Analisis Sensitivitas Dan Stabilitas Dalam Dea Dengan Ketidakpastian

ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS Oleh RIDAWARNI PASARIBU 117021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh RIDAWARNI PASARIBU
117021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
: Ridawarni Pasaribu : 117021007 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 04 Juni 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 04 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang

2. Dr. Erna Budhiarti 3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN
ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 04 Juni 2014 Penulis, Ridawarni Pasaribu
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Data Envelopment Analysis (DEA) mengabaikan ketidakpastian untuk variable input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan pengamatan tersebut merupakan variable input-output yang sebenarnya guna memilih unit rujukan untuk penaksiran efisiensi. Untuk memasukkan ketidakpastian pada variable input-output dalam DEA, dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Kata kunci : Data envelopment analisis, Ketidakpastian, Stokastik
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Data Envelopment Analysis (DEA) ignores the uncertainty for the input-output variables by treating the observations as if the observation is an input-output variables to select the actual reference unit for assessment of efficiency. To include uncertainty in the input-output variables in the DEA, developed from theory domination of stochastic.. Keyword : Data envelopment analysis, Uncertainty, Stochastic
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat ALLAH SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: Analisis Sensitivitas Dan Stabilitas Dalam DEA Dengan Ketidakpastian. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, MSc(CTM), SpA(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara selaku Pembimbing I yang banyak memberi bimbingan dan petunjuk agar tesis ini dapat selesai dan sesuai dengan yang diharapkan.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara selaku Pembimbing II yang banyak memberi bimbingan dan petunjuk agar tesis ini dapat selesai dan sesuai dengan yang diharapkan.
Ibu Dr. Erna Budhiarti dan Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku pembanding yang banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.
iv
Universitas Sumatera Utara

Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU angkatan tahun 2011 yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan maupun dalam penulisan tesis ini dan tidak lupa penulis ucapkan terimakasih untuk Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis yang berhubungan dengan administrasi penulis selama mengikuti pendidikan. Kepada Drs. Liat Sinaga selaku Kepala Sekolah SMKN 1 Sibolga yang telah memberikan rekomendasi kepada penulis untuk mengikuti Sekolah Pascasarjana USU. Ayahanda Padlan Pasaribu dan Ibunda Siti Mariam Panggabean tercinta atas segala bantuannya baik doa maupun nasehat yang sangat bermanfaat bagi penulis guna terselesaikannya tesis ini. Seluruh keluargaku, Suami tercinta Syahrial Efendi Sitompul dan anak-anak tersayang Hafizh Lufti Sitompul & Syakila Nazwa Sitompul yang memberikan dorongan dan semangat.
Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khususnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu semuanya diserahkan kepada Allah SWT sebagai Tuhan Yang Maha Kuasa. Amin.
Medan, Juni 2013 Penulis,
Ridawarni Pasaribu
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Ridawarni Pasaribu dilahirkan di Sibolga pada tanggal 05 April 1980 dari pasangan Padlan Pasaribu & Siti Mariam Panggabean. Tamat dari Sekolah Dasar Muhammadiyah 01 SIbolga tahun 1993, melanjut ke Sekolah Menengah Pertama Negeri 5 Sibolga dan tamat tahun 1996, kemudian melanjutkan ke SMA Negeri 5 Sibolga dan tamat tahun 1999. Pada tahun 2004 kuliah di Pendidikan UMSU Sumatera Utara. Tahun 2004-2005 penulis menjadi guru di SMP Al Muslimin Pandan. Kemudian tahun 2005 sampai sekarang mengajar di SMKN 1 Sibolga. Menikah dengan Syahrial Efendi Sitompul tanggal 08 bulan Desember tahun 2007 dan dikarunia dua anak yaitu Hafizh Lufthi Sitompul & Syakila Nazwa Sitompul.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian BAB 2 KAJIAN PUSTAKA
2.1 Konsep Program Linear 2.1.1 Bentuk umum program linear 2.1.2 Asumsi program linear
2.2 Data Envelopment Analysis 2.2.1 Orientasi model 2.2.2 Asumsi model 2.2.3 Kegunaan DEA 2.2.4 Keterbatasan DEA
2.3 Efisiensi Relatif

Halaman
i ii iii iv vi vii
1
1 3 4 4
5
5 5 7 7 9 10 10 11 11

vii
Universitas Sumatera Utara

2.4 Analisis Sensitivitas BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Model Ketidakpastian 3.2 Dasar Data Envelopment Analysis (DEA) 3.3 Model Ketidakpastian Dalam DEA 3.4 Analisis Sensitivitas dan Stabilitas 3.5 Contoh Kasus BAB 4 KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

12 15
15 15 18 19 23 25
26

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Data Envelopment Analysis (DEA) mengabaikan ketidakpastian untuk variable input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan pengamatan tersebut merupakan variable input-output yang sebenarnya guna memilih unit rujukan untuk penaksiran efisiensi. Untuk memasukkan ketidakpastian pada variable input-output dalam DEA, dikembangkan dari teori dominasi stokastik. Kata kunci : Data envelopment analisis, Ketidakpastian, Stokastik
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Data Envelopment Analysis (DEA) ignores the uncertainty for the input-output variables by treating the observations as if the observation is an input-output variables to select the actual reference unit for assessment of efficiency. To include uncertainty in the input-output variables in the DEA, developed from theory domination of stochastic.. Keyword : Data envelopment analysis, Uncertainty, Stochastic
iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang

DEA adalah suatu model pemograman matematis yang digunakan untuk menghitung efisiensi relatif suatu unit dibandingkan dengan unit-unit lain menggunakan berbagai macam input dan output yang sejenis. DEA dapat juga digunakan untuk melakukan proses benchmarking. Dengan adanya persoalan ketidakpastian model DEA dalam menganalisis dan menstabilitaskan pengambilan keputusan maka perlunya teknik untuk menentukan efisiensi relatif dari unit produksi (umumnya dikenal sebagai pengambilan keputusan unit, atau DMU) dibandingkan dengan unit lain dengan menggunakan jenis yang sama dari input untuk menghasilkan jenis yang sama dari output.
Ada tiga formulasi pemrograman populer linier yang menunjukkan dalam suatu DMU relatif efisien atau tidak efisien. Model CCR menilai apakah DMU yang efisien pada ukuran skala-paling-produktif (MPSS). Model ini mungkin yang paling banyak digunakan dalam aplikasi DEA. Banker et. al. (1984) memperkenaalkan model Banker, Charnes, dan Cooper (BCC) dan model aditif menentukan apakah DMU adalah Pareto-Koopmans efisien. Dalam konteks ekonomi, model BCC dan aditif menemukan permukaan seluruh produksi yang efisien empiris sedangkan model CCR menemukan subset tepat bahwa permukaan yang terdiri dari unit-unit yang efisien di MPSS tersebut. Untuk single output, satu set-masukan DMU, MPSS adalah ukuran yang menghasilkan produk rata-rata terbesar (yaitu, rasio terbesar output ke input).
Dalam salah satu konteks model, sebuah status DMU adalah tidak menghidupkan efisien atau tidak efisien. Untuk menentukan status ini, program linear yang terpisah harus di diselesaikan, baik secara langsung dari implisit. Karena metodologi DEA secara empiris didasarkan, nilai-nilai input dan output yang harus diukur atau diperkirakan pada suatu titik waktu tertentu untuk masingmasing DMU. Maka sebuah kekhawatiran merupakan akurasi dari tindakan atau perkiraan, daya banding unit pengambilan keputusan (terutama secara duniawi),
1
Universitas Sumatera Utara

2
dan setiap ketidakpastian yang berkaitan dengan nilai-nilai yang diamati. Setiap faktor ini dapat mempengaruhi validitas analisis efisiensi dan mempengaruhi status dari semua unit dalam pertimbangan pengambilan keputusan.
Analisis sensitivitas merupakan elemen penting dari setiap penelitian DEA dengan mengkaji ketahanan dari status masing-masing DMU ketika variasi yang mungkin dalam input dan output. Hal ini lebih dari perpanjangan sederhana dari teori sensitivitas LP tradisional karena sifat dari model DEA.
Analisis sensitivitas tradisional dalam penyusunan program linear berkonsentrasi pada menemukan nilai optimal solusi baru terhadap suatu masalah, sebagai perkiraan terbaru dari beberapa sampel data mulai tersedia, tanpa biaya menyelesaikan masalah dari awal. Hal ini dapat berupa penentuan rentang di mana data yang bervariasi tanpa memerlukan perubahan dalam himpunan vektor menyusun dasar yang optimal. Untuk formulasi model DEA, analisis tradisional ini tidak layak karena perubahan dalam nilai-nilai input dan output dari suatu DMU tertentu secara bersamaan mempengaruhi koefisien struktural dan tangan kanan-side untuk semua LPs kedalam analisis ini. Selain itu, asumsi dasar nondegenerasi yang optimal dan keunikan dari solusi optimal dilanggar untuk masalah DEA. Begitu juga, dalam DEA, perhatian utama merupakan efek yang mungkin memiliki gangguan pada status DMU, bukan hanya pada nilai solusi dari masalah pemrograman linier yang mendasarinya. Akibatnya, pendekatan baru untuk analisis sensitivitas harus dikembangkan ketika mempertimbangkan untuk Model lainnya DEA.
Sampai saat ini, sejumlah analisis sensitivitas dalam studi DEA, sebagian besar sehubungan dengan model aditif. Charnes, Cooper, Lewin, Morey, dan Rousseau (1985) menyajikan sebuah studi perturbasi yang terbatas ke output tunggal atau masukan tunggal dengan menggunakan model CCR. Penelitian ini diperpanjang oleh Charnes, Haag, Jaska, dan Semple (CHJS) untuk mengidentifikasi daerah stabilitas menggunakan model aditif, di mana gangguan yang diijinkan menyebabkan DMU mempertahankan statusnya. Karena model aditif efisien Pareto-Koopmans menemukan perbatasan tanpa memperhatikan masukan atau orientasi output, contoh CHJS yang dibatasi dalam simultan perturbasi dari kedua input dan output dari masing masing dalam model DMU.
Universitas Sumatera Utara

3
Haded et al. (2003) menjelaskan dengan diidentifikasi alokasi input dan output, maka dapat dianalisis lebih jauh untuk melihat penyebab ketidakefisiensian. Pengukuran efisiensi kerja lingkungan dapat dilakukan dengan menggunakan metode parametrik dan metode nonparametrik, dalam hal ini ada tiga pendekatan untuk menghitung efisiensi kinerja lingkungan stokastik, yaitu stochastic frontier analysis (SFA), distribution free analysis (DFA) dan Data Envelopment Analysis (DEA). Metode pendekatan SFA dan DFA adalah metode pendekatan menggunakan metode parametrik, sedangkan DEA menggunakan metode non parametrik. DEA diajukan oleh Charnes et al., (1978) dan kemudian diperluas oleh Banker et al,.(1984). Dengan menggunakan metode DEA dapat mengukur banyak variabel input maupun output, tidak memerlukan asumsi mengenai bentuk fungsional dari variabel yang diukur, dan DMU dapat dibandingkan secara langsung dengan DMU lain yang sejenis.
Efisiensi merupakan salah satu parameter kinerja, yang secara teoritis mendasari seluruh kinerja sebuah perusahaan. Kemampuan menghasilkan output yang maksimal dengan input yang ada, adalah merupakan ukuran kerja yang diharapkan. Pada saat dilakukan pengukuran efisiensi, perusahaan dihadapkan pada kondisi bagaimana mendapatkan tingkat output yang optimal dengan tingkat input yang ada atau menggunakan tingkat input yang minimum dengan tingkat output tertentu.
Namun, ketidakpastian seperti galat pengkuran harus diikutsertakan dalam data observasi. Hal ini memberi indikasi perlunya melakukan analisis sensitivitas dan stabilitas pada DEA. Beberapa peneliti DEA telah mengkaji sensitivitas klasifikasi efisiensi dan tak efisiensi terhadap gangguan dalam data. Seiford dan Zhu (1998), Charnes et al., (1985) dan Cooper et al., (2001) menjelaskan model DEA awal mengandaikan bahwa input dan output diukur dengan nilai eksak pada skala ratio.
1.2 Perumusan Masalah
Pada bagian terdahulu telah dinyatakan bahwa hanya adanya kemungkinan terjadinya galat pengukuran pada data obsercasi perlu dilakukan analisis sensitivitas. Analisis yang telah dilakukan dalam literatur adalah dengan adanya
Universitas Sumatera Utara

