LATIHAN SOAL SOAL GEOMETRI TRANSFORMASI

GEOMETRI TRANSFORMASI
MODUL 11 SETENGAH PUTARAN DAN PENCERMINAN (REFLEKSI)

Disusun Oleh:
NAMA

: SITI JAUHAIRYAH

NIM

: E1R 013 052

KELAS

: B (REGULER PAGI)

KELOMPOK : V (GANJIL)
SEMESTER : IV

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MATARAM
2015

 LATIHAN 1
1. Cobalah bukti contoh 12.1.1. di atas Anda lakukan dengan aljabar (tanpa gambar)
Jawaban

:
A , B , P dengan

(contoh 12.1.1: diketahui titik

σ Q =τ A , B ( P) . Buktikan bahwa

−1

τ A ,B σ p τ A , B =σ Q ¿
Penyelesaian:
Misalkan Misalkan

A ( a , b ) , B ( c , d ) , dan
m→ m=c−a
τ A ,B = c=a+
'
d =b++n → n=d−b

P( p , q)

{

Sehingga persamaan translasi

{

'

τ A ,B = x ' =x +( c−a)
y = y +(d−b)

{

'
σ p = x ' =−x +2 p
y =− y +2 q

{

'
σ Q =τ A , B ( P ) = x '= p+ ( c−a ) → p=x −(c −a)
y =q+ ( d−b ) → q= y−( d −b )
x −( c−a ) , y−( d−b )
τ A ,B σ p τ A , B−1=τ A , B σ p ¿
¿ τ A ,B (−( x− ( c−a )) + 2 p ,−( y−( d−b ) ) +2 q)
¿ τ A ,B (−x+ ( c−a )+2 p ,− y + ( d−b ) +2 q )
¿ (−x +2 ( c−a ) +2 p ,− y+ 2 ( d−b ) +2 q )
¿(− p+ ( c−a ) +2 p ,−q+ ( d−b ) +2 q)
¿ ( p+ ( c−a ) ,q + ( d−b ) )
¿ σ Q (terbukti)

2. Diketahui titik A, B, C yang tak segaris. Selidikilah apakah ada titik D sehingga
τ A ,B =σ D σ C
Jawaban

:

Andaikan τ A ,B ( X )=Y . Akan diselidiki bahwa ada titik

D sehingga

σ D σ C ( X )=Y . Dari gambar di bawah ini kita dapat mengilustrasikannya:
B
A

D
C

Jika kita garis AD yang ekuivalen dengan AB maka diperboleh gambar seperti di atas. A
adalah titik tengah dari ruas garis BD menurut definisi definisi karena

A ≠B

maka ada

ruas garis AB. Kemudian ada perpanjangan ruas garis AB kea rah titik A sehingga ruas
garis AB ekuivalen dengan ruas garis AD dimana A merupakan titik tengah ruas garis BD
artinya D = S A ( B ) . Sehingga akibat adanya titik D diperboleh σ D σ C =Y . Jadi dari
keduanya diperoleh τ A ,B =σ D σ C
3. Buktikan baik dengan menggunakan gambar maupun dengan aljabar bahwa
σ Q σ P=τ 2P ,Q apabila diketahui titik P dan Q
Jawaban

:

Misalkan

P=(q , r )→(x , y)
'

'

Q=(s ,t )→( x , y )
x ' =x+ a
'

y = y +b

τ p , q → s=q+a → a=s−q
t=r +b → b=t−r

τ 2p , q=τ p ,q τ p ,q
¿ τ p , q (x+a , y+ b)
¿ ( ( x+ a ) +a , ( y +b ) )
¿( x +2 a , y+ 2b)

σ p =x' =−x +2 q
'

y =− y+ 2r

'

σ p =x =−x +2 s
'

y =− y+ 2t

σ Q σ p=σ Q (−x+ 2 q ) (−y +2 r )
¿− (−x +2 q ) +2 s
−(− y +2 s ) +2t

¿ x−2 q+2 s → x +2 ( s−q ) → x+2 a
y−2 s +2 t → y+2 ( t−s ) → x +2 b

4. Selidikilah apakah benar bahwa σ P τ A , B σ P=τ C , D dengan C=σ P ( A) dan
D=σ P (B)
Jawaban

:
A ( a , b ) , B ( c , d ) , dan

'
C=σ P ( A )= x '=−a+ 2 p
y =−b+2 q

Misalkan

{
{

P( p , q)

'

