Persoalan Degree Constrained Minimum Spanning Tree
PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM
SPANNING TREE
TESIS
Oleh
MARULI HUTAPEA
117021037/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM
SPANNING TREE
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MARULI HUTAPEA
117021037/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Judul Tesis
: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED
MINIMUM SPANNING TREE
Nama Mahasiswa : Maruli Hutapea
Nomor Pokok
: 117021037
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 04 Juni 2013
Telah diuji pada
Tanggal 04 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Juni 2013
Penulis,
Maruli Hutapea
i
ABSTRAK
Dalam menyelesaikan persoalan degree constrained minimum spanning tree pada
graph G(V, E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum
dan degree dari setiap verteks vi di T dibatasi oleh bi dimana dT (vi) ≤ bi . Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan memodifikasi algoritma kruskal, dimana sebuah edge diterima
di T, jika edge tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T
dan verteks-verteks ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan,
yaitu dT (vj ) ≤ bj dan dT (vk ) ≤ bk .
Kata Kunci : Graph, Degree constrained, Spanning tree
ii
ABSTRACT
The degree constrained minimum spanning tree (DCMST) on undirected weighted
connected graph G(V,E) is a problem to fins a spanning tree T in G with whose
total edge length is minimal and the degree of each vertex vi in T at most a given
value bi where dT (vi ) ≤ bi . For solving this problem, we modified kruskal algorithm,
an edge received in T, if an edge did not produce any cycle with preceding edge
in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees that
dT (vj ) ≤ bj and dT (vk ) ≤ bk .
Keywords: Graph, Degree constrained, Spanning tree
iii
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan
berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada
Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan
dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan
hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang
telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi
Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Utama yang
telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang
telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis
dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah
banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembanding Kedua yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
iv
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Alm. Paimin Hutapea dan Ibunda Sumiantauli br Simanjuntak yang telah mencurahkan kasih
sayang dan dukungan kepada penulis, kepada adik-adik Mawarni Hutapea,
Megawati Hutapea serta Istri Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd dan
anak-anak Olivia Hutapea dan David Hutapea yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Kepada Pemerintah Provinsi Sumatera Utara (Pemprovsu) atas bantuan dalam peningkatan pendidikan kualitas guru untuk Daerah Sumatera Utara dalam
memberikan Beasiswa Pemprovsu. Dr. Hamonangan Nainggolan, M.Sc dan
seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan
moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih
atas semua bantuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh
dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak
lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.
Medan,
Penulis,
Maruli Hutapea
v
RIWAYAT HIDUP
Maruli Hutapea dilahirkan di Lawe Perbunga (Aceh Tenggara) pada tanggal
22 desember 1974 dari pasangan Bapak Alm. Paimin Hutapea & Ibu Sumiantauli
br Simanjuntak dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1989 di SD negeri dikabupaten
langkat, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 binjai pada tahun
1992, Sekolah Menengah Atas (SMA) Sw eka prasetya, kota Medan pada tahun
1995. Menamatkan kuliah S-1 dari UNIMED dikota medan tahun 2000. Dan
mendapat gelar sarjana pendikan (S.Pd). Menikah dengan Netty Saulina br
Lumbangaol S.Pd, bulan juli tahun 2001 dan dikarunia dua anak yaitu Olivia
Hutapea dan David Hutapea.
Pengalaman mengajar pertama sekali di sekolah yayasan perguruan eka
prasetya pada tahun 1999 bulan juli pada unit sekolah SMP, pada tahun 2003
mengajar di SMK-BM (SMEA) dan menjadi guru bantu yang dibiayai dari dana
APBN, disekolah SMK-BM (SMEA) Eka Prasetya yang terletak di wilayah Deli
Serdang. Pada tahun 2006 menjadi PNS di SMA Negeri 1 sunggal sampai sekarang.
Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca
sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman
belajar yang sangat berharga.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
2
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
3
2.1 Graph
3
2.1.1 Definisi graph
3
2.1.2 Konsep dasar graph
3
2.1.3 Incident dan degree
5
2.1.4 Graph bipartie
6
2.1.5 Walk, path, dan cycle
6
2.1.6 Subgraph
8
2.1.7 Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen
8
2.1.8 Jembatan
10
vii
2.2 Degree
11
2.3 Tree
11
2.3.1 Verteks ujung dalam tree
14
2.3.2 Sisi Pemotong
14
2.4 Spanning Tree
15
2.4.1 Jarak spanning tree (distance of spanning tree)
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
16
18
3.1 Degree Constrained Minimum Spanning Tree
18
3.2 Modifikasi DCMST dengan Metode Algoritma Kruskal
20
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
28
4.1 Kesimpulan
28
4.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
viii
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Graph
4
2.2
Graph berbobot
4
2.3
(a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana
5
2.4
Verteks ujung dan verteks terisolasi
5
2.5
Graph
7
2.6
(G) graph dan (T) subgraph
8
2.7
(a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung
9
2.8
Bridge
10
2.9
Tree
12
2.10 Spanning tree dari G
15
3.1
Degree constrained minimum spanning tree dari G
19
3.2
Graf berbobot
24
3.3
Edge dari bobot terkecil
25
ix
SPANNING TREE
TESIS
Oleh
MARULI HUTAPEA
117021037/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM
SPANNING TREE
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MARULI HUTAPEA
117021037/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Judul Tesis
: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED
MINIMUM SPANNING TREE
Nama Mahasiswa : Maruli Hutapea
Nomor Pokok
: 117021037
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 04 Juni 2013
Telah diuji pada
Tanggal 04 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Juni 2013
Penulis,
Maruli Hutapea
i
ABSTRAK
Dalam menyelesaikan persoalan degree constrained minimum spanning tree pada
graph G(V, E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum
dan degree dari setiap verteks vi di T dibatasi oleh bi dimana dT (vi) ≤ bi . Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan memodifikasi algoritma kruskal, dimana sebuah edge diterima
di T, jika edge tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T
dan verteks-verteks ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan,
yaitu dT (vj ) ≤ bj dan dT (vk ) ≤ bk .
Kata Kunci : Graph, Degree constrained, Spanning tree
ii
ABSTRACT
The degree constrained minimum spanning tree (DCMST) on undirected weighted
connected graph G(V,E) is a problem to fins a spanning tree T in G with whose
total edge length is minimal and the degree of each vertex vi in T at most a given
value bi where dT (vi ) ≤ bi . For solving this problem, we modified kruskal algorithm,
an edge received in T, if an edge did not produce any cycle with preceding edge
in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees that
dT (vj ) ≤ bj and dT (vk ) ≤ bk .
Keywords: Graph, Degree constrained, Spanning tree
iii
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan
berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING
TREE. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada
Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan
dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan
hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang
telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi
Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Utama yang
telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang
telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis
dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah
banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembanding Kedua yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
iv
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Alm. Paimin Hutapea dan Ibunda Sumiantauli br Simanjuntak yang telah mencurahkan kasih
sayang dan dukungan kepada penulis, kepada adik-adik Mawarni Hutapea,
Megawati Hutapea serta Istri Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd dan
anak-anak Olivia Hutapea dan David Hutapea yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Kepada Pemerintah Provinsi Sumatera Utara (Pemprovsu) atas bantuan dalam peningkatan pendidikan kualitas guru untuk Daerah Sumatera Utara dalam
memberikan Beasiswa Pemprovsu. Dr. Hamonangan Nainggolan, M.Sc dan
seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan
moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih
atas semua bantuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh
dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak
lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.
Medan,
Penulis,
Maruli Hutapea
v
RIWAYAT HIDUP
Maruli Hutapea dilahirkan di Lawe Perbunga (Aceh Tenggara) pada tanggal
22 desember 1974 dari pasangan Bapak Alm. Paimin Hutapea & Ibu Sumiantauli
br Simanjuntak dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1989 di SD negeri dikabupaten
langkat, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 binjai pada tahun
1992, Sekolah Menengah Atas (SMA) Sw eka prasetya, kota Medan pada tahun
1995. Menamatkan kuliah S-1 dari UNIMED dikota medan tahun 2000. Dan
mendapat gelar sarjana pendikan (S.Pd). Menikah dengan Netty Saulina br
Lumbangaol S.Pd, bulan juli tahun 2001 dan dikarunia dua anak yaitu Olivia
Hutapea dan David Hutapea.
Pengalaman mengajar pertama sekali di sekolah yayasan perguruan eka
prasetya pada tahun 1999 bulan juli pada unit sekolah SMP, pada tahun 2003
mengajar di SMK-BM (SMEA) dan menjadi guru bantu yang dibiayai dari dana
APBN, disekolah SMK-BM (SMEA) Eka Prasetya yang terletak di wilayah Deli
Serdang. Pada tahun 2006 menjadi PNS di SMA Negeri 1 sunggal sampai sekarang.
Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca
sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman
belajar yang sangat berharga.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
2
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
3
2.1 Graph
3
2.1.1 Definisi graph
3
2.1.2 Konsep dasar graph
3
2.1.3 Incident dan degree
5
2.1.4 Graph bipartie
6
2.1.5 Walk, path, dan cycle
6
2.1.6 Subgraph
8
2.1.7 Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen
8
2.1.8 Jembatan
10
vii
2.2 Degree
11
2.3 Tree
11
2.3.1 Verteks ujung dalam tree
14
2.3.2 Sisi Pemotong
14
2.4 Spanning Tree
15
2.4.1 Jarak spanning tree (distance of spanning tree)
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
16
18
3.1 Degree Constrained Minimum Spanning Tree
18
3.2 Modifikasi DCMST dengan Metode Algoritma Kruskal
20
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
28
4.1 Kesimpulan
28
4.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
viii
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Graph
4
2.2
Graph berbobot
4
2.3
(a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana
5
2.4
Verteks ujung dan verteks terisolasi
5
2.5
Graph
7
2.6
(G) graph dan (T) subgraph
8
2.7
(a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung
9
2.8
Bridge
10
2.9
Tree
12
2.10 Spanning tree dari G
15
3.1
Degree constrained minimum spanning tree dari G
19
3.2
Graf berbobot
24
3.3
Edge dari bobot terkecil
25
ix