LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL 

JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 241 - 251

LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL M 
Muslich
Jurusan Matematika FMIPA UNS
muslich_mus@yahoo.com

ABSTRACT. Based on the McShane   fine partition and McShane integral, it can be
arranged the M    fine partition and M  integral concepts. Furthermore, it is
discussed some simple properties of M  integral and Lemma Henstock.
Keywords: Lemma Henstock, McShane partition and McShane integral.
ABSTRAK. Berdasarkan konsep partisi McShane   fine dan integral McShane dapat
dibangun konsep partisi M    fine dan integral M  . Kemudian dibahas beberapa
sifat sederhana integral M  dan Lemma Henstock.
Kata Kunci: Lemma Henstock, partisi McShane dan integral McShane.

1. PENDAHULUAN
Jenis integral dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu jenis integral
deskriptif dan jenis integral konstruktif. Akhir-akhir ini ke dua jenis integral
tersebut mengalami perkembangan yang cukup pesat. Hubungannya dengan
perkembangan jenis integral konstruktif ini Jae Myung Park et al [3] berhasil

menyusun integral yang dinamakan dengan integral M  . Integral M  ini disusun
berdasarkan konsep integral McShane. Menurut Jae Myung et al [2] maupun
Jarolav Kurzweil et al [6] dikatakan bahwa integral McShane ekivalen dengan
integral Lebesgue dan selanjutnya oleh Tuo-Yeong Lee [7] dikatakan bahwa
integral McShane merupakan bentuk integral konstruktif dari integral Lebsgue. Di
dalam tulisan ini P dimaksud koleksi pasangan selang titik {( I i ,  i )}in1 dengan
Ii  I j   , i  j .

Berdasarkan pasangan selang titik P  {( I i ,  i )}in1 , baik Gordon [6] maupun
D.H. Fremlin [1] mendefinisikan konsep partisi McShane   fine dan integral
McShane sebagai berikut.

242 Muslich

Definisi 1.1 P  {( I i ,  i )}in1 dikatakan partisi McShane   fine pada [a, b] jika
I i  ( i   ( i ),  i   ( i ) ,  i  [a, b]

Definisi 1.2 Fungsi f : [a, b]  R dikatakan terintegral McShane pada [a, b]
ditulis f  M [a, b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap   0
terdapat fungsi positif  ( ) : [a, b]  R  sehingga untuk setiap partisi McShane

  fine P  {( I i ,  i )}in1 pada [a, b] berlaku
n

 f ( ) I
i 1

i

i

 A 

Selanjutnya Jae Myung Park et al [3] dan Jae Myung Park et al [4]
mendefinisikan konsep partisi M    fine pada [a, b] dan integral M  pada

[a, b] sebagai berikut.
Definisi 1.3 P  {( I i ,  i )} dikatakan partisi M    fine pada [a, b] untuk suatu
konstan   0 jika P  {( I i ,  i )}in1 partisi McShane   fine pada [a, b] dan
n

memenuhi

 d ( , I )  
i

i

i 1

Diberikan partisi

dengan d (i , I i )  inf{ x  i : x  I i }

M    fine P  {( I i ,  i )}in1

pada [a, b] dan fungsi
n

f : [a, b]  R , kemudian dibentuk jumlahan S ( f , P)   f ( i ) I i . Dari konsep

i 1

S ( f , P) tersebut didefinisikan integral M  fungsi f pada [a, b] sebagai berikut.
Definisi 1.4 Diberikan bilangan real   0 . Fungsi f : [a, b]  R dikatakan
terintegral M  pada [a, b] ditulis f  M  [a, b] jika terdapat bilangan real A
sehingga untuk setiap   0 terdapat fungsi positif  ( ) : [a, b]  R  sehingga
untuk setiap partisi M    fine P  {( I i ,  i )}in1 pada [a, b] berlaku
n

 f ( ) I
i 1

i

i

 A 

Lemma Henstock Pada Integral M 

243

Bilangan A disebut nilai integral M  pada [a, b] dan dinotasikan dengan

A  (M  )

 fdx .

terintegral M  pada E  [a, b] jika fungsi f E

Fungsi f

[ a ,b ]

terintegral M  pada [a, b] dan berlaku ( M  )  f  ( M  )

 f

E

.

