Penyelesaian persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi adomian

i

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE

DEKOMPOSISI ADOMIAN

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Maria Febronia Sedho Dheno NIM: 123114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

SOLUTIONS TO NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS BY THE ADOMIAN DECOMPOSITION

METHOD

A THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by :

Maria Febronia Sedho Dheno Student ID: 123114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tugas akhir saya persembahkan untuk orang-orang terkasih:

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 25 Januari 2017

vii ABSTRAK

Persamaan diferensial parsial terdiri dari persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Beberapa model persamaan diferensial parsial nonlinear antara lain adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal (PGAD), persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat dan sederhana, PGAD kemudian disederhanakan ke dalam model lain yang salah satunya adalah persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik.

Dalam tugas akhir ini, keempat model persamaan diferensial parsial nonlinear di atas diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian (MDA). Dengan menggunakan MDA, solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang didapatkan.

Sebagai tindak lanjut dari penggunaan konsep MDA dalam keempat persamaan diferensial parsial nonlinear di atas adalah jika terdapat solusi eksak eksplisit dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi tersebut. Solusi pendekatan MDA merupakan solusi yang berasal dari deret terpotong yaitu yang biasanya melibatkan beberapa suku saja. Secara eksplisit, solusi pendekatan tersebut bergantung pada variabel ruang dan waktu.

Penelitian ini menerapkan konsep MDA ke dalam persamaan Burger, PGAD, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Perhitungan dilakukan dengan bantuan program komputer yaitu MAPLE.

viii ABSTRACT

Partial differential equations are of linear and nonlinear. Some models of nonlinear partial differential equations, are Burger equation, Shallow Water Equation (SWE), gravity wave equation, and kinematic wave equation. In order to make the calculation becomes faster and simpler, SWE is simplified into other models, which are gravity wave equation and kinematic wave equation.

In this thesis, the four models of nonlinear partial differential equations are solved by using Adomian Decomposition Method (ADM). By using this method, the solution of differential equation is assumed as the sum of functions or infinite series of functions with the help of Adomian polynomials. Adomian polynomial is used for solving the nonlinear term in the differential equation. The differential equation must be accompanied by an initial condition so that the differential equation can be solved. The initial condition which is given greatly affects the obtained solution.

As the follow-up of the use of the ADM in the four nonlinear partial differential equations above is that if there is an explicit exact solution of the problem, the series converges quickly into the solution. The approximate solution is the solution derived from a truncated series which is usually involving only several terms. Explicitly, the approximate solution depends on the space and time variables.

This research applies ADM concept into the Burger equation, SWE, gravity wave equation, and kinematic wave equation. The calculation is done by the aid of the MAPLE computer software.

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Maria Febronia Sedho Dheno

NIM : 123114008

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta

Pada tangggal 25 Januari 2017 Yang menyatakan

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma. Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan tugas akhir ini.

2. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Kepala Program Studi Matematika.

3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.

4. Kedua orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate, serta kedua adikku Maria Theresia Wua Dheno dan Gregorius Hermanus Resi Dheno yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan masukkan positif kepadaku.

5. Frederikus Yasman yang telah memberikan semangat dan dukungan kepadaku dengan penuh kasih.

xi

6. Teman-teman seperjuangan prodi Matematika yaitu Ilga, Happy, Ajeng, Bobi, Rian, Budi, Ega, Amanda, Anggun, Dewi, Lia, Arum, Noni, Putri, Sila, Juli, Risma, Tika, dan Auxi yang selalu membantuku saat aku kesulitan dalam belajar dan dalam penyusunan tugas akhir ini.

7. Teman-teman dan kakak-kakak kece personil Wisma Goreti yaitu, kak Oppy, kak Orry, kak Cici, ka Lenny, Yanzher, dan Elsa yang selalu mendukung dan membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.

Yogyakarta, 25 Januari 2017 Penulis,

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 6

C. Pembatasan Masalah ... 6

D. Tujuan Penulisan ... 6

E. Metode Penulisan ... 7

F. Manfaat Penulisan ... 7

xiii

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ... 9

A. Turunan Fungsi ... 9

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial ... 13

C. Integral ... 16

D. Barisan... 20

E. Deret ... 20

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin ... 22

G. Konvergensi Deret Taylor ... 23

BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ... 29

A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Nonlinear ... 29

B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger ... 39

C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 43

D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi ... 54

E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang KInematik ... 62

BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ... 66

A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian ... 66

B. Teorema Konvergensi ... 67

xiv

BAB V PENUTUP ... 71

A. Kesimpulan ... 71

B. Saran ... 72

DAFTAR PUSTAKA ... 73

1 BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaaat penulisan, dan sistematika penulisan.

A. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1984). Permasalahan yang berhubungan dengan persamaan diferensial sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan tersebut seperti dalam bidang sains dan teknik. Klasifikasi persamaan diferensial bisa di dasarkan pada: banyaknya variabel yang terlibat, derajat persamaan diferensial, linear atau nonlinear, dan homogen atau nonhomogen. Beberapa model dalam bentuk persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Terdapat dua bentuk persamaan diferensial parsial yaitu persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Model umum persamaan diferensial parsial yang sering kita jumpai sehari-hari adalah model arus lalu lintas di jalan yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis, dan gelombang kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan hidrolik (Wazwaz, 2009).

Model-model lain dari persamaan diferensial parsial yaitu seperti persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Persamaan Burger, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik merupakan model khusus dari persamaan gelombang air dangkal. Dalam tugas akhir ini dipandang empat model di atas dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian (MDA).

