Teorema Grafik Tertutup (The Closed Graph Theorem)

ABSTRAK

TEOREMA GRAFIK TERTUTUP (THE CLOSED GRAPH THEOREM₎

Oleh

Ita Septia Indrawati

Teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) adalah hasil dasar yang memiliki ciri fungsi kontinu pada grafik tersebut, merupakan salah satu hasil yang mendalam dari teori ruang Banach dan merupakan topik penting pada analisis fungsional yang berisi teorema untuk kelas tertentu dari ruang vektor topologi. Penelitian ini akan menunjukkan sifat-sifat teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) antara lain pemetaan linier terbatas di ruang bernorm dan pemetaan linier tertutup pada suatu ruang Banach, yaitu jika adalah pemetaan linier antara ruang norm X dan Y, notasi

maka T adalah terbatas. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa adalah suatu pemetaan, pemetaan linier, pemetaan terbatas, pemetaan bijektif, serta juga adalah pemetaan linier dan pemetaan terbatas maka T adalah pemetaan terbatas.

91.02

CNNd],UV'I UVONVS

CNNdNVI SVIISUSNNN

l

lV'lV NVnHVIle

Nld nltIll

NVO

Vyllvtllllvl,ll

Svllnvvl

luelv uenqeleOuod null uep El; pruole4 spilnlpJ BMEruolEl,ll uPsnJnr

EPEd

SNIVS VNVIUVS

relog qe;orcduen _{InUn lele/lg} nlES qeleg;e6eqeg

!sdus

W*\DryLbDUcE,Srtb

L.1-i: | -., ..t a. ri!.

L',,r t':; _:',! !!i ; : | : !

;i't ..:i'l

:i .',.;;;,;;.

I x

i

I

i

I

I

t

I

l

t

I

l

3

I

t

I

l

I

l

I :

i

:

-i .-\a. i - tr'-:- i'r -, / |

' ,1..i-.')-:"? ! ' :.. 1 :.:i : ..::.,.

':...1 iq16lr,n74gg.rr' ;

rixfirxg uurh *"fnt,F8aqa*[

. :.;t.- .. -.,,.. _"' :-11''1:"111;1!ltt.:: "i'::;';:': _{:t:";t ..}

n

I

I

T 5

I

I -1 f, :

.l

>it , j 1

l

:

i

I 1

l

j

I

I i t

I

,c ,l i , { ) { ":{ 3 I ! { ,l

l'.;t| r, )., .

._..,....,:...-: ._. 15. -l1j

C:-l

Y:.

$Ef-;r.+'

{. _{srrr}}- rta}

/,-7rtw,se,*?"^/?'

;r : i:;;;,ffl!.;a- ,,;,,,1-.,.,

rfn8ua4urr.f

:t,

,

SZOI€OTI I

I

'I^[dN

rleraerpul epdeg e11

S I0Z prBIA['Ermdurel .teprrgg

'ruIBIJeq Euez( umryq ue8uep runses r$fres rru{Bue{1p ?pesJeq ur(es _{urpur 'luueq}

>1up4 efus uuep(ued €ryf 'Hpues ez(ef, _{rlelo ]Enqlp} nn rsdlnls Bitrqeq ur44u[ueu

eEn[efus

tq

qqeS 'urplsndragrs? urBI€? rrel1]nges1p _{uuuunu8eqes 1ul}

rlurlsuu rrrelep ncurp s{nge}Bruces Eued quncs:1?,fus uanqgp8ued Etrufuedes UIEI

Euero otfuq pduprq _{Bpp

_Iq

pdpls rrrBIBp

Br*rqeq

ef?s rur nu8usg

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kotagajah pada tanggal 9 September 1993, anak pertama dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Carmo Yulianto dan Ibu Rusiyah.

Penulis memulai pendidikan formalnya pada pendidikan tingkat dasar di SDN 1 Purwosari dan diselesaikan pada tahun 2005, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMPN 2 Kotagajah pada tahun 2008 dan menyelesaikan pendidikan sekolah tingkat atas di SMAN 1 Kotagajah pada tahun 2011.

Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2011 melalui jalur Penerimaan Mahasiswa Program Perluasan Akses Pendidikan. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi anggota Generasi Muda Matematika (GEMATIKA) periode 2011/2012. Pada periode 2012/2013 penulis menjadi anggota bidang keilmuan Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika

(HIMATIKA), kemudian penulis menjadi anggota biro kesekretariatan Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) pada periode 2013/2014. Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu yang telah dipelajari, penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat Statistik Provinsi Lampung pada tanggal 20 Januari 2014 sampai dengan 7 Februari 2014. Kemudian sebagai bentuk pengabdian

mahasiswa kepada masyarakat, penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah wajib untuk strata satu di Desa Tanjung Qencono Kecamatan Way Bungur Kabupaten Lampung Timur yang dilaksanakan pada tanggal 11 Agustus 2014 sampai dengan 18 September 2014.

PERSEMBAHAN

Tak ada kata terindah yang pantas ku ucapkan selain kata syukur kepada

ALLAH SWT, karena dengan izin-Nya aku dapat menyelesaikan skripsi ini.

S.Si bukan hanya sekedar gelar, ada makna yang sangat penting di dalamnya.

“S” pertama berarti syukur, yakni mensyukuri segala nikmat yang telah

diberikan oleh ALLAH SWT. “S” kedua berarti sabar, yakni sabar dalam segala

hal termasuk menghadapi cobaan, halangan, rintangan maupun tantangan. “i”

berarti ikhlas menerima segala sesuatu yang terjadi.

Dengan setulus hati kupersembahkan karya sederhana ini untuk orang yang aku

cintai, Ibundaku Rusiyah, Ayahandaku Carmo Yulianto dan Adikku Ayatul

Anah. Mereka adalah motivasi terbesarku dalam menyelesaikan studiku.

Terimakasih atas do’

a, semangat, perhatian dan bantuan. Terimakasih juga

kepada keluarga besar matematika 2011 atas kebersamaannya selama ini.

MOTTO

“Orang yang memiliki semangat ia akan mencintai semua yang dihadapinya,

jangan pernah sekalipun ragu untuk sebuah cita kebaikan yang kita impikan.

Sekalipun itu tak mungkin, maka akan menjadi mungkin dengan-

Nya”

(Al-Barudi)

“

Seorang penuntut ilmu yang ingin memperbanyak ilmunya wajib menyerahkan

segenap tenaganya, sabar menghadapi segala cobaan dan kesulitan

”

(Imam Syafi’i)

SANWACANA

Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya, penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang berjudul “Teorema Grafik Tertutup (The Closed

Graph Theorem)”. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada

Nabi Muhammad SAW.

Pada penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan do’a, bantuan,

dukungan, kritik, saran, bimbingan dan pengarahan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Suharsono. S, M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu untuk membimbing hingga skripsi ini selesai. 2. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah

banyak membantu, mengoreksi dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran untuk skripsi ini. 4. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si., selaku pembimbing akademik.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis. 8. Ibundaku (Rusiyah), ayahandaku (Carmo Yulianto), adikku (Ayatul Anah)

dan semua saudaraku yang selalu mendo’akan keberhasilanku dan

memberikan dorongan materil serta spiritual dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Febri Zulkifli yang telah memberikan do’a dan semangat.

10. Dwi, Sherly, Tiwul, Yunita serta seluruh keluarga besar matematika 2011 dan

HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan do’a,

semangat, kritik, saran dan kebersamaan. 11. Seluruh penghuni Asrama Putri Raflesia 2.

12. Seluruh pihak yang telah banyak membantu dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak mungkin penulis sebutkan satu per satu.

