Algoritma untuk Degree Constrained Minimum Spanning Tree

ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED
MINIMUM SPANNING TREE

SKRIPSI

NURLINDA SARI BUTARBUTAR
060803011

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED
MINIMUM SPANNING TREE

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains

NURLINDA SARI BUTARBUTAR
060803011

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

i
PERSETUJUAN

Judul

: ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: NURLINDA SARI BUTARBUTAR

Nomor Induk Mahasiswa

: 060803011

Program Studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA

Medan, Oktober 2011

Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Marwan Harahap, M.Eng

Dr. Saib Suwilo, M.Sc.

NIP.19461225 197403 1 001

NIP. 19640109 198803 1 004

Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002

Universitas Sumatera Utara

ii
PERNYATAAN

ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED
MINIMUM SPANNING TREE

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Oktober 2011

NURLINDA SARI BUTARBUTAR
060803011

Universitas Sumatera Utara

iii
PENGHARGAAN

Segala puji bagi Allah Subhanallahu wa ta’ala seluas langit dan seluas bumi
serta seluas apa yang ada diantara keduanya, karena rahmat dan hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE” ini dengan
baik. Allahumma shalli ’ala Muhammad wa ’ala ali Muhammad, shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad shallallahu ’alaihi wa sallam beserta keluarga
dan sahabat-sahabat beliau.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima dukungan
dan masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan

Jazakumullah Khairan Katsiran kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Drs. Marwan
Harahap, M.Eng selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan
moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan
penelitian ini.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Para guru yang telah memberikan warna mereka pada kehidupan penulis,
yaitu: guru-guru di MIS NU Tg. Mulia terkhusus kepada bapak M. Pasti
Sembiring, BA, guru-guru di MTs. N L. Pakam, guru-guru di SMA N 1 L.
Pakam terkhusus kepada bapak Dekson, SPd.
6. Ibunda Nurhasni Naibaho dan ayahanda tercinta Maksum Butarbutar, abangda dan kakanda terkasih, Andi Marta Dinata Butarbutar, Romeyta Sakuntala Butarbutar, dan Suryadi Harahap, serta adinda-adinda tersayang Sri
Rahayu Butarbutar dan Muhammad Aidil Akbar Butarbutar yang selalu
memberikan motivasi dan do’a tiada hentinya kepada penulis, tak lupa kepada kedua keponakan penulis Laila Harahap dan Ridho Ahmad Harahap yang
menceriakan hari-hari penulis.
7. Nurul Hidayati dan Tuti Larasati yang menemani penulis dalam suka dan
duka. Serta seluruh keluarga mereka yang mendukung dengan setulus hati,

papa, ibu, mama, dan bapak, Ma’a syukri tiada tara.
8. Wanita-wanita sholeha berikut: K’Butet, K’Ham, K’Sani, K’Sari, K’Ika,
K’Yanti, K’Aisyah, K’Ayu, K’Rahayu Nur, dan K’Sri Nur Puji Rahayu yang
telah bersedia mentarbiyah penulis. Kepada Bu Dokter, Bou Flores, Bu Lily,
dan Bu Fatma yang berbaik hati berbagi pengalamannya sehingga penulis
Universitas Sumatera Utara
bersemangat menyelesaikan skripsi ini.

iv
9. Terkhusus sahabat-sahabat penulis yang ada di asrama putri: Ratika Candra, Juriah, Ismatul Husna, Eva Khairani, Lia, Hikmah, Siti, dkk atas persaudaraannya selama ini. Tak lupa juga kepada Putri Kartika, Monda Morina Harahap, Jaya Bahagia, Tuti Prihatini, dan Kiki. Juga kepada K’Nelly,
K’Ayu, K’Rahma, Hanim, dan Fajar.
10. Saudara-saudaraku di IM 3 dan UKMI ALFALAK. Senior-senior ’02, ’03,
’04, ’05, K’Tri, K’Diana, B’Topik Zuhri dan K’Yuni atas bantuan dan semangatnya. Kepada teman-teman seperjuangan anak Operasi Riset ’06 dan
buat teman-teman stambuk 2006, adik-adik ’07, ’08, dan ’09 terima kasih.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat penulis harapkan.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini bermanfaat bagi yang membutuhkan.

Medan, Oktober 2011

Penulis,

Nurlinda Sari Butarbutar

Universitas Sumatera Utara

iv
ABSTRAK

Permasalahan Degree Constrained Minimum Spanning Tree (DCMST) pada graph
G(V, E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum dan degree
dari setiap verteks vi di T dibatasi oleh bi dimana dT (vi) ≤ bi . Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan
memodifikasi algoritma Kruskal, dimana sebuah edge diterima di T , jika edge
tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T dan verteks-verteks
ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan, yaitu dT (vj ) ≤ bj
dan dT (vk ) ≤ bk .

Universitas Sumatera Utara

v

ALGORITHM FOR DEGREE CONSTRAINED MINIMUM
SPANNING TREE

ABSTRACT

The Degree Constrained Minimum Spanning Tree (DCMST) on undirected weighted connected graph G(V, E) is a problem to find a spanning tree T in G with whose
total edge length is minimal and the degree of each vertex vi in T at most a given
value bi where dT (vi ) ≤ bi. For solving this problem, we modified Kruskal algorithm, an edge received in T , if an edge did not produce any cycle with preceding
edge in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees
that dT (vj ) ≤ bj and dT (vk ) ≤ bk .

Universitas Sumatera Utara

vi
DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

iv

ABSTRACT

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR GAMBAR

vii

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

1

Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian

1
2
2
2
2

2. DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE
2.1. Konsep Dasar Graph
2.2. Tree
2.3. Degree Constrained Minimum Spanning Tree
3. ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED MINIMUM
SPANNING TREE
3.1. Algoritma untuk Degree Constrained Minimum Spanning
Tree
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

4
4
11
16
21
21
33
33
34
35

Universitas Sumatera Utara

vii
DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

2.1

Graph

4

2.2

Graph Berbobot

5

2.3

(a)Graph Lengkap dan (b) Graph Sederhana

5

2.4

verteks ujung dan verteks terisolasi

6

2.5

(5,8) Graph

8

2.6

(G) Graph dan (T ) Subgraph

9

2.7

(a) Graph terhubung dan (b) Graph tak berhubung

10

2.8

Bridge

11

2.9

Tree

12

2.10 Spanning tree dari G

15

2.11 DCST dari G

16

3.1

Graph G

24

3.2

Hasil Program Integer 0-1 untuk DCMST

29

3.3

Graph G

30

3.4

Hasil Algoritma Kruskal DCMST

32

Universitas Sumatera Utara

iv
9. Terkhusus sahabat-sahabat penulis yang ada di asrama putri: Ratika Candra, Juriah, Ismatul Husna, Eva Khairani, Lia, Hikmah, Siti, dkk atas persaudaraannya selama ini. Tak lupa juga kepada Putri Kartika, Monda Morina Harahap, Jaya Bahagia, Tuti Prihatini, dan Kiki. Juga kepada K’Nelly,
K’Ayu, K’Rahma, Hanim, dan Fajar.
10. Saudara-saudaraku di IM 3 dan UKMI ALFALAK. Senior-senior ’02, ’03,
’04, ’05, K’Tri, K’Diana, B’Topik Zuhri dan K’Yuni atas bantuan dan semangatnya. Kepada teman-teman seperjuangan anak Operasi Riset ’06 dan
buat teman-teman stambuk 2006, adik-adik ’07, ’08, dan ’09 terima kasih.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat penulis harapkan.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini bermanfaat bagi yang membutuhkan.

