Metode Transformasi Diferensial Dalam Penyelesaian Persamaan Diferensial Riccati
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL DALAM PENYELESAIAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
(Skripsi)
Oleh
Christy Engine Nita
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2015
ABSTRAK
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL DALAM PENYELESAIAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
Oleh
Christy Engine Nita
Persamaan diferensial tak linear dalam bentuk
dikenal dengan persamaan diferensial Riccati. Bila
persamaan
diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial Bernoulli dan bila
menjadi persamaan diferensial orde-1. Salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear adalah metode transformasi
diferensial. Solusi persamaan diferensial Riccati bergantung pada fungsi
dan
. Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode
transformasi diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan
diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial.
Kata kunci :
Persamaan Diferensial, Persamaan Diferensial Riccati, Metode
Transformasi Diferensial.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 15 Januari 1992. Penulis
merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Teguh Widodo dan Ibu Sugini,
serta kakak dari Doni Heady Wijaya.
Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak AL-AZHAR 2 di
Perumnas, Bandar Lampung pada tahun 1997.
Pendidikan sekolah dasar di SD
AL-AZHAR 1 Kedaton, Bandar Lampung pada tahun 2003.
Pendidikan sekolah
menengah pertama di SMP Negeri 10 Bandar Lampung
pada tahun 2006.
Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3, Bandar Lampung pada
tahun 2009.
Pada tahun 2010, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur Ujian Mandiri. Pada
periode tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA
(Generasi Muda HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila.
Penulis pernah menjadi anggota biro Kesekretariatan Organisasi Himpunan
Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2011/2012 - 2012/2013.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama satu bulan di Kantor Dinas Pendapatan
Kota Bandar Lampung serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di desa
Sidorejo kecamatan Sekampung Udik, Lampung Timur.
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang luar biasa yang selalu diberikan kepadaku sehingga
aku dapat menyelesaikan hasil karyaku ini.
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk Bapakku Teguh
Widodo dan Ibuku Sugini tersayang sebagai salah satu
wujud cintaku.
Terima kasih untuk setiap doa, dukungan, dan kasih sayang
yang selalu menemani disetiap hariku
Untuk ibu angkatku Ragil Waginem, adikku Doni Heady
Wijaya, sepupuku Adnika Yulita Sari, Afriyani dan Fera
Dian Ariska, terima kasih untuk dukungan serta doa yang
selalu diberikan untukku
Sahabat-sahabat terbaikku, terima kasih untuk semua kisah
yang telah kita lalui bersama.
MOTO
“Orang tua kita adalah anugerah
terbesar di dalam sebuah kehidupan”.
“Man Shobaro Zafiro – Siapa yang
bersabar akan beruntung”.
“Belajarlah dari kesalahan di masa lalu,
mencoba dengan cara yang berbeda dan
selalu berharap untuk sebuah kesuksesan
di masa depan”.
(Christy Engine Nita)
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin
serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam kepada
junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang
baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan,
kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1.
Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing I yang
senantiasa membimbing, memberikan arahan, saran dan dukungan kepada
penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah banyak
membantu dan memberikan pembelajaran serta bimbingan kepada penulis.
3.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku penguji yang telah
memberikan penulis kritik dan saran pada penelitian ini serta selaku Ketua
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
4.
Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik.
5.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku yang luar biasa, mbak Sari, adikku Doni, Afri, Fera
dan Aulia, yang tak pernah lelah memberikan doa, saran, perhatian serta
dukungan kepada penulis.
8.
Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Tri
Handayani, Hasby Alkarim, Miftah Farid Artama, Muhammad Ridho,
Rohandi, serta Sofyan Saputra yang selalu ada dan memberi semangat
melalui keceriaan serta nasihatnya.
9.
Sahabat yang sudah menjadi keluarga Leli Apriyani dan Sherly Nurimani,
terima kasih untuk doa, perhatian dan nasihatnya.
10. Sahabat seperjuangan selama menyusun skripsi ini Agustina Ambar Wulan
yang selalu menemani.
11. Untuk abang Hendra yang selalu memberikan motivasi, Staff pengajar
Soesilo 43 serta anak murid tercinta dan para calon Brigadir yang
memberikan keceriaan.
