Soal soal Transformasi Geometri

21. SOAL-SOAL TRANSFORMASI

  ⎛ cos 180 − sin 180 ⎞

  Maka rotasi terhadap R[0, 180 ] =

  ⎜⎜ ⎟⎟ GOMETRI sin 180 cos 180 ⎝ ⎠

  −

  1 ⎛ ⎞

  = ⎜⎜ ⎟⎟

  −

  1 UAN2002 ⎝ ⎠

  1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah: Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri

  1

  x x menggunakan kaidah trigonometri atau bisa dilihat di tabel

• A. y = x + 1 C. y = - 1 E. y = (Rangkuman teori).

  2

  2

  2

  x

  B. y = x – 1 D. y = + 1 2. pencerminan terhadap garis y = -x

  2 Jawab: −

  1 _' ⎛ ⎞ P(x,y) P (-y, -x), matriksnya

  →

  ⎜⎜ ⎟⎟ −

  1 rumus dasarnya : _{' ' '} ⎝ ⎠

  P(x,y) P (x , y ) …(1)

  →

  pencerminan terhadap garis y = x : _' Bayangan oleh oleh rotasi [0, 180 ], kemudian

  P(x,y) → P (y, x) ….(2) dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah : Dari (1) dan (2) maka : _'

  − 1 − 1 x _{' '}

  ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _' = x = y dan y = x …(3) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  − 1 − 1 y

  y

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ⎝ ⎠

  substitusikan (3) ke garis y = 2x + 2 1 x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _{' ' ' ' ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟} = 1 y x = 2 y + 2 = x - 2

  ⇔ 2 y _{' x '} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y = - 1 = (y,x)

  2 Hasil pencerminannya adalah : _{' '} x = y ; y = x

  x

  y = - 1

  2 ₂ substitusikan pada kurva y = x - 2x – 3 jawabannya adalah C _{' ' 2 '} x = y - 2 y - 3

  UAN2005 ₂

• 2x – 3 oleh rotasi

  2. Persamaan bayangan kurva y = x ₂

• 2 y – 3 ⇒ x = y

  [0, 180 ], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah …. _{2 2} jawabannya adalah D

  A. y = x - 2x – 3 D. x = y - 2y – 3 _{2 2} EBTANAS1993

  B. y = x - 2x + 3 E. x = y + 2y + 3 _{2 2 2}

  3. Persamaan bayangan dari lingkaran x +y +4x-6y-3=0

  C. y = x + 2x + 3 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks

  1 ⎛ ⎞ jawab: adalah….

  ⎜⎜ ⎟⎟ −

  1 ⎝ ⎠ cos − sin

  ⎛ θ θ ⎞ θ ] =

  1. Rotasi terhadap R [0, ⎜⎜ ⎟⎟ sin cos

  θ θ ⎝ ⎠ _{2 2} A. x + y - 6x - 4y- 3 = 0 _{2 2} B. x + y - 6x + 4y- 3 = 0 _{2 2} C. x + y + 6x - 4y- 3 = 0 _{2 2} D. x + y - 4x + 6y- 3 = 0 _{2 2} E. x + y + 4x - 6y+ 3 = 0

  y x

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  1

  2

  1 Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T ₁ dilanjutkan T ₂ adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  1

  1

  2

  1 .

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  −1

  2 =

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛−

  3

  4 ⇔ ( -4, 3 )

  Jawabannya adalah A UN2005

  6. Persamaan bayangan garis y = -6x + 3 karena transformasi oleh matriks ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  1

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  = M ₂ x M ₁ = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  1

  1 dan T ₂ =

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  −

  1

  1 . Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap

  T ₁ dilanjutkan T ₂ adalah….

  A. (-4,3) B. (-3,4) C. (3,4) D. (4,3) E. (3,-4) jawab: Transformasi T ₁ dilanjutkan oleh T ₂ = T ₂

  o T ₁ T ₂ o T ₁

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  −

  1

  1 .

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  2

  1

  1

  1 =

  2

  1

  2

  4

  − −

  2

  1

  1

  2 =

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  5

  4

  2

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛ _' ^' y x

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  5

  4

  4

  2 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  2 .