4 gangguan data (pertubed data). Cara demikian ini tidak dapat menghasilkan rentang atau radius perubahan agar tetap dipertahankannya stabilitas untuk semua DMU. 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk melihat seberapa jauh perubahan dengan analisis sensitivitas sehingga stabilitas dalam data envelopment analysis tetap terjamin. 1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini untuk meningkatkan efisiensi pemodelan data envelopment analysis agar dapat menyelesaikan persoalan analisis sensitivitas dan stabilitasnya terhadap decision making analysis.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA

2.1 Konsep Program Linear
Program linear merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk linear dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematik tertentu. Jadi pengertian program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analistis yang analisanya menggunakan model matematis, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan (Aminudin,2005).
2.1.1 Bentuk umum program linear

1. Bentuk umum program linear untuk kasus memaksimalkan fungsi sasaran :

Maksimum Z =

n j=1

cj

xj

Dengan batasan :

j=1 xj ≤ bi, xj ≥ 0,

untuk i = 1, 2, . . . , m. untuk j = 1, 2, . . . , n

Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut :

Optimumkan

Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn

Dengan batasan :

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ bi

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2

... ... ... ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ b3

x1, x2, . . . , xn ≥ 0

2. Bentuk umum program linear untuk kasus meminimumkan fungsi sasaran :

Minimumkan Z =

n j=1

cj xj

Dengan batasan :

5
Universitas Sumatera Utara

6

j=1 xj ≤ bi, xj ≥ 0,

untuk i = 1, 2, . . . , m. untuk j = 1, 2, . . . , n

Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn Dengan batasan : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≥ bi a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≥ b2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≥ b3 x1, x2, . . . , xn ≥ 0

Keterangan Z : Fungsi Tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal, minimal). cj : Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan xj dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap Z. n : Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia. m : Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia. xj : Tingkat kegiatan ke-j. aij : Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j. bi : Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan.

Terminologi umum untuk model program linear diatas dapat dirangkum sebagai berikut :

1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut sebagai fungsi tujuan (objective function).
2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu :
(a) Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m.

Universitas Sumatera Utara

7
(b) Fungsi batasan non negatif (non-negative contrains) yaitu variabel xj ≥ 0.
3. Variabel-variabel xj disebut sebagai variabel keputusan (decision variable). 4. Parameter model yaitu masukan konstan aij, bi, cj.

2.1.2 Asumsi program linear Agar penggunaan program linear diatas memuaskan tanpa terbentur pa-
da berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar program linear (Aminudin,2005) sebagai berikut:
1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linear dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.
4. Deterministic (Certainty), berarti bahwa semua parameter (aij, bi, cj) yang terdapat pada program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataanya tidak sama persis.
2.2 Data Envelopment Analysis Pendekatan DEA pertama kali dikembangkan secara teoritik oleh Charnes,
Cooper dan Rhodes pada tahun 1978. DEA pada dasarnya merupakan teknik berbasis pemrograman linear yang digunakan untuk mengukur kinerja relatif dari unit-unit organisasi dimana keberadaan beberapa (multiple) input dan output sulit untuk dibuat perbandingan. DEA mengidentifikasi secara relatif unit yang
Universitas Sumatera Utara

8
menggunakan input dalam memberikan output tertentu dengan cara yang paling optimal dan DEA menggunakan informasi ini untuk membentuk perbatasan (frontier) efisiensi dari data unit-unit organisasi yang tersedia. DEA menggunakan perbatasan efisien ini untuk menghitung efisiensi dari unit-unit organisasi lainnya yang tidak berada pada garis perbatasan yang efisien sehingga dapat memberikan informasi tentang unit-unit yang tidak menggunakan input secara efisien.
Data Envelopment menghitung efisiensi relatif pada sebuah organisasi yang berada dalam kelompok terhadap kinerja organisasi terbaik pada kelompok yang sama. DEA biasanya digunakan untuk mengukur efisisensi pelayananan yang diberikan oleh pemerintah, organisasi non profit maupun BUMN. Unit individual yang dianalisa ini didalam DEA disimbolkan sebagai DMU (Decision Making Unit) atau Unit Pengambilan Keputusan.
Analisis data envelopment (DEA) sebagaimana dikembangkan oleh Charnes et al., (1991) merupakan suatu metode dasar pada sebuah program linear untuk mengevaluasi efisiensi relatif dari beberapa DMU dengan input dan output. Salah satu masalah penting dalam DEA yang telah diteliti oleh banyak kalangan mengenai DEA adalah analisis sensitivitas dari DMU0 tertentu di bawah unit yang di evaluasi. Ketertarikan untuk menganalisis sensitivitas DMU frontier berdasarkan Charne et al., (1991), yang terdiri dari himpunan E (sangat efisien), himpunan E (efisien tapi tidak sangat efisien), dan himpunan F (sangat kurang efisien).
Salah satu tipe analisis sensitifitas DMU adalah berdasarkan pendekatan DEA super efisiensi dimana uji DMU tidak disertakan dalam himpunan referensi (Anderson dan Peterson, Seiford dan Zhu). Charnes et al., mengembangkan teknik analisis sensitifitas super efisiensi DEA untuk situasi dimana perubahan proporsional di asumsikan terhadap suatu input dan output untuk uji DMU. Seiford dan Zhu menciptakan teknik pada Charnes et al., untuk skenario kasus terburuk dimana efisiensi uji DMU menurun sementara efisiensi pada DMU yang lain meningkat. Dalam metodenya, pertubasi data simultan pada input atau output untuk DMUj (j = 0) dan DMU0 diasumsikan dengan persyaratan penting dan memadai untuk mempertahankan klasifikasi efisiensi DMU, dikembangkan secara khusus.
Universitas Sumatera Utara