Medan, Oktober 2011
Penulis,

Nurlinda Sari Butarbutar

Universitas Sumatera Utara

iv
ABSTRAK

Permasalahan Degree Constrained Minimum Spanning Tree (DCMST) pada graph
G(V, E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum dan degree
dari setiap verteks vi di T dibatasi oleh bi dimana dT (vi) ≤ bi . Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan
memodifikasi algoritma Kruskal, dimana sebuah edge diterima di T , jika edge
tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T dan verteks-verteks
ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan, yaitu dT (vj ) ≤ bj
dan dT (vk ) ≤ bk .

Universitas Sumatera Utara

v
ALGORITHM FOR DEGREE CONSTRAINED MINIMUM
SPANNING TREE

ABSTRACT

The Degree Constrained Minimum Spanning Tree (DCMST) on undirected weighted connected graph G(V, E) is a problem to find a spanning tree T in G with whose
total edge length is minimal and the degree of each vertex vi in T at most a given
value bi where dT (vi ) ≤ bi. For solving this problem, we modified Kruskal algorithm, an edge received in T , if an edge did not produce any cycle with preceding
edge in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees
that dT (vj ) ≤ bj and dT (vk ) ≤ bk .

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Dalam berbagai situasi kehidupan kita, banyak diantaranya yang dapat kita presentasikan secara grafik yang terdiri atas titik-titik dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut. Misalnya, titik-titik tersebut mewakili kota, dengan
garis-garis mewakili jalan yang menghubungkan kota tersebut dengan kota lainnya
atau bisa juga titik-titik itu mewakili manusia dengan garis mewakili hubungan
manusia tersebut dengan manusia yang lainnya. Pada matematika, hubungan titik
dan garis yang demikian diamati oleh suatu objek yang disebut dengan graph.
Teori graph dimulai pada tahun 1736 ketika seorang matematikawan Swiss,
Leonhard Euler mempublikasikan tulisan yang berisi solusi untuk menyelesaikan
masalah jembatan Konigsberg di Prussia (sekarang Kaliningrad di Russia)(Susanna,
2010). Sejak itu, penelitian terhadap graph terus mengalami perkembangan seiring dengan semakin bervariasinya masalah yang dihadapi. Salah satu diantaranya
adalah permasalahan degree constrained minimum spanning tree (DCMST).
Permasalahan DCMST pada graph merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree dengan total bobot minimum dan memenuhi batasan degree
yang diinginkan. Garey dan Jhonson (1979) menyatakan bahwa DCMST merupakan NP-hard, karenanya diperlukan suatu metode pendekatan untuk menyelesaikannya.
Para peneliti telah melakukan beberapa metode pendekatan untuk menyelesaikan DCMST. Ribiero dan Souza (2001) menggunakan Variable Neighborhood
Search. Khrisnamoorthy, Erns, dan Sharaiha (2001) mempresentasikan dan memUniversitas
Sumatera
Utara
bandingkan beberapa heuristik, pendekatan simulasi anneling,
relaksasi
Lagrang

2
dan metode Branch and Bound. Wamiliana (2004) menggunakan metode Tabu
dan modifikasi pencarian penalti. Binh dan Nguyen (2008) menggunakan algoritma partikel Swarm, algoritma ini menggunakan beberapa metode baru untuk
memilih vektor dari partikelnya.
Ning, Ma, dan Xiong (2008) menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu
untuk mengurangi ukuran graph, kemudian menyelesaikan DCMST dengan menggunakan algoritma Kruskal. Tanpa menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu,
penelitian ini akan memodifikasi algoritma Kruskal untuk menyelesaikan DCMST.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan degree constrained minimum spanning tree merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree dengan total panjang edge yang minimum
dan setiap verteks memenuhi batas maksimum degree yang diberikan. Masalah
dari penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan degree constrained minimum
spanning tree dengan memodifikasi algoritma Kruskal.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini yaitu menerapkan modifikasi algoritma Kruskal untuk menyelesaikan degree constrained minimum spanning tree.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam bidang degree constrained minimum spanning tree.
1.5 Metodologi Penelitian
Untuk menyelesaikan Degree constrained minimum spanning tree dengan modifikasi algoritma Kruskal dilakukan dengan cara sebagai berikut:

1. Memodifikasi algoritma Kruskal, dimana sebuah edge diterima dalam T bila
memenuhi dua kondisi berikut:
Universitas
Sumatera
Utara
terdahulu,
yakni
a. Edge (vj , vk ) tidak membentuk cycle dengan edge-edge

3
PENEMUAN(vj ) 6= PENEMUAN(vk ).
b. Verteks-verteks ujungnya (verteks vj dan vk ) memenuhi batasan degree
bi , yakni dT (vj ) ≤ bj dan dT (vk ) ≤ bk .
2. Membandingkan hasil yang diperoleh modifikasi algoritma Kruskal dengan
Program Integer 0-1 yang dalam penyelesaiannya menggunakan bantuan program LINDO versi 6.1. Untuk mengetahui keoptimalan hasil yang telah
diperoleh.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE

Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Konsep dasar
tersebut berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam penelitian ini, yakni: konsep dasar graph, tree, dan degree constrained tree minimum spanning tree.

2.1 Konsep Dasar Graph
Istilah baku graph diadopsi dari Vasudev, 2006. Suatu graph G = (V, E) merupakan himpunan objek V = {v1, v2, v3, ...} disebut verteks (disebut juga point atau
node) dan himpunan E = {e1, e2, ...} yang elemennya disebut edge (disebut juga
line atau arc), sehingga untuk setiap edge em dikenal sebagai penghubung pasangan verteks (vi , vj ). Verteks vi , vj yang dihubungkan oleh edge em disebut verteks
ujung dari em . Suatu graph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge vi vj sebagai garis dari
titik vi ke titik vj .
Contoh 2.1a: Berikut diberikan representasi dari graph.
v2
s

✓✏
v1 s
✒✑

sv4

✓✏
s v3
✒✑

Gambar 2.1 : Graph

Sumatera Utara
Dari gambar 2.1a dapat diketahui bahwa V (G) = {vUniversitas
1 , v2 , v3 , v4 } dan E(G)

5
= {v1v1 , v1v2, v1v3, v1 v4, v2v3, v2v4 , v3v3, v3v4 }.
Berdasarkan definisi, edge merupakan penghubung pasangan verteks vj , vk .
Untuk suatu edge yang memiliki kedua verteks ujung yang sama disebut loop.
Dari gambar 2.1a dapat dilihat bahwa edge v1 dan v3 merupakan loop. Jika untuk
setiap edge pada graph G diberi suatu nilai atau bobot W = {w1 , w2, ..., wm},
maka graph tersebut dikatakan graph berbobot.
Contoh 2.1b: Berikut diberikan representasi dari graph berbobot.
e4 = w4 v5

v2

s

s

e5 = w5
e3 = w3

e1 = w1
v1 s

e2 = w2

s v3

Gambar 2.2 : Graph Berbobot

Graph yang tidak memiliki loop ataupun edge ganda disebut graph sederhana. Graph sederhana, dimana setiap verteks dihubungkan tepat satu edge ke
verteks lainnya disebut graph lengkap.
Contoh 2.1c: Berikut diberikan representasi dari gaph sederhana dan graph
lengkap.
v1 s