12. Untuk teman-teman Matematika 2010 dan keluarga besar HIMATIKA.
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
BandarLampung, Februari 2015
Penulis,
Christy Engine Nita
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Tujuan Penelitian.............................................................................. 5
1.3
Manfaat Penelitian............................................................................ 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Turunan ............................................................................................ 6
2.2
Diferensial......................................................................................... 7
2.3
Persamaan Diferensial ...................................................................... 7
2.4
Orde, Degree dan Persaman Diferensial ........................................... 8
2.5
Persamaan Diferensial Eksak ........................................................... 8
2.6
Persamaan Diferensial Linear Orde-1 ............................................ 10
2.7
Persamaan Diferensial Bernoulli .................................................... 10
2.8
Persamaan Diferensial Riccati ........................................................ 11
2.9
Metode Transformasi Diferensial ................................................... 11
2.10 Deret Taylor .................................................................................... 12
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 14
3.2
Metode Penelitian ........................................................................... 14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V.
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
1
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami
kemajuan. Salah satunya adalah cabang ilmu matematika yang sampai saat ini
mengalami perkembangan yang berguna untuk kemajuan teknologi. Para peneliti
terus melakukan penelitian untuk selalu menemukan penemuan-penemuan baru yang
dapat
memberikan
sumbangan
ilmu
pengetahuannya
sebagai
penunjang
berkembangnya ilmu-ilmu lain.
Saat ini tuntutan terhadap penguasaan matematika terapan semakin kuat. Kerja
efektif, praktis dan akurat diperlukan baik untuk menjalani kehidupan saat ini
(sebagai mahasiswa) maupun nanti bila memasuki dunia kerja. Banyak masalah
matematik dapat disajikan dalam bentuk model matematika. Oleh karena itu,
khususnya bagi mahasiswa yang mengambil jurusan matematika, IPA dan teknik
perlu pengetahuan dasar bagaimana cara mencari solusi suatu model matematika.
Bagi mahasiswa, mata kuliah persamaan diferensial biasa merupakan mata kuliah
yang dapat mengantarkan ke pemikiran-pemikiran menerapkan matematika.
Persamaan diferensial merupakan persamaan matematika untuk fungsi satu variabel
2
atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam
berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa,
fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial
muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi.
Studi mengenai persamaan diferensial dimulai setelah penemuan Kalkulus dan
Integral. Pada tahun 1676 Newton menyelesaikan sebuah persamaan diferensial
dengan menggunakan deret tak hingga, sebelas tahun setelah penemuannya tentang
bentuk fluksional dari kalkulus diferensial pada tahun 1665. Newton tidak
mempublikasikan hal tersebut sampai dengan tahun 1693, pada saat Leibniz
menghasilkan rumusan persamaan diferensial yang pertama.
Perkembangan persamaan diferensial sangat pesat dalam tahun-tahun berikutnya.
Dalam tahun 1694-1697 John Bernoulli menjelaskan “:Metode Pemisahan Variabel”
dan membuktikan bahwa persamaan diferensial homogen orde satu dapat direduksi
menjadi bentuk persamaan diferensial dengan variabel-variabel yang dapat
dipisahkan. Bernoulli menggunakan metode ini terhadap persoalan-persoalan
trayektori ortogonal. John Bernoulli dan saudaranya Jacob Bernoulli (yang
menemukan Persamaan Diferensial Bernoulli) berhasil menyederhanakan sejumlah
besar persamaan diferensial menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat mereka
selesaikan.
Persamaan Diferensial Bernoulli adalah persamaan diferensial orde satu dan bentuk
umum
dari persamaan diferensial
Bernoulli
adalah
.
3
Persamaan diferensial tak linear homogen Bernoulli atau yang lazim dikenal dengan
sebutan persamaan diferensial Bernoulli menjadi model utama dalam berbagai cabang
bidang aplikasi. Persamaan diferensial Bernoulli tersebut dibedakan atas derajat
ketaklinierannya (n). Sebagai contoh, persamaan diferensial orde dua Bernoulli (n=2)
lazim digunakan untuk memodelkan proses pertumbuhan logistik dalam bidang ilmu
hayati dan perilaku chaos. Untuk orde tak linear ketiga (n=3) persamaan diferensial
Bernoulli membentuk persamaan Gizbun-Landau atau persamaan quartic yang lazim
digunakan dalam menelaah proses terjadinya korosi. Persamaan diferensial Bernoulli
juga merupakan bagian tak linear persamaan diferensial parsial Klein Gordon yang
dikenal sangat luas pemakaiannya, diantaranya untuk mempelajari dinamika partikelpartikel elementer dan Stokastik
resonan,
penelaahan
transportasi
fluxon,
pembangkitan laser squeezed.
Sebagaimana lazim dijelaskan pada pustaka matematika, penyelesaian persamaan
diferensial Bernoulli selalu dilakukan melalui proses linierisasi sesuai dengan yang
direkomendasikan oleh Jacob Bernoulli. Transformasi dari persamaan diferensial tak
linear ke dalam persamaan diferensial linear dilakukan dengan menggunakann
“fungsi transformasi Bernoulli”, yang selanjutnya diselesaikan dengan metode
penyelesaian persamaan diferensial linear.
Dalam kehidupan sehari-hari, tidak jarang ditemui permasalahan yang dapat
dirumuskan dalam bentuk persamaan diferensial tak linear. Pada umumnya,
persamaan diferensial tak linear diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu untuk
selanjutnya diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial linear.
4
Namun, tidak semua persamaan diferensial tak linear dapat langsung dilinearisasi.
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial
tak linear adalah metode transformasi diferensial. Metode ini dapat digunakan tanpa
linearisasi. Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat
diterapkan pada persamaan tak linear tanpa linearisasi. Metode ini telah banyak
diterapkan untuk menyelesaikan berbagai persamaan. Metode transformasi diferensial
untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear tanpa linearisasi yaitu
persamaan diferensial Riccati.
Persamaan diferensial tak linear dalam bentuk
dikenal
dengan persamaan diferensial Riccati. Nama ini untuk mengenang ahli matematika
dan filsafat dari Itali, Count Jacopo Francesco Riccati (1676-1754). Bila
persamaan diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial Bernoulli dan bila
menjadi persamaan diferensial orde-1. Solusi persamaan diferensial Riccati
bergantung pada fungsi
Riccati
dengan
metode
dan
transformasi
. Penyelesaian persamaan diferensial
diferensial
dilakukan
dengan
mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat
transformasi diferensial.
Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk memperoleh solusi
analitik deret Taylor. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika
dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku. Metode analitik disebut juga metode
sejati karena ia memberi kita solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi
5
yang memiliki galat sama dengan nol, sedangkan metode numerik adalah teknik yang
digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan
dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi).
1.2
Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah menyelesaikan persamaan diferensial
Riccati menggunakan metode transformasi diferensial.
1.3
Manfaat Penelitian
Manfaat dilakukannya penelitian ini adalah:
1. Mengetahui sifat-sifat transformasi diferensial dan menyelesaikan persamaan
diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial.
2. Menambah bahan referensi mengenai persamaan diferensial Riccati.
6
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini diberikan beberapa definisi dan istilah yang digunakan dalam
penelitian ini.
Definisi 2.1 (Turunan)
Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah. Secara
umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan
besaran lainnya. Turunan fungsi
adalah fungsi lain
(dibaca “ aksen”) yang
lainnya pada sebarang bilangan adalah
asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa
terdiferensialkan di .
Contoh 1.
Andaikan
. Cari
.
Penyelesaian:
[
]
[
]
7
(Purcell and Varberg, 1987).
Definisi 2.2 (Diferensial)
Difference dalam bahasa inggris artinya beda, sehingga diferensial adalah selisih
variabel. Jika
dengan
terhadap variabel bebas
adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan
, maka
adalah diferensial dari variabel tak bebas
(terikat) , yang didefinisikan dengan
Andaikan
, dengan
adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan,
diferensial dari peubah tak bebas (terikat)
yang
.
, disebut juga diferensial total dari ,
(Purcell
didefinisikan
and
Varberg, 1987).
Definisi 2.3 (Persamaan Diferensial)
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu
atau lebih dari variabel-variabel bebas. Bila hanya ada satu variabel bebas yang
diasumsikan, maka subyek disebut persamaan diferensial biasa.
Contoh 2.
1.
2.
(Purcell and Varberg, 1987).
8
Definisi 2.4 (Orde, Degree dan Persamaan Diferensial)
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan berbentuk:
(
perubah tak bebas
)
yang menyatakan hubungan antara perubah bebas ,
dan turunannya yaitu
.
Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan
yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke n.
Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajad) k jika
turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajad k.
Contoh 3.
1.
; orde satu, derajad satu
; orde tiga, derajad satu
2.
; orde tiga, derajad dua
3.
Karena turunan tertingginya berderajad dua (Kartono, 1994).