Menurut Wazwaz (2009), persamaan Burger adalah persamaan diferensial parsial fundamental dalam mekanika fluida. Persamaan ini pertama kali dikenalkan oleh Johannes Martinus Burger (1895-1981). Persamaan Burger dapat dirumuskan sebagai berikut:

(1.1)

dengan adalah kecepatan aliran dan variabel independen dan secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu

Menurut Dawson dan Mirabito (2008), persamaan gelombang air dangkal adalah sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik yang mengatur aliran zat cair di lautan, daerah pesisir, muara, sungai, dan saluran air. Karakteristik umum dari aliran air dangkal adalah dimensi vertikalnya lebih kecil daripada skala horizontalnya. Dalam hal ini, kita dapat mengambil rata-rata kedalaman sebagai pengganti dimensi vertikal. Persamaan gelombang air dangkal dapat digunakan untuk memprediksi pasang surut, gelombang badai dan tingkat perubahan garis pantai dari badai, serta arus laut.

Secara matematis, seperti ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004) persamaan gelombang air dangkal (PGAD) dapat dirumuskan sebagai berikut

(

) ( )

(1.2)

dengan , dan memenuhi kondisi awal sebagai berikut:

( _{) ( )} (1.3)

dengan adalah kedalaman air dari permukaan air hingga dasar tanah,

adalah kecepatan fluida, dan adalah kedalaman air dari permukaan air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Ilustrasi aliran air dinyatakan dalam Gambar 1.1.

R. Martins, J. Leandro, dan S. Djordjević memperkenalkan persamaan Saint-Venant (PSV), sebagai bentuk lain dari PGAD. Persamaan ini sering disederhanakan sehingga menjadi sangat praktis, menjadikan perhitungan yang sangat cepat, atau untuk representasi fisis. Untuk mengurangi waktu perhitungan atau meningkatkan stabilitas, PSV sering disederhanakan ke dalam model lain seperti persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang difusif, dan persamaan gelombang gravitasi. Model persamaan gelombang gravitasi adalah sebagai berikut:

(1.4)

dengan adalah kedalaman air, adalah debit air dan adalah percepatan gravitasi. Dan model persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut:

(1.5)

dengan adalah ketinggian air dan variabel independen dan secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.

Dalam tulisan ini, metode yang digunakan adalah metode dekomposisi Adomian. Metode ini diperkenalkan oleh seorang ahli yang bernama G. Adomian. Metode dekomposisi Adomian (MDA) merupakan metode yang dapat menyelesaikan persamaan fungsional nonlinear dengan berbagai jenis misalnya: aljabar, diferensial, diferensial parsial, integral, dan lain-lain dengan kondisi awal dan kondisi batas tanpa diskretisasi domain. Dalam tugas akhir ini diambil

persamaan diferensial parsial yang diselesaikan dengan MDA. Dalam MDA, solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Polinomial Adomian dibentuk menggunakan ekspansi deret Taylor pada fungsi tertentu, yang diasumsikan sebagai fungsi analitik. Persamaan diferensial harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial dapat diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang didapatkan (Adomian,1994).

Banyak peneliti mengungkapkan bahwa jika terdapat solusi eksak dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi tersebut. Konsep konvergensi dari deret dekomposisi telah didiskusikan oleh banyak peneliti untuk menjelaskan konvergensi yang cepat dari deret yang dihasilkan tersebut. Cherruault telah memperkenalkan mengenai konsep konvergensi metode Adomian dalam makalahnya. Selain itu, Cherruault dan Adomian juga menyajikan bukti konvergensi baru dari metode Adomian tersebut. Bukti konvergensi inilah yang digunakan penulis dalam menyelidiki konvergensi dari MDA.

Jadi, secara umum solusi MDA adalah solusi analitis pendekatan dari solusi eksaknya.

B.

Rumusan Masalah

Tugas akhir ini terdiri dari beberapan rumusan-rumusan masalah yang terlihat seperti di bawah ini:

1. Bagaimana menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan MDA?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan Burger dengan MDA? 3. Bagaimana menyelesaikan PGAD dengan MDA?

4. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan MDA?

5. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang kinematik dengan MDA?

6. Bagaimana konvergensi dari MDA ?

C.

Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan MDA, yang meliputi: persamaan Burger, PGAD, persamaan gelombang gravitasi, persamaan gelombang kinematik. Selain itu, akan dibahas juga tentang konvergensi dari MDA.

D.

Tujuan Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari beberapa tujuan pokok dalam penyelesaiannya yaitu sebagai berikut:

1. Menerapkan MDA untuk memperoleh solusi eksplisit pendekatan untuk persamaan diferensial parsial dengan suku sumber.

2. Menggambarkan bagaimana metode dekomposisi dapat membantu untuk memperoleh solusi yang akurat dan konvergensi yang cepat mengenai hukum konservasi dengan suku sumber.

E.

Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan jurnal serta praktek simulasi dengan bantuan komputer.

F.

Manfaat Penulisan

Dengan menerapkan MDA pada persamaan diferensial, diperoleh suatu penyelesaian yang merupakan suatu fungsi eksplisit terhadap variabel bebas. Dengan demikian, jika diberikan sebarang nilai variabel bebas, maka penyelesaian di titik variabel bebas itu dapat dihitung dengan cepat. Perhitungan ini dilakukan tanpa diskretisasi numeris dari domain.

G.

Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari lima bab yaitu sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN A.Latar Belakang Masalah B.Rumusan Masalah

C.Batasan Masalah D.Metode Penulisan E. Tujuan Penulisan F. Manfaat Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A.Turunan Fungsi

B.Klasifikasi Persamaan Diferensial C.Integral

D.Deret Taylor dan Deret Maclaurin E. Konvergensi Deret Taylor

BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

A.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear

B.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger

C.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal.

D.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi.

E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Kinematik

BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN A.Teorema Konvergensi

B.Kecepatan Konvergensi BAB V PENUTUP

A.Kesimpulan B.Saran

9 BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi: turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.

A.Turunan Fungsi

Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan dijelaskan definisi untuk turunan fungsi.

Definisi 2.1

Turunan fungsi didefinisikan sebagai:

di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika ada maka fungsi dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di .

Turunan Fungsi Eksplisit

Fungsi disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel bebas dengan variabel takbebas diberikan secara eksplisit melalui rumus fungsi .