s v2

v4 s

s v3

v1 s

vs 2

v5 s

sv3
s

v4

a

b

Gambar 2.3 : (a)Graph Lengkap dan (b) Graph Sederhana
Universitas Sumatera Utara

6
2.1.1 Incident dan Degree
Ketika verteks vi merupakan verteks ujung dari beberapa edge ej , vi dan ej
dikatakan incident satu sama lain. Dua edge nonparalel dikatakan adjacent jika
mereka incident pada verteks yang sama. Dengan cara yang sama, dua verteks
dikatakan adjacent jika mereka merupakan verteks ujung dari edge yang sama.
Sebagai contoh pada gambar 2.1a dapat dilihat bahwa v1v2 , v1v3, v1v4 merupakan
incident pada v1. Adjacent untuk v1 adalah v2, v3, v4 . Sedangkan, v1 dan v3
adjacent untuk diri mereka sendiri.
Jumlah edge incident dari suatu verteks vi, dengan edge yang merupakan
loop dihitung 2 disebut degree dari verteks tersebut. Degree dari suatu verteks
dinotasikan dengan degG (vi ) atau deg vi atau d(vi ) atau d(v). Verteks yang tidak
memiliki edge incident disebut verteks terisolasi. Sedangkan verteks yang berdegree
satu disebut verteks pendent atau verteks ujung.
Contoh 2.1.1: Berikut diberikan representasi dari verteks ujung dan verteks
terisolasi
v1 s

v4 s

s v2

s v3

s v5

Gambar 2.4 : verteks ujung dan verteks terisolasi

Adapun degree dari setiap verteks pada gambar 2.3, d(v1 ) = 1, disebut pendant verteks, dan d(v2 ) = 3, d(v3 ) = 2, d(v4 ) = 3, dan d(v5 ) = 0 karena tidak
memiliki edge incident (v5 disebut verteks terisolasi).

Teorema 2.1 Untuk sebarang graph jumlah degree dari seluruh verteks G sama
dengan dua kali jumlah edge di G.

Universitas Sumatera Utara

7
Bukti: Diberikan graph G dengan n verteks v1 , v2, ..., vn dan e edge. Karena
setiap edge memiliki tepat dua verteks vi dan vj (untuk loop, i = j), maka edge
memberikan kontribusi 2 degree, yakni 1 degree untuk verteks vi dan 1 degree untuk
verteks vj . Hal ini mengakibatkan penjumlahan degree dari seluruh verteks di G
adalah dua kali dari edge di G, yaitu
n
X

d(vi ) = 2e

i=1

Teorema 2.2 Banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph selalu genap.

Bukti: Dari teorema 2.1, diketahui bahwa
n
X

d(vi ) = 2e

i=1

Jika verteks yang berdegree ganjil dan berdegree genap dipisahkan, maka persamaan diatas dapat dibentuk menjadi
n
X

d(vi ) =

i=1

Karena

Pn

i=1 d(vi )

X

d(vj ) +

even

adalah genap, dan

X

d(vk )

odd

P

even

d(vj ) juga genap, maka

P

odd d(vk )

juga suatu bilangan genap. Karena d(vk ) adalah ganjil, maka syarat agar jumlah
seluruh d(vk ) genap, banyaknya vk haruslah genap. Hal ini membuktikan bahwa
banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph selalu genap.
2.1.2 Walk, Path, dan Cycle
Diberikan graph G dengan verteks v dan w. Sebuah walk dengan panjang m
dari v ke w didefinisikan sebagai barisan edge dan dituliskan sebagai berikut:
(v0, v1), (v1v2 ), ..., (vm−1vm )
untuk m > 0, v0 = v dan vm = w. Sebuah walk biasa dinotasikan dengan v →w w
dan panjangnya dinotasikan dengan l(w).

Universitas Sumatera Utara

8
Sebuah trail dari v ke w adalah walk dari v ke w tanpa perulangan edge.
Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah trail tanpa perulangan verteks. Path
tertutup adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang sama. Sebuah
cycle merupakan sebuah path tertutup, dan sebuah loop merupakan sebuah cycle
dengan panjang 1.
Contoh 2.1.2: Sebagai contoh masing-masing untuk walk, trail, path, cycle, dan
loop dapat dilihat pada gambar berikut:

v1
s

v2 s
✓✏
v4 s
✒✑

s v3
✓✏
s v5
✒✑

Gambar 2.5 : (5,8) Graph

a. v1 → v3 → v5 → v3 → v2 → v4 disebut walk.
b. v1 → v2 → v3 → v5 → v2 → v4 disebut trail, walk tanpa perulangan edge.
c. v1 → v2 → v4 → v5 disebut path, walk tanpa perulangan edge dan verteks.
d. v1 → v2 → v4 → v5 → v3 → v1 disebut cycle, Karena adanya perulangan
pada verteks awal dan akhir disebut juga p
⁀ ath tertutup.
e. v1 → v1 dan v3 → v3 disebut loop, cycle dengan panjang 1. .

2.1.3 Subgraph
Suatu subgraph dari G adalah graph yang memiliki verteks dan edge yang
ada di G. Jika G dan T merupakan dua graph dengan himpunan verteks V (T ),
Universitas Sumatera Utara

9
V (G) dan himpunan edge E(T ) dan E(G) sehingga V (T ) ⊆ V (G) dan E(T ) ⊆
E(G), maka T disebut subgraph G atau G disebut supergraph T .
Contoh 2.1.3: Berikut diberikan representasi dari subgraph G.

v1 s

vs 2

s

v1 s

v3

G:

v2
s

s

v3

s

s

v6

T :
v4 s

s

v5

s

v6

v5

Gambar 2.6 : (G) Graph dan (T ) Subgraph

Berdasarkan definisi, dapat dikatakan bahwa:

1. Setiap graph merupakan subgraph itu sendiri.
2. Sebuah subgraph dari subgraph G merupakan subgraph G.
3. Sebuah verteks tunggal di G merupakan subgraph G.
4. Sebuah edge tunggal di G, bersama dengan verteks ujungnya, juga merupakan subgraph G.

2.1.4

Graph Terhubung, Graph Tidak Terhubung, dan Komponen
Diberikan graph G dengan v dan w merupakan dua verteks di G. Graph G

dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sebarang dua verteks v dan w
di G sedemikian hingga terdapat paling sedikit satu path dari v ke w. Selebihnya,
G dikatakan tidak terhubung.
Pada gambar 2.6 menunjukkan bahwa (a) adalah graph terhubung karena
terdapat path dari satu verteks ke verteks yang lainnya, dan (b) adalah graph
tak berhubung karena tidak terdapat path dari v1 ke v3 . Dari gambar 2.3 dapat
Universitas
Sumatera
Utara
kita lihat bahwa graph tersebut terdiri dari dua bagian. Bagian
pertama
adalah

10
verteks v1, v2 dengan edge v1v2 , sedangkan bagian kedua adalah verteks v3, v4, dan
v5, dengan edge v3v4 , v3v5 , dan v4v5. Masing-masing bagian ini disebut komponen.
Contoh 2.1.4: Berikut diberikan representasi dari 2 buah graph terhubung dan
tidak terhubung.
v5

v5

s

s

v1 s

v4 s

v8 v9
s

s

s

s

v6

v7

a

s

v2

v1 s

s

v2

s

v3

v4 s

s

v3

b

Gambar 2.7 : (a) Graph terhubung dan (b) Graph tak berhubung

Teorema 2.3 Suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika verteks
himpunan V dapat dibagi ke dalam dua komponen tak kosong, himpunan bagian
V1 dan V2 terpisah, sehingga tidak ada edge di G yang memiliki satu verteks ujung
di dalam himpunan bagian V1 begitu juga di himpunan bagian V2 .