Definisi 2.5 (Persamaan Diferensial Eksak)
Suatu persamaan diferensial dengan bentuk
(2.1)
Disebut persamaan diferensial eksak, jika ada suatu fungsi
totalnya sama dengan
lambang
dan )
yang diferensial
, yaitu (dengan meniadakan
9
(2.2)
Jika persamaan (2.1) eksak, maka karena persamaan (2.2) dan persamaan (2.1),
persamaan ini sepadan dengan
Jadi, fungsi
adalah konstan dan penyelesaian umum persamaan (2.1)
diberikan oleh
(2.3)
Contoh 4.
Persamaan diferensial
(2.4)
adalah eksak, sebab
Jadi, penyelesaian umum persamaan (2.4) berbentuk (secara implisit)
(N. Finiziodan G. Ladas, 1982).
10
Definisi 2.6 (Persamaan Diferensial Linear Orde-1)
Persamaan diferensial linear orde-1 adalah persamaan berbentuk
(2.5)
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi
∫
. Penyelesaian umum
persamaan diferensial ini adalah:
∫
∫
∫
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum persamaan diferensial:
1. Tentukan faktor integrasi
2. Dapatkan penyelesaian umum persamaan diferensial dengan melakukan
integrasi (Kartono, 1994).
Definisi 2.7 (Persamaan Diferensial Bernoulli)
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk:
(2.6)
dengan transformasi
dan
akan menghasilkan persamaan linear orde satu
11
mempunyai penyelesaian umum persamaan diferensial:
∫
∫
∫
(Kartono, 1994).
Definisi 2.8 (Persamaan Diferensial Riccati)
Persamaan diferensial Riccati adalah persamaan diferensial tak linear dalam
bentuk
(2.7)
Bila
persamaan diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial
Bernoulli dan bila
menjadi persamaan diferensial orde-1. Solusi
persamaan diferensial Riccati bergantung pada fungsi
dan
.
Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi
diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati
sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial (Shepley L. Ross, 1966).
Definisi 2.9 (Metode Transformasi Diferensial)
Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk suatu fungsi yang analitik pada
domain D yaitu fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik di persekitaran
domain D yang dinyatakan sebagai berikut.
(2.8)
12
dengan
merupakan fungsi asli dan
Suatu fungsi
di
merupakan fungsi transformasi.
dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
∑
(2.9)
Berdasarkan persamaan (2.8), maka persamaan (2.9) menjadi
∑
,
(2.10)
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial. Dari persamaan (2.9) dapat
dikatakan bahwa konsep dari transformasi diferensial diturunkan dari deret Taylor
(Rahayu, Sugianto dan B. Prihandono, 2012).
Definisi 2.10 (Deret Taylor)
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks
yang
terdiferensialkan tak hingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau
kompleks
adalah deret pangkat
yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai
∑
dengan
melambangkan faktorial
turunan ke- dari
pada titik .
dan
melambangkan nilai dari
13
Turunan ke nol dari
didefinisikan sebagai
itu sendiri, dan
dan
didefinisikan sebagai 1.
Dalam kasus khusus dimana
, deret ini disebut juga sebagai Deret
Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin (Thomas,
Finney dan L. Ross, 1996).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015 di
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian literatur seperti internet
dan buku-buku penunjang matematika yang berhubungan dengan persamaan
diferensial Bernoulli dan persamaan diferensial Riccati.
Tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Membedakan suatu Persamaan Diferensial Bernoulli dengan Persamaan
Diferensial Riccati.
2. Menyelesaikan Persamaan Diferensial dengan menggunakan Persamaan
Diferensial Riccati.
3. Menyelesaikan
Persamaan
Transformasi Diferensial.
Diferensial
Riccati
dengan
Metode
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan dapat diperoleh kesimpulan
sebagai berikut:
1. Penyelesaian dari persamaan diferensial Riccati dapat diselesaikan dengan
menggunakan Metode Transformasi Diferensial.
2. Hasil dari
adalah berupa deret pangkat, yaitu
maka diperoleh,
3. Hasil dari
maka diperoleh,
adalah berupa deret pangkat, yaitu
DAFTAR PUSTAKA
Finizio, N dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern. Ed. Ke-2. Erlangga, Jakarta.
Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset,
Yogyakarta.
Purcell, E.J. & Varberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi
Kelima, Jilid 2. Alih Bahasa I Nyoman Susila, dkk. Erlangga, Jakarta.
Rahayu, Sugianto dan Prihandono, B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Tak
Linear dengan Metode Transformasi Diferensial. Jurnal, Vol. 01, No. 1,
2012.
