EKSISTENSI SNAKE LEMMA PADA MODUL.
EKSISTENSI SNAKE LEMMA PADA MODUL
Oleh
VEEMONA ESTHER SIBARANI
NIM: 4123230031
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2017
i
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Medan pada 19 Oktober 1993. Almarhum ayah bernama
Julian Vicky Shannan Matumona dan ibu bernama Erita Eriwaty Silalahi S.Sos.
Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 1998 penulis
mulai mengenyam pendidikan di Taman Kanak-kanak Antonius, Medan.
Kemudian pada tahun 1999 penulis melanjutkan pendidikan di SD Methodist 1
Medan, dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2005 hingga 2008 penulis
bersekolah di SMP Sw.Katolik ASSISI Medan. Kemudian pada tahun 2008
penulis melanjutkan pendidikan di SMA Sw.Katolik ASSISI Medan dan lulus
tahun 2011. Setelah menamatkan pendidikan SMA, pada tahun 2012 penulis
melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi di Universitas Negeri Medan
dengan konsentrasi matematika dan lulus tahun pada 2016.
iii
EKSISTENSI SNAKE LEMMA PADA MODUL
Veemona Esther Sibarani
NIM: 4123230031
ABSTRAK
Penelitian ini telah membahas tentang barisan eksak pada teori modul.
Dalam tulisan ini telah dibuktikan eksistensi lemma snake pada modul yang
pembuktiannya didasarkan pada sifat barisan eksak didalam teori modul. Terdapat
tiga sifat barisan eksak yang meliputi barisan eksak yang injektif, barisan eksak
yang surjektif, dan barisan eksak yang injektif serta subjektif yang telah
dibuktikan. Sehingga menunjukkan keeksistensian lemma snake pada modul.
Kata kunci: Barisan Eksak, Modul, Homomorfisma Modul, Lemma Snake
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk
setiap berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan
kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul
”Eksistensi Snake Lemma pada Modul”. Disusun untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas negeri Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan
dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan
baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih
kepada:
1. Bapak Prof Dr.Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr.Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak
Drs.Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak
Dr.Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika
serta Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA Universitas Negeri
Medan.
3. Ibu Dr. Hamidah Nasution ,M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Ibu Dr. Nerli Khairani, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang
telah banyak memberikan bantuan, saran, dan kritik dalam penulisan
skripsi ini.
5. Ibu Dr.Hamidah Nasution, M.Si., Bapak Dr. Hermawan Syahputra, M.Si.,
dan Bapak Dr. Abil Mansyur, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah
banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Ibu Dra. Ratnawati Dora, SIP selaku Kepala Perpustakaan Universitas
Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian
atau observasi di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
v
7. Teristimewa buat orangtuaku tercinta (Mami Erita Eriwaty Silalahi S.Sos.
dan Alm.Papi Julian Vicky Syahnan Matumona Sibarani) yang senantiasa
mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal,
untuk adikku Audrey Dominique Sibarani dan Vikry Moses Sibarani, juga
untuk keluarga besar Sibarani, serta keluarga besar Silalahi.
8. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Robin, Jufridho, penghuni Sukaria,
Ramla, Wahyuni, Wulan, Rahma, Intan dkk, Nanda dkk), sahabat
terbaikku Irene, Lastiar, Saurma, Sandy, Dita, Lena, Bunga, Adek kosan
(Wenny, Devi, Rani, Raya, Merry), seniorku (Bang Yuri Sagala, Bang
Feryanta, Kak Raibanta) terimakasih atas bantuannya.
9. Teruntuk Roy Sinaga yang selalu menyemangati, Ibrahim Simbolon yang
tak pernah lelah menemani hingga subuh, Hermanto Purba yang
mendukungku memasuki bangku Universitas Negeri, Daniel Sipayung
untuk bersabar menungguku, dan yang namanya tak sempat disebut,
terimakasih.
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusuan skripsi ini,
maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari
segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari
semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa yang akan datang.