Bukti: Andaikan komponen ada. Anggap dua sembarang verteks a dan b di G,
sehingga a ∈ V1 dan b ∈ V2 . Tidak ada path yang bisa diantara verteks a dan b;
sebaliknya terdapat paling sedikit satu edge dimiliki verteks ujung V1 dan lainnya
di V2 . Akibatnya jika komponen ada, G tidak terhubung.
Dan sebaliknya, andaikan G menjadi graph tidak terhubung. Anggap sebuah
verteks a di G. Andaikan V1 menjadi himpunan seluruh verteks yang dihubungkan
oleh path ke a. Karena G tidak terhubung, maka V1 tidak memasukkan semua
verteks G. Selebihnya verteks akan berbentuk(tak kosong) himpunan V2 . Tidak
ada verteks di V1 yang dihubungkan ke sebarang V2 dengan sebuah edge. Hal ini
berakibat adanya komponen.

Universitas Sumatera Utara

11
Teorema 2.4 Jika suatu graph memiliki tepat dua verteks berdegree ganjil, pasti
terdapat path yang menyertai dua verteks tersebut.

Bukti: Andaikan G sebuah graph dengan seluruh verteksnya berdegree genap kecuali verteks v1 dan v2, yang berdegree ganjil. Berdasarkan teorema 2.2, hal ini
berlaku untuk seluruh graph, oleh karenanya untuk setiap komponen graph tak
terhubung, tak ada graph yang bisa memiliki jumlah ganjil dari verteks ganjil.
Karenanya, di graph G v1 dan v2 harus berada pada komponen yang sama, akibatnya pasti ada path diantara mereka.

2.1.5 Bridge
Suatu edge vi vj pada graph G terhubung dikatakan bridge jika penghapusan edge
vivj mengakibatkan G menjadi tidak terhubung.
Contoh 1.1.5: Berikut diberikan representasi dari bridge.
v1
s

v4 s

v2
s

v6

s

v5

vs 7
sv8

s

v3
s

v9

Gambar 2.8 : Bridge

v3v5 merupakan bridge karena penghapusan edge v3v5 akan menyebabkan graph
menjadi tak terhubung.

2.2 Tree
Suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Untuk graph tak
terhubung dan tanpa cycle disebut forest. Suatu verteks tunggal juga termasuk
tree yang disebut trivial tree.

Universitas Sumatera Utara

12
Contoh 2.2a: Berikut diberikan representasi dari tree.

s

s
s

s
s

s

s
s

s

s
s

a

s
s
s

s

b

s
s

c

Gambar 2.9 : Tree

Teorema 2.5 Hanya ada satu path antara setiap pasangan verteks di tree T .

Bukti: Karena T terhubung, maka terdapat paling sedikit satu path diantara
semua pasangan verteks di T . Sekarang anggap bahwa diantara dua verteks a dan
b di T terdapat path yang berbeda. Penggabungan dari dua path yang berbeda
akan menghasilkan cycle, karenanya T bukanlah tree.
Sebaliknya,
Teorema 2.6 Jika pada graph G hanya ada satu path diantara setiap pasangan
verteks, maka G merupakan tree.
Bukti: Adanya path diantara setiap pasangan verteks menjamin bahwa G terhubung. Suatu cycle di G (dengan dua atau lebih verteks) secara tidak langsung
menyatakan bahwa terdapat paling sedikit satu pasangan verteks a, b sehingga
terdapat dua path yang berbeda antara a dan b. Karena G hanya memiliki satu
path diantara setiap pasangan verteks, maka G tidak bisa memiliki cycle. Oleh
karena itu, G merupakan tree.
Teorema 2.7 Suatu tree dengan n verteks memiliki n − 1 edge.
Bukti: Hasilnya akan diperlihatkan dengan induksi. Andaikan ek menjadi edge
Universitas
Sumatera
Utara
tidak ada
path lain
di T dengan verteks ujung vi dan vj , berdasarkan teorema 2.3,

13
diantara vi dan vj , kecuali ek . Oleh karenanya jika ek dihapus, maka T menjadi
graph tak terhubung. Selanjutnya, T − ek akan membentuk dua komponen, dan
karena tidak ada cycle di T , maka masing-masing komponen tersebut merupakan
tree. Kedua tree t1 dan t2 , masnning-masing memiliki lebih sedikit dari n verteks,
oleh karenanya dengan induksi, masing-masing memiliki edge lebih sedikit dari
jumlah verteks di dalamnya. Dengan demikian T − ek mengandung n − 2 edge.
Hal ini berakibat T memiliki tepat n − 1 edge.

Teorema 2.8 Untuk sebarang graph terhubung dengan n verteks dan n − 1 edge
merupakan tree.

Bukti: Berdasarkan definisi graph terhubung, terdapat paling sedikit satu path
di G, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara vi dan vj , kecuali ek ,
berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle.
karenanya berdasarkan teorema 2.5, suatu tree dengan n verteks memiliki n −
1 edge. Hal ini berakibat graph terhubung dengan n verteks dan n − 1 edge
merupakan tree.

Teorema 2.9 Suatu graph merupakan tree jika dan hanya jika terhubung.

Bukti: Andaikan graph G merupakan tree, berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Andaikan G tidak terhubung, maka
berdasarkan teorema 2.1 graph bukanlah tree. Hal ini berakibat bahwa untuk
graph yang merupakan tree, haruslah graph terhubung.

Teorema 2.10 Suatu graph G dengan n verteks, n − 1 edge, dan tanpa cycle
adalah terhubung.

Bukti: Andaikan bahwa ada sedikit cycle graph G dengan n verteks dan n − 1
Universitas
Utara
edge yang tak terhubung. Pada kasus ini, G akan mengandung
duaSumatera
atau lebih

14
sedikit komponen cycle. Tanpa kehilangan sifat umumnya, andaikan G memiliki
komponen g1 dan g2 . Lalu tambahkan sebuah edge e dintara suatu verteks v1 di g1 ,
dan v2 di g2 . Karena tidak ada path diantara v1 dan v2 di G, tambahkan e tanpa
membentuk cycle. Dengan demikian G ∪ e memiliki cycle sedikit, graph terhubung
dari n verteks dan n edge, yang tidak mungkin trejadi. Hal ini berakibat graph G
dengan n verteks, n − 1 edge, dan tanpa cycle adalah terhubung.
Berdasarkan teorema-teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa suatu graph
G dengan n verteks disebut tree, jika:

1. G terhubung dan tanpa cycle, atau
2. G terhubung dan memiliki n − 1 edge, atau
3. G tanpa cycle dan memiliki n − 1 edge, atau
4. Tepat terdapat satu path diantara setiap pasangan verteks di G, atau
5. G paling tidak merupakan graph terhubung.

2.2.1 Verteks Ujung dalam Tree
Verteks ujung merupakan verteks dengan jumlah degree adalah 1.

Teorema 2.11 Pada sebarang tree (dengan dua atau lebih verteks), terdapat paling sedikit dua verteks ujung.