Shepley L. Ross. 1996. Introduction To Ordinary Differential Equation, Third
Edition. New York.
PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
(Skripsi)
Oleh
Christy Engine Nita
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2015
ABSTRAK
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL DALAM PENYELESAIAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
Oleh
Christy Engine Nita
Persamaan diferensial tak linear dalam bentuk
dikenal dengan persamaan diferensial Riccati. Bila
persamaan
diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial Bernoulli dan bila
menjadi persamaan diferensial orde-1. Salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear adalah metode transformasi
diferensial. Solusi persamaan diferensial Riccati bergantung pada fungsi
dan
. Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode
transformasi diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan
diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial.
Kata kunci :
Persamaan Diferensial, Persamaan Diferensial Riccati, Metode
Transformasi Diferensial.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 15 Januari 1992. Penulis
merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Teguh Widodo dan Ibu Sugini,
serta kakak dari Doni Heady Wijaya.
Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak AL-AZHAR 2 di
Perumnas, Bandar Lampung pada tahun 1997.
Pendidikan sekolah dasar di SD
AL-AZHAR 1 Kedaton, Bandar Lampung pada tahun 2003.
Pendidikan sekolah
menengah pertama di SMP Negeri 10 Bandar Lampung
pada tahun 2006.
Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3, Bandar Lampung pada
tahun 2009.
Pada tahun 2010, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur Ujian Mandiri. Pada
periode tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA
(Generasi Muda HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila.
Penulis pernah menjadi anggota biro Kesekretariatan Organisasi Himpunan
Mahasiswa Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2011/2012 - 2012/2013.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama satu bulan di Kantor Dinas Pendapatan
Kota Bandar Lampung serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di desa
Sidorejo kecamatan Sekampung Udik, Lampung Timur.
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang luar biasa yang selalu diberikan kepadaku sehingga
aku dapat menyelesaikan hasil karyaku ini.
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk Bapakku Teguh
Widodo dan Ibuku Sugini tersayang sebagai salah satu
wujud cintaku.
Terima kasih untuk setiap doa, dukungan, dan kasih sayang
yang selalu menemani disetiap hariku
Untuk ibu angkatku Ragil Waginem, adikku Doni Heady
Wijaya, sepupuku Adnika Yulita Sari, Afriyani dan Fera
Dian Ariska, terima kasih untuk dukungan serta doa yang
selalu diberikan untukku
Sahabat-sahabat terbaikku, terima kasih untuk semua kisah
yang telah kita lalui bersama.
MOTO
“Orang tua kita adalah anugerah
terbesar di dalam sebuah kehidupan”.
“Man Shobaro Zafiro – Siapa yang
bersabar akan beruntung”.
“Belajarlah dari kesalahan di masa lalu,
mencoba dengan cara yang berbeda dan
selalu berharap untuk sebuah kesuksesan
di masa depan”.
(Christy Engine Nita)
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin
serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam kepada
junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang
baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan,
kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1.
Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing I yang
senantiasa membimbing, memberikan arahan, saran dan dukungan kepada
penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah banyak
membantu dan memberikan pembelajaran serta bimbingan kepada penulis.
3.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku penguji yang telah
memberikan penulis kritik dan saran pada penelitian ini serta selaku Ketua
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
4.
Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik.
5.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku yang luar biasa, mbak Sari, adikku Doni, Afri, Fera
dan Aulia, yang tak pernah lelah memberikan doa, saran, perhatian serta
dukungan kepada penulis.
8.
Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Tri
Handayani, Hasby Alkarim, Miftah Farid Artama, Muhammad Ridho,
Rohandi, serta Sofyan Saputra yang selalu ada dan memberi semangat
melalui keceriaan serta nasihatnya.
9.
Sahabat yang sudah menjadi keluarga Leli Apriyani dan Sherly Nurimani,
terima kasih untuk doa, perhatian dan nasihatnya.
10. Sahabat seperjuangan selama menyusun skripsi ini Agustina Ambar Wulan
yang selalu menemani.
11. Untuk abang Hendra yang selalu memberikan motivasi, Staff pengajar
Soesilo 43 serta anak murid tercinta dan para calon Brigadir yang
memberikan keceriaan.