Medan, Februari 2017
Penulis
Veemona E. Sibarani
NIM. 4123230031
vi
DAFTAR ISI
hal
LEMBAR PENGESAHAN
i
RIWAYAT HIDUP
ii
ABSTRAK
iii
KATA PENGANTAR
iv
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMBANG
ix
DAFTAR LAMPIRAN
x
Bab 1 Pendahuluan
1
1.1.
Latar Belakang
1
1.2.
Rumusan Masalah
3
1.3.
Batasan Masalah
3
1.4.
Tujuan Penelitian
3
1.5.
Manfaat Penelitian
3
Bab 2 Tinjauan Pustaka
2.1.
Fungsi
4
4
2.2.
Himpunan
4
2.3.
Grup
8
2.4.
Homomorfisma Grup
11
2.5.
Isomorfisma Grup
12
2.6.
Ring
13
2.7.
Homomorfisma Ring
14
2.8.
Isomorfisma Ring
15
2.9.
Modul
16
2.10. Modul Faktor dan Homomorfisma
18
2.11. Kategori
20
2.12. Diagram Komutatif
22
2.13. Barisan Eksak
26
2.14. Snake Lemma
27
vii
Bab 3 Metodologi Penelitian
30
3.1.
Tempat Dan Waktu Penelitian
30
3.2.
Jenis Penelitian
30
3.3.
Prosedur Penelitian
30
Bab 4 Pembahasan
31
4.1.
Modul dan Barisan Eksak
31
4.2.
Diagram Komutatif
43
4.3.
Eksistensi Snake Lemma
44
Bab 5 Penutup
50
5.1.
Kesimpulan
50
5.2.
Saran
50
DAFTAR PUSTAKA
51
Lampiran
52
viii
DAFTAR GAMBAR
hal
Gambar 2.1
Kernel
22
Gambar 2.2
Cokernel
22
Gambar 2.3
Urutan 1
23
Gambar 2.4
Urutan 2
23
Gambar 2.5
Kesetaraan 1
23
Gambar 2.6
Kesetaraan 2
24
Gambar 2.7
Kesetaraan 3
24
Gambar 2.8
Segitiga Komutatif
25
Gambar 2.9
Kotak Komutatif
25
Gambar 2.10
Angka Pesawat
26
Gambar 2.11
Peta yang berbeda antara 2 set yang sama
26
Gambar 2.12
Panah yang melingkar menunjukkan peta dari satu set
27
Gambar 2.13
g adalah peta terbalik dengan f
27
Gambar 2.14
Modul M
28
Gambar 2.15
Modul M2
28
Gambar 2.16
Homomorfisma Rantai
29
Gambar 2.17
Barisan Eksak
29
Gambar 2.18
Diagram Komutatif Homomorfisma 1
29
Gambar 2.19
Diagram Komutatif Homomorfisma 2
29
Gambar 2.20
Barisan Eksak 1
29
Gambar 2.21
Barisan Eksak 2
30
Gambar 2.22
Gambar Lemma 1
30
Gambar 2.23
Gambar Lemma 2
30
Gambar 4.1
Diagram Komutatif Homomorfisma 1
45
Gambar 4.2
Diagram Komutatif Homomorfisma 2
45
Gambar 4.3
Kernel
46
Gambar 4.4
Cokernel
46
Gambar 4.5
Diagram Komutatif Homomorfisma 3
47
ix
Gambar 4.6
Diagram 1
48
Gambar 4.7
Diagram 2
48
Gambar 4.8
Barisan Eksak 1
49
Gambar 4.9
Diagram Komutatif Barisan Eksak
50
Gambar 4.10
Homomorfisma Unik
50
Gambar 4.11
Homomorfisma Unik
51
x
DAFTAR LAMPIRAN
hal
Lampiran 1
Dokumentasi Penelitian
52
Lampiran 2
Surat Ketersediaan Menjadi Dosen Pembimbing Skripsi
53
Lampiran 3
Surat Permohonan Izin Penelitian dari Jurusan
54
Lampiran 4
Surat Permohonan Izin Penelitian dari Wakil Dekan
Bidang Akademik
Lampiran 5
Surat Izin Penelitian dari Kepala Perpustakaan Universitas Negeri
Medan
Lampiran 6
55
56
Surat Telah Melakukan Penelitian di Perpustakaan Universitas
Negeri Medan
57
1
Bab I
Pendahuluan
1.1.