Bukti: Karena tree yang memiliki n verteks dan n − 1 edge, maka 2(n − 1) degree
terbagi diantara n verteks. Karenanya tidak akan bisa ada verteks yang tidak
memiliki degree, paling tidak harus memiliki dua verteks yang berdegree 1 dalam
degree. Tentu saja ini hanya berlaku jika n ≥ 2.
2.2.2 Spanning tree
Suatu tree T dikatakan spanning tree dari graph G terhubung, jika T adalah suatu

Universitas Sumatera Utara

15
subgraph G dan T mengandung seluruh verteks G. Dengan kata lain, T dikatakan
spanning tree jika T terhubung, mengandung n verteks G dan n − 1 edge.
Contoh 2.2.2: Berikut diberikan representasi dari spanning tree.
s

s

s

G:

s

s

s

T1 :
s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

T2 :

T3 :
s

s

s

Gambar 2.10 : Spanning tree dari G

Dari gambar 2.9, untuk (6,7) graph menghasilkan spanning tree dengan 6
verteks dan 5 edge. Untuk menemukan spanning tree dari graph G terhubung
dapat dilakukan dengan cara yang sederhana. Jika G tidak memiliki cycle, maka
G merupakan spanning tree itu sendiri. Jika G memiliki cycle maka hapus semua
edge yang membentuk cycle, dengan G masih terhubung.

Proposisi 2.12
Setiap graph terhubung memiliki paling sedikit satu spanning tree.

Bukti: Andaikan G adalah suatu graph terhubung. Jika G bebas cycle, maka G
itu sendiri merupakan spanning tree. Jika tidak, G memiliki paling sedikit satu
cycle C1. Dengan teorema 1.8 subgraph G tetap terhubung meski satu edge C1
dihapus. Jika subgraph bebas cycle, maka subgraph tersebut merupakan spanning
tree. Jika tidak, maka paling sedikit ada satu cycle di C2, dan seperti sebelumnya,
hapus edge di C2 untuk memperoleh spanning tree. Jika tidak, lakukan seperti
sebelummya hingga diperoleh subgraph T dari G yang terhubung dan bebas cycle.
Universitas
Sumatera
Utara
T juga mengandung seluruh verteks G karena tidak ada verteks
di G yang
dihapus.

16
Oleh karenanya T merupakan spanning tree untuk G.

2.3 Degree Constrained Minimum Spanning Tree
Andaikan G merupakan graph terhubung, T merupakan subgraph dari G, dT (vi )
merupakan degree dari verteks vi yang ada di T , dan bi merupakan batasan degree
di T . Degree constrained spanning tree T adalah menemukan spanning tree T di
G, sehingga dT (vi ) ≤ bi , untuk setiap verteks vi di T .
Contoh 1.2.4 Berikut diberikan graph G dimana T merupakan DCST dari G.
s

s

s

s

s

s

s

s

T1 :
s

s

s

G

dT (vi) ≤ 2

s

s

s

T2 :

s

s

T3 :
s

s

dT (vi) ≤ 3

s

s

dT (vi ) ≤ 4

Gambar 2.11 : DCST dari G
Andaikan G = (V, E) adalah suatu graph berbobot terhubung tak berarah dimana V = {v1 , v2, ..., vn} adalah himpunan verteks dan E = {e1, e2, ..., em} himpunan edge di G. Andaikan W = {w1 , w2, ..., wm} mewakili bobot dari setiap
edge, dimana bobot merupakan bilangan real nonnegatif. Subgraph dari G bisa
dideskripsikan menggunakan vektor X = {x1, x2, ..., xm}, dimana setiap element

Universitas Sumatera Utara

17
xi didefenisikan oleh:
xi =




1, jika edge terpilih



0, jika tidak terpilih.
Andaikan T menjadi subgraph G, T dikatakan spanning tree dari G jika T
terhubung, mengandung seluruh verteks G, dan tidak cycle. Kemudian anggap
d(vi ) degree dari verteks vi di G dan K(vi ) himpunan degree pada G serta bi
merupakan batasan degree dT (vi) di T , permasalahan degree constrained minimum
spanning tree dapat diformulasikan ke dalam program integer sebagai berikut:
Fungsi Tujuan:
Min

z(x) =

m
X

wi xi

i=1

Kendala:
m
X

xi = |V | − 1

(1)

i=1

m
X

xi ≤ |N| − 1,

∀N ⊂ V, |N | ≥ 3

(2)

i=1

X

xi ≤ bi , 1 ≤ bi ≤ |V | − 1, i = 1, 2, ..., n

(3)

xi ∈K(vi )

xi ∈ {0, 1},

xi ∈ E

(4)

Dari formulasi diatas, kendala pertama menyatakan bahwa hanya ada n − 1
edge yang terpilih, karenanya kendala kedua menjamin bahwa edge yang diperoleh akan menghubungkan seluruh verteks tanpa terjadi cycle, sedangkan kendala
ketiga merupakan batas degree yang dikehendaki.
Untuk menyelesaikan DCMST yang diformulasikan diatas, maka untuk graph


lengkap akan ada 2n − 1 − n2 kendala. Bagaimanapun, untuk n = 30, cara
ini sangat tidak praktis. Misalnya untuk graph lengkap dengan 30 verteks akan


Universitas
Utara
∼
kendalaSumatera
yang ada
ada 230 − 1 − 30
= 1, 07 × 109 kendala. Jika untuk setiap
2

18
dapat ditemukan dalam sepersepuluh detik, maka paling tidak akan dibutuhkan
waktu 3,4 tahun untuk dapat menuliskan seluruh kendala sebelum perhitungan
dilakukan.
Pada dasarnya persoalan DCMST merupakan perkembangan dari permasalahan minimum spanning tree dengan syarat memenuhi batasan degree yang diberikan.
Karenanya algoritma yang biasa digunakan untuk menyelesaikan minimum spanning tree dapat pula digunakan untuk menyelesaikan permasalahan DCMST. Salah
satunya adalah algoritma Kruskal. Ning, Ma, dan Xiong (2008) menggunakan
algoritma Kruskal untuk menyelesaikan permasalahan DCMST dengan terlebih
dahulu menggunakan teknik reduksi untuk mengurangi ukuran graph dengan cara
menghilangkan edge yang dianggap tidak perlu.
Algoritma Kruskal pertama kali diperkenalkan pada tahun 1956 oleh Joseph
Kruskal untuk menyelesaikan minimum spanning tree. Algoritma Kruskal ditulis
kembali pada tahun 1957 oleh Loberman dan Weinberger, namun pencantuman
nama mereka ditolak (Erickson, 2011).
Pada algoritma Kruskal, awalnya seluruh edge diurutkan mulai bobot terkecil
hingga terbesar. Lalu pemilihan edge dimulai dari bobot yang terkecil tersebut.
Seluruh verteks vi yang ada di G dimasukkan ke T tanpa memasukkan edge,
dengan kata lain pada awalnya tidak ada edge di T . Karena pemilihan edge
berdasarkan nilai dari bobot setiap edge, maka pada prosesnya akan dihasilkan
beberapa tree (forest). Untuk setiap edge (vj , vk ) yang telah terurut dilakukan
hal berikut, jika verteks vj dan vk berada pada dua tree yang berbeda, maka
tambahkan (vj , vk ) ke forest, kombinasikan dua tree ke dalam tree tunggal. Proses
dihentikan jika edge (vj , vk ) tepat berjumlah |V | − 1.

Universitas Sumatera Utara

19
Berikut diberikan algoritma Kruskal(Erickson, 2011):
KRUSKAL (V , E):
Mulai:
1. Urutkan ei ∈ E berdasarkan ukuran bobot
2. T ← (V, ∅)
3. untuk setiap verteks vi ∈ V
MASUKKANHIMPUNAN(V )
4. untuk i←1 ke |E|
a. (vj , vk ) ← tandai edge ke i di E
b. jika PENEMUAN(vj )6= PENEMUAN(vk )
GABUNGKAN(vj , vk )
tambahkan (vj , vk ) ke T
c. jika |(vj , vk )| = |V | − 1
hasil T

Akhir
Waktu terburuk yang diperlukan algoritma Kruskal untuk melakukan proses
dari tahap awal hingga menghasilkan minimum spanning tree adalah O(E log V ).