12. Untuk teman-teman Matematika 2010 dan keluarga besar HIMATIKA.
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
BandarLampung, Februari 2015
Penulis,
Christy Engine Nita
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Tujuan Penelitian.............................................................................. 5
1.3
Manfaat Penelitian............................................................................ 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Turunan ............................................................................................ 6
2.2
Diferensial......................................................................................... 7
2.3
Persamaan Diferensial ...................................................................... 7
2.4
Orde, Degree dan Persaman Diferensial ........................................... 8
2.5
Persamaan Diferensial Eksak ........................................................... 8
2.6
Persamaan Diferensial Linear Orde-1 ............................................ 10
2.7
Persamaan Diferensial Bernoulli .................................................... 10
2.8
Persamaan Diferensial Riccati ........................................................ 11
2.9
Metode Transformasi Diferensial ................................................... 11
2.10 Deret Taylor .................................................................................... 12
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 14
3.2
Metode Penelitian ........................................................................... 14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V.
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
1
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami
kemajuan. Salah satunya adalah cabang ilmu matematika yang sampai saat ini
mengalami perkembangan yang berguna untuk kemajuan teknologi. Para peneliti
terus melakukan penelitian untuk selalu menemukan penemuan-penemuan baru yang
dapat
memberikan
sumbangan
ilmu
pengetahuannya
sebagai
penunjang
berkembangnya ilmu-ilmu lain.
Saat ini tuntutan terhadap penguasaan matematika terapan semakin kuat. Kerja
efektif, praktis dan akurat diperlukan baik untuk menjalani kehidupan saat ini
(sebagai mahasiswa) maupun nanti bila memasuki dunia kerja. Banyak masalah
matematik dapat disajikan dalam bentuk model matematika. Oleh karena itu,
khususnya bagi mahasiswa yang mengambil jurusan matematika, IPA dan teknik
perlu pengetahuan dasar bagaimana cara mencari solusi suatu model matematika.
Bagi mahasiswa, mata kuliah persamaan diferensial biasa merupakan mata kuliah
yang dapat mengantarkan ke pemikiran-pemikiran menerapkan matematika.
Persamaan diferensial merupakan persamaan matematika untuk fungsi satu variabel
2
atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam
berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa,
fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial
muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi.
Studi mengenai persamaan diferensial dimulai setelah penemuan Kalkulus dan
Integral. Pada tahun 1676 Newton menyelesaikan sebuah persamaan diferensial
dengan menggunakan deret tak hingga, sebelas tahun setelah penemuannya tentang
bentuk fluksional dari kalkulus diferensial pada tahun 1665. Newton tidak
mempublikasikan hal tersebut sampai dengan tahun 1693, pada saat Leibniz
menghasilkan rumusan persamaan diferensial yang pertama.
Perkembangan persamaan diferensial sangat pesat dalam tahun-tahun berikutnya.
Dalam tahun 1694-1697 John Bernoulli menjelaskan “:Metode Pemisahan Variabel”
dan membuktikan bahwa persamaan diferensial homogen orde satu dapat direduksi
menjadi bentuk persamaan diferensial dengan variabel-variabel yang dapat
dipisahkan. Bernoulli menggunakan metode ini terhadap persoalan-persoalan
trayektori ortogonal. John Bernoulli dan saudaranya Jacob Bernoulli (yang
menemukan Persamaan Diferensial Bernoulli) berhasil menyederhanakan sejumlah
besar persamaan diferensial menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat mereka
selesaikan.
Persamaan Diferensial Bernoulli adalah persamaan diferensial orde satu dan bentuk
umum
dari persamaan diferensial
Bernoulli
adalah
.
3
Persamaan diferensial tak linear homogen Bernoulli atau yang lazim dikenal dengan
sebutan persamaan diferensial Bernoulli menjadi model utama dalam berbagai cabang
bidang aplikasi. Persamaan diferensial Bernoulli tersebut dibedakan atas derajat
ketaklinierannya (n). Sebagai contoh, persamaan diferensial orde dua Bernoulli (n=2)
lazim digunakan untuk memodelkan proses pertumbuhan logistik dalam bidang ilmu
hayati dan perilaku chaos. Untuk orde tak linear ketiga (n=3) persamaan diferensial
Bernoulli membentuk persamaan Gizbun-Landau atau persamaan quartic yang lazim
digunakan dalam menelaah proses terjadinya korosi. Persamaan diferensial Bernoulli
juga merupakan bagian tak linear persamaan diferensial parsial Klein Gordon yang
dikenal sangat luas pemakaiannya, diantaranya untuk mempelajari dinamika partikelpartikel elementer dan Stokastik
resonan,
penelaahan
transportasi
fluxon,
pembangkitan laser squeezed.