[ a ,b ]

E

Berdasarkan konsep integral M  ini penulis bertujuan untuk membahas
kembali tulisan Jae Myung Park et al [2] tentang sifat-sifat integral M  dan
Lemma Henstock yang bermanfaat melengkapi pernyataan-pernyataan yang
dipandang perlu.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan pada konsep partisi M    fine P  {( I i ,  i )}in1 pada [a, b]
dan konsep integral M  pada [a, b] maka akan dibahas beberapa sifat sederhana
integral M  dan Lemma Henstock. Untuk kemudahan dalam pembahasan
P  {( I i ,  i )}in1

n

dan

( P) f ( i ) I i

berturut-turut

cukup

ditulis

dengan

i 1

P  {( I ,  )} dan ( P) f ( ) I .
Teorema 2.1 Diberikan f : [a, b]  R . Jika fungsi f terintegral M  pada [a, b]
maka nilai integralnya tunggal.
Bukti. Diberikan sebarang   0 . Andaikan nilai integral fungsi f pada [a, b] tidak
tunggal, sebut

A  (M  )

 fdx

[ a ,b ]

dan

B  (M  )

 fdx dengan

A  B, maka

[ a ,b ]

terdapat fungsi positif 1 ( ) : [a, b]  R  sehingga untuk setiap partisi M 

1  fine P  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku ( P) f ( ) I  A 



2

244

Muslich

dan terdapat fungsi positif  2 ( ) : [a, b]  R  sehingga untuk setiap partisi M 


 2  fine P  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku ( P) f ( ) I  B  .
2

Didefinisikan fungsi positif  ( ) : [a, b]  R  dengan  ( )  min{ 1 ( ),  2 ( )},
maka untuk setiap partisi M    fine P  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku
A  B = A  ( P) f ( ) I  ( P) f ( ) I  B

≤ A  ( P ) f ( ) I + ( P ) f ( ) I  B
<



+

2


2

= 

Karena berlaku untuk setiap   0 maka A=B, jadi pengandaian salah yang benar
nilai integral M  fungsi f pada [a, b] adalah tunggal.

Teorema 2.2 M  [a, b] merupakan ruang linear yaitu jika

f , g : [ a, b]  R

terintegral M  pada [a, b] dan k bilangan real maka f  g dan kf terintegral

M  pada [a, b] dan berlaku

a. M   ( f  g )dx = M 
[ a ,b ]

b. M   kfdx = k M 
[ a ,b ]

 fdx + M   gdx

[ a ,b ]

[ a ,b ]

 fdx

[ a ,b ]

Bukti. a.Diberikan sebarang   0 . Diketahui f , g : [a, b]  R terintegral M 
pada [a, b] maka terdapat fungsi positif 1 ( ) : [a, b]  R  sehingga untuk setiap
partisi M  1  fine P'  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku

( P' ) f ( ) I  A 



2 k  1

dan terdapat fungsi positif  2 ( ) : [a, b]  R  sehingga untuk setiap partisi M 

 2  fine P"  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku
( P" ) g ( ) I  B 


2

Lemma Henstock Pada Integral M 

245

Didefinisikan fungsi positif  ( ) : [a, b]  R  dengan  ( )  min{ 1 ( ),  2 ( )},
maka untuk setiap partisi M    fine P  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku

( P) ( f  g )( )  ( A  B) ≤ ( P) ( f ( ) I  A + ( P ) ( g ( ) I  B
<



+

2( k  1)


2

= 

Jadi f  g terintegral M  pada [a, b] dan berlaku

M   ( f

 g )dx = A+ B = M 

[ a ,b ]

 fdx + M   gdx .

[ a ,b ]

[ a ,b ]

b. Selanjutnya juga berlaku
( P' ) kf ( ) I  kA  k ( P' ) f ( ) I  A

<


2( k  1)

0

dan

A  (M  )

misalkan

 fdx dan

[ a ,c ]

B  (M  )

 fdx

maka terdapat fungsi positif 1 ( ) : [a, c]  R  sedemikian

[ c ,b ]

hingga untuk setiap partisi M  1  fine P'  {( I ,  )} pada [a, c] berlaku:

( P' ) f ( ) I  A 


2

dan terdapat fungsi positif  2 ( ) : [c, b]  R  sedemikian hingga untuk setiap
partisi M   2  fine P"  {( I ,  )} pada [c, b ] berlaku

( P" ) f ( ) I  B 


2

.