Teorema 2.13 Untuk graph G berbobot terhubung, algoritma Kruskal menghasilkan minimum spanning tree.

Bukti: Andaikan G graph berbobot terhubung dengan p edge, dan andaikan T
subgraph yang dihasilkan oleh algoritma Kruskal. Pasti, T merupakan spanning
tree G (karenanya memiliki p − 1 edge), katakanlah:
E(T ) = {e1, e2, ..., ep−1}.
dimana w(e1 ) ≤ w(e2 ) ≤ ... ≤ w(ep−1 ). Sehingga bobot T adalah:
w(T ) =

p−1
X
i=1

w(ei ).

Universitas Sumatera Utara

20
Andaikan sebaliknya, bahwa T bukan merupakan minimum spanning tree. Maka
di G masih terdapat minimum spanning tree, pilih salah satu, katakanlah H yang
memiliki jumlah edge paling mirip dengan T . Ini berarti tree H dan T tidak
identik. Jadi, terdapat paling sedikit satu edge di T yang tidak ada di H. Andaikan
ei (1 ≤ i ≤ p − 1) menjadi edge pertama T yang tidak di H, dan definisikan
G0 = H + ei, maka G0 memiliki tepat satu cycle C. Karena T tidak cycle, maka
terdapat e0 di C yang tidak ada di T . Graph T0 = G0 − e0 juga spanning tree di
G dan
w(T0) = w(H) + w(ei ) − w(e0)
Karena w(H) ≤ w(T0 ), maka w(e0) ≤ w(ei ). Oleh algoritma Kruskal, ei merupakan edge dengan bobot paling minimum sehingga h{e1 , e2, ..., ei−1} ∪ {ei }i tidak
cycle. Bagaimanapun h{e1 , e2, ..., ei−1, e0}i adalah subgraph H dan tidak cycle,
sehingga w(ei ) = w(e0 ). Hal ini berakibat w(T0 ) = w(H), yang secara tidak
langsung menyatakan bahwa T0 juga minimum spanning tree G. Akan tetapi T0
memiliki lebih banyak edge yang sama dengan T daripada H dengan T , yang
.

kontradiksi dengan asumsi.

Karena permasalahan dari DCMST merupakan permasalahan menemukan
spanning tree T di G dengan total panjang edge minimum dan degree dari setiap
verteks memenuhi batas maksimum yang diberikan, maka untuk menyelesaikan
DCMST dengan algoritma Kruskal perlu dilakukan modifikasi.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
ALGORITMA UNTUK DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE

Pada bab ini akan diperlihatkan pemodifikasian algoritma Kruskal sehingga dapat
diterapkan untuk menyelesaikan degree constrained minimum spanning tree.
3.1 Algoritma untuk Degree Constrained Minimum Spanning Tree
Permasalahan degree constrained minimum spanning tree secara sederhana dapat
dijelaskan sebagai berikut, diberikan graph G berbobot terhubung tak berarah,
temukan spanning tree T dengan total edge minimal dan d(vi ) ≤ bi , untuk setiap
verteks vi di T .
Berikut diberikan algoritma Kruskal sebelum dilakukan pemodifikasian.
KRUSKAL (V , E):
Mulai:
1. Urutkan ei ∈ E berdasarkan ukuran bobot
2. T ← (V, ∅)
untuk setiap verteks vi ∈ V
MASUKKANHIMPUNAN(V )
3. untuk i←1 ke |E|
a. (vj , vk ) ← tandai edge ke i di E
b. jika PENEMUAN(vj )6= PENEMUAN(vk )
GABUNGKAN(vj , vk )
tambahkan (vj , vk ) ke T
c. jika |(vj , vk )| = |V | − 1
hasil T

Akhir

Universitas Sumatera Utara

22
Penjelasan:
Berikut penjelasan dari algoritma Kruskal diatas.

1. Seluruh edge ei yang ada di E diurutkan berdasarkan nilai bobot, dimana
w(e1) ≤ w(e2) ≤ ... ≤ w(em ).
2. Seluruh verteks vi di V dimasukkan ke T .
3. Untuk edge awal di T merupakan edge dengan nilai bobot paling minimum.
a. Untuk edge vj , vk selanjutnya yang akan dimasukkan ke T , periksa vj vk
terlebih dahulu, jika verteks vj tidak berada dalam tree yang sama dengan verteks vk (edge vj vk tidak membentuk cycle), maka gabungkan
edge vj vk , lalu tambahkan vj vk ke T .
b. Jika jumlah edge yang ada di T = |V | − 1, maka hentikan pencarian
edge vj , vk karena sudah menghasilkan minimum spanning tree T

Permasalahan degree constrained minimum spanning tree pada graph G terhubung tak berarah merupakan permasalahan menemukan spanning tree T di G
dengan total panjang edge yang minimum dan degree setiap verteks vi di T memenuhi bi yang diberikan (dT (vi ) ≤ bi). Karena adanya pembatasan degree dari
setiap verteks vi di T , untuk memodifikasi algoritma Kruskal ada beberapa hal
yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Pembatasan degree vi di T , untuk kasus tertentu pada graph G yang memiliki
beberapa bridge, menyebabkan T tidak dapat ditemukan. Untuk itu, semua
edge vj , vk yang merupakan brige harus dimasukkan kedalam T .
2. Suatu edge vj , vk diterima pada T jika vj , vk tidak membentuk cycle dengan
edge terdahulu yang ada di T dan (dT (vj ) ≤ bj ) dan (dT (vk ) ≤ bk ).

Universitas
Sumatera
Utara DCMST.
Untuk hasil modifikasi algoritma Kruskal tersebut dinamakan
algoritma
Kruskal

23
Berikut diberikan algoritma Kruskal DCMST:
KRUSKAL DCMST (V , E), d(vi ) ≤ bi :
Mulai:
1. T ← (V, ∅)
untuk setiap verteks vi ∈ V
MASUKKANHIMPUNAN(vi )
2. ∀(vj , vk ) ∈ E yang merupakan bridge
tambahkan (vj , vk ) ke T
3. Urutkan ei ∈ E yang bukan bridge berdasarkan bobot
4. a. (vj , vk ) ← tandai edge ke i di E
b. jika PENEMUAN(vj ) 6= PENEMUAN(vk ) dan (dT (vj ) ≤ bj ,dT (vk ) ≤ bk )
GABUNGKAN(vj , vk )
tambahkan (vj , vk ) ke T
c. jika |(vj , vk )| = |V | − 1
hasil T

Akhir
Penjelasan:

1. Seluruh verteks vi di V dimasukkan ke T .
2. Masukkan semua edge vj , vk ∈ E yang merupakan bridge di G.
3. Urutkan edge ei ∈ E yang bukan bridge berdasarkan nilai bobot, dimana
w(e1) ≤ w(e2) ≤ ... ≤ w(em ).
4. Pilih edge vj , vk dengan nilai bobot paling minimum.
a. Untuk edge vj , vk selanjutnya yang akan dimasukkan ke T , periksa vj , vk
terlebih dahulu, jika verteks vj tidak sama dengan verteks vk (edge
vj , vk tidak membentuk cycle) dan degree verteks vj di T memenuhi
bk (dTSumatera
(vk ) ≤ bkUtara
),
bj (dT (vj ) ≤ bj ) serta degree verteks vk di T memenuhi
Universitas

24
maka gabungkan edge vj , vk , lalu tambahkan vj , vk ke T .
b. Jika jumlah edge yang ada di T = |V |−1, maka hentikan pencarian edge
vj , vk karena sudah menghasilkan degree constrained minimum spanning
tree T

Waktu terburuk yang diperlukan oleh algoritma Kruskal untuk melakukan
proses dari tahap awal hingga menghasilkan degree constrained minimum spanning
tree adalah O(E log V ).
3.1.1 Hasil Percobaan dan Analisis .
Contoh 3.1: Berikut diberikan graph G = (8, 17). Temukan spanning tree T
dengan total panjang edge yang minimal dan degree dari setiap verteks tidak lebih
dari 3, (1 ≤ bi ≤ 3).