Latar Belakang
Kata matematika berasal dari kata mathema dalam bahasa Yunani yang
diartikan sebagai sains, ilmu pengetahuan, atau belajar dan juga mathematikos
yang diartikan sebagai suka belajar. Matematika menuntut banyak analisa dan
perhitungan sehingga banyak orang yang hanya menghafalkan ilmu tersebut
daripada memahaminya (Hudojo, 1988).
Secara umum matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan
struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika. Cabang
- cabang utama dalam matematika adalah Aljabar, Geometri, Analisis dan
Teori Bilangan (George, 1981).
Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan
dan kuantitas. Aljabar dibagi lagi menjadi aljabar abstrak, aljabar elementer,
aljabar linear. Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang
mempelajari struktur aljabar, seperti grup, gelanggang (ring), lapangan
(fields), modul, ruang vektor (Lang, 2002).
Kajiannya dimulai dengan suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi
dengan satu komposisi biner (struktur aljabar). Aljabar abstrak ini banyak
digunakan dalam kajian lanjut bidang matematika (teori bilangan aljabar,
topologi aljabar, geometri aljabar) (Kromodihardjo, 1990).
Topologi adalah kajian pemetaan dari suatu obyek dalam ruang baik dalam
struktur global maupun dalam struktur lokal yang lebih halus. Dapat dikatakan
bahwa
kajian
ini
merupakan
perluasan
kajian
geometri,
dengan
mempertimbangkan baik himpunan titik titiknya maupun keluarga himpunanhimpunan tersebut. Pertimbangan yang digunakan tersebut berupa sifat-sifat
dalam konteks ruang (yang disebut kemudian dengan ruang topologi)
(Eilenberg, 1962).
2
Dengan mempertimbangkan pendekatan dan arah observasi kajiannya,
dapat diklasifikasikan beberapa subbidang kajian topologi, dan bagian yang
paling mendasar adalah:
1. Topologi himpunan-titik (point-set topology). Di sini dilakukan kajian
terhadap sifat-sifat ruang dan pemetaannya,termasuk di dalamnya konsep
kekompakan
(compactness),
keterhubungan
(connectedness),
dan
ketercacahan (countability).
2. Topologi aljabar (algebraic topology). Di sini dalam kajiannya
menggunakan struktur dalam aljabar abstrak (khususnya grup) yang di
dalamnya dikaji ruang topologi dan pemetaan antar ruang. Di dalamnya
diobservasi konsep homotopi dan homologi.
3. Topologi geometri (geometric topology), yang melakukan kajian dari
konsep manifold dan emmbeding-nya (Rotman, 2000).
Kombinasi topologi aljabar dan aljabar abstrak (teori modul) pada akhir
abad ke-19 disebut homological aljabar, yang merupakan cabang matematika
yang masih relatif baru. Alat yang digunakan dalam matematika, terutama
homological aljabar adalah Snake Lemma. Snake Lemma adalah suatu
Lemma yang digunakan untuk membangun barisan eksak panjang yang lebih
dari dua modul.
Dimana modul adalah perluasan dari ruang vektor yang terbentuk dari
suatu grup dan suatu lapangan yang dikaitkan dengan sebuah perkalian skalar.
Pada perkembangannya lapangan yang menyusun ruang vektor tersebut
mengalami perluasan menjadi suatu ring. Dalam hal ini struktur yang
terbentuk dari suatu grup dan
suatu ring dengan suatu perkalian skalar
dinamakan modul atas ring tersebut.
Apabila diberikan modul M atas ring R serta submodul - submodul di M,
maka dapat dibentuk barisan eksak. Beberapa R-modul dan R-homomorfisma
modul dapat membentuk suatu barisan dan diagram komutatif. Diagram
komutatif adalah kumpulan peta dimana semua komposisi peta mulai dari set
yang sama dan berakhir dengan set yang sama memberikan hasil yang sama.