9
2.2.1 Orientasi model
Dalam analisis pendekatan DEA terdapat dua pengklasifikasian dasar model berdasarkan orientasinya yaitu DEA dengan orientasi input dan DEA dengan orientasi Output. Orientasi ini tergantung pada keterbatasan kontrol oleh manajemen/pengguna model DEA baik terhadap input atau output yang dimiliki oleh unit tersebut. Model DEA yang berorientasi pada output, digunakan pada unit yang telah memiliki input yang memadai sehingga manajemen unit tersebut hanya berfokus pada output dan pengembangannya melalui stratergi pemasaran atau menaikkan reputasi kualitas pelayanannya di mata pelanggan.
Jika sebuah organisasi secara teknis tidak efisien dari suatu perspektif yang berorientasi input, maka dia juga akan secara teknis tidak efisien dari suatu perspektif yang berorientasi output. Dalam pendekatan DEA dikenal dua model pendekatan berdasar hubungan antara variabel input dengan outputnya yaitu model CRS (Constant Returns To Scale) yang dikemukakan oleh Charnes, Cooper dan Rhodes (1978l) serta model VRS (Variable Returns To Scale) yang dikembangkan oleh Banker (1984) dari model pendahulunya. Model dengan kondisi CRS mengindikasikan bahwa penambahan terhadap faktor produksi (input), tidak akan memberikan dampak pada tambahan produksi (ouput).
Sedangkan model dengan kondisi VRS akan memperlihatkan bahwa penambahan sejumlah faktor produksi (input) akan memberikan peningkatan ataupun penurunan kapasitas produksi (output). Biasanya hasil dari perhitungan model DEA berorientasi output dan input akan mengidentifikasi DMU yang efisien secara persis sama. Nilai efisiensi untuk model berorientasi output akan sama dengan nilai efisiensi model berorientasi input. Rata-rata nilai efisiensi untuk model VRS orientasi input secara umum akan lebih besar daripada model CRS berorientasi input (Yasar A. Ozcan; 2008). Charnes Cooper Rhodes memperkenalkan model DEA untuk mengukur suatu ukuran efisiensi untuk masing-masing DMU atau decision making unityang merupakan rasio maksimum antara output yang terbobot dengan input terbobot.Masing-masing bobot yang digunakan dalam rasio tersebut ditentukan dengan batasan bahwa rasio yang sama untuk tiap DMU harus memiliki nilai yang kurang dari satu atau sama dengan satu.
Universitas Sumatera Utara

10
Dengan demikian akan mereduksi multiple input dan multiple outputs ke dalam satu virtual input dan virtual output tanpa membutuhkan penentuan awal nilai bobot. Oleh karena itu, ukuran efisiensi merupakan suatu fungsi nilai bobot dari kombinasi virtual input dan virtual output. Ada juga konsep yang digunakan dalam mendefinisikan hubungan input output dalam tingkah laku dari institusi finansial pada metode parametrik maupun nonparametrik adalah :
i. Pendekatan produksi (the production approach), ii Pendekatan intermediasi (the intermediation approach), dan iii Pendekatan asset (the asset approach). Pendekatan produksi melihat in-
stitusi finansial sebagai produser dari akun deposit (deposit accounts) dan kredit pinjaman (loans); mendefinisikan output sebagai jumlah dari akunakun tersebut atau dari transaksi-transaksi yang terkait.
Input-input dalam kasus ini dihitung sebagai jumlah dari tenaga kerja, pengeluaran modal pada aset-aset tetap (fixed assets) and material lainnya.
2.2.2 Asumsi model Dalam menerapkan model pendekatan DEA, terdapat asumsi-asumsi yang
mendasarinya (Ramanathan: 2003) yaitu :
1. DMU harus merupakan unit-unit yang homogenis, yaitu memiliki fungsi dan tujuan yang sama.
2. Jumlah ukuran DMU dari unit-unit yang disampel besarnya 2 atau 3 kali penjumlahan input dan output
2.2.3 Kegunaan DEA Dengan menggunakan DEA, selain digunakan untuk mengidentifikasikan
unit dengan kinerja terbaik, manajemen perawatan kesehatan bisa juga menggunakannya untuk menemukan cara-cara alternatif guna mendorong unit perawatan
Universitas Sumatera Utara

11
kesehatan lainnya agar menjadi unit berkinerja baik. Selain itu DEA dapat membantu para manajer kesehatan untuk:
1. Menilai kinerja relatif organisasi mereka dengan mengidentifikasi unit dengan kinerja terbaik di pasar perawatan kesehatan.
2. Mengidentifikasi cara-cara untuk meningkatkan kinerja apabila organisasi bukan termasuk golongan organisasi dengan kinerja terbaik.
2.2.4 Keterbatasan DEA Selain kegunaanya yang besar di bidang jasa perawatan kesehatan, DEA
pun memiliki keterbatasan-keterbatasan dalam pengaplikasiannya, antara lain :
1. Karena rumus standar DEA menciptakan program linier terpisah untuk setiap DMU, masalah besar komputasi kerap terjadi.
2. DEA adalah teknik nonparametrik/deterministik maka uji hipotesis statistik sulit dilakukan.
3. Karena DEA merupakan sebuah teknik titik ekstrim, maka kesalahan pengukuran dapat menyebabkan masalah yang signifikan.
4. Hasil pengolahan data dengan memanfaatkan model DEA dapat dengan baik memperkirakan efisiensi relatif dari suatu DMU dibandingkan dengan DMU lainnya namun akan sulit bila menggunakan pendekatan DEA untuk menentukan nilai efisiensi mutlak suatu DMU secara teoritis
2.3 Efisiensi Relatif Menurut David (1984), efisiensi berhubungan dengan seberapa baik dalam
menggunakan sumber daya yang ada untuk mendapatkan suatu hasil. Secara matematis efisiensi merupakan rasio antara output dan input. Namun perhitungan efisiensi di atas masih belum cukup untuk perhitungan efisiensi suatu organisasi atau perusahaan, yang pada kenyataannya tidak hanya melibatkan satu
Universitas Sumatera Utara

12

macam input dan menghasilkan satu macam output saja. Suatu organisasi atau

perusahaan sebenarnya berhubungan dengan bermacam-macam sumber daya baik

input maupun output yang berbeda. Cara Pengukuran yang digunakan dalam me-

tode DEA adalah membandingkan antara input dan output yang dihasilkan dan

input yang ada, yaitu :

E f isiensi

=

Output input

Metode DEA akan menggunakan program linear dalam menentukan efisiensi

relatif terhadap sejumlah decision making unit (DMU). Dalam hal ini bertujuan

yang ingin dicapai ialah mendapatkan DMU terbaik diantara sejumlah DMU yang

lain dengan membandingkan efisiensi DMU-DMU tersebut.