12

v2

✈

4

7
v3

v1 ✈

5
10

6
5
9

✈

✈

4
6

v4

8

9

7

✈

8

v5

✈

10

✈ v8

v6

7

12
✈

v7

Gambar 3.1 : Graph G

Analisis:
a. Dengan Program Integer 0-1
Seperti yang telah disinggung pada Bab 2, bahwa untuk menyelesaikan DCMST
bisa dilakukan dengan terlebih dahulu memodelkan graph G ke dalam program integer 0,1, dimana setiap edge bisa dianggap sebagai sebuah vektor X = {x1, ..., xn},
Universitas Sumatera Utara

25
dimana setiap element xi didefinisikan oleh:



1, jika edge terpilih
xi =


0, jika tidak terpilih.
Adapun bentuk umum pemodelan DCMST adalah sebagai berikut:
Fungsi Tujuan:
Min

z(x) =

m
X

wi xi

i=1

Kendala:
m
X

xi = |V | − 1

(1)

i=1

m
X

xi ≤ |N| − 1,

∀N ⊂ V, |N | ≥ 3

(2)

i=1

X

xi ≤ bi , 1 ≤ bi ≤ |V | − 1, i = 1, 2, ..., n

(3)

xi ∈K(vi )

xi ∈ {0, 1},

xi ∈ E

(4)

maka bentuk persoalan pada graph G adalah:
Fungsi Tujuan:
Min

z(x) = 4x1 + 5x2 + 10x3 + 7x4 + 12x5 + 6x6 + 8x7 + 7x8 + 5x9 + 4x10 + 9x11 +

6x12 + 9x13 + 8x14 + 7x15 + 10x16 + 12x17
Kendala:

• Untuk

Pm

i=1 xi

= |V | − 1

4x1 + 5x2 + 10x3 + 7x4 + 12x5 + 6x6 + 8x7 + 7x8 + 5x9 + 4x10 + 9x11 +
6x12 + 9x13 + 8x14 + 7x15 + 10x16 + 12x17 = 7
• Untuk

Pm

i=1 xi

≤ |N| − 1, ∀N ⊂ V, |N | ≥ 3 (Terbentuknya cycle)

1. Untuk edge yang menghubungkan 3 verteks
x2 + x3 + x7 ≤ 2
x1 + x2 + x4 ≤ 2

Universitas Sumatera Utara

26
x4 + x5 + x8 ≤ 2
x4 + x8 + x9 ≤ 2
x5 + x8 + x13 ≤ 2
x8 + x9 + x13 ≤ 2
x7 + x10 + x12 ≤ 2
x7 + x9 + x11 ≤ 2
x9 + x10 + x15 ≤ 2
x11 + x12 + x15 ≤ 2
x13 + x14 + x16 ≤ 2
x13 + x16 + x17 ≤ 2

2. Untuk edge yang menghubungkan 4 verteks
x4 + x5 + x6 + x8 + x9 + x13 ≤ 3
x7 + x9 + x10 + x11 + x12 + x15 ≤ 3
x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≤ 3
x13 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 3
x1 + x2 + x4 + x6 + x9 ≤ 3
x8 + x9 + x13 + x14 + x16 ≤ 3
x9 + x10 + x15 + x16 + x17 ≤ 3
x4 + x6 + x7 + x9 + x1 1 ≤ 3
x8 + x9 + x10 + x13 + x15 ≤ 3
x11 + x12 + x16 + x17 ≤ 3
x5 + x6 + x14 + x16 ≤ 3
x1 + x2 + x5 + x8 ≤ 3
x2 + x3 + x10 + x12 ≤ 3
x4 + x6 + x10 + x15 ≤ 3
x7 + x8 + x11 + x13 ≤ 3
x8 + x10 + x14 + x17 ≤ 3
x1 + x3 + x6 + x11 ≤ 3

Universitas Sumatera Utara

27
x2 + x3 + x7 + x9 + x11 ≤ 3

3. Untuk edge yang menghubungkan 5 verteks
x1 + x2 + x3 + x4 + x6 + x7 + x9 + x11 ≤ 4
x6 + x9 + x10 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 4
x4 + x5 + x6 + x8 + x9 + x10 + x13 + x15 ≤ 4
x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x11 + x13 ≤ 4
x4 + x6 + x7 + x9 + x10 + x11 + x15 ≤ 4
x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x15 ≤ 4
x1 + x2 + x5 + x6 + x8 + x9 + x13 ≤ 4
x4 + x5 + x6 + x8 + x9 + x13 + x14 + x16 ≤ 4
x2 + x3 + x7 + x9 + x10 + x11 + x12 + x15 ≤ 4
x7 + x9 + x10 + x11 + x12 + x15 + x16 + x17 ≤ 4
x4 + x5 + x7 + x8 + x10 + x12 ≤ 4
x5 + x6 + x11 + x12 + x13 ≤ 4

4. Untuk edge yang menghubungkan 6 verteks
x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x15 ≤ 5
x1 + x2 + x4 + x5 + x6 + x8 + x9 + x13 + x14 + x16 ≤ 5
x2 + x3 + x7 + x9 + x10 + x11 + x12 + x15 + x16 + x17 ≤ 5
x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x14 + x15 + x16 ≤ 5
x1 + x2 + x3 + x4 + x6 + x7 + x9 + x10 + x11 + x12 + x15 ≤ 5
x4 + x5 + x6 + x8 + x9 + x10 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 5
x1 + x2 + x3 + x12 + x14 + x17 ≤ 5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x13 ≤ 5
x5 + x6 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x7 + x8 + x10 + x12 ≤ 5
Universitas Sumatera Utara

28
5. Untuk edge yang menghubungkan 7 verteks
x4 +x5 +x6 +x7 +x8 +x9 +x10 +x11 +x12 +x1 3+x1 4+x1 5+x1 6+x1 7 ≤ 6
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x1 0 + x1 1 + x12 + x13 + x15 ≤ 6
x2 + x3 + x4 + x7 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 6
x1 + x2 + x3 + x4 + x6 + x7 + x10 + x11 + x12 + x15 + x16 + x17 ≤ 6
x1 + x2 + x3 + x4 + x6 + x7 + x8 + x9 + x11 + x13 + x14 + x15 + x16 ≤ 6
x1 + x2 + x4 + 5x+ x6 + x8 + x10 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 6
x1 + x3 + x5 + x6 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 ≤ 6
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x7 + x8 + x10 + x12 + x14 + x17 ≤ 6

6. Untuk edge yang menghubungkan 8 verteks
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 +
x15 + x16 + x17 ≤ 7

• Untuk edge yang merupakan degree dari verteks vi ,
X

xi ≤ bi , 1 ≤ bi ≤ |V | − 1, i = 1, 2, ..., n

xi ∈K(vi )