Di dalam diagram komutatif bisa terdapat dua atau lebih barisan eksak,
3
sehingga dibutuhkan snake lemma untuk membangun barisan eksak panjang
tersebut. Snake lemma berlaku dalam setiap kategori abelian dan merupakan
alat penting dalam homological aljabar dan aplikasi, misalnya dalam algebraic
topology (Atiyah, 1969).
Berdasarkan
latar belakang di atas maka penulis mengambil judul
”Eksistensi Snake Lemma pada Diagram Modul”.
1.2.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
a. Bagaimana sifat barisan eksak homological aljabar?
b. Bagaimana eksistensi Snake Lemma pada Modul?
1.3.
Batasan Masalah
Penelitian ini difokuskan kepada Eksistensi Snake Lemma pada Diagram
Komutatif dalam kajian materi homological aljabar.
a. Mengkaji lebih dalam mengenai homological aljabar.
b. Menunjukkan Eksistensi Snake Lemma pada Modul.
1.4.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini difokuskan kepada Eksistensi Snake Lemma pada Diagram
Komutatif dalam kajian materi homological aljabar.
a. Mengkaji lebih dalam mengenai homological aljabar.
b. Menunjukkan Eksistensi Snake Lemma pada Modul.
1.5.
Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
a. Bagi peneliti menambah wawasan dan pengetahuan dalam mengkaji dan
menganalisis materi mengenai homological aljabar.
b. Bagi mahasiswa diharapkan hasil penelitian ini dapat memberikan
kontribusi dalam pengetahuan dan pendidikan mengenai Snake Lemma yang
merupakan kajian dari Aljabar Abstrak.
50
Bab V
Penutup
5.1.
Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan dapat disimpulkan,
1. Karakteristik dari barisan eksak pendek R-modul adalah :
a. Barisan 0 →
injektif.
b. Barisan
surjektif.
→
c. Barisan 0 →
→
adalah eksak jika dan hanya jika fungsi
→ 0 adalah eksak jika dan hanya jika fungsi g
→
→
→ 0 adalah eksak jika dan hanya jika
fungsi f injektif, fungsi g surjektif, dan
( )=
( ).
→
2. Setelah terbukti keeksakan dari pemetaan
→
→
dimana
maka terdapat fungsi isomorfisma
, lalu
dari Ker
dapat ditunjukkan keeksistensian snake lemma.
5.2.
f
, dan
→
→
dan
,
sehingga
Saran
Dalam penelitian ini dibahas mengenai snake lemma pada diagram
komutatif terkhusus pada modul kategori. Bagi yang tertarik dengan topik ini,
penelitian masih bisa dikembangkan lebih lanjut untuk snake lemma pada bidang
kategori yang lain atau membandingkannya dengan lemma lain yang berlaku pada
teori modul.
51
DAFTAR PUSTAKA
Atiyah, I., (1969): Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley
Publishing Company, Oxford.
Cholily, Y. M., (2013): Homomorfisma, Universitas Haluoleo Kampus Bumi
Tridharma Anduonohu Kendari, 8(1), 1–6.
Eilenberg.S, S., (1962): Foundations of Algebraic Topology, Princeton University
Press, Princeton.
George, P., (1981): Mathematical Discovery, John Wiley Son, New York.
Hudojo, H., (1988): Mengajar Belajar Matematika, Depdikbud, Jakarta.
Kromodihardjo, K., (1990): Struktur Aljabar, UT Jakarta, Jakarta.
Lang, S., (2002): Algebra, Vol. 3, Springer.
Mulyono (2014): Struktur Aljabar 2, Universitas Negeri Medan, Medan.
Rotman (2000): An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, New
York.
Saragih, S., (2012): Struktur Aljabar 1, Larispa, Medan.
Setiawan, A., (2011): Aljabar Abstrak, UNIVERSITAS KRISTEN SATYA
WACANA, Salatiga.
Wijna (2009): Struktur Aljabar, 1, Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.
Wisbauer, R., (1991): Foundations of Module and Ring Theory, University of
Dusseldorf, New York.
Yunita Septriana Anwar, S., (2015): Perumuman Snake Lemma dan Lemma Lima,
FKIP Universitas Mataram, 10(2), 76–79.
