a
b
c
Gambar 14. a lembaran akrilik b sayuran brokoli c pakis Pada gambar diatas, ditunjukkan beberapa contoh fraktal alami yang
terbentuk secara langsung di Alam.
Salah satunya pakis yang menggunakan model algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat
dengan mudah, ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan tidak
sama persis, tapi mirip. Sedangkan untuk gambar 14b, 14c, adalah fraktal yang menunjukkan garis yang memiliki nilai dimensi tertentu berupa nilai
pecahan.
2. Fraktal Buatan
Fraktal buatan adalah fraktal yang dihasilkan akibat buatan tangan manusia, fraktal buatan dikelompokkan menjadi tiga kategori luas sebagai berikut :
1 Sistem fungsi iterasi
Memiliki pola yang dapat dibangkitkan dengan mudah melalui iterasi. Contohnya himpunan Cantor, serpihan salju Koch dan segitiga Sierpinski.
Gambar 15. Salju Koch
2 Fraktal waktu lolos
Menggunakan formula atau relasi rekursif pada setiap titik dalam bidang. Contohnya himpunan Julian, yaitu merupakan bagian dari fraktal
Mandelbrot seperti gambar 16:
Gambar 16. Himpunan Julian 3
Fraktal acak Menggunakan proses stokastik. Contohnya pada gerak Brown, teori
Perlokasi dan fraktal Landskap.
Gambar 17. Landskap
Bentuk fraktal landskap ditunjukkan pada gambar 2.9 yang merupakan bentuk permukaan dengan menggunakan algoritma stokastik yang dirancang
untuk menghasilkan perilaku fraktal yang meniru tampilan dataran alami. Dengan kata lain, hasil dari
prosedur ini tidak permukaan fraktal deterministik, melainkan
permukaan acak yang menunjukkan perilaku
fraktal Rawers, 1999.
2.3.8. Dimensi fraktal
Dimensi fraktal adalah sebuah jumlah kuantitatif menggambarkan sebuah objek mengisi suatu ruang tertentu. Jika sebuah garis dibagi menjadi N
bagian yang sama, maka setiap bagian memiliki rasio dari keseluruhan bagian. Metode yang biasa digunakan untuk menghitung dimensi fraktal
suatu objek adalah metode Box-Counting. Metode ini membagi sinyal
menjadi kotak kotak dengan berbagai variasi ukuran. Adapun langkah- langkah Box-Counting adalah sebagai berikut :
a Citra dibagi kedalam kotak-kotak dengan ukuran s.
b Menghitung banyaknya kotak Ns yang mengisi bagian sinyal. Nilai Ns sangat tergantung pada s.
c Menghitung Ds Mulyadi dkk, 2013.
Titik point tidak memiliki dimensi karena tidak memiliki panjang, lebar maupun bobot. Garis line berdimensi 1 karena memiliki panjang. Bidang
plane berdimensi 2 karena memiliki panjang dan lebar. Ruang space berdimensi 3, karena memiliki panjang, lebar, dan kedalaman. Bila
diperhatikan, dimensi dari objek-objek Eucledian garis, bidang, dan ruang merupakan bilangan bulat, yaitu berturut-turut 1, 2, dan 3. Objek-objek
fraktal dapat memiliki dimensi pecahan fractional dimension. Metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi dari objek fraktal adalah
metode penghitungan kotak box counting yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
D s
=
2.4 dengan Ns menyatakan banyaknya kotak berukuran s yang berisi informasi
objek, dan Ds adalah dimensi fraktal objek dengan kotak berukuran s Putra, 2009. Secara umum sifat-sifat fraktal ada 2 macam, yaitu:
1. Self-similarity Ukuran sama Fraktal adalah objek yang memiliki kemiripan dengan ukuran sama Self-
similarity namun dalam skala yang berbeda, ini artinya objek fraktal terdiri dari bagian-bagian yang memiliki sifat seperti objek tersebut. Setiap bagian
objek tersebut bila diperbesar akan identik dengan objek tersebut. 2. Dimension
Pembangkitan fraktal dapat dilakukan dengan melakukan iterasi baik terhadap fungsi matematika atau dapat juga iterasi atas elemen-elemen dasar
penyusun grafik, seperti titik, garis dan bentuk-bentuk geometri sederhana
seperti segitiga, segiempat, dan lain-lain. Fraktal yang terakhir ini dinamakan fraktal bebas, contohnya adalah fraktal plasma dan fraktal
pohon. Sedangkan fraktal-fraktal yang dibangkitkan melalui fungsi matematika antara lain fraktal yang berbasis bilangan kompleks, fraktal
berbasis fungsi polynomial dan fraktal yang berbasis fungsi transenden. Fraktal berbasis bilangan kompleks akan menghasilkan gambar-gambar
yang indah dan akan menghasilkan gambar fraktal yang unik. Bentuk- bentuk fraktal dari iterasi fungsi matematika semakin menarik, indah, dan
bervariasi setelah ditemukan mesin komputer yang sangat membantu komputasi perhitungan. Selain membantu komputasinya, mesin komputer
dengan perkembangan teknologi tampilannya, membantu penampilan bangun fraktal menjadi menakjubkan Mujiono, 2002.