Bandar Lampung, Maret 2015

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang dan Masalah ...1

1.2Tujuan Penelitian ...2

1.3Batasan Masalah...2

1.4Manfaat Penelitian ...2

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1Ruang Metrik ...4

2.2Ruang Vektor ...8

2.3Ruang Bernorma ...9

2.4Kekonvergenan dan Kelengkapan...10

2.5Ruang Banach ...12

2.6Operator Linier ...12

2.7Pemetaan Buka ...14

2.8Teorema Grafik Tertutup (The Closed Graph Theorem) ...14

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1Waktu dan Tempat Penelitian ...16

3.2Metode Penelitian...16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1Pemetaan Linier Tutup ...18

4.2Teorema Grafik Tertutup (The Closed Graph Theorem) ...19

4.3Contoh Aplikasi Teorema Grafik Tertutup (The Closed Graph Theorem) ...22

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1Kesimpulan ...24 5.2Saran ...24

DAFTAR NOTASI

= suatu norma

= norma vektor x atau jarak antara vektor x dengan vektor nol

= ruang bernorma (norm space)

G(T) = grafik dari T, yang didefinisikan

|| G(T) || = norm dari G(T) yang didefinisikan | | | |

= pemetaan linier dari M ke Y atau fungsi dari M ke Y

= pembuktian ke kanan

= pembuktian ke kiri

= domain operator T

= nilai limit dari untuk n menuju tak hingga

= barisan konvergen ke x

= ruang vektor fungsi kontinu pada [a,b]

= ruang metrik

= fungsi metrik atau jarak dari x ke y

∑ = sigma dari untuk n bergerak dari 1 sampai takhingga

_{= invers dari μ}

= himpunan bagian atau sama dengan

= suprimum (batas atas terkecil)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Matematika adalah ilmu yang selalu dibutuhkan oleh cabang-cabang ilmu lainnya dan dibutuhkan dalam segala bidang, sehingga matematika disebut sebagai mother of science. Matematika selalu mengalami perkembangan dalam pendidikan. Salah satu mata kuliah dalam matematika adalah analisis fungsional. Permulaan munculnya analisis fungsional didasari oleh

permasalahan pada kurang memadainya metode analitik klasik pada fisika

dan astronomi matematika. Kata “fungsional” diperkenalkan oleh Hadamard

pada tahun 1903. Di dalam analisis fungsional terdapat materi mengenai teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) pada ruang Banach. Ada beberapa konsep dasar yang perlu diketahui terlebih dahulu yaitu ruang vektor, ruang metrik, ruang bernorma dan ruang Banach.

Dalam matematika, teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) adalah hasil dasar yang memiliki ciri fungsi kontinu pada grafik tersebut. Teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) merupakan salah satu hasil yang mendalam dari teori ruang Banach dan salah satu aplikasi untuk analisis fungsional yang berisi teorema untuk kelas tertentu dari ruang vektor

2

penelitian ini akan dibahas mengenai sifat-sifat teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) antara lain, pemetaan linier terbatas di ruang bernorm dan pemetaan linier tutup pada suatu ruang Banach. Untuk itu, semua analisis dan prosesnya akan dibahas di dalam pembuktian teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) dan contoh aplikasi teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) dapat dicermati dalam hasil dan pembahasan.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan sifat teorema grafik tertutup (the closed graph theorem), yaitu jika adalah pemetaan linier antara ruang norm X dan Y, notasi

maka T adalah terbatas.

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas mengenai teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) pada analisis fungsional.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memahami lebih mendalam mengenai teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) pada ruang Banach, pemetaan linier terbatas di ruang bernorm dan pemetaan linier tutup pada suatu ruang Banach.

3

2. Mengetahui contoh aplikasi teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) pada ruang Banach.

3. Memberikan ide penelitian lain terkait operator linier.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1Ruang Metrik

Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R.

Definisi 2.1.1

Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metrik di X adalah suatu fungsi

, sehingga untuk setiap pasangan berlaku: i. untuk setiap

ii. jika dan hanya jika

iii. untuk setiap (sifat simetri)

iv. untuk setiap (ketidaksamaan segitiga)

Selanjutnya pasangan , dengan d adalah metrik pada X disebut ruang metrik. Setiap anggota X disebut titik dan nilai disebut jarak (distance) dari titik x ke titik y atau jarak antara titik x dan y (Kreyszig, 1989).

5

Contoh:

Diberikan himpunan dan didefinisikan fungsi:

Dengan {

Pasangan merupakan ruang metrik.