D=σ P (B)= x '=−c +2 p
y =−d +2 q
τ C , D = −c +2 p=−a+2 p+m →m=−c +a
−d +2 q=−b+2 q+n → n=−d +b
'
x =x +(−c +a)
Sehingga persamaan translasi τ C , D = '

y = y+(−d +b)
c=a+ m→ m=c−a
τ A ,B = '
d =b++n → n=d−b

{

{

{

{

'

τ A ,B = x ' =x +( c−a)
y = y +(d−b)
σP
τ A ,B σ P =σ P
τ A ,B (−x+ 2 p ,− y+ 2q )

¿ σ P (−x+2 p+ ( c−a ) ,− y +2 q ( d−b ) )

Sehingga persamaan translasi

−( −x +2 p+ ( c−a )) + 2 p ,− (−y +2 q+ ( d−b ) )+ 2 q
¿¿
¿( x−( c−a ) , y−( d −b ) )

¿ ( x+ (−c + a ) , y + (−d +b ) ) =τ C , D (terbukti)
suatu translasi, buktikan bahwa τ σ P adalah setengah putaran mengelilingi

5. Jika r

titik tengah ruas garis P ke σ P τ
Jawaban

:

 TES FORMATIF 1
P(−2,3) . Kalau A (4,−5) , maka

1. Diketahui titik
A. (8,11)
B. (8,−11)
C. (−8,11)
D.

. Transformasi apakah dilukiskan oleh σ P τ .

'
A =σ P ( A) adalah …

(4, 112 )

Jawaban :
P(−2,3)

A (4,−5)
'

x =−x +2 a

¿−4+ 2 (−2 )
¿−8
'

y =− y+ 2b

¿ 5+2 ( 3 )
¿ 11

Jadi, titik
2. Diketahui

'
A =σ P ( A) adalah C. (−8,11) .

P=( 2,1 ) , Q(1,−2)

dan

R(0,3)

yang tidak segaris. Tentukan titik S

sehingga PQRS sebuah jajaran genjang (paralelogram). Maka …
A. (−1,6)=S
B. (6, 1)=S
C. (−6,1)=S
D.

( 1,6 )=S

Jawaban :

P=( 2,1 ) , Q(1,−2) dan

R(0,3)

σ R ∙σ R ∙ σ R ( x , y )=(−x+2 ( a−c +e ) ,− y +2 ( b−d+ f ) ) =σ S ( x , y ) .
¿ (−x +2 ( 2−1+0 ) ,− y +2 (1+2+3 ) )=(−x+ 2 p ,− y+ 2 )
¿ (−x +2 ) , (−y +12 )=(−x+ 2 p ,− y +2 q)
¿−x +2=−x +2 p ,− y +12=− y +2 q

¿ p=1, q=6
Jadi, titik S adalah D (1, 6) .
3. Diketahui

A= (1,1 ) , B=( 3,5 ) ,

dan

τ A ,B =τ C , D

C=(−4,3) . Apabila

maka titik

D adalah …
A. (1,2)
B. (−2,4)
C. (−4,3)
D. (−2,6)
Jawaban :

{

'
τ A ,B = x ' =x +a ⟹ 3=1+ a⟹ a=2
y = y +b ⟹5=1+b ⟹ b=4

Sehingga diperoleh :
'
x =x+2
y ' = y +4
Misal ¿( p , q) , maka :
'
+a ⟹ p=−4 +a ⟹ a=p+ 4
τ C , D = x =x
'
y = y +b ⟹ q=3+b ⟹ b=q−3
Sehingga diperoleh :
x ' =x+( p+4 )
'
y = y +(q−3)
τ A ,B =τ C , D

x+ 2=x + p +4
p=−2

y +4= y +(q−3)
q=7
Jadi titik D adalah (−2,7)
4. Diketahui titik-titik X =( a , b ) , Pi =( x i , y i ) , i=1,2, 3, 4, 5.

{

pusat sistem koordinat, maka persamaan transformasi
adalah …
A. (a−x 3 , b− y 3)

O=(0,0)

Kalau

adalah

τ P , P τ P , P τ P , P τ P , P τ Q , P (X )
4

3

3

4

2

3

1

2

1

B. ( a+ x 3 , b− y3 )
C. (a−x 3 , b+ y 3 )
D. (a+ x 3 , b+ y 3 )
Jawaban :
x+ ( x3 −x 4 ) , y+( y 3. − y .4 )
τ P 4 P 3=¿
x+ ( x 4−x 3 ) , y+( y 4. − y 3. )
τ P3 P4 =¿
x+ ( x3 −x 2) , y +( y 3.− y 2. )
τ P2 P3=¿
x+ ( x2 −x1 ) , y +( y2. − y 1. )
τ P1 P2=¿
τ P0 P1 =( x + x 1 , y + y 1. )
I ( x+ x2 , y+ y 2)
II (x+ x3 , y + y 3)
III ( x+ x 4 , y + y 4)
IV ( x+ x3 , y + y 3)
(b+ x 3 , y+ y 3)
Jadi, persamaan transformasinya adalah D. (b+ x 3 , y+ y 3)

LATIHAN 2

1. isilah tempat-tempat yang kosong atau titik-titik dalam daftar berikut ini dengan cara
menggunakan gambar maupun dengan rumus yang tersedia dalam Teorema 11.2 diatas.