.
x1 + x2 + x3 ≤ 3
x10 + x15 + x17 ≤ 3
x1 + x4 + x5 + x6 ≤ 3
x2 + x4 + x7 + x8 + x9 + x10 ≤ 3
x3 + x7 + x11 + x12 ≤ 3
x5 + x8 + x13 + x14 ≤ 3
x6 + x9 + x11 + x13 + x15 + x16 ≤ 3
x14 + x16 + x17 ≤ 3
x1 + x2 + x3 ≥ 1
x10 + x15 + x17 ≥ 1
x1 + x4 + x5 + x6 ≥ 1

Universitas Sumatera Utara

29
x2 + x4 + x7 + x8 + x9 + x10 ≥ 1
x3 + x7 + x11 + x12 ≥ 1
x5 + x8 + x13 + x14 ≥ 1
x6 + x9 + x11 + x13 + x15 + x16 ≥ 1
x14 + x16 + x17 ≥ 1

Dengan menggunakan bantuan program LINDO versi 6.1 diperoleh jumlah seluruh
bobot adalah 44 dengan edge v1v2 , v1v4, v3v5 , v3v6, v3v7, v4 v7, dan v5v8.

tv

v5 t

v3

v6

2

t

v1

t

v4

t

v7

t

v8

t

t

Gambar 3.2 : Hasil Program Integer 0-1 untuk DCMST

b. Dengan Algoritma Kruskal DCMST
Dari graph G = (8, 17). Berikut langkah-langkah algoritma Kruskal DCMST untuk menyelesaikan DCMST pada graph G.

1. Masukkan seluruh verteks vi ∈ V kedalam T , T = (V, ∅)
2. Karena tidak ada edge vj , vk yang merupakan bridge, lakukan tahap selanjutnya.
3. Urutkan edge ei ∈ E berdasarkan nilai bobot, dimana w(e1 ) ≤ w(e2) ≤ ... ≤
w(em )
a. Pilih v1 v2, karena v1 v2 adalah e1 = 4, edge paling minimal di E.
b. Pilih e2 = 4, yaitu v3v7 .

Universitas Sumatera Utara

30

12 = e16

v2

v5

②

②

4 = e1

6 = e6

7 = e7
②

5 = e3

9 = e12

7 = e9

v3
v1

8 = e14

②

5 = e4

②

v8

v6

8 = e10

10 = e14

10 = e15

②

7 = e8
4 = e2

12 = e17

9 = e13
②

6 = e5

v4

②

v7
Gambar 3.3 : Graph G

c. Pilih e3 = 5, yaitu v1v3
d. Pilih e4 = 5, yaitu v3v6
e. Pilih e6 = 7, yaitu v4v7 , karena jika edge e5 dimasukkan akan terjadi
cycle.
f. Pilih e11 = 8, yaitu v5 v8, karena jika dimasukkan e7 , e9, e10 akan terjadi
cycle. Sedangkan e8 meski tidak membentuk cycle, e8, yaitu v3v5 tidak
memenuhi batasan degree yang dikehendaki karena jumlah dT v3 = 3,
sudah memenuhi batas maksimum (dT v3 ≤ 3).
g. Pilih e13 = 9, yaitu v5 v6, karena e13 jika dimasukkan akan terjadi cycle.
Karena edge telah diperoleh 7 edge, maka pemilihan edge dihentikan.
Diperoleh spanning tree T memenuhi syarat degree (1 ≤ bi ≤ 3), dengan
total jumlah panjang edge adalah 41.

Untuk lebih jelasnya, langkah-langkah tersebut dapat dilihat pada gambar
berikut:

Universitas Sumatera Utara

31
Contoh 3.2: Langkah-langkah algoritma KruskalDCMST:

v1
t

tv

2

v5 t

t v3

v6 t

tv4

v7 t

v8

t

t

v1

t v2

v5 t

t v3

v6 t

t v4

v7 t

T = (V, ∅)

t

v1

2

v5 t

t v3

v6 t
v7

v8

t

t

v1

t

t v2

v5 t

t v3

v6 t

t

v1

v5 t

v3

v6

tv4

v7

Pilih v3v6

v8

t

t

Pilih v1v3

tv
t

v7

t v4

Pilih v3v7

2

t

Pilih v1v2

tv

tv4

v8

t
t

t v2

v8

t

t

v1

t
t

v5 t

v3

v6

v4

v7

t
t

Pilih v4v7

Universitas Sumatera Utara

v8

t

32

tv

v5 t

v3

v6

2

t

v1

t

v4

t

v7

t

t v2

v8

t

t

Pilih v5v8

t

v1

t
t

v5 t

v3

v6

v4

v7

t
t

Pilih v5v6

Gambar 3.4 : Hasil Algoritma Kruskal DCMST

Dari sini dapat dilihat bahwa dengan menggunakan algoritma Kruskal DCMST
diperoleh jumlah bobot(41) lebih minimum daripada dengan menggunakan LINDO versi 6.1 (44), karenanya penggunaan algoritma Kruskal untuk menyelesaikan
DCMST adalah layak untuk dipergunakan.

Universitas Sumatera Utara

v8

t

BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian pada
bab sebelumnya. Selanjutnya akan diberikan saran untuk penelitian lebih lanjut.
4.1 Kesimpulan
Permasalahan degree constrained minimum spanning tree pada graph G terhubung
tak berarah merupakan permasalahan menemukan spanning tree T di G dengan
total panjang edge yang minimum dan degree setiap verteks vi di T memenuhi
bi yang diberikan (dT (vi) ≤ bi ). Karena adanya pembatasan degree dari setiap
verteks vi di T , untuk memodifikasi algoritma Kruskal ada beberapa hal yang
perlu diperhatikan, yaitu:
1. Pembatasan degree vi di T , untuk kasus tertentu pada graph G yang memiliki
beberapa bridge, menyebabkan T tidak dapat ditemukan. Untuk itu, semua
edge vj , vk yang merupakan brige harus dimasukkan kedalam T .
2. Untuk edge vj , vk selanjutnya yang akan dimasukkan ke T , periksa vj , vk
terlebih dahulu, jika verteks vj tidak berada pada tree yang sama dengan
verteks vk (edge vj , vk tidak membentuk cycle) dan degree verteks vj di T
memenuhi bj (dT (vj ) ≤ bj ) serta degree verteks vk di T memenuhi bk (dT (vk ) ≤
bk ), maka gabungkan edge vj , vk , lalu tambahkan vj , vk ke T .
Untuk mengetahui keoptimalan dari algoritma Kruskal DCMST, dilakukan
perbandingan dengan menggunakan program LINDO versi 6.1. Pada kasus yang
diberikan diperoleh hasil yang lebih minimum pada algoritma tersebut. Sehingga
algoritma Kruskal DCMST cukup layak untuk menyelesaikan permasalahan degree
constrained minimum spanning tree (DCMST).

Universitas Sumatera Utara

34
4.2 Saran
Penelitian ini telah menyelesaikan degree constrained minimum spanning tree dengan menggunakan algoritma Kruskal yang telah dimodifikasi. Namun, belum
dapat dipastikan apakah algoritma Kruskal DCMST cukup efisien untuk n berukuran cukup besar . Dibutuhkan penelitian lebih lanjut untuk menyelesaikan degree
constrained minimum spanning tree dengan metode lain yang mungkin lebih efektif
dan efisien.

Universitas Sumatera Utara

35
DAFTAR PUSTAKA

Vasudev C. 2006. Graph Theory with Applications. New Delhi: New age international publisher.
Deo N. 1986. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer
Science. New Delhi: Prentice Hall of India.
Wu B.Y dan Chao K.M. 2004. Spanning Tree and Optimization Problems.
Chapman and Hall/CR