Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
BAB 3 PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN
ALJABAR TOEPLITZ
Pada bab ini diberikan salah satu konsep aljabar- yaitu produk silang
dari suatu sistem dinamik. Selanjutnya dibahas beberapa konsep aljabar Toeplitz sebagai materi pendukung yang masih berhubungan dengan konsep produk silang.
3.1. Produk Silang
Sebelum diberikan definisi suatu produk silang dari sistem dinamik, akan dibahas konsep-konsep yang terkait dengan produk silang terlebih dahulu.
Definisi 3.1.1: Aksi Grup pada Himpunan. Hungerford, 1974: 88
Misal suatu grup dan � suatu himpunan. Aksi dari pada � adalah pemetaan
, ⟼
dari
× � ⟶ � sedemikian sehingga:
i. id
�
= , ∀ �, id
�
elemen satuan di . ii.
= , ∀ ,
, �.
Jika terdapat pemetaan seperti diatas, maka dikatakan beraksi pada �.
Contoh dari aksi grup pada himpunan adalah aksi grup pada aljabar- seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
Definisi 3.1.2: Aksi Grup pada Aljabar- �
Misal suatu grup,
suatu aljabar- dan definisikan
≔ {�: ⟶ | � isomorfisma − }. Aksi dari pada adalah homomorfisma grup : ⟶
yang membawa ⟼
, ∀ .
Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik
Misal suatu grup, suatu aljabar- dan
: ⟶ aksi dari pada .
Sistem , , dikatakan sebagai sistem dinamik jika terdapat homomorfisma
aksi yang menghubungkan dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan .
Contoh 3.1.4.
1 Misal
� himpunan fungsi-fungsi kontinu : � ⟶ ℂ, dan suatu homomorfisma yang didefinisikan dengan
�
=
− ���
, ∀ ℤ,
�, � .
� , ℤ, α adalah suatu sistem dinamik.
2 Definisikan ℝ himpunan fungsi-fungsi kontinu : ℝ ⟶ ℂ yang
vanish at infinity
: untuk setiap � 0 terdapat himpunan kompak
,�
⊂ ℝ, sedemikian sehingga
| | � untuk setiap
,�
. ℝ adalah suatu aljabar- tanpa
satuan. Conway, 1999: 2 Misal untuk setiap
ℝ dan ℝ, definisikan
�
�
≔
−�
, ∀ ℝ.
1 Akan ditunjukkan
�
yang didefinisikan
�
≔
−�
, ∀ ℝ adalah
unsur di ℝ .
- Akan ditunjukkan lim
→±∞ �
= lim
→±∞ −�
= 0.
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
Jika → ∞, karena
−�
suatu konstanta positif, maka
−�
→ ∞. Akibatnya
lim
→∞ −�
= lim
→∞
= 0. Jika → −∞, maka
lim
→−∞ −�
= lim
→−∞
= 0. Jadi lim
→±∞ �
= 0. -
Akan ditunjukkan
�
kontinu. Misal
ℝ. Akan ditunjukkan
�
kontinu di . Ambil
�
barisan Cauchy di
ℝ sedemikian sehingga
�
→ . Akan ditunjukkan
� �
⟶
�
. Misal
�
=
� −�
. Karena
�
→ , maka
�
→
−�
. Karena kontinu, maka
�
→
−�
=
�
. Di lain pihak,
� �
=
� −�
=
�
. Jadi
� �
⟶
�
, dengan kata lain
�
kontinu di .
2 Akan ditunjukkan pemetaan �
�
dimana �
�
=
�
adalah sebuah automorfisma- dari
ℝ ke ℝ .
- Akan ditunjukkan �
�
homomorfisma- . i
�
�
+ =
+
�
= +
−�
=
−�
+
−�
= �
�
+ �
�
= �
�
+ �
�
, ∀ ℝ
Jadi �
�
+ = �
�
+ �
�
. ii
�
�
=
�
=
−�
=
−� −�
= �
�
�
�
= �
�
�
�
, ∀ ℝ
Jadi �
�
= �
�
�
�
. iii
�
�
=
�
=
−�
= �
�
, ∀ ℝ
Jadi �
�
= �
�
.
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
iv �
�
=
�
=
−�
=
−�
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = �
�
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = �
�
, ∀ ℝ
Jadi �
�
= �
�
. -
Akan ditunjukkan �
�
1-1. Ambil
, ℝ sedemikian sehingga �
�
= �
�
. Perhatikan
�
�
= �
�
, ∀ ℝ
⟺
−�
=
−�
, ∀ ℝ
⟺
� −�
=
� −�
, ∀ ℝ
⟺ =
, ∀ ℝ
Jadi = .