2.4 Analisis Sensitivitas
Solusi optimal dalam persoalan LP diperoleh di bawah asumsi kondisi determinstik (certainty condition), artinya data yang dilibatkan dalam formulasi modelnya bersifat pasti, seperti : harga tetap, kapasitas sumber diketahui secara pasti dan waktu proses yang dibutuhkan telah ditentukan secara pasti. Namun dalam dunia nyata, kondisi deterministik ini tidak realistik : kondisi bersifat dinamis dan selalu ada kemungkinan untuk berubah. Untuk mengantisipasi situasi ini, dibutuhkan suatu analisis sensitivitas untuk mengetahui kepekaan tingkat optimal terhadap kemungkinan perubahan setiap variabel yang dilibatkan dalam formulasi modelnya.
Analisa perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi Program Linier disebut Post Optimality Analisis. Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai parameter yang digunakan dalam model. Atau Analisis Postoptimal (disebut juga analisis pasca optimal atau analisis setelah optimal, atau analisis kepekaan dalam suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu atau beberapa atau semua parameter model tersebut berubah atau menjelaskan pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada.

Universitas Sumatera Utara

13
Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postoptimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya dipelajari melalui Post Optimality analysis dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu:
1. Analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisa Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut.
2. Analisis yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisis sensitivitas.
3. Analisis yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan Parametric-Programming.
Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier maka analisis sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter :
(1). Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj),
(2). Perubahan Koefisien teknologi (aij) (koefisien input-output),
(3). Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala (bi),
Universitas Sumatera Utara

14 (4). Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m) (5). Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj ) (pe-
rubahan nilai n).
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Para pengambil keputusan mengakui bahwa masa depan adalah tidak pasti, tetapi usaha-usaha formal untuk memasukan ketidakpastian dalam pengambilan keputusan jarang dilakukan. Akibatnya, banyak keputusan yang biasa yang diambil. Banyak permasalahan dalam bidang engineering, ekonometris, riset operasi, dan bidang lainnya yang memerlukan optimasi suatu fungsi dengan satu atau beberapa variabel independen. Diantara metode tradisional untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah dengan pemograman matematis seperti pemograman linier atau metode simpleks, pemograman dinamis, dan lain-lain. Dalam metode-metode ini beberapa persamaan harus dilakukan serangkaian percobaan untuk melihat kemungkinan solusi agar memperoleh hasil yang terbaik. Namun apabila fungsinya tidak linier dan ada beberapa variabel, maka usaha keras harus dilakukan. Dengan metode untuk menyelesaikan permasalahan analisis sensitivitas dan stabilitas dalam model ketidakpastian DEA maka diperlukan faktor-faktor yang mendukung dalam pengambilan keputusan. Pemodelan dilakukan dalam dua langkah sebagai berikut.
3.1 Model Ketidakpastian
Langkah pertama dalam pengujian ketahanan adalah identifikasi dari tiga penyebab utama ketidakpastian model, yaitu dalam teori tertentu yang tidak memungkinkan penerapan suatu proses dalam menghasilkan data, populasi tidak diketahui, dan kesenjangan antara konsep sistematis dan pengukuran.
Dengan asumsikan bahwa x adalah vektor keputusan dan ξ adalah vektor ketidakpastian. Karena fungsi tujuan ketidakpastian f(x, ξ) tidak dapat langsung diminimalkan, maka untuk dapat meminimalkan nilai yang diharpkan, yaitu :
minxE[f (x, ξ)]
3.2 Dasar Data Envelopment Analysis (DEA)
15
Universitas Sumatera Utara

16
Liu (2007 & 2010) menjelaskan teori ketidakpastian yang telah menjadi cabang aksiomatik matematika untuk pemodelan ketidakpastian manusia. Pada bagian ini, beberapa konsep dasar dan hasilnya merupakan variabel ketidakpastian.
Misalkan Γ adalah sebuah himpunan kosong, dan l sebuah σ aljabar batas untuk Γ. Dimana elemen ∧ ∈ l adalah ditugaskan untuk bilangan M{∧} ∈ [0, 1] dalam rangka untuk memastikan bahwa jumlah M{∧} memiliki sifat matematika tertentu. Liu (2007 & 2009) memperkenalkan 4 aksioma, yaitu :

Aksioma 1. M{Γ} = 1 untuk seluruh himpunan Γ.

Aksioma 2. M {∧} + M {∧c} = 1 untuk peristiwa ∧ apapun.

Aksioma 3. Untuk setiap urutan dihitung peristiwa ∧1, ∧2, . . . , yang mempunyai

M {∪∞i=1∧i} ≤

∞ i=1

M

{∧}.

Aksioma 4. Misalkan (Γk, lk, Mk) menjadi ruang ketidakpastian bagi k = 1, 2, . . . , n. Kemudian ukuran ketidakpastian M merupakan ukuran ketidakpastian dalam memuaskan M {Πkn=1∧k} = min{1≤k≤n}Mk{∧k}.

Jika fungsi himpunan M memenuhi tiga aksioma, hal ini disebut ukuran ketidakpastian. Maka Liu (2007) menjelaskan beberapa definisi, yaitu :

Definisi 1. Misalkan Γ adalah himpunan kosong, dan l sebuah σ aljabar batas untuk Γ, dan M adalah ruang ketidakpastian. Kemudian ditempatkan ketiga atau triplet (Γ, l, M ) yang disebut ruang ketidakpastian.

Definisi 2. Sebuah variabel ketidakpastian adalah sebuah ukuran fungsi ζ dari sebuah ruang ketidakpastian (Γ, l, M ) ke himpunan bilangan real, dan seterusnya. Untuk semua himpunan B dari bilangan real, himpunannya :

{ξ ∈ B} = {γ ∈ Γ}|ξ(γ) ∈ B}

(3.1)

untuk semua bilangan real x.

Universitas Sumatera Utara

17

Definisi 3. Distribusi ketidakpastian Φ dari sebuah variabel ketidakpastian ξ yang merupakan definisi dari.

Φ(x) = M{ξ ≤ x}

(3.2)

Definisi 4. Misalkan ξ adalah variabel ketidakpastian, maka nilai yang diharapkan dari ξ adalah didefinisikan oleh

+∞ 0

E|ξ| =

M{ξ ≥ r}dr − m{ξ ≤ r}dr

0 −∞

(3.3)

Contoh 1. Sebuah variabel ketidakpastian ξ disebut linear jika memiliki distribusi linear ketidakpastian.

