λ
1
λ
1
….. λ
j
….. λ
m
Dimana setiap λ
1
berbentuk literal.
Contoh:
1. p
2
p
5
¬p
3
¬p
2
p
1
p
3
p
1
p
2
p
3
p
7
¬p
4
2. ¬p
1
¬p
3
¬p
2
¬p
1
p
3
3. p
2
¬p
3
¬p
4
p
7
p
2
4. ¬p
10
Bentuk CNF pada no 1, 2,3, dan 4 di atas tetap dapat disebut bentuk normal konjungtif. Untuk nomor 4 diterima sebagai default.
5. Bentuk normal dan tabel kebenaran
Untuk membuat DNF dari suatu ekspresi logika yang dibuat dengan tabel kebenaran yaitu dengan mengambil nilai-nilai T dari ekspresi logika tersebut.
Contoh:
¬A B↔¬A ¬C Tabel kenarannya:
A B
C A B
¬A B ¬A
¬C ¬A ¬C
¬A B↔ ¬A ¬C
T T
T T
F F
F F
T T
T F
T F
F T
T F
T F
T F
T F
F F
F T
F F
F T
F T
T T
F T
T F
T T
F T
T F
T F
F T
T T
T T
F F
T F
T T
F T
T F
F F
F T
T T
T T
Dari tabel kebenaran d i atas, hanya mengambil nilai dari ¬A B↔¬A ¬C yang
bernilai T, yakni ada 6. Lihat nomor urut di sisi kanan, kemudian jadikan DNF seperti berikut seperti urutan nomor:
≡ A B C A ¬B ¬C ¬A B C ¬A B ¬C ¬A ¬B C ¬A ¬B ¬C Bentuk normal di atas disebut
full disjungtif normal form
FDNF.
1 X
Y 2
3 4
5 6
Sedang untuk CNF sebenanya sama, yakni mengambil nilai F dari tabel kebenaran dan membuatnya menjadi
full conjungtif normal form
FCNF, dengan catatan nilai
variabel-variabel proposisionalnya terbalik dari pasangan pada tabel kebenaran. T menjadi F dan F menjadi T. Lihat pada tabel kebenaran pada sisi kanan, yakni ada dua
baris X dan Y. Selanjutnya, CNF akan disusun seperti berikut: ≡ ¬A ¬B C ¬A B ¬C
Teknik di atas pada DNF, sebenarnya menggunakan yang disebut minterm, yang menggunakan pasangan variabel proposisional yang berada di tabel kebenaran dan yang
memiliki nilai T.
Minterm
adalah konjungsi dari literal-literal dengan variabel yang hanya dinyatakan satu kali.
Contoh
minterm
:
1. A B C
2. ¬A ¬B ¬C
3. ¬A B C
Contoh bukan
minterm
:
1. A A C
2. ¬A ¬B B
3. ¬A C
4. B
6. Klausa
Pada bentuk CNF, seperti pada definisi, dapat diubah menjadi bentuk berikut: C
1
C
1
….. C
i
….. C
n
Dimana setiap C
i
berbentuk: λ
1
λ
1
….. λ
j
….. λ
m
Dimana setiap λ
j
berbentuk literal. C
i
disebut klausa clause.
Klausa adalah konjungsi dari literal-literal. Setiap klausa dapat berisi sekurang-
kurangnya satu literal, misalnya A dan ¬A, dan setiap literal disebut klausa unit.
Contoh klausa unit:
1. p
2
p
5
¬p
3
2. ¬p
1
p
3
3. ¬p
2
4. p
10
7. Mengubah ke CNF
Untuk mengubah suatu ekspresi logika menjadi bentuk CNF, ada 5 langkah yang digunakan, dimana tidak semua langkah harus dipakai, tetapi hanya langkah yang relevan
saja, dan tidak harus urut, karena tergantung keadaan. Langkah-langkah ersebut adalah:
Langkah 1: Gunakan ekuivalensi A↔B ≡ A→B B→A untuk menghilangkan perangkai ↔
Langkah 2: Gunakan ekuivalensi A→B ≡ ¬A B untuk menghilangkan perangkai →
Langkah 3:
Gunakan hukum De Mo rgan ¬A B ≡ ¬A ¬B dan ¬A B ≡ ¬A ¬B untuk mendorong
masuk tanda negasi ke dalam tanda kurung agar mendapatkan klausa yang berisi literal- literal.
Langkah 4: Gunakan hukum negasi ganda ¬¬A ≡ A untuk menghilangkan tanda negasi.
Langkah 5:
Gunakan hukum distributif A B C ≡ A B A C untuk mengubahnya menjadi CNF
Contoh:
1. Hilangkan perangkai ↔ dan → dari ekspresi logika berikut ini:
A ¬C ↔ B→A→¬C ≡
A ¬C → B→A→¬C B→A→¬C→A ¬C ≡
¬A ¬C ¬B ¬A ¬C ¬¬B ¬A ¬C A ¬C ≡
¬A ¬¬C ¬B ¬A ¬C ¬¬B ¬¬A ¬C A ¬C ≡
¬A ¬¬C ¬B ¬A ¬C ¬¬B ¬¬A ¬¬C A ¬C ≡
¬A C ¬B ¬A ¬C B A C A ¬C ≡
¬A C ¬B ¬A ¬C B A C A ¬C
Bentuk logika di atas masih bisa disederhanakan lagi tapi cukup sampai disitu, karena hanya untuk menghilangkan perangkai ↔ dan →.
2.
¬A→¬C ¬B→C ≡ ¬¬A ¬C ¬¬B C ≡ ¬¬A ¬¬C ¬¬B C
≡ A C B C
3. Ubahlah ¬A ¬B→C↔D menjadi CNF
¬A ¬B→C↔D ≡ ¬A ¬B→C→D D→¬A ¬B→C ≡ ¬¬A ¬¬B C D ¬D ¬A ¬¬B C
≡ ¬¬A ¬¬¬B C D ¬D ¬A ¬¬B C ≡ A ¬B C D ¬D ¬A B C
≡ A ¬B ¬C D ¬D ¬A B C ≡ A ¬B A ¬C D ¬D ¬A ¬D B C
≡ A ¬B D A ¬C D ¬D ¬A ¬D B C ≡ A ¬B D A ¬C D ¬D ¬A ¬D B C
8. CNF dan komplementasi