Persamaan sumbu
Refleksi g
X =0
Y =0
X =2
Y =−3
Y =2 X
…………
…………

Titik

P

(x , y )
…………
(−2,3)
(x , y )
…………
(5,3)
(0,3)

Jawaban :


x=0

x ' =x−

2a(x)
a2+ b2

2( 1) x
1
¿ x−2 x
¿−x
2 b ( x)
y ' = y− 2 2
a +b
2( 0) x
¿ y−
1
¿y
(−x , y )
¿ x−



y=0

2a( y)
2
2
a +b
2(0 ) y
¿ x−
1
¿ x−0
¿x
2 b ( x)
y ' = y− 2 2
a +b
2(1) y
¿ y−
1
¿ y−2 y ¿− y
( x ,− y )
x ' =x−

Titik

P' =σ g ( P )

………….
(x , y )
………….
…………
(4,3)
(−8,3)
(−3,0)



x=2 maka x−2=0, P (−2,3)

x ' =x−

2 ( 1 ) ( x−2 )
1
¿ x−(2 x−4)
¿ x−2 x + 4 ¿−x + 4
2 b ( ax+ by +c )
y ' = y−
a2 +b2
2 ( 0 )( x−2 )
¿ y−
1
¿y
¿3
( 6,3 )

2 a ( ax +by +c )
a2 +b2

¿ x−



y=−3 maka y +3=0, P(x , y )
¿ x−

¿−(−2)+4

x ' =x−

¿6

2 a ( ax +by +c )
a2 +b2

(2 ( 0 ) ( y +3))
1

¿x
2 b ( ax+ by +c )
a2 +b2
2 ( 1 ) ( y +3 )
¿ y−
1
¿ y−( 2 y +6 ) ¿ y−2 y−6
( x ,− y−6 )

y ' = y−



¿− y−6

2 a ( ax +by +c )
a2 +b2
(−4 )( y −2 x )
4=x−
5

y=2 x maka y−2 x=0, ( x ' , y ' )=(4,3)

x ' =x−

2 (−2 ) ( y−2 x )
22 +12
(−4 y ) +8 x
4=x−
5
20=5 x +4 y−8 x 20=−3 x+ 4 y
2 b ( ax+ by+ c )
y ' = y−¿ 2 ¿ 2
a +b
2 ( 1 ) ( y−2 x )
3= y−
22 +12
2 ( y−2 x )
3= y−
5
4=x−

(2 y−4 x)
5
15=5 y −2 y + 4 x
15=3 y +4 x
Dengan menggunakan substitusi diperoleh:
−12 x+ 16 y=80
3= y−

12 x +9 y=45
x=0

7 y=35

y=5

20=−3 x+ 4 y

(0,5)

Persamaan sumbu refleksi

g

⊥ terhadap garis yang melalui titik

P' . Persamaan garis yang melalui titik
dan

P' (−8,3)

⊥

20=−3 x+ 4 ( 5 )

Y =3

yakni

terhadap garis

Y =3

P

P'

dan

dengan

sehingga diperoleh persamaan garis
dan membagi ruas garis

PP '

bagian sama panjang yakni

3
2
2 X=3
Persamaan ruas garis PP’:
(x1,y1) = (0,3) ; (x2,y2) = (-3,0)
Sehingga:
x−x 1
y− y 1
=
x 2−x 1
y2 − y1
x−0
y −3
⇔
=
−3−0
0−3
x
y −3
⇔
=
−3
−3
⇔ -3x = -3y +9
⇔ 3x -3y +9 = 0
X=

Dari persamaan di atas maka mPP’ =
Karena g ⊥ PP’ maka mg=

−1
mPP '

−3
−3
=

=1
−1
1

= -1

Sehingga persamaan g yaitu:
y = mx
y = -x
Persamaan sumbu
Refleksi g
X =0
Y =0

Titik

P

(x, y)
( x ,− y )

Titik

'

P =σ g ( P )

(−x , y )
(x , y )

P dan
P(5, 3)
g

yang

menjadi dua

X =2

( 6,3 )

(−2,3)

Y =−3

(x, y)

( x ,− y−6 )

Y =2 X
2 X=3
Y =−X

(0,5)
(5,3)
(0,3)

(4,3)
(−8,3)
(−3,0)

2. Diketahui garis

g

dengan persamaan

Y =2 X −5.