Oleh
VEEMONA ESTHER SIBARANI
NIM: 4123230031
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2017
i
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Medan pada 19 Oktober 1993. Almarhum ayah bernama
Julian Vicky Shannan Matumona dan ibu bernama Erita Eriwaty Silalahi S.Sos.
Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 1998 penulis
mulai mengenyam pendidikan di Taman Kanak-kanak Antonius, Medan.
Kemudian pada tahun 1999 penulis melanjutkan pendidikan di SD Methodist 1
Medan, dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2005 hingga 2008 penulis
bersekolah di SMP Sw.Katolik ASSISI Medan. Kemudian pada tahun 2008
penulis melanjutkan pendidikan di SMA Sw.Katolik ASSISI Medan dan lulus
tahun 2011. Setelah menamatkan pendidikan SMA, pada tahun 2012 penulis
melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi di Universitas Negeri Medan
dengan konsentrasi matematika dan lulus tahun pada 2016.
iii
EKSISTENSI SNAKE LEMMA PADA MODUL
Veemona Esther Sibarani
NIM: 4123230031
ABSTRAK
Penelitian ini telah membahas tentang barisan eksak pada teori modul.
Dalam tulisan ini telah dibuktikan eksistensi lemma snake pada modul yang
pembuktiannya didasarkan pada sifat barisan eksak didalam teori modul. Terdapat
tiga sifat barisan eksak yang meliputi barisan eksak yang injektif, barisan eksak
yang surjektif, dan barisan eksak yang injektif serta subjektif yang telah
dibuktikan. Sehingga menunjukkan keeksistensian lemma snake pada modul.
Kata kunci: Barisan Eksak, Modul, Homomorfisma Modul, Lemma Snake
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk
setiap berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan
kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul
”Eksistensi Snake Lemma pada Modul”. Disusun untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas negeri Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan
dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan
baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih
kepada:
1. Bapak Prof Dr.Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr.Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak
Drs.Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak
Dr.Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika
serta Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA Universitas Negeri
Medan.
3. Ibu Dr. Hamidah Nasution ,M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Ibu Dr. Nerli Khairani, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang
telah banyak memberikan bantuan, saran, dan kritik dalam penulisan
skripsi ini.
5. Ibu Dr.Hamidah Nasution, M.Si., Bapak Dr. Hermawan Syahputra, M.Si.,
dan Bapak Dr. Abil Mansyur, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah
banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Ibu Dra. Ratnawati Dora, SIP selaku Kepala Perpustakaan Universitas
Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian
atau observasi di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
v
7. Teristimewa buat orangtuaku tercinta (Mami Erita Eriwaty Silalahi S.Sos.
dan Alm.Papi Julian Vicky Syahnan Matumona Sibarani) yang senantiasa
mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal,
untuk adikku Audrey Dominique Sibarani dan Vikry Moses Sibarani, juga
untuk keluarga besar Sibarani, serta keluarga besar Silalahi.
8. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Robin, Jufridho, penghuni Sukaria,
Ramla, Wahyuni, Wulan, Rahma, Intan dkk, Nanda dkk), sahabat
terbaikku Irene, Lastiar, Saurma, Sandy, Dita, Lena, Bunga, Adek kosan
(Wenny, Devi, Rani, Raya, Merry), seniorku (Bang Yuri Sagala, Bang
Feryanta, Kak Raibanta) terimakasih atas bantuannya.
9. Teruntuk Roy Sinaga yang selalu menyemangati, Ibrahim Simbolon yang
tak pernah lelah menemani hingga subuh, Hermanto Purba yang
mendukungku memasuki bangku Universitas Negeri, Daniel Sipayung
untuk bersabar menungguku, dan yang namanya tak sempat disebut,
terimakasih.
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusuan skripsi ini,
maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari
segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari
semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa yang akan datang.
Medan, Februari 2017
Penulis
Veemona E. Sibarani
NIM. 4123230031
vi
DAFTAR ISI
hal
LEMBAR PENGESAHAN
i
RIWAYAT HIDUP
ii
ABSTRAK
iii
KATA PENGANTAR
iv
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMBANG
ix
DAFTAR LAMPIRAN
x
Bab 1 Pendahuluan
1
1.1.
Latar Belakang
1
1.2.
Rumusan Masalah
3
1.3.
Batasan Masalah
3
1.4.
Tujuan Penelitian
3
1.5.
Manfaat Penelitian
3
Bab 2 Tinjauan Pustaka
2.1.
Fungsi
4
4
2.2.
Himpunan
4
2.3.
Grup
8
2.4.
Homomorfisma Grup
11
2.5.
Isomorfisma Grup
12
2.6.
Ring
13
2.7.
Homomorfisma Ring
14
2.8.
Isomorfisma Ring
15
2.9.
Modul
16
2.10. Modul Faktor dan Homomorfisma
18
2.11. Kategori
20
2.12. Diagram Komutatif
22
2.13. Barisan Eksak
26
2.14. Snake Lemma
27
vii
Bab 3 Metodologi Penelitian
30
3.1.
Tempat Dan Waktu Penelitian
30
3.2.
Jenis Penelitian
30
3.3.
Prosedur Penelitian
30
Bab 4 Pembahasan
31
4.1.
Modul dan Barisan Eksak
31
4.2.
Diagram Komutatif
43
4.3.
Eksistensi Snake Lemma
44
Bab 5 Penutup
50
5.1.
Kesimpulan
50
5.2.
Saran
50
DAFTAR PUSTAKA
51
Lampiran
52
viii
DAFTAR GAMBAR
hal
Gambar 2.1
Kernel
22
Gambar 2.2
Cokernel
22
Gambar 2.3
Urutan 1
23
Gambar 2.4
Urutan 2
23
Gambar 2.5
Kesetaraan 1
23
Gambar 2.6
Kesetaraan 2
24
Gambar 2.7
Kesetaraan 3
24
Gambar 2.8
Segitiga Komutatif
25
Gambar 2.9
Kotak Komutatif
25
Gambar 2.10
Angka Pesawat
26
Gambar 2.11
Peta yang berbeda antara 2 set yang sama
26
Gambar 2.12
Panah yang melingkar menunjukkan peta dari satu set
27
Gambar 2.13
g adalah peta terbalik dengan f
27
Gambar 2.14
Modul M
28
Gambar 2.15
Modul M2
28
Gambar 2.16
Homomorfisma Rantai
29
Gambar 2.17
Barisan Eksak
29
Gambar 2.18
Diagram Komutatif Homomorfisma 1
29
Gambar 2.19
Diagram Komutatif Homomorfisma 2
29
Gambar 2.20
Barisan Eksak 1
29
Gambar 2.21
Barisan Eksak 2
30
Gambar 2.22
Gambar Lemma 1
30
Gambar 2.23
Gambar Lemma 2
30
Gambar 4.1
Diagram Komutatif Homomorfisma 1
45
Gambar 4.2
Diagram Komutatif Homomorfisma 2
45
Gambar 4.3
Kernel
46
Gambar 4.4
Cokernel
46
Gambar 4.5
Diagram Komutatif Homomorfisma 3
47
ix
Gambar 4.6
Diagram 1
48
Gambar 4.7
Diagram 2
48
Gambar 4.8
Barisan Eksak 1
49
Gambar 4.9
Diagram Komutatif Barisan Eksak
50
Gambar 4.10
Homomorfisma Unik
50
Gambar 4.11
Homomorfisma Unik
51
x
DAFTAR LAMPIRAN
hal
Lampiran 1
Dokumentasi Penelitian
52
Lampiran 2
Surat Ketersediaan Menjadi Dosen Pembimbing Skripsi
53
Lampiran 3
Surat Permohonan Izin Penelitian dari Jurusan
54
Lampiran 4
Surat Permohonan Izin Penelitian dari Wakil Dekan
Bidang Akademik
Lampiran 5
Surat Izin Penelitian dari Kepala Perpustakaan Universitas Negeri
Medan
Lampiran 6
55
56
Surat Telah Melakukan Penelitian di Perpustakaan Universitas
Negeri Medan
57
1
Bab I
Pendahuluan
1.1.
Latar Belakang
Kata matematika berasal dari kata mathema dalam bahasa Yunani yang
diartikan sebagai sains, ilmu pengetahuan, atau belajar dan juga mathematikos
yang diartikan sebagai suka belajar. Matematika menuntut banyak analisa dan
perhitungan sehingga banyak orang yang hanya menghafalkan ilmu tersebut
daripada memahaminya (Hudojo, 1988).
Secara umum matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan
struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika. Cabang
- cabang utama dalam matematika adalah Aljabar, Geometri, Analisis dan
Teori Bilangan (George, 1981).
Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan
dan kuantitas. Aljabar dibagi lagi menjadi aljabar abstrak, aljabar elementer,
aljabar linear. Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang
mempelajari struktur aljabar, seperti grup, gelanggang (ring), lapangan
(fields), modul, ruang vektor (Lang, 2002).
Kajiannya dimulai dengan suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi
dengan satu komposisi biner (struktur aljabar). Aljabar abstrak ini banyak
digunakan dalam kajian lanjut bidang matematika (teori bilangan aljabar,
topologi aljabar, geometri aljabar) (Kromodihardjo, 1990).
Topologi adalah kajian pemetaan dari suatu obyek dalam ruang baik dalam
struktur global maupun dalam struktur lokal yang lebih halus. Dapat dikatakan
bahwa
kajian
ini
merupakan
perluasan
kajian
geometri,
dengan
mempertimbangkan baik himpunan titik titiknya maupun keluarga himpunanhimpunan tersebut. Pertimbangan yang digunakan tersebut berupa sifat-sifat
dalam konteks ruang (yang disebut kemudian dengan ruang topologi)
(Eilenberg, 1962).
2
Dengan mempertimbangkan pendekatan dan arah observasi kajiannya,
dapat diklasifikasikan beberapa subbidang kajian topologi, dan bagian yang
paling mendasar adalah:
1. Topologi himpunan-titik (point-set topology). Di sini dilakukan kajian
terhadap sifat-sifat ruang dan pemetaannya,termasuk di dalamnya konsep
kekompakan
(compactness),
keterhubungan
(connectedness),
dan
ketercacahan (countability).
2. Topologi aljabar (algebraic topology). Di sini dalam kajiannya
menggunakan struktur dalam aljabar abstrak (khususnya grup) yang di
dalamnya dikaji ruang topologi dan pemetaan antar ruang. Di dalamnya
diobservasi konsep homotopi dan homologi.
3. Topologi geometri (geometric topology), yang melakukan kajian dari
konsep manifold dan emmbeding-nya (Rotman, 2000).
Kombinasi topologi aljabar dan aljabar abstrak (teori modul) pada akhir
abad ke-19 disebut homological aljabar, yang merupakan cabang matematika
yang masih relatif baru. Alat yang digunakan dalam matematika, terutama
homological aljabar adalah Snake Lemma. Snake Lemma adalah suatu
Lemma yang digunakan untuk membangun barisan eksak panjang yang lebih
dari dua modul.
Dimana modul adalah perluasan dari ruang vektor yang terbentuk dari
suatu grup dan suatu lapangan yang dikaitkan dengan sebuah perkalian skalar.
Pada perkembangannya lapangan yang menyusun ruang vektor tersebut
mengalami perluasan menjadi suatu ring. Dalam hal ini struktur yang
terbentuk dari suatu grup dan
suatu ring dengan suatu perkalian skalar
dinamakan modul atas ring tersebut.
Apabila diberikan modul M atas ring R serta submodul - submodul di M,
maka dapat dibentuk barisan eksak. Beberapa R-modul dan R-homomorfisma
modul dapat membentuk suatu barisan dan diagram komutatif. Diagram
komutatif adalah kumpulan peta dimana semua komposisi peta mulai dari set
yang sama dan berakhir dengan set yang sama memberikan hasil yang sama.
