PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK LIMA VARIABEL

ABSTRAK

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK LIMA VARIABEL

Oleh

MARIAM RAMADHONA

Persamaan diferensial adalah ilmu yang dikembangkan melalui konsep kalkulus. Persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu : persamaan diferensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP). Berdasarkan orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi).

Persamaan yang digunakan pada penelitian ini adalah persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima variabel yang berbentuk sebagai berikut:

Dalam penelitian ini, akan membahas penyelesaian persamaan diferensial eksak lima variabel dan mencari faktor integrasi dari persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi eksak.

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK LIMA VARIABEL

(Skripsi)

Oleh

MARIAM RAMADHONA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2. Rumusan Masalah ... 3

1.3. Batasan Masalah ... 3

1.4. Tujuan Penelitian... 4

1.5. Manfaat Penelitian... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan ... 5

2.2 Definisi Integral... 6

2.3 Persamaan Diferensial ... 6

2.4 Orde dan Derajat Pada Persamaan Diferensial ... 7

2.5 Persamaan Diferensial Orde Pertama ... 7

2.6 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Dua Peubah ... 8

2.7 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Dua Peubah ... 8

2.8 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Tiga Peubah ... 9

2.9 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Tiga Peubah ... 11

2.10 Metode Untuk Mencari Fungsi ... 12

2.11 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Empat Peubah ... 14

2.12 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Empat Peubah ... 17

2.13 Definisi Persamaan Diferensial Total ... 20

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ... 21

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu Lima Variabel ... 22 4.2 Metode Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Eksak .... 23 4.3 Menentukan Faktor Integrasi Persamaan Diferensial yang

Tidak Eksak Lima Variabel... 31

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan... 40 5.2 Saran ... 42 DAFTAR PUSTAKA

“Sebutlah nama Tuhanmu, dan beribadahlah kepada

-Nya dengan

penuh ketekunan”

(Qs. Al-Muzzammil : 8)

“Barang siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan

memudahkan baginya jalan ke syurga”

(HR. Muslim)

“…maka apabila kamu telah sel

esai (dari sesuatu urusan),

kerjakanlah dengan sungguh-

sungguh (urusan) yang lain.”

MOTO

Sesusah apapun yang kita hadapi, jika dijalani dengan ikhlas dan

Ridho Allah SWT, Maka Semua akan menemui titik terangnya.

Semakin banyak tetesan air matamu terjatuh, maka semakin banyak

pula caramu membahagiakan orang lain.

Jangan berhenti berharap dan berdoa karena Allah hanya mencari

waktu yang tepat untuk mengabulkannya.

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil alamin, puji syukur kepada Allah SWT dan shalawat serta salam kepada Rasulullah SAW, atas semua rahmat dan ridho-Nya yang

memberikan ku kesempatan untuk menuntut ilmu di Universitas Lampung.

Dalam pengorbanan waktu, haru, bahagia serta tiap tetesan air mata yang telah terjatuh, kini skripsi ini akhirnya telah selesai. Kupersembahkan karya ini kepada Ibundaku Ir. Rame Sinambela dan Ayahku Ir. Syaiful Bahri, M.Si. dengan tugas yang Allah berikan sebagai kedua orang tuaku. Orang tua yang tak kenal lelah mendidikku, membesarkanku hingga kini, dan memarahiku dalam setiap kesalahanku. Tak lupa pula aku persembahkan karya ku ini untuk uniku tersayang Iswatun Hasanah Surohaya, Amd. Keb. yang selalu menjadi tempat bertanya untukku dengan segala kelebihannya. Uni yang selalu bertukar pikiran dan mendengarkan keluh kesahku.

Terima kasih Ayah, Bunda,Uni untuk kasih sayang tak pernah pudar yang selalu tertanam dalam hati ini. Menguatkan ku dalam semua keadaan yang tak

membiarkanku jatuh sedikitpun. Ketulusan dalam kebersamaan yang dirasakan dari tiap detik ke detik adalah kebahagiaan terindah yang Allah berikan kepadaku.

Karya ini ku persembahkan juga untuk semua orang yang menyayangiku dan ku sayangi dan guru-guru ku dan dosen ku yang telah memberikan ilmu nya untukku.

vi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Palembang, pada 17 Maret 1993 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Ir. Syaiful Bahri, M.Si. dan Ibu Ir. Rame

Sinambela.

Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Al-Azhar 1 Bandar Lampung pada tahun 1999, Sekolah Dasar (SD) di SDN 1 Segalamider Bandar Lampung pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP N 10 Bandar Lampung pada tahun 2008, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA YP UNILA Bandar Lampung pada tahun 2011.