Sebagaimana lazim dijelaskan pada pustaka matematika, penyelesaian persamaan
diferensial Bernoulli selalu dilakukan melalui proses linierisasi sesuai dengan yang
direkomendasikan oleh Jacob Bernoulli. Transformasi dari persamaan diferensial tak
linear ke dalam persamaan diferensial linear dilakukan dengan menggunakann
“fungsi transformasi Bernoulli”, yang selanjutnya diselesaikan dengan metode
penyelesaian persamaan diferensial linear.
Dalam kehidupan sehari-hari, tidak jarang ditemui permasalahan yang dapat
dirumuskan dalam bentuk persamaan diferensial tak linear. Pada umumnya,
persamaan diferensial tak linear diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu untuk
selanjutnya diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial linear.
4
Namun, tidak semua persamaan diferensial tak linear dapat langsung dilinearisasi.
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial
tak linear adalah metode transformasi diferensial. Metode ini dapat digunakan tanpa
linearisasi. Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat
diterapkan pada persamaan tak linear tanpa linearisasi. Metode ini telah banyak
diterapkan untuk menyelesaikan berbagai persamaan. Metode transformasi diferensial
untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear tanpa linearisasi yaitu
persamaan diferensial Riccati.
Persamaan diferensial tak linear dalam bentuk
dikenal
dengan persamaan diferensial Riccati. Nama ini untuk mengenang ahli matematika
dan filsafat dari Itali, Count Jacopo Francesco Riccati (1676-1754). Bila
persamaan diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial Bernoulli dan bila
menjadi persamaan diferensial orde-1. Solusi persamaan diferensial Riccati
bergantung pada fungsi
Riccati
dengan
metode
dan
transformasi
. Penyelesaian persamaan diferensial
diferensial
dilakukan
dengan
mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat
transformasi diferensial.
Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk memperoleh solusi
analitik deret Taylor. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika
dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku. Metode analitik disebut juga metode
sejati karena ia memberi kita solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi
5
yang memiliki galat sama dengan nol, sedangkan metode numerik adalah teknik yang
digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan
dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi).
1.2
Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah menyelesaikan persamaan diferensial
Riccati menggunakan metode transformasi diferensial.
1.3
Manfaat Penelitian
Manfaat dilakukannya penelitian ini adalah:
1. Mengetahui sifat-sifat transformasi diferensial dan menyelesaikan persamaan
diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial.
2. Menambah bahan referensi mengenai persamaan diferensial Riccati.
6
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini diberikan beberapa definisi dan istilah yang digunakan dalam
penelitian ini.
Definisi 2.1 (Turunan)
Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah. Secara
umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan
besaran lainnya. Turunan fungsi
adalah fungsi lain
(dibaca “ aksen”) yang
lainnya pada sebarang bilangan adalah
asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa
terdiferensialkan di .
Contoh 1.
Andaikan
. Cari
.
Penyelesaian:
[
]
[
]
7
(Purcell and Varberg, 1987).
Definisi 2.2 (Diferensial)
Difference dalam bahasa inggris artinya beda, sehingga diferensial adalah selisih
variabel. Jika
dengan
terhadap variabel bebas
adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan
, maka
adalah diferensial dari variabel tak bebas
(terikat) , yang didefinisikan dengan
Andaikan
, dengan
adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan,
diferensial dari peubah tak bebas (terikat)
yang
.
, disebut juga diferensial total dari ,
(Purcell
didefinisikan
and
Varberg, 1987).
Definisi 2.3 (Persamaan Diferensial)
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu
atau lebih dari variabel-variabel bebas. Bila hanya ada satu variabel bebas yang
diasumsikan, maka subyek disebut persamaan diferensial biasa.
Contoh 2.
1.
2.
(Purcell and Varberg, 1987).
8
Definisi 2.4 (Orde, Degree dan Persamaan Diferensial)
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan berbentuk:
(
perubah tak bebas
)
yang menyatakan hubungan antara perubah bebas ,
dan turunannya yaitu
.
Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan
yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke n.
Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajad) k jika
turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajad k.
Contoh 3.
1.
; orde satu, derajad satu
; orde tiga, derajad satu
2.
; orde tiga, derajad dua
3.
Karena turunan tertingginya berderajad dua (Kartono, 1994).