Contoh 2.1

Penyelesaian:

Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Turunan Fungsi Implisit

Fungsi dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara variabel bebas dan variabel takbebas diberikan secara tidak eksplisit. Dalam mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan menggunakan metode penurunan implisit.

Contoh 2.2

Tentukan

apabila .

Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu

sebagai berikut:

atau

atau

Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh:

Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap , maka:

atau

atau

atau

atau

Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan , sedangkan solusi yang diberikan oleh Cara 2 melibatkan dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi dalam bentuk dan diperoleh . Lalu dengan mensubsitusikan ke dalam bentuk

pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh:

atau

atau

Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2 sudah terlihat sama.

Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya . Sehingga untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan penurunan implisit.

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Pada bagian ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial yang meliputi contoh dan definisi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, orde persamaan diferensial, dan kelinearan persamaan diferensial.

Definisi 2.2

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.2

Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut:

(

) (2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Definisi 2.3

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu variabel bebas.

Contoh 2.3

Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.1) variabel adalah satu-satunya variabel bebas, dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.2) variabel bebasnya adalah , dengan adalah variabel terikat.

Definisi 2.4

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan lebih dari satu variabel bebas.

Contoh 2.4

Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial. Dalam persamaan (2.3) variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.4) terdapat tiga variabel bebas yaitu , , dan sedangkan adalah variabel terikat.

Definisi 2.5

Orde atau derajat dari persamaan diferensial adalah orde atau tingkat tertinggi dari turunan yang terlibat dalam suatu persamaan diferensial.

Contoh 2.5

Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua, karena turunan tertinggi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan diferensial parsial

(2.3) dan (2.4) secara berturut-turut adalah persamaan diferensial orde pertama dan kedua.

Definisi 2.6

Suatu persamaan diferensial biasa linear orde , dengan variabel terikat dan variabel bebas , dapat dinyatakan dalam bentuk

(2.6) dengan tidak sama dengan nol.

Contoh 2.7

Kedua persamaan diferensial biasa berikut adalah persamaan diferensial biasa linear. Pada kedua persamaan tersebut, variabel adalah variabel terikat. Perhatikan bahwa dan turunan-turunannya terjadi dengan pangkat pertama saja dan tidak ada perkalian dari dan/atau turunan dari .

(2.7)

(2.8)

Definisi 2.8

Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah suatu persamaan diferensial biasa yang tidak linear. Persamaan diferensial biasa yang tidak berbentuk seperti persamaaan (2.6) dikatakan persamaan diferensial biasa nonlinear.

Contoh 2.8

(2.9) ( ) (2.10) (2.11)

Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial biasa nonlinear karena variabel terikat terdapat pada derajat kedua dalam bentuk . Persamaan (2.10) juga merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear karena terdapat bentuk

yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan (2.11)

juga nonlinear karena pada bentuk

melibatkan perkalian terhadap variabel

terikat dan turunan pertamanya.

C.Integral

Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi integral dan contoh-contohnya dari integral tentu.

Definisi 2.9

Suatu fungsi disebut anti turunan dari fungsi pada selang jika

untuk suatu . Dengan kata lain .

Contoh 2.9

Carilah anti turunan dari fungsi pada interval . Penyelesaian:

Nilai anti turunan dari fungsi di atas bukan sebab turunannya adalah . Dan nilai anti turunan yang memenuhi adalah karena turunannya adalah . Dengan demikian, anti turunan dari adalah .

Suatu anti turunan atau pengintegralan fungsi terhadap dapat dinotasikan sebagai berikut:

∫ (2.12)

dengan ∫ , merupakan fungsi integran, merupakan fungsi integral umum yang bersifat dan merupakan konstanta.

Integral Tentu Definisi 2.10

Misalkan suatu fungsi pada interval tertutup [ ], maka ∫ yang disebut integral tentu (atau integral Riemann) dari sampai diberikan oleh:

∫ ∑ ̅

‖ ‖ ∑ ̅

dengan ̅ [ ] dan ‖ ‖ adalah .

Untuk menghitung luasan di bawah kurva suatu fungsi pada interval tertutup [ ], seperti pada gambar di bawah ini

Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel.

maka akan dibuat titik-titik dengan dan . Ini menunjukan bahwa interval tertutup [ ] tersebut akan dipartisi menjadi subinterval yaitu [ ] [ ] [ ] [ ] Dari setiap subinterval akan diambil sembarang titik ̅ dan yang merupakan panjang interval dengan

. Disini . Seperti contoh .

Cara lain untuk menghitung adalah dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

Rumus integral tentu pada Definisi 2.10 diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan nilai Jumlahan Riemann atau jumlah luas persegi panjang. Nilai hampiran luas persegi panjang diperoleh dari definisi dasar luas persegi panjang yaitu dengan ketentuan panjangnya merupakan

̅ dan lebarnya merupakan . Sehingga untuk menghitung hampiran luas persegi panjang grafik diatas adalah ̅ .

Luas daerah di bawah kurva diaproksimasikan dengan total hampiran luas persegi panjang masing-masing subinterval yang dibentuk tersebut, sehingga aproksimasi luas di bawah kurva adalah Hal ini berarti bahwa total hampiran luas persegi panjang atau jumlahan Riemann fungsi pada interval

[ ] sebagai hampiran luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu dapat ditulis sebagai berikut:

̅ ̅ ̅ ∑ ̅

Jika ‖ ‖ diperkecil pada interval tertutup [ ], maka jumlah subinterval atau akan bertambah. Dengan kata lain, jika ‖ ‖ maka .

Jika semakin membesar maka dan berarti bahwa semakin baik pula aproksimasi luasan dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian,

∑ ̅

D.Barisan

Pada subbab mengenai konsep barisan ini, hanya dibatasi pada konsep barisan konvergen dan divergen beserta contohnya.

Definisi 2.11

Suatu barisan dikatakan kovergen ke suatu bilangan jika untuk setiap bilang posistif terdapat suatu bilang bulat sedemikian sehingga untuk semua

Jika tidak terdapat bilang , maka barisan tersebut dikatakan barisan divergen.