0 jika Φ(x) = (x − a)/(b − a) jika
1 jika

x≤a a≤x≤b x≥b

(3.4)

dinotasikan dengan l(a, b) dimana a dan b merupakan bilangan real terhadap a < b.

Contoh 2. Sebuah variabel ketidakpastian ξ disebut berliku-liku (zigzag) jika memiliki distribusi zigzag ketidakpastian.

 0 jika

 Φ(x) =

(x − a)/2(b − a) (x + c − 2b)/2(c − b)

jika jika

 1 jika

x≤a a≤x≤b b≤x≤c x≥c

(3.5)

dinotasikan dengan Z(a, b) dimana a dan b merupakan bilangan real terhadap a < b.

Contoh 3. Sebuah variabel ketidakpastian ξ disebut normal (zigzag) jika memiliki distribusi normal ketidakpastian.

Φ(x) = (1 + exp(pi(√e − x))) 3σ

(3.6)

dinotasikan dengan N(e, σ) dimana e dan σ merupakan bilangan real terhadap σ < 0.

Definisi 5. Sebuah distribusi ketidakpastian dikatakan umum apabila fungsi inversnya −1(α) ada dan unik untuk setiap α ∈ (0, 1).

Universitas Sumatera Utara

18

Teorema 1. Misalkan ξ1, ξ2, . . . , ξn adalah variabel bebas dengan distribusi ketidakpastian masing-masing 1, 2, . . . ,. Jika f adalah sebuah ketegasan untuk meningkatkan fungsi, kemudian

ξ = f (ξ1, ξ2, . . . , ξn)

(3.7)

adalah sebuah variabel ketidakpastian dengan invers distribusi ketidakpas-

tian.

Ψ−1 = f (Φ1−1(α), Φ2−1(α), . . . , Φ−n 1(α))

(3.8)

3.3 Model Ketidakpastian Dalam DEA

Bagian ini akan memperkenalkan salah satu model ketidakpastian dalam DEA, yang diusulkan oleh Wen et al., (2007). Simbol dan notasi yang diberikan sebagai berikut :

DMUi : DMU ke-i ; i = 1, 2, . . . , n. DMU0 : Target DMU x˜ = [x˜k1, x˜k2, . . . , x˜kp] : Vektor input ketidakpastian dari DMUk ; k = 1, 2, . . . , n.. Φki(x) : Distribusi ketidakpastian dari x˜ki : i = 1, 2, . . . , p. x0 = (x01, x02, . . . , x0p) : Vektor input untuk target DMU0. Φ0i(x) : Distribusi ketidakpastian dari x˜ki : i = 1, 2, . . . , p. y˜k = [y˜k1, y˜k2, . . . , y˜kp] : Vektor output ketidakpastian dari DMUk : k = 1, 2, . . . , n. Ψkj (x) : Distribusi ketidakpastian dari x˜kj ; i = 1, 2, . . . , q. y0 = (y01, y02, . . . , y0q) ; vektor output untuk target DMU0. Ψ0j(x) : Distribusi ketidakpastian dari x˜ki ; i = 1, 2, . . . , q. Diberikan model sebagai berikut :

pq
max s−i + sj+
i=1 i=1

(3.9)

Bergantung kepada :

M(

n k=1

x˜kiλk

≤

x˜0i

−

si−)

≥

α, i

=

1, 2, . . . , p.

M(

n k=1

y˜kiλk

≤

y˜0i

−

si+)

≥

α,

i

=

1, 2,

..

.

,

q.

n k=1

λk

=

1

λk ≥ 0, k = 1, 2, . . . , n.

si− ≥ 0, i = 1, 2, . . . , p.

Universitas Sumatera Utara

19
s+j ≥ 0, k = 1, 2, . . . , q. Definisi 6. α-efisien : DMU0 merupakan α-efisiensi jika s−i ∗(α) dan sj+∗(α) adalah nol dari i = 1, 2, . . . , p dan j = 1, 2, . . . , q dimana si−∗(α) dan sj+∗(α) merupakan solusi optimal dari rumus (3.9).

3.4 Analisis Sensitivitas dan Stabilitas
Bagian ini akan memberikan analisis sensitivitas dan stabilitas model ketidakpastian DEA.

Teorema 2. Jika DMU0 adalah α yang tidak efisien, kemudian memenuhi solusi optimal λ0∗(α) = 0.

Bukti. Asumsikan sebuah target DMU0 yang merupakan DMU1, yaitu : x0 =

x1, y0 = y1. Untuk α tetap, misalkan solusi optimal (λ∗, s−∗, s+∗) dan nilai

objektif optimal adalah

p i=1

si−∗

+

q j=1

s+j ∗.

Jika λ1∗ = 0, kemudian teo-

rema terbukti. Sebaliknya, misalkan λ1 > 0. Karena DMU1 tidak efisien,

terdapat setidaknya satu s−i ∗ > 0 atau s+j ∗ > 0, ; i = 1, 2, . . . , q. tanpa mengurangi bentuk umum, asumsikan s−1 ∗ > 0. Jika λ1∗ = 1, kemudian

M {x11 ≤ x11 − s−1 ∗} = 0. Kontradiksi menyiratkan bahwa λ∗1 = 1.

n
M { xkiλ∗k ≤ x1i − s−i ∗}

k=1

n
= M { xkiλ∗k ≤ (1 − λ1∗)x1i − si−∗}

k=2

= M{

n k=2

xkiλk∗

1 − λi∗

≤

x1i

−

1

si−∗ − λ∗i

}

≥ α, i = 1, 2, . . . , p.

Hal serupa bisa didapatkan dengan

n
= M { ykiλ∗k ≥ y1i − si−∗}
k=1

= M{

n k=2

yki λk∗

1 − λi∗

≤ y1i +

(1

s−i ∗ − λ1∗)

}

Universitas Sumatera Utara

20

≥ α, i = 1, 2, . . . , q.

Karena

= 1.n
k=2

λk∗

1−λ1∗

(0,

,λ∗2

n k=2

λk∗

λ∗3
n
k=2

λ∗k

,

.

.

.

,

)λn∗

n k=2

λ∗k

merupakan

sebuah

solusi layak.