Definisi 2.5 (Persamaan Diferensial Eksak)
Suatu persamaan diferensial dengan bentuk
(2.1)
Disebut persamaan diferensial eksak, jika ada suatu fungsi
totalnya sama dengan
lambang
dan )
yang diferensial
, yaitu (dengan meniadakan
9
(2.2)
Jika persamaan (2.1) eksak, maka karena persamaan (2.2) dan persamaan (2.1),
persamaan ini sepadan dengan
Jadi, fungsi
adalah konstan dan penyelesaian umum persamaan (2.1)
diberikan oleh
(2.3)
Contoh 4.
Persamaan diferensial
(2.4)
adalah eksak, sebab
Jadi, penyelesaian umum persamaan (2.4) berbentuk (secara implisit)
(N. Finiziodan G. Ladas, 1982).
10
Definisi 2.6 (Persamaan Diferensial Linear Orde-1)
Persamaan diferensial linear orde-1 adalah persamaan berbentuk
(2.5)
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi
∫
. Penyelesaian umum
persamaan diferensial ini adalah:
∫
∫
∫
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum persamaan diferensial:
1. Tentukan faktor integrasi
2. Dapatkan penyelesaian umum persamaan diferensial dengan melakukan
integrasi (Kartono, 1994).
Definisi 2.7 (Persamaan Diferensial Bernoulli)
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk:
(2.6)
dengan transformasi
dan
akan menghasilkan persamaan linear orde satu
11
mempunyai penyelesaian umum persamaan diferensial:
∫
∫
∫
(Kartono, 1994).
Definisi 2.8 (Persamaan Diferensial Riccati)
Persamaan diferensial Riccati adalah persamaan diferensial tak linear dalam
bentuk
(2.7)
Bila
persamaan diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial
Bernoulli dan bila
menjadi persamaan diferensial orde-1. Solusi
persamaan diferensial Riccati bergantung pada fungsi
dan
.
Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi
diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati
sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial (Shepley L. Ross, 1966).
Definisi 2.9 (Metode Transformasi Diferensial)
Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk suatu fungsi yang analitik pada
domain D yaitu fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik di persekitaran
domain D yang dinyatakan sebagai berikut.
(2.8)
12
dengan
merupakan fungsi asli dan
Suatu fungsi
di
merupakan fungsi transformasi.
dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
∑
(2.9)
Berdasarkan persamaan (2.8), maka persamaan (2.9) menjadi
∑
,
(2.10)
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial. Dari persamaan (2.9) dapat
dikatakan bahwa konsep dari transformasi diferensial diturunkan dari deret Taylor
(Rahayu, Sugianto dan B. Prihandono, 2012).
Definisi 2.10 (Deret Taylor)
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks
yang
terdiferensialkan tak hingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau
kompleks
adalah deret pangkat
yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai
∑
dengan
melambangkan faktorial
turunan ke- dari
pada titik .
dan
melambangkan nilai dari
13
Turunan ke nol dari
didefinisikan sebagai
itu sendiri, dan
dan
didefinisikan sebagai 1.
Dalam kasus khusus dimana
, deret ini disebut juga sebagai Deret
Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin (Thomas,
Finney dan L. Ross, 1996).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015 di
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian literatur seperti internet
dan buku-buku penunjang matematika yang berhubungan dengan persamaan
diferensial Bernoulli dan persamaan diferensial Riccati.
Tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Membedakan suatu Persamaan Diferensial Bernoulli dengan Persamaan
Diferensial Riccati.
2. Menyelesaikan Persamaan Diferensial dengan menggunakan Persamaan
Diferensial Riccati.
3. Menyelesaikan
Persamaan
Transformasi Diferensial.
Diferensial
Riccati
dengan
Metode
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan dapat diperoleh kesimpulan
sebagai berikut:
1. Penyelesaian dari persamaan diferensial Riccati dapat diselesaikan dengan
menggunakan Metode Transformasi Diferensial.
2. Hasil dari
adalah berupa deret pangkat, yaitu
maka diperoleh,
3. Hasil dari
maka diperoleh,
adalah berupa deret pangkat, yaitu
DAFTAR PUSTAKA
Finizio, N dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern. Ed. Ke-2. Erlangga, Jakarta.
Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset,
Yogyakarta.
Purcell, E.J. & Varberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi
Kelima, Jilid 2. Alih Bahasa I Nyoman Susila, dkk. Erlangga, Jakarta.
Rahayu, Sugianto dan Prihandono, B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Tak
Linear dengan Metode Transformasi Diferensial. Jurnal, Vol. 01, No. 1,
2012.
Shepley L. Ross. 1996. Introduction To Ordinary Differential Equation, Third
Edition. New York.