- Akan ditunjukkan �
�
pada. Ambil sembarang fungsi
ℝ . Akan ditunjukkan terdapat ℝ dimana = �
�
sedemikian sehingga ∀
ℝ berlaku �
�
=
�
=
−�
= .
Pilih =
�
, ∀ ℝ. Diperoleh
�
�
=
�
=
−�
=
� −�
= .
Jadi �
�
pada. Jadi
�
�
automorfisma- .
3 Akan ditunjukkan pemetaan → �
�
homomorfisma grup, dengan demikian diperoleh aksi
�: ℝ ⟶ ℝ
⟼ �
�
=
−�
, ∀ ℝ.
Misalkan �: → �
�
. -
Akan ditunjukkan � pemetaan. Misalkan
, ℝ dengan = . Perhatikan
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
= ⟺
− �
=
−�
⟺
− �
=
−�
⟺
− �
=
−�
⟺
− �
=
−�
⟺ �
�
= �
�
, ∀ ℝ.
Jadi � pemetaan.
- Akan ditunjukkan � homomorfisma.
Ambil sembarang ,
ℝ. Perhatikan �
� +�
=
� +�
=
− � +�
=
−� −�
=
−� −�
= �
� �
= �
�
�
�
, ∀ ℝ,
ℝ . Jadi
�
� +�
= �
�
�
�
, ∀ ℝ .
Jadi, � homomorfisma grup.
Berdasarkan 1, 2 dan 3, � sebuah aksi dari ℝ ke
ℝ melalui automorfisma. Jadi,
�: ℝ ⟶ ℝ
⟼ �
�
=
−�
, ∀ ℝ
adalah sebuah aksi dari ℝ pada aljabar-
ℝ melalui automorfisma. Dengan demikian,
ℝ , ℝ, � adalah sebuah sistem dinamik.
Definisi 3.1.5: Representasi Kovarian dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan
aksi . Representasi kovarian dari
, , adalah pasangan , dimana
: ⟶ adalah representasi
non-degenerate
dari ke dimana
seperti yang didefinisikan pada Definisi 2.6.3, dan : ⟶
representasi
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
uniter dari ke himpunan operator-operator linier terbatas uniter yang
memenuhi kondisi kovarian berikut: � =
� , ∀
, � .
Contoh 3.1.6. Williams, 1952: 45
Misal ℎ suatu homeomorfisma dari � ke �, adalah “rotasi oleh �”: yaitu,
ℎ ≔
− ���
, ∀ �
dan misal � , ℤ, α adalah sistem dinamik dengan aksi
�
=
− ���
, ∀ ℤ,
�, � .
Misal : Τ →
Τ representasi yang didefinisikan oleh perkalian titik demi titik:
ℎ ≔
ℎ ,
dan misal : ℤ →
Τ representasi uniter yang didefinisikan dengan
�
ℎ ≔ ℎ
− ���
. Akan ditunjukkan bahwa
, adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α .
Perhatikan
� �
ℎ =
�
ℎ
− ���
=
− ��� �
ℎ
− ���
=
�
ℎ =
�
ℎ Jadi
, adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α .
Iain Raeburn dalam papernya
On Crossed Products and Takai Duality
1988 memandang produk silang dari sistem dinamik , , sebagai suatu
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi
kovarian dari
, , .
Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan
aksi . Produk silang dari , , adalah sistem ,
�
,
�
yang terdiri dari aljabar-
aljabar- dinotasikan dengan
×
�
, representasi
�
: ⟶ , dan representasi
�
: ⟶ yang memenuhi:
i.
�
,
�
adalah kovarian; yaitu, memenuhi
�
� =
� �
�
�
, ∀
, � ;
ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi
kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari
sedemikian sehingga ×
�
= dan ×
�
= ; iii.
dibangun oleh {
�
� ∶ � } ∪ {
�
∶ }.
Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut.
Proposisi 3.1.8. Raeburn, 1988: 324
1 Jika
,
�
,
�
dan
,
�
,
�
keduanya adalah produk silang dari
, ,
, terdapat isomorfisma
�
dari ke sedemikian sehingga
�
�
=
�
dan
�
�
=
�
. 2
Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik.
Setiap representasi
non-degenerate
dari ×
�
memiliki bentuk ×
dimana , representasi kovarian dari , , . Homomorfisma
�
dan
�
adalah injektif.
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz