Persoalan Degree Constrained Minimum Spanning Tree

Judul Tesis

: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED
MINIMUM SPANNING TREE
Nama Mahasiswa : Maruli Hutapea
Nomor Pokok
: 117021037
Program Studi
: Magister Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua

(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc)
Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 04 Juni 2013

Telah diuji pada
Tanggal 04 Juni 2013

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

Anggota

: 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang

3. Prof. Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, Juni 2013
Penulis,
Maruli Hutapea

i

ABSTRAK
Dalam menyelesaikan persoalan degree constrained minimum spanning tree pada

graph G(V, E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum
dan degree dari setiap verteks vi di T dibatasi oleh bi dimana dT (vi) ≤ bi . Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan memodifikasi algoritma kruskal, dimana sebuah edge diterima
di T, jika edge tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T
dan verteks-verteks ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan,
yaitu dT (vj ) ≤ bj dan dT (vk ) ≤ bk .
Kata Kunci : Graph, Degree constrained, Spanning tree

ii

ABSTRACT
The degree constrained minimum spanning tree (DCMST) on undirected weighted
connected graph G(V,E) is a problem to fins a spanning tree T in G with whose
total edge length is minimal and the degree of each vertex vi in T at most a given
value bi where dT (vi ) ≤ bi . For solving this problem, we modified kruskal algorithm,
an edge received in T, if an edge did not produce any cycle with preceding edge
in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees that
dT (vj ) ≤ bj and dT (vk ) ≤ bk .
Keywords: Graph, Degree constrained, Spanning tree

iii

KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan
berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada
Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan
dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan
hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang
telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi
Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Utama yang
telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang
telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis
dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah
banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembanding Kedua yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

iv

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Alm. Paimin Hutapea dan Ibunda Sumiantauli br Simanjuntak yang telah mencurahkan kasih
sayang dan dukungan kepada penulis, kepada adik-adik Mawarni Hutapea,
Megawati Hutapea serta Istri Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd dan
anak-anak Olivia Hutapea dan David Hutapea yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Kepada Pemerintah Provinsi Sumatera Utara (Pemprovsu) atas bantuan dalam peningkatan pendidikan kualitas guru untuk Daerah Sumatera Utara dalam
memberikan Beasiswa Pemprovsu. Dr. Hamonangan Nainggolan, M.Sc dan
seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan
moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih
atas semua bantuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh

dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak
lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.

Medan,
Penulis,
Maruli Hutapea

v

RIWAYAT HIDUP
Maruli Hutapea dilahirkan di Lawe Perbunga (Aceh Tenggara) pada tanggal
22 desember 1974 dari pasangan Bapak Alm. Paimin Hutapea & Ibu Sumiantauli
br Simanjuntak dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1989 di SD negeri dikabupaten
langkat, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 binjai pada tahun
1992, Sekolah Menengah Atas (SMA) Sw eka prasetya, kota Medan pada tahun
1995. Menamatkan kuliah S-1 dari UNIMED dikota medan tahun 2000. Dan
mendapat gelar sarjana pendikan (S.Pd). Menikah dengan Netty Saulina br
Lumbangaol S.Pd, bulan juli tahun 2001 dan dikarunia dua anak yaitu Olivia
Hutapea dan David Hutapea.
Pengalaman mengajar pertama sekali di sekolah yayasan perguruan eka

prasetya pada tahun 1999 bulan juli pada unit sekolah SMP, pada tahun 2003
mengajar di SMK-BM (SMEA) dan menjadi guru bantu yang dibiayai dari dana
APBN, disekolah SMK-BM (SMEA) Eka Prasetya yang terletak di wilayah Deli
Serdang. Pada tahun 2006 menjadi PNS di SMA Negeri 1 sunggal sampai sekarang.
Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca
sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman
belajar yang sangat berharga.

vi

DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN

i

ABSTRAK

ii

ABSTRACT

iii

KATA PENGANTAR

iv

RIWAYAT HIDUP

vi

DAFTAR ISI

vii

DAFTAR GAMBAR

ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

2

1.3 Tujuan Penelitian

2

1.4 Manfaat Penelitian

2

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA

3

2.1 Graph

3

2.1.1 Definisi graph

3

2.1.2 Konsep dasar graph

3

2.1.3 Incident dan degree

5

2.1.4 Graph bipartie

6

2.1.5 Walk, path, dan cycle

6

2.1.6 Subgraph

8

2.1.7 Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen

8

2.1.8 Jembatan

10
vii

2.2 Degree

11

2.3 Tree

11

2.3.1 Verteks ujung dalam tree

14

2.3.2 Sisi Pemotong

14

2.4 Spanning Tree

15

2.4.1 Jarak spanning tree (distance of spanning tree)
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

16
18

3.1 Degree Constrained Minimum Spanning Tree

18

3.2 Modifikasi DCMST dengan Metode Algoritma Kruskal

20

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

28

4.1 Kesimpulan

28

4.2 Saran

28

DAFTAR PUSTAKA

29

viii

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

2.1

Graph

4

2.2

Graph berbobot

4

2.3

(a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana

5

2.4

Verteks ujung dan verteks terisolasi

5

2.5

Graph

7

2.6

(G) graph dan (T) subgraph

8

2.7

(a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung

9

2.8

Bridge

10

2.9

Tree

12

2.10 Spanning tree dari G

15

3.1

Degree constrained minimum spanning tree dari G

19

3.2

Graf berbobot

24

3.3

Edge dari bobot terkecil

25

ix

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Minimum spanning tree merupakan sebuah permasalahan dalam suatu graph
yang aplikasinya baik secara langsung maupun tidak langsung yang telah dipelajari. Salah satu contoh dalam kehidupan sehari-hari, banyak diantaranya dapat
dipresentasikan secara grafik terdiri atas titik-titik dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut. Misalnya, titik-titik tersebut mewakili kota, dengan
garis-garis mewakili jalan yang menghubungkan kota tersebut dengan kota lainnya
atau bisa juga titik-titik itu mewakili manusia dengan garis mewakili hubungan
manusia tersebut dengan manusia yang lainnya. Pada matematika, hubungan
titik dan garis yang demikian diamati oleh suatu objek disebut dengan graph.
Teori graph pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun
1736 ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah
yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Konigsberg, Rusia dalam sekali waktu. Pembuktian Euler tersebut ditulis dalam karya tulisnya
yang berjudul Solution Problematis ad geometriam situs pertinensi. Masalah jembatan Konigsberg tersebut dapat dinyatakan dalam istilah graph dengan menentukan keempat daerah itu sebagai titik (vertex) dan ketujuh jembatan sebagai
sisi (edge) yang menghubungkan pasangan titik yang sesuai (Dossey 1992). Sejak itu, penelitian terhadap graph terus mengalami perkembangan seiring dengan
semakin bervariasinya masalah yang dihadapi. Salah satu diantaranya adalah
permasalahan degree constrained minimum spanning tree (DCMST).
Permasalahan DCMST pada graph merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree dengan total bobot minimum dan memenuhi batasan degree yang diinginkan. Garey dan Jhonson (1979) menyatakan bahwa DCMST
merupakan NP-hard, karenanya total bobot yang optimal menjadi masalah program linear maka diperlukan suatu metode pendekatan untuk menyelesaikannya. Ribiero dan Souza (2001) menggunakan Variable Neighborhood Search.
Khrisnamoorthy, et al., (2001) mempresentasikan dan membandingkan bebera1

2
pa heuristik, pendekatan simulasi annealing, relaksasi lagrang dan metode branch
and bound. Binh dan Nguyen (2008) menggunakan algoritma partikel Swarm,
algoritma ini menggunakan beberapa metode baru untuk memilih vektor dari
partikelnya. Ning et al., (2008) menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu untuk mengurangi ukuran graph, kemudian menyelesaikan DCMST dengan menggunakan algoritma Kruskal. Tanpa menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu,
penelitian ini akan memodifikasi algoritma Kruskal untuk menyelesaikan DCMST.
Algoritma metaheuristik Variable Neighborhood Descent (VND) adalah algoritma
untuk memecahkan masalah dengan menggunakan set neighborhood dalam pencarian dan penemuan local search sehingga akan mencapai global optimum yang
dikembangkan oleh Hansen dan Mladenoviv (1999). Dalam proses pencarian global optimum, VND melakukan pergantian set neighborhood secara deterministik.
Apnena (2011) menyelesaikan masalah TALBP dengan algoritma VND dengan
kriteria minimisasi jumlah stasiun kerja.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menemukan bobot minimum dari persoalan degree constrained minimum spanning tree dengan memodifikasi algoritma kruskal.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis serta mengoptimalkan persoalan degree constrained minimum spanning tree dengan
menemukan bobot minimum yang memenuhi batasan-batasan degree yang diinginkan.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan agar dapat menambah pemahaman dan
pengetahuan mengenai penerapan bobot minimum yang memenuhi batasan degree dalam menyelesaikan degree constrained minimum spanning tree, juga diharapkan dapat menambah referensi bagi pembaca dan dapat digunakan sebagai
alat pertimbangan bagi pengambil keputusan dari berbagai alternatife pilihan.

BAB 2
KAJIAN PUSTAKA

2.1 Graph
2.1.1 Definisi graph
Teori graph merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun
memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graph digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graph adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan
atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.
Secara matematis, graph didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 1 Graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dalam
hal ini :
V : Himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) atau
{v1 , v2, . . . , vn } dan E : Himpunan sisi (edges atau arc) yang menghubungkan
sepasang simpul atau {e1, e2 , . . . , en }, dimana V tidak boleh kosong dari dua titik
(vi , vj ), dimana i dan j boleh sama.
2.1.2 Konsep dasar graph
Suatu graph G =(V,E) merupakan himpunan objek V = {v1, v2 , v3, . . .}
disebut verteks (disebut juga point atau node) dan himpunan E = {e1, e2 , . . .}
yang elemennya disebut edge (disebut juga line atau arc), sehingga untuk setiap
edge em dikenal sebagai penghubung pasangan verteks (vi , vj ). Verteks vi , vj yang
dihubungkan oleh edge em disebut verteks ujung dari em . Suatu graph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai
titik dan setiap edge vi, vj sebagai garis dari titik vi ke titik vj .

3

4
Contoh 2.1 : Berikut diberikan representasi dari graph.

Gambar 2.1 Graph

Dari gambar 2.1 dapat diketahui bahwa V (G) = {v1, v2 , v3, v4} dan E(G) =
{v1 v1, v1v2, v1 v3, v1v4, v2v3 , v2v4, v3v3 , v3v4}
Berdasarkan definisinya, edge merupakan penghubung pasangan verteks vj , vk
dan untuk suatu edge yang memiliki kedua verteks ujung yang sama disebut loop,
jika setiap egde pada graph diberi suatu nilai atau bobot disebut graph berbobot.
Contoh 2.2 : Berikut diberikan representasi dari graph berbobot.

Gambar 2.2 Graph berbobot
Graph yang tidak memiliki loop ataupun edge ganda disebut graph sederhana.
Graph setiap verteks dihubungkan tepat satu edge ke verteks lainnya disebut
graph lengkap.
Contoh 2.3 : Berikut diberikan representasi dari graph sederhana dan graph
lengkap.

5

Gambar 2.3 (a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana
2.1.3 Incident dan degree
Ketika verteks v1 merupakan verteks ujung dari beberapa edge ej , vi , dan ej
dikatakan incident satu sama lain. Dua edge nonparalel dikatakan adjacent jika
mereka incident pada verteks yang sama. Dengan cara yang sama, dua verteks
dikatakan adjacent jika mereka merupakan verteks ujung dari edge yang sama.
Jumlah edge incident dari suatu verteks vi , dengan edge yang merupakan loop
dihitung 2 disebut degree dari verteks tersebut. Degree dari suatu verteks dinotasikan dengan degG (vi ) atau deg vi atau d(v). Verteks yang tidak memiliki egde
incident disebut verteks terisolasi. Sedangkan verteks yang berdegree satu disebut
verteks pendent atau verteks ujung.

Contoh 2.4 : Berikut diberikan representasi dari verteks ujung dan verteks terisolasi.

Gambar 2.4 Verteks ujung dan verteks terisolasi

Teorema 2.1 Untuk sembarang graph jumlah degree dari seluruh verteks G sama
dengan dua kali jumlah edge di G .

6
Bukti. Diberikan graph G dengan n verteks v1, v2, . . . , vn dan e edge. Karena
setiap edge memiliki tepat dua verteks vi, dan vj (untuk loop, i=j), maka edge
memberikan kontribusi 2 degree, yakni 1 degree untuk verteks vi dan 1 degree untuk verteks vj . Hal ini mengakibatkan penjumlahan degree dari seluruh variabel
verteks di G adalah dua kali dari edge di G, yaitu :
Σni=1 d(vi ) = 2e
Teorema 2.2 Dari Teorema 2.1 diketahui bahwa

Σni=1 d(vi ) = 2e
Jika verteks yang berdegree ganjil dan berdegree genap dipisahkan, maka persamaan diatas dapat dibentuk menjadi :
Σni=1 d(vi ) = Σeven d(vj ) + Σodd d(vk )
Karena Σni=1 d(vi ) adalah genap, dan Σeven d(vj ) juga genap, maka Σodd d(vk ) juga suata bilangan genap. Karena d(vk ) adalah ganjil, maka syarat agar jumlah
seluruh d(vk ) genap, banyaknya vk haruslah genap. Hal ini membuktikan bahwa
banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph selalu genap.
2.1.4 Graph bipartie
Suatu graph G disebut graph bipartie apabila V(G) merupakan gabungan
dari 2 himpunan tak kosong V1 dan V2 dan setiap garis dalam G menghubungkan
suatu titik dalam V1 dengan titik dalam V2 . Apabila dalam graph bipartie, setiap
titik dalam V1 berhubungan dengan setiap titik dalam V2 , maka graphnya disebut
graph bipartie lengkap. Jika V1 terdiri dari m titik dan V2 terdiri dari n titik,
maka graph bipartie lengkapnya sering diberi simbol Km,n
2.1.5 Walk, path, dan cycle
Diberikan graph G dengan verteks v dan w. Sebuah walk dengan panjang
m dari v ke w didefinisikan sebagai barisan edge dan dituliskan sebagai berikut :
(v0, v1), (v1v2), . . . , (vm−1 vm)

7
untuk m > 0, v0 = v dan vm = w. Sebuah walk biasa dinotasikan dengan v→w w
dan panjangnya dinotasikan dengan l(w).
Sebuah trail dari v ke w adalah walk dari v ke w tanpa perulangan edge.
Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah trail tanpa perulangan verteks. Path
tertutup adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang sama. Sebuah cycle merupakan sebuah path tertutup, dan sebuah loop merupakan sebuah
cycle dengan panjang 1.
Contoh 2.5 : Sebagai contoh masing - masing untuk walk, trail, path,
cycle, dan loop dapat dilihat pada gambar berikut :

Gambar 2.5 Graph

1. v1 → v3 → v5 → v3 → v2 → v4 disebut walk.
2. v1 → v2 → v3 → v5 → v2 → v4 disebut trail, walk tanpa perulangan edge.
3. v1 → v2 → v4 → v5 disebut path, walk tanpa perulangan edge dan verteks.
4. v1 → v2 → v4 → v5 → v3 → v1 disebut cycle, karena adanya perulangan
pada verteks awal dan akhir disebut juga path tertutup.
5. v1 → v1 dan v3 → v3 disebut loop, cycle dengan panjang 1.

8
2.1.6 Subgraph
Suatu subgraph dari G adalah graph yang memiliki verteks dan edge yang
ada di G. Jika G dan T merupakan dua graph dengan himpunan verteks V(T),
V(G) dan himpunan E(T) dan E(G) sehingga V (T ) ⊆ V (G) dan E(T ) ⊆ E(G),
maka T disebut subgraph G atau G disebut supergraph T.
Contoh 2.6 : Berikut diberikan representasi dari subgraph G.