Jika konvergen ke , maka , atau secara sederhana

. Dan merupakan limit dari barisan.

Contoh 2.10

Tunjukkan bahwa . Penyelesaian

Misalkan Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat sedemikian hingga untuk semua ,

| |

Bentuk implikasi di atas terpenuhi jika atau . Jika adalah sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari , maka bentuk implikasi di atas terpenuhi untuk semua . Sehingga terbukti bahwa

E.Deret

Pada subbab ini hanya dibatasi pada konsep deret konvergen dan divergen beserta contohnya.

Definisi 2.12

Diberikan suatu barisan bilangan , suatu ekspresi dalam bentuk

dikatakan deret takhingga. Bilangan merupakan suku ke- dari deret. Barisan didefinisikan oleh:

∑

adalah barisan jumlah parsial dari deret, dengan adalah jumlah parsial ke- . Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit , maka deret tersebut konvergen dan jumlahannya adalah . Dalam kasus ini, akan dituliskan sebagai berikut:

∑

Jika barisan jumlah parsial dari suatu deret tidak konvergen, maka deret tersebut dikatakan deret divergen.

Contoh 2.11

Selidiki kekonvergenan dari deret dibawah ini:

Penyelesaian

Jika diperhatikan

( )

sehingga diperoleh jumlah parsial ke- nya adalah:

( ₎

dan Jadi, karena barisan jumlah-jumlah

parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh-contoh deret Taylor dan deret Maclaurin.

Definisi 2.13

Misalkan adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan-turunan dari semua tingkat pada interval tertentu dengan adalah titik interior. Maka deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar adalah:

∑

Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah

∑

yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar .

Contoh 2.12

Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar . Penyelesaian:

Akan dicari . Dengan turunan maka diperoleh

_{, , , dan seterusnya maka , sedemikian sehingga}

Deret Taylornya adalah:

Dan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio .

G.Konvergensi Deret Taylor

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor suatu fungsi yang konvergen ke fungsi itu sendiri. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.

Teorema 2.1 Teorema Taylor

Jika dan turunan-turunan pertama hingga ke- kontinu pada interval tertutup antara dan , dan terdiferensial pada interval terbuka antara dan , maka terdapat bilangan antara dan sedemikian sehingga:

Bukti

Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa . Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:

dan turunan pertama -nya sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya pada . Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku lain dari bentuk dengan adalah suatu konsanta, karena suku tersebut dan turunan pertama -nya semua sama dengan nol pada . Lalu, didefinisikan fungsi baru yaitu:

dengan turunan pertama -nya masih sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya pada .

Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari yang membuat kurva

sesuai dengan kurva asli pada , yaitu:

(2.13)

dengan didefinisikan oleh persamaan (2.13), maka fungsi:

yang merupakan selisi antara fungsi asli dan fungsi aproksimasi untuk setiap di [ ].

Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena

dan dan keduanya kontinu pada [ ], maka

Lalu, karena ( dan dan keduanya kontinu pada [ ], maka

Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada yaitu:

sedemikian sehingga

sedemikian sehingga

sedemikian sehingga

Karena kontinu pada [ ] dan terdiferensial pada , dan

_{, bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu}

bilangan pada sedemikian sehingga

_(2.14)

Jika diturunkan total dari kali, maka diperoleh:

_(2.15)

Berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh:

(2.16)

Dan berdasarkan persamaan (2.13) dan (2.16), diperoleh:

Maka terbukti.

Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan tetap dan adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti dengan

. Rumus di bawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah dengan .

Rumus Taylor

Jika mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif dan untuk setiap di ,

(2.17)

dengan

_(2.18)

untuk antara dan .

Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa untuk setiap , maka:

Fungsi ditentukan oleh nilai dari turunan ke di titik yang bergantung pada kedua dan , dan terletak di antara mereka.

Persamaan (2.12) disebut rumus Taylor. Fungsi disebut suku error untuk aproksimasi oleh terhadap interval .

Definisi 2.14

Jika untuk semua maka deret Taylor yang dibangun oleh saat pada interval , ditulis sebagai berikut:

∑

dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya dapat dilihat contoh sebagai berikut.

Contoh 2.13

Tunjukkan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh saat konvergen ke untuk setiap .

Penyelesaian:

Fungsi mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval

. Persamaan (2.12) dan (2.13) dengan dan , maka:

dan

untuk antara dan .

Karena adalah fungsi naik, maka berada di antara dan . Ketika nilai maka nilai dan . Ketika nilai maka nilai dan . Dan ketika nilai maka dan . Maka,

| | | |

saat , dan

| |

untuk setiap ,

dan deret konvergen untuk setiap , maka:

∑

29 BAB III

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode dekomposisi Adomian (MDA) dan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial baik linear maupun nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Beberapa persamaan diferensial parsial tersebut adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik.

A.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear

Dalam bagian ini akan dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear yang akan diawali dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial orde pertama dengan menggunakan MDA.

a. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear Orde Pertama

Untuk memberikan gambaran mengenai metode dekomposisi Adomian, maka perhatikan persamaan diferensial linear berikut:

dengan adalah suatu fungsi yang diasumsikan mempunyai invers, adalah fungsi diferensial linear dan adalah suku sumber. Dengan mensubsitusikan fungsi invers pada kedua sisi persamaan (3.1), maka diperoleh:

atau

Lalu dengan mengoperasikan , diperoleh:

atau

Atau

_(3.2)

dengan adalah suku yang dihasilkan dari proses pengintegralan terhadap suku sumber .

Metode Adomian mendefinisikan solusi berdasarkan suatu deret takhingga seperti yang dituliskan berikut, yaitu:

∑

(3.3)

Selanjutnya, persamaan (3.3) akan disubsitusikan ke persamaan (3.2) dan diperoleh:

∑

_(∑

)

Atau

_{( ) (3.4)}

Sehingga diperoleh skema di bawah ini:

( )

(3.5)

atau

_{( ) ( )}

( )

(3.6)

Setelah menentukan lalu akan disubsitusikan ke persamaan (3.3) untuk memperoleh solusi dalam bentuk deret.