  2 kemudian dilanjutkan dengan matriks

  2

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − 2

  1

  2 adalah… A. x + 2y + 3 = 0 D. 13x + 11y + 9 = 0

  B. x + 2y – 3 = 0 E. 13x + 11y – 9 = 0

  C. 8x – 19y + 3 = 0 Jawab: Matriks T ₁ = M ₁ =

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − −

  1

  1

  1

  2 MatriksT ₂ = M ₂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − 2

  1

  2 . Transformasi T ₁ dilanjutkan T ₂ adalah = T ₂

  o T ₁

  =M ₂ x M ₁ M ₂ x M ₁ = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − 2

  1

  − −

  Jawab:

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  x ^' = y dan y ^' = - x ⇔ - y ^' = x substitusikan pada persamaan lingkaran x ² +y ² +4x-6y-3=0 menjadi : (- y ^' ) ² + (x ^' ) ² - 4 y ^' - 6 x ^' - 3 = 0

  y

  − x

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  y x

  1 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  −

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎝ ⎛ _' ^' y x

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  5. Ditentukan matriks transformasi T ₁ = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⇔ y ^{' 2} + x ^{' 2} - 4 y ^' - 6 x ^' - 3 = 0 ⇒ x ²

• y
² – 6x - 4y– 3 = 0 Jawabannya adalah A EBTANAS1995

  1

  , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks… A.

  1 dan ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − 2

  1

  1

  2 . Ditentukan T = T ₁

  o T ₂

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  1

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − 4

  3

  7

  1 C.

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  2

  3

  3 E.

  2 2 . 1 (

  4 Jawabannya adalah E EBTANAS1992

  3

  1

  7

  − −

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ) 2 .( 2 1 . ) 1 ( 1 .

  −

  3 2 . 1 (

  ) 2 .( 3 1 . ) 1 ( 1 .

  − + − + − − + +

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  2 =

  4. T ₁ dan T ₂ adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  3

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  − 2

  o T ₂

  2

  1 M ₂ = matriks transformasi T ₂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − 2

  1

  1

  2 T = T ₁

  = M ₁ x M ₂ ⎟⎟ ⎠ ⎞

  3

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  −

  3

  1

  2

  1 .

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  −

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  − −

  7

  1

  3

  4 B.

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  5

  4 D.

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛−

  5

  1

  1 Jawab: M ₁ = matriks transformasi T ₁ =

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  − 7 Ingat bab matriks : UAN2004

  7. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis Jika A.B = C maka x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah ₁ titik….

  −

  1. A = C . B _{1 '' '' ''}

  −

  A. A (8,5) C. A (8,1) E. A (20,2)

  2. B = A . C _{'' ''}

  B. A (10,1) D. A (4,5) A.B = C

  ⇔ C = A.B _' Jawab:

  2

  4

  ⎛ x ⎞ − − ⎛ x ⎞

  ⎛ ⎞ C = ; A = ; B = _'

  1. Cara 1 (dengan rumus) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟

  4

  5

  y y

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ⎝ ⎠ ₁ Pencerminan terhadap garis x = h − _{' ' ' '}

  B = A . C P(x,y) → P (x , y ) = P (2h – x , y) _'

  5

  4 1 ⎛ ⎞

  − ¹ A(4,1) x =2 A (2(2)-4 ,1 )

  =

  A

  ⎜⎜ ⎟⎟ | − 10 − ( − 4 . 4 ) | − 4 −

  2 ⎝ ⎠ _{' ''}

  A (0 ,1 ) x = 5 A (2.5 – 0 , 1 )

  5

  4 1 ⎛ ⎞ =

  ⎜⎜ ⎟⎟

  4

  2 | − 10 − ( − 4 . 4 ) | − −

  ⎝ ⎠ _''

  5

  4 ⎛ ⎞

  ⇔ A (10,1 )

  ⎜ ⎟

  5

  4 ⎛ ⎞

  1

  6

  = = ⎜⎜ ⎟⎟

  6 ⎜ ⎟

  4

  2

  4

  2 6 − −

  2. Cara 2 ( dengan gambar) ⎝ ⎠

  − − ⎜⎜ ⎟⎟

  6

  6 ⎝ ⎠

  5

  4 ⎛ ⎞ _' ⎜ ⎟ x ⎛ x ⎞

  ⎛ ⎞

  6

  = _' ⎜⎜ ⎟⎟

  6 ⎜ ⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟

  4

  2 y y

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  − − ⎜⎜ ⎟⎟

  6

  6 ⎝ ⎠

  5 ' 4 '