Didefinisikan fungsi positif  ( ) : [a, b]  R  dengan
 min{ 1 ( ), c   }, jika   [a, c)
 ( ) =  min{ 1 (c),  2 (c)},
jika   c
min{  ( ),   c}, jika   (c, b]
2


Apabila

P  {( I ,  )} merupakan partisi

M    fine

pada [a, b] maka c

merupakan salah satu titik partisinya, dan mudah dipahami jika P  P1  P2
dengan

P1  {( I ,  )} dan P2  {( I ,  )} berturut-turut

merupakan

partisi

  fine pada [a, c] dan [c, b] maka berlaku
( P) f ( ) I  ( A  B) ≤ ( P1 ) ( f ( ) I  A + ( P2 ) ( g ( ) I  B
<


2

+


2

=

M

Lemma Henstock Pada Integral M 

249

Karena berlaku untuk sebarang  >0 maka f terintegral M  pada [a, b] dan
berlaku

M   fdx = A+ B = M   fdx + M   gdx .
[ a ,c ]

[ a ,b ]

[ c ,b ]

Teorema 2.6 (Lemma Henstock) Diberikan f : [a, b]  R . Jika f terintegral

M  pada [a, b] yaitu untuk setiap   0 terdapat fungsi positif  ( ) : [a, b]  R 
sehingga untuk setiap partisi M    fine P  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku

( P) f ( ) I 

f



[ a ,b ]

maka untuk setiap partisi M    fine bagian P'  {( I i ,  i )}im1 dari P  {( I ,  )}
berlaku
m

m

i 1

i 1 I i

( P' ) f ( i ) I i    f ( i )  2
Bukti. Diberikan   0
Misalkan P'  {( I i ,  i )}im1 adalah partisi M    fine bagian dari P  {( I ,  )}
dengan I1 , I 2 ,..., I m adalah selang-selang pada partisi P ' , sedangkan I 1' , I 2' ,..., I k'
adalah selang-selang sisanya sehingga
terintegral

M  pada

m

k

i 1

j 1

[a, b] = ( I i )  ( I 'j ) . Karena f

[a, b] maka f terintegral

M  pada

I 'j

untuk setiap

j  1,2,3,..., k , dengan demikian terdapat fungsi positif  j ( ) : I 'j  R  sehingga
untuk setiap partisi M   j  fine P j pada I 'j berlaku

( Pj ) f ( ) I   f 
I 'j

k


k

Dibentuk P  P'( Pj ) maka P merupakan partisi M    fine pada [a, b] dan
j 1

berlaku

250

Muslich

( P) f ( ) I 



m

k

i 1

j 1

f = ( P' ) f ( i ) I i   f ( j ) I 'j 

[ a ,b ]

f



[ a ,b ]

sehingga berakibat
m

m

i 1

i 1 I i

( P' ) f ( i ) I i    f
k

=

(( P) f ( ) I   f ( j ) I j )  (
j 1

≤ ( P) f ( ) I 

k



f +



f +

[ a ,b ]

≤ ( P) f ( ) I 

<




j 1 I '
j

k

j 1

 f (
j 1

j

) I 'j   f
I 'j



k

+

j 1 I '
j

f   f ( j ) I 'j

k

[ a ,b ]



[ a ,b ]

k

f  f )

k
j 1

= 2 .

Dengan demikian Teorema terbukti.

3. KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan antara lain (i)

M  [a, b] merupakan ruang linear dan (ii) bahwa Lemma Henstock berlaku pada
integral M  yaitu jika diberikan fungsi f : [a, b]  R dan f terintegral M  pada

[a, b] maka untuk setiap   0 terdapat fungsi positif  ( ) : [a, b]  R  sehingga
untuk setiap partisi M    fine P  {( I ,  )} pada [a, b] berlaku

( P) f ( ) I 

f



[ a ,b ]

maka untuk setiap partisi M    fine bagian P'  {( I i ,  i )}im1 dari P  {( I ,  )}
berlaku

Lemma Henstock Pada Integral M 

251

m

m

i 1

i 1 I i

( P' ) f ( i ) I i    f ( i )  2 .

DAFTAR PUSTAKA
D. H. Fremlin, (1994) The Henstock and McShane Integral of Vector Valued
Function, Illionis of Journal Mathematics, 38(3), 471-479.
Jae Myung Park and Deok Ho Lee, (1996) The Denjoy Extension of The
McShane Integral, Bull. Korean Math. Soc. 33(3), 41-416.
Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010) The - M 
integral, Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(1), 99108.
Jae Myung Park, Deok Ho Lee, Yu Han Yoon, and Hoe Kyung Lee, (2010) The
Integration By Parts For The- M  integral, Journal of The Chungcheong
Mathematical Sosiety, 23(4), 861-870.
Jaroslav Kurzweil & S. Schwabik, (1991) McShane Equiintegrability and Vitali’s
Convergence

Theorem,

e-mail

address:

kurzweil@math.cas.cz,

schwabik@math.cas.cz.
R.A. Gordon, (1994) The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock,
Graduate Studies in Mathematics, Volume 4, American Mathematical
Society.
Tuo-Yeong Lee, (2004) Some full Characterizations of the Strong McShane
Integral, Mathematica Bohemica, 129(3), 305-312.