Himpunan Fraktal mempunyai 5 karakter , yaitu: a.
Merupakan struktur halus, walaupun diperbesar seberapapun; b.
Bersifat terlalu tidak teratur, jika digambarkan dengan bahasa geometri biasa;
c. Mempunyai kemiripan diri, mungkin secara pendekatan maupun secara statistik;
d. Dimensi fraktal biasanya lebih besar dari dimensi topologinya; dan e. Umumnya dapat didefinisikan secara sederhana, mungkin secara
rekursif Falconer 1992. Adapun Dimensi Fraktal mempunyai beberapa metode yaitu sebagai
berikut:
A. Metode Box-counting
Dimensi kotak penghitunganbox-counting adalah salah satu metode dimensi fraktal. Dimensi kotak penghitungan dimotivasi oleh gagasan untuk
menentukan ruang pada pengisian sifat kurva. Hal ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai di mana N s adalah jumlah total kotak ukuran s
diperlukan untuk menutupi kurva seluruhnya. Namun dalam prakteknya, box counting yang Algoritma memperkirakan FD kurva dengan menghitung
jumlah kotak yang diperlukan untuk menutup kurva untuk beberapa kotak ukuran, dan tepat garis lurus untuk log-log plot N s terhadap s, di mana C
adalah konstanta Raghavendra
dan Dutt, 2010. Adapun rumus
matematisnya adalah sebagai berikut: D s
=
2.5
Dibawah ini contoh gambar sinyal dengan metode box-counting:
Gambar 18. Metode Box-counting Raghavendra dan dutt, 2010.
B. Metode Katz
Metode katz adalah metode yang digunakan untuk mengurutkan poin [1, 2, ...,]
[ ,
,
] , Di mana T merupakan transposisi dan N adalah jumlah total sampel dalam urutan. Grafik urutan direpresentasikan sebagai si = xi,
yi, i = 1, 2, ..., N, xi adalah nilai-nilai absis dan yi adalah nilai ordinat. Dalam runtun waktu sinyal xi = ti, di mana ti, i = 1, 2, ..., N yang monoton
meningkat instants pada waktu gelombang sampel. Jika poin s1 dan s2 adalah direpresentasikan sebagai
, , dan
,, , masing-masing,
Euclidean jarak antara titik-titik dihitung sebagai: Dmax =.
+ 2.6
Dimensi fraktal dari gelombang mewakili time series ditentukan dengan menggunakan metode Katz Raghavendra dan Dutt, 2010. Adapun
persamaan secara dimensi fraktalnya yaitu sebagai berikut: Dk =
2.7 Didefinisikan n = L . Maka persamaan menjadi :
= 2.8
Keterangan: L= Panjang total kurva sinyal
d = diameter “max Distance 1,i ” i = Titik yang menentukan jarak maksimum antara titik pertama dengan titik
yang ditinjau a = Rata-rata nilai bilangan bulat pada kurva
Sedangkan contoh gambar sinyal menggunakan metode Katz:
Gambar 19. Metode Katz
C. Metode Higuchi
Metode Higuchi adalah metode yang digunakan untuk menghitung dimensi fraktal dari suatu deret waktu yang didasarkan pada ukuran panjang dari
suatu sinyal elektrokardiografi yang mewakili deret waktu. = { ,
+ , + 2 ,
, +
} 2.9
m = 1, 2,...,k Maka panjang rata – rata Lm k :
= |
+ +
1 | 3.0
Di mana N adalah total panjang urutan data x dan N - 1 [N - m k] adalah normalisasi sebuah faktor. Panjang rata-rata dihitung untuk semua
seri waktu memiliki skala k yang sama, sebagai rata-rata k panjang Lm k untuk m = 1,2, ..., k. Prosedur ini diulang untuk setiap k mulai dari 1 sampai
Kmax, dan mendapatkan panjang rata-rata untuk setiap k. Akhirnya, jika Lm k k-D maka waktu-series data x adalah fraktal dengan dimensi D
M
S
1
s
N
a S
2
S
3
d
max
d
1
d
2
Raghavendra dan Dutt, 2010. Adapun persamaan dimensi fraktalnya adalah sebagai berikut:
D = - log[Lk] logk 3.1
Dimana Lk adalah jumlah sub-sampel yang ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:
= 3.2
Keterangan : m
= menunjukan nilai waktu awal k = interval waktu diskrit antara titik-titik delay
= dihitung untuk semua deret waktu sinyal yang mempunyai delay yang sama skala k k = 1,2,... sd
Berikut ini adalah contoh gambar sinyal menggunakan metode higuchi:
Gambar 20. Metode Higuchi
2.3.9. Analisis Statistik Biosinyal
Biosinyal adalah sinyal yang dapat diukur atau dianalisa untuk mengetahui informasi terkait struktur dan dan fungsi dari sistem biologi, contoh: pada
denyut jantung, kontraksi otot, dan aktifitas otak.
y1 y2
y3
N 1
2 3
yN
Adapun metode perhitungan statistik untuk analisis sebuah sinyal EKG
adalah sebagai berikut: 1.