• x = x y

  6

  6 4 ' 2 ' y = - x y -

  6

  6 substitusikan pada persamaan garis y = -6x + 3 titik A (4,1) dicerminkan terhadap garis x=2 didapat _'

  4 _{' ' ' '}

  2 A (0,1) kemudian dicerminkan lagi terhadap garis x=5

• x - y = - 5 x - 4 y + 3
_''

  6

  6 didapat A (10,1 )

  4 _{' ' ' '}

  2 Jawabannya adalah B ⇔ - x + 5 x y + 4 y - 3 = 0 -

  6 _{' ' ' '}

  6 UAN2004 − 4 x + + 30 x − 2 y 24 y

  ⇔ + - 3 = 0

  8. T adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks _{1 ' '}

  6

  6

  5

  3 ⎛ ⎞ 26 x

  22 y dan T adalah transformasi yang bersesuaian

  ⇔ + - 3 = 0 |x 6| ² ⎜⎜ ⎟⎟

  1

  2 −

  6

  6 _{' '} ⎝ ⎠

  ⇔ 26 x + 22 y - 18 = 0 | : 2 |

  1

  3 −

  ⎛ ⎞ dengan matriks . ⎜⎜ ⎟⎟ _{' '}

  2

  4 ⎝ ⎠

• 11 y - 9 = 0 ⇔ 13 x Bayangan A(m,n) oleh transformasi T o T adalah (-9,7).
_{1 2} Nilai m+n sama dengan… ⇒ 13 x + 11y – 9 = 0

  A. 4 B.5 C.6 D.7 E.8 Jawabannya adalah E

• m - 3n = -9
• 5m + 11n = 7
• m - 3n = -9 | x5 | ⇒ -5m – 15n = -45
• 5m + 11n = 7 | x1 | ⇒ -5m +11n = 7 -
• 26n = -52 n = 2
• m – 3n = - 9
• m = 3n – 9 m = 9 – 3n = 9 – 3.2 = 9 – 6 = 3 Sehingga m+ n = 3 + 2 = 5 Jawabannya adalah B UAN2001

  −

  1

  −

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎝ ⎛ _' ^' y x

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  1

  1

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞

  90 sin 90 sin 90 cos

  ⎝ ⎛ − 90 cos

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⇒

  θ θ cos sin sin cos

  − θ θ

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  y x ⇒ x ^'

  1 Pencerminan/refleksi terhadap sumbu Y P(x,y) → P ^' (-x, y)

  C ^' (-5,3)

  D. 3y + x ² + 9x + 18 = 0

  C. 3y - x + 9x + 18 = 0

  B. 3y - x ² + 9x - 18 = 0

  A. 3y + x ² - 9x + 18 = 0

  10. Persamaan peta kurva y = x ² - 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 adalah…

  2. Cara 2 (langsung ) refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,90 ): sb: y rotasi (0,90 ): (-x,y) (-y,x) P(x,y) → P ^' (-x, y) → P ^'' (-y, -x) catatan: dari P ^' (-x, y) dirotasi (0,90 ) menjadi P ^'' (-y, -x) didapat dari rumus rotasi (0,90 ) P(x,y) → P ^' (-y, x) P(x,y) → P ^'' (-y, -x) A(2,1) → A ^" (-1,-2) B(6,1) → B ^" (-1,-6) C(5,3) → C ^" (-3,-5) Jawabannya adalah D UAN2003

  C ^" (-3,-5)

  →

  →

  = -y ; y ^' = x Rumus langsung: P(x,y) → P ^' (-y, x) sb: y rotasi (0,90 ):

  B ^" (-1,-6) C(5,3)

  →

  B ^' (-6,1)

  →

  A ^" (-1,-2) B(6,1)

  →

  A ^' (-2,1)

  →

  P(x,y) → P ^' (-x, y) → P ^'' (-y, -x) catatan: dari P ^' (-x, y) dirotasi (0,90 ) menjadi P ^'' (-y, -x) didapat dari rumus rotasi (0,90 ) P(x,y) → P ^' (-y, x) sehingga : (-x, y) (-y, x) A(2,1)