Tahun 2011, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN Undangan. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi

anggota muda HIMATIKA pada tahun 2011. Kemudian pada periode 2012-2013 penulis aktif menjadi Anggota Kaderisasi HIMATIKA dan Magang di UKMF NATURAL. Kemudian pada Periode 2013-2014 penulis menjadi reporter media cetak UKMF NATURAL dan Anggota Kaderisasi HIMATIKA.

Pada tahun 2014 penulis melakukan kerja praktek di Badan Pusat Statistika (BPS) Kota Bandar Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang telah didapatkan sewaktu kuliah.

SANWACANA

Assalamualaikum Wr. Wb.

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi yang berjudul “Penyelesaian Persamaan Diferensial Eksak Lima Variabel “ ini tepat waktu. Skripsi ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Lampung. Pada penulisan skripsi ini, penulis menyadari tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari orang lain. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Agus Sutrisno, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu beliau untuk membimbing saya hingga skripsi ini selesai. 2. Bapak Amanto, M. Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak

membantu, mengoreksi dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M. Sc., Ph. D., selaku dosen penguji yang memberi penulis masukan dan saran untuk skripsi ini serta selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

4. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku pembimbing akademik yang selalu memberikan arahan sejak pertama masuk hingga saat ini.

5. Bapak Prof. Suharso, Ph. D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 6. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Unila yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

7. Ayah, bunda dan uni yang selalu mendoakan dan menyemangati tanpa lelah. Serta memotivasi setiap langkahku untuk menggapai cita-cita.

8. Sahabat yang kini menjadi saudara yaitu Rika, Yanti, Meri, Dela, Nova, Novi yang selalu berbagi canda tawa dan air mata.

9. Teman seperjuangan menyelesaikan skripsi dan berjuang menuju wisuda yaitu Rika Aprianti Nurillah, Nuryanti Simarmata dan Helmi Firdaus. 10. Teman-teman matematika 2011 yang telah banyak menghabiskan waktu bersama-sama dalam menuntut ilmu.

11. Keluarga Besar HIMATIKA yang telah mendidik karakter diri dalam pengkaderan dan memberikan keluarga yang baru.

12. Seluruh pihak yang terkait dalam penulisan laporan ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun laporan ini.

Akhir kata, Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.

Bandar Lampung, Januari 2015 Penulis

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Matematika adalah sebuah cabang ilmu yang berkembang dari zaman ke zaman. Dalam kehidupan sehari-hari, matematika mempunyai peranan penting yaitu menyelesaikan masalah yang ada. Oleh karena itu matematika juga berkaitan dengan ilmu pengetahuan lain seperti fisika, biologi, kimia, ekonomi, dan lain-lain.

Persamaan diferensial merupakan cabang dari matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah-masalah yang dihadapi dalam bidang-bidang sains dan teknik. Dalam sains dan teknik sering ditemukan masalah-masalah yang penyelesaiannya tidak dapat diatasi dengan hanya menggunakan rumus atau konsep yang sudah ada. Banyak fenomena-fenomena yang melahirkan model matematika, namun model matematika membutuhkan penyelesaian atau perhitungan matematika secara khusus. Sehingga, perhitungan-perhitungan tersebut memerlukan solusi dengan menggunakan persamaan diferensial.

Persamaan diferensial adalah ilmu yang dikembangkan melalui konsep kalkulus. Persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu : persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan yang memuat satu peubah bebas sedangkan persamaan

2

diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat dua atau lebih peubah bebas. Selain itu, berdasarkan orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, persamaan diferensial orde tiga, sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi).

Persamaan diferensial orde satu terbagi dalam beberapa bentuk persamaan yaitu persamaan homogen, persamaan linier, persamaan Bernouli, dan persamaan eksak. Dalam penelitian ini, peneliti akan membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial eksak lima variabel.

Penelitian ini dilakukan karena peneliti sebelumnya telah membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial eksak empat variabel. Sedangkan persamaan diferensial eksak dua variabel dan tiga variabel telah dibahas dalam buku dan jurnal-jurnal matematika yang terkait masalah ini. Maka, penulis melanjutkan penelitian ini ke dalam bentuk penyelesaian persamaan diferensial eksak orde satu pada lima variabel.