Definisi 2.1.2

Suatu barisan dalam ruang metrik dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga

untuk setiap . Ruang X dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen (Kreyszig, 1989).

Definisi 2.1.3

Suatu ruang metrik dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika

maka terdapat sehingga (Maddox, 1970).

Definisi 2.1.4 (Kekonvergenan)

Misal adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan dikatakan konvergen jika terdapat suatu titik sehingga untuk (yaitu untuk setiap , . Titik X adalah unik, sebab jika

maka menunjukkan bahwa . Dapat dikatakan konvergen ke limit x (dalam X), sehingga dapat ditulis (Berberian, 1996).

6

Contoh:

Misalkan memiliki limit yaitu maka

. Diambil , berarti y adalah limit dari

, dengan . Terlihat . Jadi, terbukti konvergen.

Definisi 2.1.5

Barisan dalam dikatakan konvergen (ke x) jika dan hanya jika terdapat sehingga . Dapat ditulis lim atau

dan x disebut limit dari barisan (Maddox, 1970). Definisi 2.1.6

a. Misalkan ruang metrik. Himpunan dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya (titiknya) merupakan titik dalam. Jadi, terbuka jika dan hanya jika untuk setiap terdapat bilangan real

sehingga berlaku

b. Misalkan ruang metrik. Himpunan dikatakan tertutup jika terbuka (Kreyszig, 1989).

Contoh:

himpunan tertutup, sebab terbuka.

Lemma 2.1.7 (Keterbatasan, Limit) Jika adalah ruang metrik, maka:

7

ii. Jika dan di X, maka (Kreyszig, 1989).

Teorema 2.1.8

Setiap barisan konvergen di dalam ruang metrik merupakan barisan Cauchy (Kreyszig, 1989).

Bukti:

Jika maka untuk setiap terdapat sehingga

⁄ untuk setiap . Berdasarkan pertidaksamaan segitiga untuk ⁄ ⁄ . Hal ini menunjukkan bahwa merupakan barisan Cauchy (Kreyszig, 1989).

Teorema 2.1.9

Setiap barisan Cauchy adalah terbatas (Parzynsky dan Zipse, 1987).

Bukti:

Jika barisan Cauchy maka untuk ada bilangan asli N sehingga

dimana . Perhatikan bahwa untuk maka

untuk setiap . Jika

jelas untuk setiap bilangan asli N sehingga barisan terbatas.

8

2.2Ruang Vektor Definisi 2.2.1

Ruang vektor V adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian dengan skalar real. Terhadap kedua operasi ini, V memenuhi semua sifat berikut:

i. (V, +) merupakan grup komutatif ii. (V, .) memenuhi:

a. b. c. d.

Misalkan X suatu ruang vektor dan . Himpunan Y disebut subruang dari X jika untuk semua skalar dan berlaku . Jelas bahwa untuk sebarang ruang vektor dan {0} keduanya juga merupakan subruang dari X. Kombinasi linier dari vektor-vektor di X adalah ekspresi dengan merupakan skalar.

Untuk sebarang himpunan tak kosong , himpunan semua kombinasi linier dari vektor-vektor di M membentuk subruang. Subruang ini dikatakan dibangun oleh M, dinotasikan spanM (Darmawijaya, 2007).

9

Teorema 2.2.2

Jika V suatu ruang vektor atas lapangan F, maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut:

i. Untuk setiap terdapat tepat satu sehingga ii. Jika dan , maka (0 vektor nol)

iii. untuk setiap skalar iv. untuk setiap v. untuk setiap

vi. Jika suatu skalar dan sehingga , maka atau

(Darmawijaya, 2007).

2.3Ruang Bernorma Definisi 2.3.1

Misalkan X suatu ruang vektor atas R. Norm pada X didefinisikan sebagai fungsi |||| yang memenuhi:

Suatu fungsi || x || yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: i. || x || , untuk setiap

ii. || x || , jika dan hanya jika , (0 vektor nol) iii. || || || x || untuk setiap skalar dan iv. || || || x || || y || untuk setiap

Disebut norma (norm) pada X dan bilangan nonnegatif || x || disebut norma vektor x atau jarak antara vektor x dengan vektor nol. Selanjutnya, suatu ruang vektor X yang dilengkapi dengan suatu norma disebut ruang bernorma

10

(norm space) dan dituliskan singkat dengan atau X saja asalkan normanya telah diketahui (Darmawijaya, 2007).

Teorema 2.3.2

Ruang linier bernorm X dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap deret konvergen mutlak di X adalah konvergen (Maddox, 1970).

Lemma 2.3.3

Dalam ruang linier bernorm X, berlaku || x || - || y || || x–y || untuk setiap

(Maddox, 1970).

Bukti:

Untuk setiap , diperoleh:

|| x || - || y || = || x–y + y || - || y || || x–y || + || y || - || y || = || x–y ||. Contoh:

Misalkan dan di definisikan fungsi

dengan || f || ∑ . Dapat diperiksa bahwa memenuhi sifat-sifat norm dan norm ini dikenal sebagai norm Euclid. Lebih lanjut, besaran || f || dapat dimaknai sebagai panjang vektor f.

2.4Kekonvergenan dan Kelengkapan Definisi 2.4.1

Misalkan suatu ruang norm

i. Barisan di X dikatakan konvergen jika terdapat sehingga

11

ii. Barisan di X dikatakan Cauchy jika untuk setiap terdapat N

sehingga untuk semua berlaku ||

Jika setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen maka X dikatakan sebagai ruang bernorm lengkap atau ruang Banach. Ruang-ruang masing-masing adalah lengkap. Tentu saja dalam suatu ruang vektor berdimensi hingga berlaku sifat bahwa semua norm adalah ekuivalen yang dinyatakan dalam teorema (ekuivalensi norm). Misalkan || x dan || x masing-masing adalah norm di ruang berdimensi hingga V. Maka terdapat konstanta dan

sehingga berlaku x x x . Konsekuensi penting dari teorema ini adalah bahwa setiap barisan Cauchy di ruang berdimensi hingga adalah konvergen. Dengan demikian diperoleh suatu fakta bahwa ruang bernorm berdimensi hingga adalah suatu ruang Banach

(Darmawijaya, 2007).

Teorema 2.4.2

Suatu subruang Y dari ruang Banach X adalah lengkap jika dan hanya jika Y

bersifat tutup di X (Darmawijaya, 2007). Bukti:

Misalkan Y suatu subruang lengkap di ruang Banach X, dan suatu barisan di Y yang konvergen ke suatu elemen x. Jelas bahwa suatu barisan Cauchy, karena Y lengkap maka haruslah . Jadi Y tutup.

Misalkan suatu barisan Cauchy di Y karena X lengkap maka konvergen ke suatu elemen . Karena Y tutup maka haruslah .

12

2.5Ruang Banach Definisi 2.5.1

Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen (Darmawijaya, 2007). Contoh:

Ruang Banach serta normnya dengan || f ||

∑ .

Definisi 2.5.2

Diberikan ruang Banach j dan untuk setiap .

i. Deret ∑ dikatakan konvergen ke jika jumlah parsial

∑ konvergen ke x, yaitu untuk setiap , terdapat ,

untuk setiap , berlaku || ∑

ii. Deret ∑ dikatakan Cauchy jika barisan merupakan barisan Cauchy di X, yaitu untuk setiap , terdapat , untuk setiap

, berlaku

|| ∑ (Belton, 2006).

2.6Operator Linier Definisi 2.6.1

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorm disebut operator (Kreyszig, 1989).

13

Definisi 2.6.2

Misalkan X dan Y masing-masing adalah ruang bernorm. Suatu pemetaan T

yang mengaitkan setiap unsur di domain dengan unsur tunggal

disebut operator. Suatu operator T dikatakan linier jika memenuhi: i. suatu subruang

ii. Untuk semua dan skalar berlaku a. (aditif)

b. (homogenitas)

Suatu operator T dikatakan terbatas jika terdapat suatu konstanta M sehingga berlaku || || x || dan norm operator tersebut didefinisikan sebagai || T ||

yang tidak lain merupakan bilangan M terkecil yang

memenuhi || || || x ||, (Daners, 2006). Definisi 2.6.3

T operator linier jika dan hanya jika (Kreyszig, 1989).