Gambar 2.6 (G) graph dan (T) subgraph
Berdasarakan definisinya, maka dapat dikatakan bahwa :
1. Setiap graph merupakan subgraph itu sendiri.
2. Sebuah subgraph dari subgraph G merupakan subgraph G.
3. Sebuah verteks tunggal di G merupakan subgraph G.
4. Sebuah edge tunggal di G, bersama dengan verteks ujungnya, juga merupakan subgraph G.
2.1.7 Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen
Diberikan graph G dengan v dan w merupakan dua verteks di G. Graph G
dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sebarang dua verteks v dan
w di G sedemikian hingga paling sedikit satu path dari v ke w. Selebihnya, G
dikatakaan tidak terhubung.
Pada gambar 2.7 menunjukkan bahwa (a) adalah graph terhubung karena
terdapat path dari satu verteks ke verteks yang lainnya, dan (b) adalah graph tak
terhubung karena tidak terdapat path dari v1 ke v3. Dari gambar 2.3 dapat dilihat
bahwa graph tersebut terdiri dari dua bagian. bagian pertama adalah verteks v1,

9
v2 dengan edge v1v2, sedangkan bagian kedua adalah verteks v3 , v4 dan v5, dengan
edge v3v4, v3v5 , dan v4v5 . Masing - masing bagian ini disebut komponen.
Contoh 2.7 : Berikut diberikan representasi dari 2 buah graph terhubung dan
tidak terhubung.

Gambar 2.7 (a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung

Teorema 2.3 Suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika verteks
himpunan V dapat dibagi ke dalam dua komponen tak kosong, himpunan bagian
V1 dan V2 terpisah, sehingga tidak ada edge di G yang memiliki satu verteks ujung
didalam himpunan bagian V1 begitu juga di himpunan bagian V2 .
Bukti : Andaikan komponen ada. Anggap dua sembarang verteks a dan b di G,
sehingga a ∈ V1 dan b ∈ V2 . Tidak ada path yang bisa diantara verteks a dan b:
sebaliknya terdapat paling sedikit satu edge yang dimiliki verteks ujung V1 dan
lainnya di V2 . Akibatnya jika komponen ada, G tidak terhubung.
Dan sebaliknya, andaikan G menjadi graph tidak terhubung. Anggap sebuah
verteks a di G. Andaikan V1 menjadi himpunan seluruh verteks yang dihubungkan
oleh path ke a. Karena G tidak terhubung, maka V1 tidak memasukkan semua
verteks G. Selebihnya verteks akan berbentuk (tak kosong) himpunan V2 . Tidak
ada verteks di V1 yang dihubungkan ke sebarang V2 dengan sebuah edge. Hal ini
berakibat adanya komponen.
Teorema 2.4 Jika suatu graph memiliki tepat dua vertek berdegree ganjil, pasti
terdapat path yang menyertai dua vertek tersebut.
Bukti : Andaikan G sebuah graph dengan seluruh verteknya berdegree genap
kecuali verteks v1 dan v2, yang berdegree ganjil. Berdasarkan teorema 2.2, hal

10
ini berlaku untuk seluruh graph, oleh karenanya untuk setiap komponen graph
tak terhubung, tak ada graph yang bisa memiliki jumlah ganjil dari verteks ganjil.
Karenanya, di graph G v1 dan v2 harus bisa pada komponen yang sama, akibatnya
pasti ada path diantaranya.
2.1.8 Jembatan
Teori graph ditulis pertama kali tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss
yang bernama Leonard Euler. Yang digunakan untuk menyelesaikan masalah
jembatan Konigsberg. Jika suatu graf adalah G = (V, E) maka V merupakan
himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), misalkan V = {v1, v2, ..., vn}
Suatu edge vi vj pada graph G terhubung dikatakan bridge jika penghapusan edge
vi vj mengakibatkan G menjadi tidak terhubung.
Contoh 2.8 : Berikut diberikan representasi dari bridge.

Gambar 2.8 Bridge
v4 v7 merupakan bridge karena penghapusan edge v4v7 akan menyebabkan graph
menjadi tidak terhubung.
Algoritma untuk Jembatan :
1. Tentukan banyak komponen k(G)
2. Tentukan banyak komponen dari k(G − e)
if k(G) 1.