Persamaan diferensial orde satu dengan lima variabel yang berbentuk

Persamaan tersebut dapat disebut eksak apabila terdapat fungsi Sehingga

3 Dimana

Untuk persamaan diferensial eksak lima variabel dapat dilihat bahwa berlaku hubungan :

Dalam penelitian ini, penulis akan memfokuskan pembahasan penelitian

mengenai penyelesaian persamaan diferensial eksak lima variabel serta penentuan faktor integrasi suatu persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi eksak.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dibuat rumusan masalah yaitu bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima variabel.

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas bagaimana menyelesaikan bentuk persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima variabel.

4

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian

persamaan diferensial eksak dengan lima variabel dan penentuan faktor integrasi dari suatu bentuk persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi eksak.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat penulisan laporan penelitian ini adalah untuk menjelaskan suatu penyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan lima variabel, serta menyajikan teknik mencari faktor integrasi dari suatu bentuk persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi eksak.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Turunan

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain (dibaca “ f aksen “) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

Asalkan limit ini ada dan bukan atau . Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan (terturunkan) di c.

Contoh :

Andaikan , carilah Penyelesaian:

[ ] [ ]

(Purcell,1987).

6

2.2 Definisi Integral

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan. Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan. F suatu antiturunan f pada selang I jika

pada yakni, jika untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, hanya perlu turunan sepihak).

Contoh:

Carilah antiturunan umum dari pada .

Penyelesaian :

Fungsi tidak akan berhasil karena turunannya adalah . Tetapi itu menyarankan yang memenuhi .

Akan tetapi, antiturunan umumnya adalah . (Purcell,1987)

2.3 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dan Ladas, 1988).

Suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi yang dicari turunannya. Jika fungsi yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu peubah independen disebut persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang dicari dari dua atau lebih peubah independen disebut persamaan diferensial parsial (Bronson dan Costa, 2007).

7

2.4 Orde dan Derajat Pada Persamaan Diferensial Suatu persamaan diferensial orde n adalah persamaan bentuk

( ) yang menyatakan hubungan antara perubah bebas x, perubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu .

Jadi, suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke n. Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajad) k jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajad k.

Contoh: 1.

; orde satu, derajat satu.

2.

; orde tiga, derajat satu.

3.

; orde tiga, derajat dua

Karena turunan tertingginya berderajat dua (Kartono, 1994).

2.5 Persamaan Diferensial Orde Pertama

Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi yang

dicari adalah (2.1)

Dimana turunan muncul hanya di sisi kiri dari (2.1). Walaupun tidak semua persamaan diferensial orde pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar melalui penyelesaian secara aljabar dan menetapkan sama dengan sisi kanan dari persamaan yang dihasilkan.

8

Sisi kanan dari (2.1) dapat selalu dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya dan . Dengan demikian (2.1) menjadi

yang ekuivalen dengan bentuk diferensial

(Bronson dan Costa, 2007).

2.6 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Dua Peubah Suatu persamaan diferensial

(2.2)

Adalah eksak jika ada suatu fungsi sehingga

Jika dan merupakan fungsi kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada sebuah segiempat bidang maka (2.2) adalah eksak hanya jika

(Bronson dan Costa, 2007).

2.7 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Dua Peubah

Jika persamaan diferensial bukan eksak pada domain D, tetapi persamaan diferensial

(2.3) Adalah eksak domain D, maka merupakan faktor integrasi dari

9

2.8 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Tiga Peubah Persamaan diferensial orde satu dengan tiga peubah yang berbentuk :

(2.4) Disebut eksak apabila terdapat fungsi , sehingga

(2.5) Dengan berlaku hubungan :

(Sugiarto dan Mario, 2002).

Teorema

Persamaan diferensial

Merupakan persamaan diferensial eksak tiga peubah.

Misalkan terdapat fungsi-fungsi : sebagai berikut :  dengan

dengan

dan

 ∫

Maka penyelesaian umum persamaan diferensial adalah

10

Bukti :

Untuk menunjukkan dengan ∫ ∫ ∫

merupakan solusi PD di atas, cukup ditunjukkan

 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫ Karena

dan

, maka



 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫



 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

11



Jadi, ∫ ∫ ∫ merupakan solusi umum dari persamaan diferensial eksak

Catatan :

1. Dalam pemilihan dan harus diperhatikan kondisi : dan ∫

Untuk mempermudah perhitungan, pilih dan sehingga dapat diambil dan

2. PD eksak yang diberikan dapat dipisahkan menjadi dua atau lebih PD eksak, dan dikerjakan masing-masing. Penjumlahan dari solusi ini adalah solusi umum dari PD eksak awal.