Teorema 2.6.4

Jika T suatu operator linier yang kontinu di suatu titik maka T terbatas dan kontinu di setiap titik (Kreyszig,1989).

14

2.7Pemetaan Buka

Definisi 2.7.1 (Pemetaan buka)

Misalkan X dan Y ruang metrik. Pemetaan dengan disebut pemetaan buka jika adalah himpunan buka, maka dengan kata lain T diambil dari himpunan buka ke himpunan buka (Rudin, 1973). Teorema 2.7.2

Misalkan X dan Y ruang Banach. Pemetaan adalah kontinu jika dan hanya jika adalah himpunan buka sehingga

_{(Rudin, 1973).}

Teorema 2.7.3 (Pemetaan Buka)

Misalkan X, Y ruang Banach. Dan pemetaan linier surjektif, maka T

disebut pemetaan buka (Rudin, 1973).

2.8Teorema Grafik Tertutup Definisi 2.8.1

Misalkan X dan Y adalah suatu ruang bernorm, adalah pemetaan linier dengan M subruang dari X. Maka notasi disebut grafik dari T. Kemudian norm dari didefinisikan sebagai berikut

| | | | (Rudin, 1973).

Definisi 2.8.2

Misalkan X dan Y adalah suatu ruang Banach, adalah pemetaan linier dengan M subruang dari X. T disebut tutup jika barisan di M

15

dengan dan , berlaku dan (Rudin, 1973).

Definisi 2.8.3

Misalkan X dan Y adalah dua ruang bernorm. Pemetaan linier dikatakan terbatas jika T kontinu di X (Rudin, 1973).

Teorema 2.8.4 Grafik Tertutup (The Closed Graph Theorem)

Misalkan X dan Y adalah suatu ruang Banach dan M subruang dari X dan

adalah pemetaan linier. Jika M dan keduanya tutup maka T

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014/2015

bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2Metode Penelitian

Metode yang digunakan untuk penelitian ini adalah studi literatur. Dalam penelitian ini terlebih dahulu dipelajari tentang ruang Banach dan operator linier. Adapun metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan referensi berupa buku-buku serta literatur dari internet dan perpustakaan yang berhubungan dengan penelitian ini.

2. Menjabarkan definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan penelitian.

3. Menguraikan konsep teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) dengan cara sebagai berikut:

a. Mendefinisikan sebagai , untuk setiap

17

b. Menunjukkan bahwa adalah suatu pemetaan, pemetaan linier, pemetaan terbatas, pemetaan pada (onto/surjektif) dan pemetaan satu-satu ( ) atau pemetaan bijektif.

c. Menunjukkan bahwa juga pemetaan linier dan pemetaan terbatas. d. Menunjukkan bahwa T adalah suatu pemetaan terbatas.

4. Mencari contoh aplikasi teorema grafik tertutup (the closed graph theorem).

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa misalkan X dan Y

adalah suatu ruang Banach, adalah pemetaan linier dengan M

subruang dari X, jika M dan G(T) keduanya tutup maka T terbatas. Notasi

. Karena adalah suatu

pemetaan, pemetaan linier, pemetaan terbatas, pemetaan bijektif, serta juga merupakan pemetaan linier dan pemetaan terbatas maka T adalah suatu pemetaan terbatas.

5.2Saran

Disarankan kepada para peneliti yang akan datang untuk dapat

mengembangkan penelitian terhadap teorema lain dalam aljabar Banach atau dalam ruang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Belton, Alexander C. R. 2006. Functional Analysis. University of Oxford, England.

Berberian, S. K. 1996. Fundamentals of Real Analysis. Springer, Texas.

Daners, Daniel. 2006. Introduction to Functional Analysis. University of Sydney, Australia.

Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. UGM, Yogyakarta. Kreyszig, Erwin. 1989. Introductory Functional Analysis with Aplications. John

Wiley and Sons, New York.

Maddox, I. J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge, New York. Parzynski and Zipse. 1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill

International Edition, Singapore.

