■
Lemma berikut memberikan hubungan antara suatu transformasi dalam quasi-ideal minimal
dengan transformasi pembangun quasi-idealnya:
Lemma 2. ( [1] : p.318). Misal
maka Ran
LF V , W , k , ,
,
LF V , W , k , jika
q
dalam ring
Ran .
Bukti:
q,
Diketahui
sehingga menurut Akibat 1 berlaku
t
untuk suatu t Z
LF V , W , k .
dan suatu
Selanjutnya ambil w Ran , maka terdapat v V sedemikian sehingga berlaku:
w
v
v t
vt
v
vt v
Akibatnya w Ran . Dengan demikian Ran
Ran
■
Lemma berikutnya menjelaskan suatu kondisi yang menjamin bilamana quasi-ideal minimal
q
F :
Lemma 3. ( [1] : p.318). Misal
Ran
Ker
LF V , W , k , ,
dan
Ran
LF V , W , k
Ker .
Jika
.
4
sedemikian sehingga memenuhi kondisi
rank
1,
maka
q
F
dalam
Bukti:
( i ). Dibuktikan F
Misal
q
dan
u Ran \ Ker
u'
W dan z
0, u'
maka
u
0, u
dan
V
u ' untuk suatu z W \ 0 . Karena rank
Fu dan akibatnya u'
Ran
u' Ran \ Ker ,
1 , sehingga
a.u untuk suatu a F dan a 0
Misal B adalah basis untuk V yang memuat u
dan B' adalah basis untuk W yang
memuat u . Selanjutnya didefinisikan suatu transformasi linear sebagai berikut:
u
jika v u
0 jika v B \ u
v
Jelas bahwa
a 1z
jika w u
0
jika w B'\ u
w
dan
LF V , W
LF V , W , rank
LF W , W . Dari definisi tersebut diperoleh bahwa
1 sehingga
a 1 u'
a 1au
1 , rank
,
LF V , W , k .
Berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh:
a 1z
u
Karena
a 1 z
u
u
Fu , menurut Lemma 1, diperoleh
Ran
u
.
.
Sehingga untuk setiap b F , maka berlaku :
b
b
b
b
b
LF V , W , k
b
b
t
Akibat selanjutnya : Ran
Akan tetapi u Ran
v
q
. Dengan demikian terbukti F
q.
maka menurut Lemma 2 berakibat Ran
Akibat 1 berlaku
sehingga
LF V , W , k
F
q
q,
LF V , W , k
F , maka b
dan menurut Akibat 1 maka b
Ambil
dan
LF V , W , k . Akibatnya
b
, sehingga
LF V , W , k
b
LF V , W , k
Dengan kata lain jika b
( ii ). Dibuktikan
, sehingga
Fu
Ran
, dan menurut
untuk suatu t Z dan untuk suatu
LF V , W , k .
Ran
t
Ran
(sebab rank
u . Akibat selanjutnya
.
1 ), maka terdapat v V sedemikian
v
sehingga
u
v
u
cu
untuk suatu c F .
Dengan demikian dipenuhi kondisi:
LF V , W , Ran
Fu ,
LF W , W
c F , sehingga menurut Lemma 1 (ii) berlaku
t
t
c = t c
cu untuk suatu
c . Akibatnya diperoleh:
F . Dengan demikian dipenuhi
5
q
F
Dari (i) dan (ii) maka terbukti
F
q
■
Sebagai hasil akhir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu kondisi yang dapat menjamin
bilamana
membentuk quasi- ideal minimal dalam LF V , W , k , ,
q
Misal
Lemma 4. ( [1]: p.318).
Ran
dan Ran
Ker
dalam LF V , W , k , ,
sedemikian sehingga memenuhi kondisi
LF V , W , k
Ker . Jika rank
.
1 , maka
q
adalah quasi- ideal minimal
.
Bukti:
Menurut Lemma 3, kondisi ini berakibat
F . Ambil
q
\ o , maka
q
a
untuk suatu a F , a 0
Akibatnya Ker
Ker
v Ker
v
0
v' Ker
v'
0,
tetapi
v"
0 , sehingga v" Ker
av"
v" a
, sebab:
v a
va
v Ker
v 0
untuk
v' av"
suatu
v" V .
Akibatnya
:
dan karena v' av" sehingga a 1v' Ker
0 . Diketahui a 0 , sehingga a 1
0 atau a 1 v'
atau a 1v'
va 0
0
0 . Dengan demikian
0 atau v' Ker
v'
Akibat lain adalah Ran
w Ran ,
Ambil
w
v a
va
w'
q
terdapat
a 0
v a
Karena Ran
sehingga
yang
v V
memenuhi
v
Ran
dan
v V
v
w,
akibatnya
.
, sehingga terdapat v' V yang memenuhi, v'
a F,
av
, sebab:
. Disimpulkan bahwa w Ran
Ambil w' Ran
terdapat
Ran
sedemikian
w' . Karena v' V , maka
sehingga
v' av .
Akibatnya
. Dengan kata lain w' Ran
, maka rank
F , sehingga berlaku juga F
1 (sebab rank
Fa
Fa
1 ). Menurut Lemma 3, berakibat
F . Akibatnya
q
=
q.
■
4. Simpulan
Berdasarkan hasil penyelidikan di atas dapat disimpulkan bahwa:
i.
Misal
LF V , W sedemikian sehingga Ran
a. Jika
,
b. Jika
LF W , W sedemikian sehingga u
LF W , W sedemikian sehingga u
6
F u untuk suatu u W , maka berlaku:
u maka
a u untuk suatu a F maka
a
ii. Misal
Ran
iii.
LF V , W , k
Ker . Jika rank
Misal
Ran
q
dalam ring LF V , W , k , ,
maka
Ran .
Misal
Ran
iv.
LF V , W , k , jika
,
LF V , W , k
Ker . Jika rank
LF V , W , k , ,
sedemikian
1 , maka
sehingga
F
q
sedemikian
q
Ran
dalam LF V , W , k , ,
sehingga
1, maka
memenuhi
memenuhi
Ran
Ker
dan
Ker
dan
.
adalah quasi- ideal minimal
dalam
.
Daftar Pustaka
[1] Chinram, R., Kemprasit, Y. 2002. Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear
Transformations. PU.M.A Vol. 13, No. 3, p: 317 – 324.
[2] Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London
[3] Kemprasit, Y. 2002. Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of Linear
Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 25, p:617 – 622
7