Kemudian nilai objektifnya adalah

(1
1−λ1∗

p i=1

s−i ∗

+

q j=1

sj+∗

)

>

p i=1

si−∗

+

q j=1

s+j ∗),

karena

0

<

λ∗i

<

1,

yang

mengarah

ke

sebuah

kontradiks

dengan asumsi λ − 1∗ = 0 kemudian teorema tersebut terbukti.

Teorema 3. Jika sebuah DMU dengan (x0, y0) tidak efisien setelah mengevaluasi model rumus (3.9), DMU baru dengan (xˆ, yˆ) = (x˜0 −s−∗, y˜0+s+∗) merupakn efisien dari α, dimana s−∗ dan s+∗ adalah solusi optimal dari rumus (3.9).

Bukti : efisiensi (xˆ, yˆ) dievaluasi dengan pemecahan masalah di bawah ini :

pq
max si− + s+j
i=1 j=1

Tergantung kepada :

n
M { x˜kiλk + xˆ0iλ0 ≤ xˆ0i − si−} ≥ α, i = 1, 2, . . . , p.
{k=1,k=0}

(3.10)

n
M { y˜kjλk + yˆ0jλ0 ≤ yˆ0i + sj+} ≥ α, j = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0}
n
λk = 1
{k=1}
λk ≥ 0, ; k = 1, 2, . . . , n.

s−i ≥ 0, ; i = 1, 2, . . . , p.

s+j ≥ 0, ; j = 1, 2, . . . , q.

Biarkan solusi optimal menjadi (λˆ, sˆ+, sˆ−). Andaikan DMU dengan (xˆ0, yˆ0)
tidak efisien, maka λ0 = 0 bisa didapatkan dengan Teorema 2. Dengan memasukkan rumus (xˆ0, yˆ0) = (x˜0 −s−∗, y˜0 +s+∗) menjadi kendala, memiliki
n
M { x˜kiλˆk ≤ x˜0i − sˆi−∗ − si−∗} ≥ α, ; i = 1, 2, . . . , p.
{k=1,k=0}

n
M { y˜kjλˆk+ ≥ y˜0j + sˆ+j + sj+∗} ≥ α, ; j = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0}

Universitas Sumatera Utara

21

Namun, bisa juga menulis kendala sebagai berikut :
n
M { x˜kiλˆk ≤ x˜0i − s˜i−} ≥ α, i = 1, 2, . . . , p.
{k=1,k=0}

n
M { y˜kiλˆk ≥ y˜0j + s˜+j } ≥ α, j = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0}
Dimana s˜+ = sˆ+ + s˜+∗ ≥ 0 dan s˜− = sˆ− + s˜−∗ ≥ 0. Selanjutnya, memiliki

pq

p

q pq

s˜i + s˜j+ = ( sˆj− + s−j ∗) + ( sˆj+ + sj+∗) ≤ s−i ∗ s+j ∗

i=1 j=1

i=1

j=1 i=1 j=1

Karena kendala ini adalah solusi yang layak untuk model (9) dan

p i=1

s−i ∗

+

q j=1

sj+∗

adalah

maksimal.

berarti

bahwa

memiliki

P i=1

sˆ−i

+

q j=1

sˆ+j

=

0

yang

berarti bahwa semua komponen sˆ−i dan sˆj+ adalah nol.

Teorema 3 telah memberikan wilayah stabil saat DMU yang tidak efisien.
Tapi juga ingin mengetahui radius efisien DMUs yang efisien. Untuk tujuan ini, model berikut ini diusulkan :
pq
min t+i + t−j
i=1 j=1

n
M { x˜kiλk ≤ x˜0i + ti+} ≥ α, i = 1, 2, . . . , p.
{k=1,k=0}
n
M { y˜kiλk ≥ y˜0j − tj−} ≥ α, j = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0}
n
λk = 1
{k=1}
λk ≥ 0, ; k = 1, 2, . . . , n.
t−i ≥ 0, ; i = 1, 2, . . . , p.
t+j ≥ 0, ; j = 1, 2, . . . , q.

(3.11)

Teorema 4. DMU α-efisien tinggal α-efisien jika (xˆ0, yˆ0) = (x˜0 + tt∗, y˜0 − t−∗), di mana t+∗ dan t−∗ adalah solusi optimal (3.14).

Universitas Sumatera Utara

22
Bukti : Mempertimbangkan model dea berikut ini untuk mengevaluasi efisiensi relatif dari DMU yang disesuaikan:

Tergantung kepada :

pq
max si− + s+j
i=1 j=1

n
M { x˜kiλk + (x˜0i + ti+∗)λ0 ≤ (x˜0i + tti∗) − si−} ≥ α, i = 1, 2, . . . , p. (3.12)
{k=1,k=0}

n
M { y˜kj λk + (y˜0j + ti−∗)λ0 ≤ (y˜0j + t−j ∗) + s+i } ≥ α, i = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0} n
λk = 1
{k=1}
λk ≥ 0, ; k = 1, 2, . . . , n.
si− ≥ 0, ; i = 1, 2, . . . , p.
sj+ ≥ 0, ; j = 1, 2, . . . , q.

Untuk A tetap, biarkan solusi optimal untuk menjadi (λ∗j , λ0∗, s−∗, s+∗) dan sama bahwa DMU0 tidak efisien. Dari teorema 2, mendapatkan λ0∗ = 0. Sehingga solusi optimal ini adalah solusi yang layak untuk (3.14). Maka ti+∗ − s−i ∗ ≥ ti+∗ dan t−j ∗ − sj+∗ ≥ t−j ∗, yang berarti si−∗ = 0 dan s+j ∗, i = 1, 2, . . . , p; j = 1, 2, . . . , q..
Ini mengarah ke kontradiksi dengan asumsi.

pq
max si− + s+j
i=1 j=1

Tergantung kepada :

n
λkΦ−ki1(α) + λ0Φ−0i1(1 − α) ≤ Φ−0i1(1 − α) − s−i , i = 1, 2, . . . , p.
{k=1,k=0}

(3.13)

n
λkΨk−j1(α) + λ0Ψ−0j1(α) ≤ Ψ−0j1(α) − sj+, j = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0}

Universitas Sumatera Utara

n
λk = 1
{k=1}
λk ≥ 0, ; k = 1, 2, . . . , n.
si− ≥ 0, ; i = 1, 2, . . . , p.
sj+ ≥ 0, ; j = 1, 2, . . . , q.