Oleh refleksi

peta-peta dari titik-titik ( 0,0 ) , ( 1,−3 ) , (−2,1 ) , ( 2,4 ) .
Jawaban
:
2 x −5− y =0

(0,0)
2 a ( ax +by +c )
x ' =x−
a2 +b2
−1
2
( 4 ) ( 2 ( 0 )−5−0 )
2 +(¿ ¿2)
¿ 0−
5
2 ( 2 )( 2 x−5− y )
¿ 0−
¿
( 4 ) (−5 )
¿ 0−
5
20
¿
5
¿4
2 b ( ax+ by +c )
a 2+b 2
−1
2
2 +(¿¿ 2)
2 (−1 ) ( 2 x −5− y )
¿ 0−
¿
(−2 )(−5 )
¿ 0−
5
−10
¿
5
¿−2
( 4,−2 )

y ' = y−



(1,−3)
2 a ( ax +by +c )
x ' =x−
a2 +b2

¿ 0−

(−2 ) ( 2 ( 0 )−5−0 )
5

σ g , tentukan

2 ( 2 ) ( 2 x −5− y )
( 4 ) ( 2 ( 1 )−5−(−3) )
¿ 1−
2
2
(−1 )+ 3
10
( 4 )( 0 )
¿ 1−
10
¿ 1−0
¿1
2 b ( ax+ by +c )
y ' = y−
a 2+b 2
2
−1¿
¿
(−2 ) ( 2 ( 1 )−5−(−3) )
3
¿(−3)−
10
¿
2 (−1 ) ( 2 x−5− y )
¿(−3)−
¿
(−2 ) ( 0 )
¿(−3)−
5
0
¿−3+
5
¿−3
( 1,−3 )
¿ 1−



(−2,1)
2 a ( ax +by +c )
x ' =x−
a2 +b2
2 ( 2 ) ( 2 x−5− y )
¿(−2)−
2 2+12
( 4 )(−10 )
¿(−2)−
5
40
¿ (−2 ) +
5
¿6
y ' =1−

2 b ( ax+ by+ c )
a2 +b 2
−1
2
2 +(¿¿ 2)
2 (−1 ) ( 2 x−5− y )
¿ 1−
¿
(−2 ) (−10 )
¿ 1−
5
20
¿ 1−
5
¿−3

¿(−2)−

¿ 1−

( 4 ) ( 2 (−2 )−5−1 )
5

(−2 ) ( 2 (−2 ) −5−1 )
5

( 6,−3 )


(2,4)
2 a ( ax +by +c )
x ' =x−
a2 +b2
2 ( 2 ) ( 2 x−5− y )
¿ 2−
22+12
( 4 )(−5 )
¿ 2−
5
20
¿ 2+
5
¿6

y ' = y−

3. Diketahui garis

2 b ( ax+ by +c )
a 2+b 2
−1
2
2 +(¿¿ 2)
2 (−1 ) ( 2 x−5− y )
¿ 4−
¿
(−2 )(−5 )
¿ 4−
5
10
¿ 4−
5
¿2
( 6,2 )
m

dengan persamaan

tentukan titik B , sehingga σ m ( B )= A .
Jawaban
:
Y=X
A=(a1 , a2 )
B=(b
Misal
1 , b2)
σ m (B)= A
a
¿
1
(¿ , a2)
σ m (b1 ,b 2)=¿
2 a ( ax +by +c )
x ' =x−
a2 +b2
2 ( 1b 1−b2 )
a1=b1−
2
2 a1=2 b1−2 b 1+2 b 2
2 a1=2 b1−2 b 1−2 b2
2 a1=2 b2 → a1=b2

¿ 2−

( 4 ) ( 2 ( 2 )−5−4 )
5

¿ 4−

(−2 ) ( 2 ( 2 )−5−4 )
5

Y=X.

Jika diketahui titik

A ( a1 , a2 )

2 ( 1 b1−b2 )
2
2 a2=2 b2 +2 b1−2 b 2
2 a2=2 b1 → a2=b1
a
Jadi terbukti (¿ ¿ 1 , a2)
B=¿
a2=b2 +

 TES FORMATIF 2
1) Diketauhi garis g dengan persamaan Y=3X dan sebuah titik A. Jika diketahui bahwa σ
(A)=A’=(3,0), maka A (dengan menggunakan Teorema 11.8) adalah titik . . . .

g

A.