Metode Varian VAR Metode Varian VAR adalah metode perhitungan statistik yang berfungsi
untuk mengetahui suatu variable acak. Adapun persamaan metode varience sebagai berikut :
= 3.3
Varian yang diperoleh dari suatu variabel acak dapat diartikan sebagai jumlah suatu nilai dari selisih pengkuadratan antara variabel rata-rata dan
variabel acak yang dibagi dengan banyaknya sampel atau N.
2. Metode Mean Deviasi MD
Mean Deviasi MD adalah metode untuk menghitung rata-rata deviasi dari suatu himpunan N bilangan
X , X , X didefinisikan sebagai :
=
| |
3.4 Dimana
X adalah mean aritmetik dari bilangan – bilangan tersebut dan |X
X| adalah nilai absolut atau mutlak dari deviasi X terhadap X Spiegel dkk, 2007.
3. Metode Standar Deviation STD Metode Standar Deviasi STD adalah metode untuk mencari parameter
deviasi dari suatu himpunan N pada bilangan X , X ,
X , adapun
persamaannya adalah sebagai berikut:
Xstd
=
3.5
Dimana nilai X sebagai nilai rata-rata dari x, N adalah banyaknya sampel
yang digunakan atau banyaknya sinyal elektrokardiografi
2.3.10. Filter Digital
Filter adalah rangkaian yang digunakan untuk memisahkan sinyal gelombang pada frekuensi dasarnya Chen,1990. Filter pada umumnya
tersusun atas komponen pasif dan aktif seperti kapasitor, resistor, induktor, amplifier atau kombinasi dari semua komponen. Ada empat tipe dasar dari
filter yang digunakan untuk melawatkan dan menahan frekuensi tertentu yaitu low pass filter, high pass filter,band pass filter, dan Notch filter. Pada
penelitian ini menggunakan filter Sgolayfilt. Adapun filtering yang digunakan pada sinyal elektrokardiografi adalah
sebagai berikut:
A. Baseline Wander Filter
Baseline wander adalah frekuensi rendah pada aktivitas di EKG yang dapat mengganggu sinyal analisis yang membuat interpretasi klinis tidak
akurat. Ketika awal baseline wander berlangsung, pengukuran EKG terkait dengan garis iso-listrik tidak dapat dihitung karena tidak didefinisikan
dengan baik. Isi spektral baseline wander biasanya dalam kisaran antara 0.05-1Hz , tetapi selama olahraga berat mungkin mengandung lebih tinggi
frekuensi. Baseline wander dasar di EKG sinyal telah menjadi salah satu tantangan pertama dalam biomedis pemrosesan sinyal. Sebuah urutan filter
tinggi harus digunakan untuk menghasilkan hasil yang baik, yang meningkatkan perhitungan waktu. Hal ini penting untuk memberikan yang
jelas dan akurat representasi agar ahli jantung dapat dengan benar menafsirkan EKG Lele dan Holkar ,2013.
Elektrokardiograf EKG telah digunakan secara luas untuk mendeteksi penyakit jantung. Masalah klasik dalam rekaman sinyal EKG adalah bahwa
sinyal yang diukur menghasilkan baseline wander. Baseline wander
gangguan yang dihasilkan pada rekaman EKG. Untuk mengatasi gangguan pada sinyal EKG biasanya dengan cara preprocessing yang berfungsi untuk
meningkatkan karakteristik sinyal pada diagnosis. Selanjutnya masalah lain yang dapat menyebabkan baselin wander adalah pada gerakan pasien,
elektroda buruk dan situs elektroda penyiapan. Nilai frekuensi pada baseline wander biasanya di bawah 0.5Hz yang sama dengan nilai frekuensi pada
segmen ST. Baseline wander dapat menyebabkan rekaman interpretasi EKG sulit dihasilkan terutama pada penilaian penyimpangan ST. Jadi sebelum
menganalisa sinyal EKG maka sebaiknya menghapus baseline wander seperlunya Gurumurthy dkk,2013. Adapun contoh gambar sinyal hasil
filtering dengan baselin wander adalah sebagai berikut:
Gambar 21. Menambahkan Baselin Wander untuk Signal asli Gurumurthy dkk, 2013