Untuk mempermudah dalam memahami konsep metode ini, maka akan diperhatikan persamaan diferensial parsial orde pertama nonhomogen berikut, yaitu:

(3.7)

dengan nilai awal sebagai berikut:

(3.8)

dan

(3.9)

(3.10) dan

(3.11)

Dalam bentuk operator, maka persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut:

(3.12)

dengan setiap operator di atas diasumsikan dapat diinverskan dan opeator dan

_{dimisalkan sebagai berikut:}

_{∫ (3.13)}

dan

_{∫ (3.14)}

Ini berarti bahwa:

_(3.15)

Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.12) maka diperoleh:

dengan mengoperasikan , diperoleh:

_{( )}

atau

_{( )}

atau

Hasil pada persamaan (3.16) di atas diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.15) dan dengan nilai awal . Berdasarkan penjelasan sebelumnya bahwa deret himpunan metode dekomposisi adalah sebagai berikut:

∑

(3.17)

Subsitusikan persamaan (3.17) pada kedua sisi persamaan (3.16), sehingga menghasilkan:

∑

_(∑

) (3.18) Atau dapat dituliskan sebagai berikut:

(3.19)

Adomian mengatakan bahwa suku diidentifikasikan sebagai kondisi awal atau nilai awal dan ditambah hasil dari untuk kasus ini, dengan keduanya diasumsikan diketahui.

Berdasarkan penjelasan dan hasil yang diperoleh di atas, maka solusi untuk deret dekomposisi adalah sebagai berikut:

(3.20)

Hal ini jelas terlihat bahwa keakuratan pendekatan dapat ditingkatkan secara signifikan hanya dengan melakukan iterasi berkali-kali. Sehingga pendekatan suku ke- untuk dapat ditulis sebagai berikut:

∑

(3.21)

Untuk masalah konkret, dimana solusi eksak tidak dapat diperoleh dengan mudah maka akan menggunakan deret terpotong (3.21) untuk memperoleh solusi pendekatan.

Banyak peneliti menunjukkan bahwa jika terdapat solusi eksak dalam menyelesaikan masalah tertentu maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut. Mengenai konsep konvergensi akan dibahas di Bab IV.

b. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear Orde Tinggi

Dalam penjelasan sebelumnya terlihat bahwa MDA diterapkan dalam persamaan diferensial linear orde pertama. Metode ini diterapkan secara langsung dan secara mudah untuk masalah nonhomogen. Subbab ini akan menerapkan MDA untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear. Hal ini sangat penting karena dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial tidak hanya terdapat suku linear saja namun terdapat suku nonlinear juga seperti , dan lain sebagainya.

Berikut ini akan dijelaskan secara rinci mengenai skema Adomian dalam menghitung suku nonlinear. Untuk memudahkan, maka penjelasan mengenai persamaan diferensial parsial nonlinear akan didukung dengan beberapa contoh ilustratif yang mencakup berbagai bentuk nonlinear.

Telah diketahui bahwa metode dekomposisi Adomian menunjukkan bahwa fungsi yang tak diketahui dapat diwakili oleh deret dekomposisi berikut:

∑

(3.22)

dengan dapat dihitung dengan cara rekursif. Namun demikian, suku nonlinear

seperti , dan lain-lain bisa dinyatakan dalam deret terbatas yang disebut polinomial Adomian yang dituliskan sebagai berikut:

∑

(3.23)

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA terdapat beberapa cara. Salah satunya adalah polinomial Adomian untuk suku nonlinear dapat didefinisikan dengan menggunakan formula sebagai berikut:

[ (∑ )]

Namun, dalam tugas akhir ini penulis tidak menggunakan cara di atas, sebab memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Sehingga dalam tugas akhir ini penulis menggunakan cara lain.

Cara yang akan diperkenalkan selanjutnya ini merupakan cara sederhana dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian. Cara ini didasarkan pada aljabar dan identitas trigonometri serta deret Taylor. Cara ini menggunakan operasi dasar dan tidak memerlukan formula tertentu, yang diambil dari buku karangan Wazwaz (2009).

Seperti yang didefinisikan oleh metode dekomposisi yaitu cara ini menunjukkan bahwa mensubsitusi sebagai jumlahan dari dengan . Hal ini jelas bahwa selalu ditentukan independen dari polinomial lainnya dengan , dan didefinisikan sebagai berikut:

(3.24)

Cara ini mengasumsikan bahwa pertama memisahkan

untuk setiap suku nonlinear . Dengan melakukan pemisahan ini

maka komponen sisa dapat diperluas dengan menggunakan operasi aljabar, identitas trigonometri, dan deret Taylor. Selanjutnya mengumpulkan semua suku

ekspansi yang dihasilkan sedemikian sehingga jumlah subskrip dari komponen dalam setiap suku adalah sama. Setelah melakukan pengumpulan suku-suku tersebut maka perhitungan polinomial Adomian dengan demikian selesai.

Untuk meningkatkan pemahaman mengenai cara ini maka akan diperkenalkan beberapa contoh berikut.

i. Kasus Polinomial Nonlinear

Misalkan .

Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu:

∑

(3.25)

Dengan mensubsitusi persamaan (3.25) kedalam , maka diperoleh:

(3.26)

Hasil ekspansi dari persamaan (3.26) dapat disusun kembali dengan mengelompokan semua suku dengan jumlah dari subskrip adalah sama. Ini berarti bahwa persamaan (3.26) dapat ditulis sebagai berikut:

(3.27)

Maka polinomial Adomian secara lengkap adalah sebagai berikut:

dan seterusnya.

ii. Turunan Nonlinear

Misalkan .

Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu :

∑

(3.28)

Dengan mensubsitusikan persamaan (3.28) kedalam maka diperoleh:

( )

(3.29)

Dengan mengumpulkan suku-suku seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, maka diperoleh:

(3.30)

Sehingga polinomial Adomiannya adalah sebagai berikut:

dan seterusnya.

B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger

Dipandang persamaan Burger sebagai berikut:

(3.31)

dengan nilai awal,

Persamaan (3.31) di atas akan ditulis dalam bentuk:

(3.32)

Misalkan

dan . Maka persamaan (3.31) di atas ditulis dalam

bentuk sebagai berikut:

(3.33)

Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.33), diperoleh:

lalu, dengan menggunakan operasi ∫ maka:

atau

atau

_(3.34)

Misalkan ∑ dan ∑ dengan merupakan bentuk polinomial Adomian, sehingga persamaan (3.34) ditulis sebagai berikut:

∑ _∑ (3.35)

Karena ∑ , dan ∑ , maka persamaan (3.35) diatas menjadi:

atau atau

Oleh sebab itu diperoleh solusi sebagai berikut:

_(3.36)

Diketahui bahwa ∑ maka:

( )

dan sebagainya maka diperoleh:

(3.37)

Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,yaitu:

∑

(3.38)

Sebagai contoh penerapan MDA pada persamaan Burger maka akan dipandang nilai awal sebagai berikut:

Dengan menggunakan program MAPLE maka solusi penyelesaian untuk adalah sebagai berikut:

(3.39)

Karena telah diketahui bahwa ∑ maka solusi pendekatan suku ke-4

adalah . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan

untuk kecepatan aliran dapat dilihat pada gambar 3.1 dan gambar 3.2 di bawah ini

Gambar 3. 1 Solusi penyelesaian untuk kecepatan aliran .

(a) (b)

Gambar 3.2 Solusi untuk kecepatan aliran saat (a) dan saat

Jadi, setiap iterasi pada persamaan (3.39) diatas jika dijumlahkan akan menghasilkan suatu deret, yaitu:

atau

atau

(3.40)

Akibatnya, diperoleh solusi eksak sebagai berikut:

(3.41)

dengan | | atau jaminan kekonvergenan solusi eksak tersebut yaitu .

C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal

Dipandang persamaan gelombang air dangkal (PGAD) adalah sebagai berikut:

(

) ( )

(3.42)

dengan , , dan memenuhi kondisi awal

( _{) ( )} (3.43)

dengan adalah ketinggian air dari permukaan air hingga dasar tanah,

air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.

Persamaan (2.1) dapat ditulis ke bentuk yang lebih sederhana, yaitu:

(3.44)

dengan

( ₎ ( ₎ (3.45) Untuk menyelesaikan PGAD dengan menggunakan MDA, maka persamaan di atas akan ditulis sebagai berikut:

(3.46)

dan

(3.47)

dengan nilai awal:

dan

Misalkan

dan sehingga persamaan (3.46) dan (3.47) ditulis

sebagai berikut:

dan

Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua sisi persamaan di atas maka diperoleh:

_(3.48)

dan

_(3.49)

Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.48) maka diperoleh:

atau

atau

untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk dan pada persamaan diatas akan diubah menjadi:

_.

Misalkan dan , sehingga diperoleh:

_{[ ] (3.50)}

Selanjutnya, dengan menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.49) maka diperoleh:

atau

karena ,maka

untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk pada persamaan diatas akan diubah menjadi:

_{[ ]}

Misalkan , maka:

_{[ ] (3.51)}

Berdasarkan hasil penurunan persamaan (3.46) dan (3.47) dengan MDA ,maka diperoleh:

_{[ ] (3.52)}

dan

_{[ ] (3.53)}

dengan:

Misalkan ∑ , ∑ dan

∑ ∑

∑

dengan , , dan adalah bentuk polinomial Adomian. Ketiga permisalan diatas akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.52) dan (3.53) untuk memperoleh solusi dan .

Untuk mencari solusi , maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di atas, sehingga di peroleh:

_[∑

∑

]

Karena ∑ dan ∑ , maka:

_[

]

Sehingga diperoleh:

Lalu untuk mencari solusi , maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di atas, sehingga di peroleh:

_{( [ ∑}

∑

karena ∑ dan ∑ , maka:

[ ]

sehingga diperoleh:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

_{[ ]}

Diketahui bahwa ∑ , maka:

( )

Karena diketahui ∑ , maka:

( )

Sehingga diperoleh:

Dan karena diketahui ∑ , maka:

( )

Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam PGAD, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

dan

[ ]

dengan kondisi awal:

dan

Sehingga solusi penyelesaian untuk dan adalah sebagai berikut:

dan

∑

dan

∑

Untuk lebih memahami mengenai penerapan MDA dalam PGAD maka akan diperlihatkan sebuah contoh. Dengan mengacu pada persamaan (3.44) dan (3.45) maka dipandang

dengan ketinggian awal dan kecepatan awal dari air secara berurut-urut ditentukan oleh:

dan

Dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk ketinggian air

dan kecepatan fluida dapat dihitung. Solusi untuk ketinggian air

(

( ₎ ( ₎ )

(

)

dan solusi untuk kecepatan fluida adalah sebagai berikut:

(

( ₎ ( ₎ )

Karena diketahui ∑ dan ∑ maka solusi pendekatan suku ke 3 untuk dan secara berurut-urut adalah

dan . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan untuk dan dapat dilihat pada gambar 3.3, gambar 3.4, dan gambar 3.5 di bawah ini

(a) (b)

Gambar 3. 3 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air (a) dan kecepatan fluida (b).

(a) (b)

Gambar 3.4 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air saat (a) dan saat (b).

(a) (b)

Gambar 3.5 Solusi penyelesaian untuk kecepatan fluida saat (a) dan saat (b)

D.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi

Dipandang persamaan gelombang gravitasi adalah sebagai berikut:

(3.54)

dengan nilai awal:

dan

dengan merupakan kedalaman air, merupakan debit air, dan merupakan percepatan gravitasi.

Untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan MDA, maka persamaan (3.54) akan ditulis sebagai berikut:

(3.55)

dan

(3.56)

Misalkan

dan sehingga persamaan (3.55) dan (3.56) ditulis

sebagai berikut:

dan

Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua persamaan di atas maka diperoleh:

_(3.57)

dan

_(3.58)

Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.57) maka diperoleh:

atau

karena , maka:

Dengan langkah yang sama yaitu menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.58) maka diperoleh:

atau

karena , maka:

_(3.60)

Sehingga diperoleh persamaan baru yaitu sebagai berikut:

(3.61) (3.62) Misalkan:

∑ ∑

∑

Maka dan akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.61), sehingga diperoleh:

_(∑

)

karena ∑ maka diperoleh:

atau

karena ∑ , sehingga diperoleh:

Selanjutnya dengan mensubsitusikan dan ke dalam persamaan (3.62), diperoleh:

_(∑

)

karena ∑ maka diperoleh:

atau

karena ∑ maka diperoleh:

Diketahui bahwa ∑ , sehingga

( )

Maka dapat dihitung sebagai berikut:

Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam persamaan gelombang gravitasi, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

(3.63)

dengan

∑

∑

Dipandang nilai awal untuk kedalaman air dan debit air secara berturut-turut adalah sebagai berikut:

dan

Dengan adanya nilai awal, maka pendekatan suku ke- dari kedalaman air dan debit air dapat ditentukan dengan menggunakan skema persamaan (3.63).

Lalu dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk kedalaman air adalah sebagai berikut:

_{( )}

Solusi untuk unit-discharge adalah sebagai berikut:

( ₎ ( ₎

(

)

Diketahui bahwa ∑ , sehingga pendekatan suku ke-4 untuk kedalaman air adalah dan diketahui bahwa

∑ , sehingga pendekatan suku ke-4 untuk unit-discharge adalah Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk dan dapat dilihat pada gambar 3.6, gambar 3.7, dan gambar 3.8 di bawah ini

(a) (b)

Gambar 3. 6 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air (a) dan debit air (b).

(a) _(b)

Gambar 3.7 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air saat (a) dan saat (b).

(a) _(b)

Gambar 3.8 Solusi penyelesaian untuk debit air saat (a) dan saat

E.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Kinematik

Di pandang persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut:

(3.64)

dengan nilai awalnya:

Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear, dengan

menyatakan ketinggian air dan variabel dan secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan mengaplikasikan MDA ke persamaan ini, maka dengan memisalkan

sehingga persamaan

(3.64) ditulis sebagai berikut:

atau

(3.65)

Dengan mensubsitusikan operasi ke dalam persamaan (3.65), maka diperoleh:

Lalu dengan menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.65), maka diperoleh:

atau

karena , maka persamaan di atas menjadi:

Misalkan ∑ dan ∑ , lalu akan disubsitusikan ke persamaan di atas sehingga diperoleh:

(∑

)

karena ∑ maka diperoleh:

atau

Karena ∑ , maka :

Diketahui bahwa ∑ , maka :

( ) ( )

sehingga dapat dihitung sebagai berikut:

(3.65) Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,yaitu:

∑

(3.66)

Dengan menggunakan program MAPLE, diperoleh:

Diketahui bahwa ∑ , sehingga pendekatan suku ke-3 adalah . Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk dapat dilihat pada gambar 3.9 dan gambar 3.10 di bawah ini

Gambar 3.9 Solusi penyelesaian untuk .

(a) (b)

66 BAB IV

KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai konvergensi metode dekomposisi Adomian. Yang akan dibahas yaitu mengenai bukti konvergensi baru dari metode Adomian yang didasarkan pada sifat-sifat deret konvergen. Dan pada akhirnya akan disimpulkan beberapa hasil kecepatan konvergensi dari metode ini yang memungkinkan dapat menyelesaikan persamaan nonlinear.

A.Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian

Pertama, akan diingatkan kembali mengenai prinsip utama metode Adomian yaitu dipandang persamaan fungsional nonlinear umum berikut:

(4.1)

dengan dan secara berturut-turut adalah operator nonlinear dan suatu fungsi yang diberikan.

Metode Adomian memungkinkan untuk memperoleh solusi dari persamaan (4.1) sebagai deret berhingga ∑ dengan menggunakan skema berulang seperti yang ditulis dibawah ini:

dengan adalah polinomial Adomian.

Untuk menentukan konvergensi dari metode dekomposisi Adomian adalah dengan melihat 2 hipotesis berikut, yaitu:

1. Solusi untuk ditentukan sebagai deret fungsi yaitu ∑ . Selain itu, deret konvergen mutlak yaitu ∑| | .

2. Fungsi nonlinear terdapat dalam setiap deret dengan radius konvergensi sama dengan infinity. Dengan kata lain:

∑

| | (4.3)

Hipotesis ini hampir selalu memenuhi dalam masalah fisis yang konkret.

B.Teorema Konvergensi

Pada bagian ini akan dibahas mengenai teorema konvergensi dan pembuktiannya.

Teorema 4.1

Berdasarkan hipotesis 1 dan 2, deret Adomian ∑ merupakan solusi untuk persamaan (4.1) dan memenuhi persamaan (4.2).

Bukti

Hipotesis 2 menjamin bahwa deret ∑ konvergen untuk sembarang . Lalu, diketahui bahwa ∑ konvergen mutlak dan oleh karena itu, dapat disubsitusikan dalam ∑ . Sehingga diperoleh:

∑ [ ∑ ]

Karena ∑ | | berkonvergensi mutlak, maka dapat ditulis kembali dalam bentuk ∑ . Dan karena ∑ konvergen mutlak, maka diperoleh:

(∑

) ∑ ( )

dengan hanya bergantung pada . Selain itu, diperoleh bahwa

∑ | | .