Di dalam diagram komutatif bisa terdapat dua atau lebih barisan eksak,
3
sehingga dibutuhkan snake lemma untuk membangun barisan eksak panjang
tersebut. Snake lemma berlaku dalam setiap kategori abelian dan merupakan
alat penting dalam homological aljabar dan aplikasi, misalnya dalam algebraic
topology (Atiyah, 1969).
Berdasarkan
latar belakang di atas maka penulis mengambil judul
”Eksistensi Snake Lemma pada Diagram Modul”.
1.2.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
a. Bagaimana sifat barisan eksak homological aljabar?
b. Bagaimana eksistensi Snake Lemma pada Modul?
1.3.
Batasan Masalah
Penelitian ini difokuskan kepada Eksistensi Snake Lemma pada Diagram
Komutatif dalam kajian materi homological aljabar.
a. Mengkaji lebih dalam mengenai homological aljabar.
b. Menunjukkan Eksistensi Snake Lemma pada Modul.
1.4.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini difokuskan kepada Eksistensi Snake Lemma pada Diagram
Komutatif dalam kajian materi homological aljabar.
a. Mengkaji lebih dalam mengenai homological aljabar.
b. Menunjukkan Eksistensi Snake Lemma pada Modul.
1.5.
Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
a. Bagi peneliti menambah wawasan dan pengetahuan dalam mengkaji dan
menganalisis materi mengenai homological aljabar.
b. Bagi mahasiswa diharapkan hasil penelitian ini dapat memberikan
kontribusi dalam pengetahuan dan pendidikan mengenai Snake Lemma yang
merupakan kajian dari Aljabar Abstrak.
50
Bab V
Penutup
5.1.
Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan dapat disimpulkan,
1. Karakteristik dari barisan eksak pendek R-modul adalah :
a. Barisan 0 →
injektif.
b. Barisan
surjektif.
→
c. Barisan 0 →
→
adalah eksak jika dan hanya jika fungsi
→ 0 adalah eksak jika dan hanya jika fungsi g
→
→
→ 0 adalah eksak jika dan hanya jika
fungsi f injektif, fungsi g surjektif, dan
( )=
( ).
→
2. Setelah terbukti keeksakan dari pemetaan
→
→
dimana
maka terdapat fungsi isomorfisma
, lalu
dari Ker
dapat ditunjukkan keeksistensian snake lemma.
5.2.
f
, dan
→
→
dan
,
sehingga
Saran
Dalam penelitian ini dibahas mengenai snake lemma pada diagram
komutatif terkhusus pada modul kategori. Bagi yang tertarik dengan topik ini,
penelitian masih bisa dikembangkan lebih lanjut untuk snake lemma pada bidang
kategori yang lain atau membandingkannya dengan lemma lain yang berlaku pada
teori modul.
51
DAFTAR PUSTAKA
Atiyah, I., (1969): Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley
Publishing Company, Oxford.
Cholily, Y. M., (2013): Homomorfisma, Universitas Haluoleo Kampus Bumi
Tridharma Anduonohu Kendari, 8(1), 1–6.
Eilenberg.S, S., (1962): Foundations of Algebraic Topology, Princeton University
Press, Princeton.
George, P., (1981): Mathematical Discovery, John Wiley Son, New York.
Hudojo, H., (1988): Mengajar Belajar Matematika, Depdikbud, Jakarta.
Kromodihardjo, K., (1990): Struktur Aljabar, UT Jakarta, Jakarta.
Lang, S., (2002): Algebra, Vol. 3, Springer.
Mulyono (2014): Struktur Aljabar 2, Universitas Negeri Medan, Medan.
Rotman (2000): An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, New
York.
Saragih, S., (2012): Struktur Aljabar 1, Larispa, Medan.
Setiawan, A., (2011): Aljabar Abstrak, UNIVERSITAS KRISTEN SATYA
WACANA, Salatiga.
Wijna (2009): Struktur Aljabar, 1, Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.
Wisbauer, R., (1991): Foundations of Module and Ring Theory, University of
Dusseldorf, New York.
Yunita Septriana Anwar, S., (2015): Perumuman Snake Lemma dan Lemma Lima,
FKIP Universitas Mataram, 10(2), 76–79.