(Sugiarto dan Mario, 2002).

2.9 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Tiga Peubah

Definisi : Misal PD tak eksak. Fungsi disebut faktor integrasi jika

[ ] menjadi eksak. (Sugiarto dan Mario, 2002).

12

2.10 Metode Untuk Mencari Fungsi

Missal ∫ dengan a berupa fungsi konstan atau fungsi a(x) b berupa fungsi konstan atau fungsi b(y), dan c berupa fungsi konstan atau fungsi c(z) karena persamaan diferensial :

[ ] adalah eksak, maka:  atau atau  atau atau  atau atau

13

Bagi menjadi tiga kasus, yaitu :  Kasus 1

Untuk a=0 dan b=0

atau

Jadi, faktor integrasi dari ∫ (fungsi dari z)

 Kasus 2

Untuk b=0 dan c=0

atau

Jadi, faktor integrasi dari ∫ (fungsi dari x)

 Kasus 3

Untuk a=0 dan c=0

atau

Jadi, faktor integrasi dari ∫ (fungsi dari y) (Sugiarto dan Mario, 2002).

14

2.11 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Empat Peubah Persamaan diferensial orde satu dengan empat peubah yang berbentuk :

(2.7) Disebut eksak apabila terdapat fungsi , sehingga

(2.8) Dengan berlaku hubungan :

(Herlani, 2010). Teorema Persamaan diferensial Merupakan persamaan diferensial eksak empat peubah.

Misalkan terdapat fungsi-fungsi : sebagai berikut :  dengan

dengan dan dengan , dan  ∫ ∫

15

Maka penyelesaian umum persamaan diferensial

adalah dengan ∫ ∫ ∫ ∫ (2.9) Bukti : untuk menunjukkan

dengan ∫ ∫ ∫ ∫ Merupakan penyelesaian PD di atas, cukup ditunjukkan

Bukti :

 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫ ∫ Karena

,

dan

, maka



 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫



16

 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫



 Akan ditunjukkan

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫



Jadi, ∫ ∫ ∫ ∫ merupakan penyelesaian umum dari persamaan diferensial eksak

(Herlani, 2010).

17

2.12 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Empat Peubah

Misal PD tak eksak. Fungsi disebut faktor integrasi PD

Sehingga,

[ ]

menjadi eksak.

Misal ∫

dengan a berupa fungsi konstan atau fungsi a(x), b berupa fungsi konstan atau fungsi b(y), c berupa fungsi konstan atau fungsi c(z), dan d berupa fungsi konstan atau fungsi d(t).

karena persamaan diferensial :

[ ] adalah eksak, maka:

 atau atau  atau atau

18  atau atau  atau atau  atau atau  atau atau Bagi menjadi empat kasus, yaitu :

 Kasus 1

Untuk a=0, b=0 dan c=0

, , atau atau

19

 Kasus 2

Untuk a=0, b=0 dan d=0

, , atau atau

Jadi, faktor integrasi dari ∫ (fungsi dari z)

 Kasus 3

Untuk a=0, c=0 dan d=0

, , atau atau

Jadi, faktor integrasi dari ∫ (fungsi dari y)

 Kasus 4

Untuk b=0, c=0 dan d=0

, , atau atau

Jadi, faktor integrasi dari ∫ (fungsi dari x) (Herlani, 2010).

20

2.13 Definisi Persamaan Diferensial Total

Suatu persamaan : (2.10)

dengan C adalah konstan sebarang, maka persamaan diferensial :

(2.11) dengan

persamaan diferensial total dari (2.10) dan (2.11) merupakan persamaan diferensial eksak.

Jadi, persamaan diferensial eksak merupakan persamaan diferensial total dari suatu fungsi primitifnya (Ayres dan Ault, 1999).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka seperti buku-buku penunjang matematika, internet dan jurnal-jurnal matematika yang

berhubungan dengan persamaan diferensial eksak.

Adapun tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Mempelajari definisi dan teorema yang menjadi landasan pada penelitian ini.

2. Mencari bentuk persamaan diferensial eksak lima variabel dengan menggunakan definisi dan teorema yang ada.

3. Menyelesaikan persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima variabel. 4. Menentukan faktor integrasi persamaan diferensial yang tidak eksak

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Bentuk persamaan diferensial orde satu lima variabel sebagai berikut :

Persamaan tersebut dapat disebut eksak apabila terdapat fungsi sehingga menjadi :

dan berlaku hubungan sebagai berikut :

41

2. Misalkan terdapat fungsi-fungsi: sebagai berikut: a. dengan

dengan

dan

dengan

,

dan

b.