( 115 , 95 )

B.

( −115 , 95 )

C.

( −125 , 95 )

D.

( −45 , 35 )

Jawabanan:


A’ = (x’,y’) = (3,0) sehingga x’ = 3 dan y’ = 0



Y= 3X ⇒ 3X – Y = 0

Dari persamaan di atas diperoleh a = 3, b = -1
( 2a ( ax +by + c ) )
x’ = x –
( a2 +b2 )
−1
¿
32 +(¿¿ 2)
3=x–
¿
( 2.3 ( 3 x−1 y ) )
¿
( 6 ( 3 x−1 y ) )
3=x–
( 9+1 )
(18 x−6 y )
3=x10
10 x−18 x +6 y
3=
10
−8 x +6 y
3=
10
30 = -8x + 6y
15 = -4x + 3y
-15 = 4x -3y…i)

y’ = y -

(2 b ( ax+ by +c ))
(a 2+b 2)

0= y -

(2(−1) ( 3 x−1 y ) )
(32 +12 )

0=y-

(−6 x +2 y )
10

0=y-

(−6 x +2 y )
10

0 = 10y +6x -2y

2 12x +16y = 0

persamaan …i)

()

Jadi, A adalah titik

( −125 , 95 )

-

9
5
9
-15 = 4x -3
5
27
-15 = 4x 5
20 x−27
-15 =
5
-75 = 20x -27
20x = -48
−12
x=
5

Substitusi y =

4x - 3y = -15 3 12x - 9y = -45

6x +8y = 0

Eliminasi i) dan 2)

-25y = -45



y=

0 = 6x +8y …ii)

2) Diketahui titik T(3, -2). Ada garis dengan persamaan g : 2X – 3Y -4 = 0. Tentukan T’= σ
(T) tanpa menggunakan Teorema 11.8. Maka, T’ adalah titik . . . .

g

A.

( −713 , 2213 )

B.

7
, )
( −22
13 13

C.

7
,− )
( −22
13
13

D.

( 137 , 1322 )

Jawabanan:
g: 2X – 3Y -4 = 0
Dari persamaan g di atas diperoleh bahwa a = 2, b = -3, c = -4


T(3,-2) = T(x,y) sehingga x = 3 dan y = -2



x’ = x -

(2 a ( ax+ by +c ))
2

2

(a +b )

2.2 ( 2.3+(−3)(−2)−4 )
¿
x’ = 3 ¿
¿
4 ( 6+6−4 )
¿
x’ = 3 ¿
¿
(32)
x’ = 3 13
(39−32)
x’ =
13
7
x’ =
13



y’ = y -

y’ = -2 -

(2 b ( ax+ by +c ))
(a 2+b 2)
(2(−3)( 2.3+ (−2 ) (−3 )−4 ) )

(22+(−3)2)
(−6 ( 6+6−4 ))
y’ = -2 ¿ ¿
(4+9)
−6 ( 6 +6−4 )
¿
y’ = -2 ¿
¿
(−48)
y’ = -2 13
(−26+48)
y’ =
13
22
y’ =
13
E. Jadi T’ adalah titik

( 137 , 1322 )

3) Diketahui titik-titik T(-a,-b) dan T’(b,a) = σ

(T). Tentukan persamaan g tanpa

g

menggunakan. Teorema 11.8. Maka persamaan g adalah . . . .
A. Y = -X
B. Y = X
C. Y = -2X
D. X = -2Y

Jawabanan:



T(-a, b) = T(x1, y1) sehingga x1= -a dan y1 = -b
T’(b, a) = T’(x2, y2) sehingga x2 = b dan y2 = a

Berdasarkan yang diketahui di atas diperoleh persamaan garis TT’



x−x 1
x 2−x 1

=

y − y1
y − y1

x +a
y+b
=
b+a
a+ b
(x+a)(a+b)=(y+b)(b+a)
ax + bx + a2 + ab = by + ay + b2 +ba
ax + bx – by –ay + a2 - b2 = 0
(a +b)x + (-b –a)y + a2 – b2 = 0
Dari persamaan di atas dapat ditentukan gradien garis TT’ (mTT’):
(a+ b)
(a+ b)
a
m TT’ = ==
=1
b
(−b−a)
(a+ b)
karena g tegak lurus dengan garis TT’ maka gradien garis g (mg)
mg = -

1
mTT '

=-

1
1

= -1

sehingga persamaan dari garis g yaitu
Y=mX
Karena mg= -1 maka Y = - X
Jadi, persamaan g adalah A. Y = -X