Rudin, Walter. 1973. Functional Analysis. McGraw-Hill Book Company, United States of America.

2.7Pemetaan Buka

Definisi 2.7.1 (Pemetaan buka)

Misalkan X dan Y ruang metrik. Pemetaan dengan disebut pemetaan buka jika adalah himpunan buka, maka dengan kata lain T diambil dari himpunan buka ke himpunan buka (Rudin, 1973).

Teorema 2.7.2

Misalkan X dan Y ruang Banach. Pemetaan adalah kontinu jika dan hanya jika adalah himpunan buka sehingga

_{(Rudin, 1973).}

Teorema 2.7.3 (Pemetaan Buka)

Misalkan X, Y ruang Banach. Dan pemetaan linier surjektif, maka T disebut pemetaan buka (Rudin, 1973).

2.8Teorema Grafik Tertutup Definisi 2.8.1

Misalkan X dan Y adalah suatu ruang bernorm, adalah pemetaan linier dengan M subruang dari X. Maka notasi disebut grafik dari T. Kemudian norm dari didefinisikan sebagai berikut

| | | | (Rudin, 1973). Definisi 2.8.2

Misalkan X dan Y adalah suatu ruang Banach, adalah pemetaan linier dengan M subruang dari X. T disebut tutup jika barisan di M

15

dengan dan , berlaku dan (Rudin, 1973).

Definisi 2.8.3

Misalkan X dan Y adalah dua ruang bernorm. Pemetaan linier dikatakan terbatas jika T kontinu di X (Rudin, 1973).

Teorema 2.8.4 Grafik Tertutup (The Closed Graph Theorem)

Misalkan X dan Y adalah suatu ruang Banach dan M subruang dari X dan

adalah pemetaan linier. Jika M dan keduanya tutup maka T terbatas (Rudin, 1973).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014/2015

bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2Metode Penelitian

Metode yang digunakan untuk penelitian ini adalah studi literatur. Dalam penelitian ini terlebih dahulu dipelajari tentang ruang Banach dan operator linier. Adapun metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan referensi berupa buku-buku serta literatur dari internet dan perpustakaan yang berhubungan dengan penelitian ini.

2. Menjabarkan definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan penelitian.

3. Menguraikan konsep teorema grafik tertutup (the closed graph theorem) dengan cara sebagai berikut:

a. Mendefinisikan sebagai , untuk setiap ( ) .

17

b. Menunjukkan bahwa adalah suatu pemetaan, pemetaan linier, pemetaan terbatas, pemetaan pada (onto/surjektif) dan pemetaan satu-satu ( ) atau pemetaan bijektif.

c. Menunjukkan bahwa juga pemetaan linier dan pemetaan terbatas. d. Menunjukkan bahwa T adalah suatu pemetaan terbatas.

4. Mencari contoh aplikasi teorema grafik tertutup (the closed graph theorem).

5.1Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa misalkan X dan Y adalah suatu ruang Banach, adalah pemetaan linier dengan M subruang dari X, jika M dan G(T) keduanya tutup maka T terbatas. Notasi . Karena adalah suatu pemetaan, pemetaan linier, pemetaan terbatas, pemetaan bijektif, serta juga merupakan pemetaan linier dan pemetaan terbatas maka T adalah suatu pemetaan terbatas.

5.2Saran

Disarankan kepada para peneliti yang akan datang untuk dapat

mengembangkan penelitian terhadap teorema lain dalam aljabar Banach atau dalam ruang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Belton, Alexander C. R. 2006. Functional Analysis. University of Oxford, England.

Berberian, S. K. 1996. Fundamentals of Real Analysis. Springer, Texas.

Daners, Daniel. 2006. Introduction to Functional Analysis. University of Sydney, Australia.

Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. UGM, Yogyakarta.

Kreyszig, Erwin. 1989. Introductory Functional Analysis with Aplications. John Wiley and Sons, New York.

Maddox, I. J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge, New York.

Parzynski and Zipse. 1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore.

Rudin, Walter. 1973. Functional Analysis. McGraw-Hill Book Company, United States of America.