∫

∫

∫ dengan

,

,

dan

penyelesaian umum persamaan diferensial

adalah dengan

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3. Jika persamaan diferensial lima variabel tidak eksak, maka fungsi

disebut faktor integrasinya. Sehingga

[

]

42

5.2 Saran

Persamaan diferensial eksak yang sudah dibahas dapat dilanjuti oleh pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini pada orde yang lebih tinggi yaitu orde dua. Selain pada orde nya, penelitian ini juga dapat dilanjutkan dengan bertambahnya variabel menjadi enam variabel dan seterusnya. Sehingga dapat membentuk sebuah pola agar pembaca dapat menyelesaikan persamaan diferensial eksak serta dapat mencari faktor integrasinya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, F dan Ault, J.C. 1999. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metric. Alih Bahasa Lyli Ratna. Erlangga, Jakarta.

Bronson, R dan Costa, G. 2007. Persamaan Diferensial . Erlangga, Jakarta.

Edwin J. Purcell. 1987. Kalkulus Dan Geometri Analitis Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta.

Finizio, N dan Ladas, G. 1998. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Penerjemah Widiarti. ITB, Bandung.

Herlani, A. 2010. Teknik Menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak Empat Peubah. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Kartono. 2002. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset, Yogyakarta.

Shepley L. Ross. 1966.Introduction To Ordinary Differential Equations, Third Edition. New York.

Sugiato, I dan Mario, M. Solusi Persamaan Diferensial Eksak Tiga Variabel. Jurnal Integral, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002.

20

2.13 Definisi Persamaan Diferensial Total

Suatu persamaan : (2.10)

dengan C adalah konstan sebarang, maka persamaan diferensial :

(2.11)

dengan

persamaan diferensial total dari (2.10) dan (2.11) merupakan persamaan diferensial eksak.

Jadi, persamaan diferensial eksak merupakan persamaan diferensial total dari suatu fungsi primitifnya (Ayres dan Ault, 1999).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka seperti buku-buku penunjang matematika, internet dan jurnal-jurnal matematika yang

berhubungan dengan persamaan diferensial eksak.

Adapun tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Mempelajari definisi dan teorema yang menjadi landasan pada penelitian ini.

2. Mencari bentuk persamaan diferensial eksak lima variabel dengan menggunakan definisi dan teorema yang ada.

3. Menyelesaikan persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima variabel. 4. Menentukan faktor integrasi persamaan diferensial yang tidak eksak

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Bentuk persamaan diferensial orde satu lima variabel sebagai berikut :

Persamaan tersebut dapat disebut eksak apabila terdapat fungsi sehingga menjadi :

dan berlaku hubungan sebagai berikut :

41

2. Misalkan terdapat fungsi-fungsi: sebagai berikut: a. dengan

dengan dan dengan , dan b. ∫ ∫

∫ dengan

, , dan

penyelesaian umum persamaan diferensial

adalah dengan

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3. Jika persamaan diferensial lima variabel tidak eksak, maka fungsi

disebut faktor integrasinya. Sehingga

[ ]

42

5.2 Saran

Persamaan diferensial eksak yang sudah dibahas dapat dilanjuti oleh pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini pada orde yang lebih tinggi yaitu orde dua. Selain pada orde nya, penelitian ini juga dapat dilanjutkan dengan bertambahnya variabel menjadi enam variabel dan seterusnya. Sehingga dapat membentuk sebuah pola agar pembaca dapat menyelesaikan persamaan diferensial eksak serta dapat mencari faktor integrasinya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, F dan Ault, J.C. 1999. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metric. Alih Bahasa Lyli Ratna. Erlangga, Jakarta.

Bronson, R dan Costa, G. 2007. Persamaan Diferensial . Erlangga, Jakarta. Edwin J. Purcell. 1987. Kalkulus Dan Geometri Analitis Edisi Kelima. Erlangga,

Jakarta.

Finizio, N dan Ladas, G. 1998. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Penerjemah Widiarti. ITB, Bandung.

Herlani, A. 2010. Teknik Menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak Empat Peubah. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Kartono. 2002. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset, Yogyakarta.

Shepley L. Ross. 1966.Introduction To Ordinary Differential Equations, Third Edition. New York.

Sugiato, I dan Mario, M. Solusi Persamaan Diferensial Eksak Tiga Variabel. Jurnal Integral, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002.