  2. Rotasi (0, 90 ) : ⎟⎟ ⎠ ⎞

  A ^'' (-1,2), B ^'' (-1,-6) dan C ^'' (-3,-5) jawab:

  Jawab: ⎟⎟ ⎠ ⎞

  9 =

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  5 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  3

  1

  2

  −

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  7

  4

  ⎜⎜ ⎝ ⎛−

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  n m

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  9 = M ₁ x M ₂

  7

  ⎜⎜ ⎝ ⎛−

  − −

  2

  D. A ^'' (-1,-2), B ^'' (-1,-6) dan C ^'' (-3,-5) E.

  11

  C. A ^'' (1,-2), B ^'' (-1,6) dan C ^'' (-3,5)

  B. A ^'' (-1,-2), B ^'' (1,-6) dan C ^'' (-3,-5)

  9. Bayangan ∆ ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi (0,90 ) adalah… A. A ^'' (-1,-2), B ^'' (1,6) dan C ^'' (-3,-5)

  n m

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  3

  5

  − − −

  3

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  9 =

  7

  ⎜⎜ ⎝ ⎛−

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  n m

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  E. y + x ² + 9x - 18 = 0 Jawab: pencerminan terhadap sumbu x: Sehingga : _' P(x,y) → P (x, -y) _"

  P(x,y) P (-3y, 3x)

  →

  Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 : _' P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)

  [O, k] : P(x,y) → P (kx, ky) _{' "} P(-1,2) → P (-6,-3)

  [O,3k] : P(x,y) → P (3x, 3y) _" Q(3,2) → Q (-6,9) _" pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai

  R (3,-1) → R (3,9) _" dengan pusat O dan factor skala 3 : _{' ''} S(-1,-1) → S (3,-3) P(x,y) → P (x, -y) → P (3x, -3y)

  Buat sketsa gambarnya: _{" "}

  1 y x = 3x ⇒ x = x _{" "}

  3 _" Q (-6,9) Q (-6,9) 1 " 9 y = - 3y ⇒ y = - y

  3 ₂ (9+3)

  Substitusi pada persamaan y = x - 3x + 2 menjadi: satuan luas 1 " 1 " ² 1 " y = ( x ) - 3. x + 2 -

  3

  3

  3

• 6 0 3 x 1 "

  1 " 2 " ⇔ - y = x - x + 2 | x 9 | _{" "}

  3

  9 _{" " 2 "} P (-6,-3) -3 S (3,-3) ⇔ - 3 y = x - 9 x + 18 _{" " 2 " 2}

  ⇔ 3 y + x - 9 x + 18 = 0 ⇒ 3 y + x - 9x + 18 = 0 (6+3) satuan jawabannya adalah A Sehingga luas transformasinya adalah :

  EBTANAS2001

  11. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1) karena dilatasi [0,3] jawabannya adalah E

  π dilanjutkan rotasi pusat O bersudut adalah…

  2 EBTANAS2001

  12. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(6,4)

  A. 36 B. 48 C.72 D. 96 E. 108

  3

  1 ⎛ ⎞ ditransformasikan dengan matriks transformasi .

  ⎜⎜ ⎟⎟ jawab:

  1 ⎝ ⎠ Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC adalah…. dilatasi [0,3] : _' [O,3k] : P(x,y) → P (3x, 3y)

  A. 56 satuan luas C. 28 satuan luas E. 18 satuan luas

  B. 36 satuan luas D. 24 satuan luas π π

  Rotasi pusat O bersudut { R [0, ] }: Jawab: _'

  2

  2 P(x,y) → P (-y, x)

  3

  1 ⎛ ⎞ misalkan T = maka ⎜⎜ ⎟⎟

  [0,3] (-y, x) 1 _{' "}

  ⎝ ⎠ P(x,y) → P (3x, 3y) → P (-3y, 3x)

  Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC |det T| = |ad –bc| = |3-0| = 3 luas ∆ ABC : buat sketsa gambar:

  4 C(6,4)

  1 A(2,1) B(6,1) 2 6 7

  1 Luas alas x tinggi ; ∆ ABC =

  2

  1 = x AB x BC

  2

  1 = .x 4 x 3 = 6

  2 Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC = 3 x 6 = 18 satuan luas Jawabannya adalah E