Deret pada persamaan (4.4) adalah konvergen mutlak karena:

∑ [ ∑ ( )

] ∑ ∑

(4.5)

Dengan mengambil nilai mutlak untuk , maka:

| | ∑ | _|

dengan deret ∑ | | konvergen yang disebabkan oleh hipotesis 2. Berdasarkan penjelasan diatas maka deret ganda konvergen mutlak dan dengan demikian deret pada persamaan (4.5) dapat dibentuk kembali.

Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan bahwa:

∑ ∑

(4.6)

yang membuktikan bahwa deret Adomian ∑ merupakan perumuman dari deret Taylor. Hal ini membuktikan bahwa memenuhi persamaan (4.2) diatas.

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.1) maka diperoleh:

∑ ∑

(4.7)

Persamaan (4.7) di atas dipenuhi jika . Hal ini mengakibatkan adanya hubungan Adomian dalam persamaan (4.2). Teorema terbukti.

C.Kecepatan Konvergensi

Untuk menunjukkan kecepatan konvergensi dari MDA adalah dengan menggunakan lemma beserta buktinya di bawah ini.

Lemma 4.1

‖ ‖ dan ‖ ‖ dengan suatu variabel bebas, maka ∑ merupakan suatu solusi pendekatan persamaan fungsional. Jika deret lengkap diganti dengan deret terpotong yang melibatkan suku , maka galatnya sama dengan .

Bukti

Metode Adomian memberikan hasil yang sangat baik bahkan jika diambil deret terpotong dengan banyaknya suku yang sedikit. Hasil tersebut diperoleh dari analogi deret Adomian dan deret Taylor. Sehingga, diperoleh:

∑ ∑ ∑ (∑ ) (4.8)

Dipandang deret terpotong ∑ untuk solusi pendekatan

∑ , maka untuk menghitung galat adalah dengan menggunakan bentuk

|∑ ∑ | | ∑ | |∑ | |∑ (∑ ) | ∑ | (∑ ) | ∑| ||∑ | ∑| |(∑| | ) ∑| | (4.9)

dengan ∑ | |.

Misalkan bahwa dibatasi dalam norm oleh suatu konstanta , variabel bebas , dan bahwa juga dibatasi dalam norm oleh suatu , maka galat yang diberikan dibatasi oleh:

(4.10)

dengan dan secara beturut-turut adalah suatu konstanta posisitif dan suatu bilangan bulat positif.

71 BAB V PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan mengenai pembahasan pada bab-bab sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Telah dilihat bahwa metode dekomposisi yang ditulis oleh G. Adomian dapat menyelesaikan persamaan nonlinear. Dalam tugas akhir ini penulis menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA tersebut. Penyelesaian dengan menggunakan MDA ini didukung dengan teori-teori dasar seperti persamaan diferensial, turunan, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin serta konsep konvergensi deret Taylor.

Dalam tugas akhir ini terlihat bahwa MDA dapat menyelesaikan persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Metode ini merupakan metode yang sangat sederhana dengan bantuan polinomial Adomian. Dalam tugas akhir ini penulis menggunakan cara yang sangat sederhana dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian yang didasarkan pada aljabar, identitas trigonometri, dan deret Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi yang eksak sebagai deret takhingga dari fungsi. Cara termudah dalam mencari solusi eksak adalah dengan menggunakan deret terpotong. Deret terpotong yang dihasilkan tersebut merupakan solusi pendekatannya.

Terlihat bahwa penggunaan MDA pada keempat persamaan di atas memperoleh solusi eksak sehingga deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut dan galat pemotongannya dapat dihitung. Sehingga, deret terpotong yang biasanya melibatkan beberapa suku merupakan solusi pendekatan. Solusi pendekatan ini secara eksplisit bergantung pada variabel ruang dan waktu.

B.Saran

Penulis sadar bahwa dalam penulisan tugas akhir ini masih banyak kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas mengenai penyelesaian MDA untuk persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Penulis berharap kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini dengan menggunakan metode lain yang mungkin memberikan hasil yang lebih baik.

73 DAFTAR PUSTAKA

Adomian, G. (1988). A review of the decomposition method in applied mathematics.

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 135 (2): 501-544.

Adomian, G. (1998). Solution of nonlinear partial diferential equations.

Applied Mathematics Letters, 11 (3): 121-123.

Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition method. Mathematics and Computers in

Simulation, 66 (6): 479-486.

Bermudes, A. Dan Vasquez, E.M. (1994). Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms. Computation Fluids, 23 (8): 1049-1071.

Cherruault, Y. and Adomian, G. (1993). Decomposition methods: a new proof of convergence, Mathl. Comput. Modelling, 18 (12): 103-106.

Dawson, C. dan Mirabito, M.C. (2008). “The Shallow Water Equations”. http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/dawson_v2.pdf/ Diakses tanggal 28 September 2015.

Dispini, M. and Mungkasi, S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations, AIP Conference Proceedings, 1746: 020055.

Martins, R., Leandro, J. and Djordjevic, S. (2016). Analytical solution of the classical dam-break problem for the gravity wave-model equations, Journal of

Hydraulic Engineering, 142 (4): 06016003.

Mungkasi, S dan Dheno, M. F. S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the gravity wave equations. International Conference on Engineering,

Science and Nanotechnology. To appear in AIP Conference Proceeding.

Ross, S.L. (1984). Differential Equations. New Delhi: John Wiley and Sons, Inc.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Person Education.

Wazwaz, A.M. (2009). Partial Differential Equation Method and Applications. Berlin : Springer.

74

Lampiran

Berikut ini adalah code program MAPLE untuk perhitungan persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan MDA.

1. Perhitungan untuk persamaan Burger

2. Perhitungan untuk persamaan gelombang air dangkal (PGAD)

>

3. Perhitungan untuk persamaan gelombang gravitasi

4. Perhitungan untuk persamaan gelombang kinematik

>

75

2. Perhitungan untuk persamaan gelombang air dangkal (PGAD)

>

77

>

3. Perhitungan untuk persamaan gelombang gravitasi

>

79

>

4. Perhitungan untuk persamaan gelombang kinematik

>