Teorema 2.18 Setiap graph terhubung non trivial yang tanpa loop mempunyai
paling sedikit dua simpul yang tidak merupakan simpul pemotong.

2.4 Spanning Tree
Suatu tree T dikatakan spanning tree dari graph G terhubung, jika T adalah
suatu subgraph G dan T mengandung seluruh verteks G. Dengan kata lain, T
dikatakan spanning tree jika T terhubung, mengandung n verteks G dan n-1 edge.
Contoh 2.2.2 : Berikut diberikan representasi dari spannning tree.

Gambar 2.10 Spanning tree dari G

Dari gambar 2.10, untuk T1 graph menghasilkan spanning tree dengan 6
verteks dan 5 edge. Untuk menemukan spanning tree dari graph G terhubung
dapat dilakukan dengan cara yang sederhana. Jika G tidak memiliki cycle, maka

16
G merupakan spanning tree itu sendiri. Jika G memiliki cycle maka hapus semua
edge yang membentuk cycle, dengan G masih terhubung.
Proposisi 2.12
Setiap graph terhubung memiliki paling sedikit satu spanning tree.

Bukti : Andaikan G adalah suatu graph terhubung. Jika G bebas cycle, maka G
itu sendiri merupakan spanning tree. Jika tidak, G memiliki paling sedikit satu
cycle C1. dengan teorema, yakni subgraph G tetap terhubung meski satu edge C1
dihapus. Jika subgraph bebas cycle, maka subgraph tersebut merupakan spanning
tree. Jika tidak, maka paling sedikit ada satu cycle di C2, dan seperti sebelumnya,
hapus edge di C2 untuk memperoleh spanning tree. Jika tidak, lakukan seperti
sebelumnya hingga diperoleh subgraph T dari G yang terhubung dan bebas cycle.
T juga mengandung seluruh verteks G karena tidak ada verteks di G yang dihapus.
Oleh karenanya T merupakan spanning tree untuk G.
2.4.1 Jarak spanning tree (distance of spanning tree)
Misalkan G = (V, E), bersama dengan fungsi jarak d : E → N . Untuk
selanjutnya G terhubung, dan T merupakan spanning tree dari G, maka nilainya:
d(T ) =

X

de

e∈T

merupakan penjumlahan seluruh jarak pada semua edge di T , disebut dengan
jarak spanning tree.
Untuk setiap spanning tree T dari G akan mempunyai total jarak d(T ). Dari
semua spanning tree T dari G, terdapat spanning tree yang mempuyai jarak d(T )
minimum.
Minimum spanning tree merupakan suatu permasalahan dalam suatu graph
yang aplikasinya banyak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Salah
satu contoh aplikasi secara langsung adalah permasalahan pemasangan jaringan
dengan meminimasi jumlah penggunaan kabel atau pipa untuk menghubungkan
bangunan secara bersamaan (connected). Untuk aplikasi secara tidak langsung
termasuk seperti mereduksi data storage dan cluster analisys. Beberapa per-

17
masalahan jaringan juga bisa direduksi ke dalam permasalahan minimum spanning tree kemudian diselesaikan dengan cara tersebut. Permasalahan minimum
spanning tree juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan graph
yang lain, seperti travelling salesman problem (TSP).
Hasil literatur memberikan informasi bahwa penelitian tentang penggunaan
suatu algoritma untuk menentukan minimum spanning tree dan implementasinya
pada suatu graph berbobot pernah dilakukan oleh sejumlah peneliti, yaitu Gloor
et al., (1993) memperkenalkan pembuktian kebenaran suatu algoritma dengan
melakukan visualisasi. Greenberg (1998) membandingkan algoritma Prim dan
algoritma Kruskal dalam mencari minimum spanning tree dengan menggunakan
graph yang terhubung dengan bobot tidak negative pada sisi-sisinya. Pop dan
Zelina (2004) melakukan penelitian dengan menyajikan algoritma waktu eksponensial untuk graph tidak berarah yang memiliki simpul-simpul n yaitu algoritma heuristik berbasis kruskal, algoritma heuristic berbasis prim, dan algoritma
heuristic berbasis pendekatan global-lokal.