Asumsi 2 : Bahwa level yang lebih tinggi pada suatu faktor j naik menunjukan tingkat
yang lebih tinggi. Hubungan ini ditulis:
n j
m i
Rx x
ij ij
, 1
, ,
1 ,
= =
, dimana : R adalah relasi ‘lebih tinggi’ . Asumsi 3 :
Misalkan akan ditetapkan ada k buah penilaian yang akan digunakan sebagai basis untuk melakukan evaluasi benchmark, maka benchmark ke-r adalah
k r
X Z
r
, 1
, =
, Level terendah dalam faktor ke-i adalah:
1 i
x
dimana
m i
, 1
=
, sedang level tertinggi adalah : x
in
dimana
m i
, 1
=
dan
z n
, 1
=
. Jumlah skor pada level terendah harus ditetapkan lebih dari atau sama
dengan suatu nilai tertentu, misal : c
i
dimana
m i
, 1
=
, sedangkan jumlah skor pada level tertinggi ditetapkan kurang dari atau sama dengan suatu
nilai tertentu : w
i
dimana
m i
, 1
=
.Penyederhaan dari asusmi 3 diperoleh suatu pertidaksamaan sebagai berikut :
m i
c x
i i
, 1
,
1
= ≥
∑
. 1.1
∑
= ≤
m i
w x
i in
, 1
.
. 1.2
Asumsi 4 : Perlu diperhatikan bahwa dalam suatu faktor, bahwa harga suatu level harus
lebih tinggi dibanding dengan harga level sebelumnya. Selisih yang diperbolehkan untuk kedua level dalam faktor ke-i tersebut minimum harus
sama dengan nilai tertentu, misalkan nilai tersebut dinotasikan dengan
variabel e
i ;
m i
, 1
=
, maka dapat ditulis dengan pertidaksamaan sebagai berikut :
n j
m i
e X
X
i ij
ij
, 1
, ,
1 ,
= =
≥ −
1.3
3. Pemodelan matematika
Dari persamaan 1.1, 1.2 dan 1.3 dapat ditulis dalam bentuk pemrograman linear sebagai berikut :
Tentukan
n j
m i
x
ij
, 1
, ,
1 ,
= =
x = x
ij
dengan batasan
n j
m i
x n
j m
i x
x z
n m
i w
x m
i c
x k
i d
X Z
ij j
i ij
i in
i i
r r
, 1
, ,
1 ,
, 1
, ,
1 ,
, 1
, ,
1 ,
, 1
, ,
1 ,
~
1 1
= =
≥ =
= −
= =
≤ =
≥ =
=
−
∑ ∑
1.4
dimana
=~
menunjukan kesamaan fuzzy. Kesamaan fuzzy ini dapat dipresentasikan sebagai kombinasi antara 2
2
ketidaksamaan fuzzy sebagai berikut :
. ,
1 ,
~ k
r d
X Z
r r
= ≤
1.5
~ .
, 1
, ~
k r
d X
Z
r r
= ≥
1.6 misalkan Z
min
dan Z
max
masing-masing adalah nilai benchmark minimum dan nilai benchmark maximum, maka fungsi keanggotaan untuk kesamaan fuzzy
dapat didefinisikan sebagai berikut : 1. Fungsi keanggotaan
k r
Z
r r
, 1
, =
μ
, adalah fungsi yang tidak pernah turun. Diasumsikan jika nilai 0 akan terjadi pada daerah Z
r
≤ Z
min
dan fungsi akan naik secara monoton pada Z
min
Z
r
≤ d
r
, maka dapat ditulis sebagai berikut :
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
= =
≤ −
− =
≤ =
k r
d Z
jika k
r d
Z Z
jika Z
d Z
Z k
r Z
Z jika
Z
r r
r r
r r
r r
r
, 1
, 1
, 1
, ,
, 1
,
min min
min min
μ
1.7 dimana :
adalah fungsi keanggotaan ; Z
r
μ
r
adalah benchmark ke-r, Z
min
adalah benchmark minimum, d
r
adalah nilai crisp,
k r
, 1
=
.
2. Fungsi keanggotaan
k r
Z
r r
, 1
, =
μ
, adalah fungsi yang tidak pernah naik. Jika diasumsikan nilai 0 akan terjadi pada daerah Z
r
≥ Z
min,
dan fungsi akan turun secara monoton pada d
r
Z
r
≤ Z
max
, maka dapat ditulis sebagai berikut :
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
= =
≤ −
− =
≤ =
k r
Z Z
jika k
r Z
Z d
jika d
Z Z
Z k
r d
Z jika
Z
r r
r r
r r
r r
r
, 1
, ,
1 ,
, ,
1 ,
1
max max
max max
μ
1.8 dimana :
adalah fungsi keanggotaan ; Z
r
μ
r
adalah benchmark ke-r, Z
max
adalah benchmark minimum, d
r
adalah nilai crisp,
k r
, 1
=
.
3
Dengan menggunakan operator min λ dan fungsi keanggotaan pada 1.7
dan 1.8, maka 1.5 dan 1.6 dapat ditulis sebagai berikut :
. ,
1 ,
min min
k r
Z Z
d Z
r r
= +
− ≥
λ
1.9
. ,
1 ,
max max
k r
Z d
Z Z
r r
= +
− −
≤
λ 1.10
Dari persamaan 1.9 dan 1.10, model fuzzy 1.4 dapat diturunkan menjadi bentuk pemrograman linear, yaitu :
Max λ
Dengan batasan :
m i
c w
n j
m i
x n
j m
i e
x x
z n
m i
w x
m i
c X
k r
Z d
Z Z
k r
Z Z
d Z
i i
ij i
j i
ij i
in i
i r
r r
r
, 1
, ,
1 ,
, 1
, ,
1 ,
, 1
, ,
1 ,
, 1
, 1
, ,
1 ,
, 1
,
1 1
max max
min min
= =
= ≥
= =
≥ −
= =
≤ =
≥ =
≤ −
+ =
≥ −
−
−
∑ ∑
λ λ
1.11
4. Implementasi