23

Tergantung kepada :

pq
min s−i + sj+
i=1 j=1

n
λkΦ−ki1(α) ≤ Φ−0i1(1 − α) + ti+, i = 1, 2, . . . , p.
{k=1,k=0}

n
λkΨk−j1(α) ≤ Ψ0−j1(1 − α) + t−i , j = 1, 2, . . . , q.
{k=1,k=0}
n
λk = 1
{k=1}
λk ≥ 0, ; k = 1, 2, . . . , n.

t−i ≥ 0, ; i = 1, 2, . . . , p. tj+ ≥ 0, ; j = 1, 2, . . . , q.

(3.14)

3.5 Contoh Kasus
Just dan Pope (1979) telah mengkritisi fungsi produksi tradisional yang memiliki kelemahan dalam melihat pengaruh perubahan penggunaan input terhadap produk rata-rata dan variabilitas output. Berdasarkan restriksi ini Just dan Pope membuat model dari fungsi produksi yang terdiri dari dua komponen yaitu komponen pertama menjelaskan dampak input terhadap output yang diharapkan dan yang kedua menjelaskan dampak input terhadap variabilitas output. Dengan menggunakan data panel mereka menunjukkan bahwa pupuk nitrogen memiliki dampak meningkatkan varian produktivitas artinya bahwa pemberian pupuk ini dapat meningkatkan risiko produksi.

Universitas Sumatera Utara

24
Kumbhakar (2002) telah mengembangkan model Just dan Pope dengan mengkaitkan antara ketidakpastian produksi, pilihan ketidakpastian dan ketidakpastian produksi. Penelitiannya menggunakan data cross section dari budidaya Salmon di Norwegia. Hasil penelitiannya menunjukkan bahwa sebagian besar nelayan bersifat penghindar ketidakpastian. Pakan ikan memiliki potensi untuk meningkatkan ketidakpastian produksi sedangkan tenaga kerja manusia dapat menurunkan ketidakpastian produksi. Sementara itu bila dilihat dari sisi efisiensi teknis ditemukan bahwa pakan meningkatkan inefisiensi teknis, sedangkan tenaga kerja menurunkan tingkat inefisiensi teknis.
Liu (2009) menganalisis faktor-faktor yang menentukan penggunaan pestisida pada usahatani kapas di China. Hasil analisisnya menunjukkan bahwa semakin takut petani terhadap ketidakpastian atau semakin risk averse, maka semakin banyak pestisida yang digunakan. Petani-petani yang tidak begitu takut ketidakpastian produksi, mereka menggunakan pestisida yang lebih sedikit. Ketika petani memutuskan untuk menggunakan seberapa banyak pestisida yang harus digunakan, memaksimumkan keuntungan tidak lagi menjadi tujuan utama.
Petani-petani itu juga tidak memperhatikan kondisi kesehatannya dan kemungkinan keracunan pestisida. Hasil analisis ini memiliki implikasi kebijakan yang penting diantaranya : (1) memberikan jaminan atas kegagalan usahatani sangat diperlukan untuk mengurangi ketakutan petani dalam menghadapi risiko, (2) memberikan pelatihan-pelatihan untuk adopsi teknologi baru yang lebih menguntungkan dan dapat menurunkan penggunaan pestisida, dan (3) membuat aturan tentang pemasaran benih supaya dipasar tidak ada benih yang berkualitas rendah.
Universitas Sumatera Utara

BAB 4 KESIMPULAN
Dari hasil penelitian diatas, rentang input dan output dan radius stabilitas DMU0 diidentifikasi sebagai berikut:
1. Dalam pengambilan keputusan atau DMU0 α tidak efisien jika (xˆ0, yˆ0) = (x˜0 −s−, y˜0 +s+), dimana s− = {(s−1 , . . . , sp−)}|0 ≤ s−i < s−i ∗, i = 1, 2, . . . , p}, s+ = {(s1+, . . . , s+q )}|0 ≤ s+j < s+j ∗, j = 1, 2, . . . , q}, Dimana si−∗ dan sj+∗ merupakan solusi optimal pemodelan ketidakpastian DEA dalam menganalisis sensitivitas dan stabilitas parameter DMU.
2. Dan untuk menghitung radius yang efisien dalam pemodelan ketidakpastian DEA dalam menganalisis sensitivitas dan stabilitas jika (xˆ0, yˆ0) = (x˜0 − t+, y˜0 + t−), dimana t+ = {(t1, . . . , tp)}|0 ≤ ti < ti+∗, i = 1, 2, . . . , p},t− = {(t1, . . . , tq)}|0 ≤ tj ≤ t−j ∗, j = 1, 2, . . . , q}, Dimana t+i ∗ dan tj−∗ merupakan solusi optimalnya.
Dan Karena latar belakang secara luas mudah menggunakan aplikasinya, analisis data envelopment (DEA) telah menjadi area penelitian yang paling terkenal. Karena data tidak dapat tepat untuk diukur dalam beberapa kasus yang mudah, banyak penelitian telah diterbitkan ketika muncul input dan output ketidakpastian.
25
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Banker R. D. A. Charnes, W.W. Cooper.(1984).Some Models for Estimating Technical and Scale Efficiencies in Data Envelopment Analysis,Management Science Vol.30, pp.1078-1092.
Charnes A.and w.w. Cooper, E. Rodes.(1978).Measuring the Efficiency of Decision Making Units,European Journal of Operational Research,Vol.2,pp.429-444.
Charnes A. J. Rousseau, J. Semple.(1996).Sensitivity and Stability of Efficiency Classifications in Data Envelopment Analysis,Journal of Productivity Analysis, Vol.7,pp.5-18.
Charnes A, L. Neralic.(1990).Sensitivity Analysis of the Additive Model in Data Envelopment Analysis,European Journal of Operational Research,Vol.48,pp.3323441.
Charnes A. S. Haag, P. Jaska, J. Semple.(1992).Sensitivity of Efficiency Classifications in the Additive Model of Data Envelopment Analysis,International Journal of Systems Science, Vol.23,pp.789-798.
Charnes A, W.W. Cooper, A.Y. Lewin, R.C. Morey, J. Rousseau.(1985).Sensitivity and Stability Analysis in DEA,Annals of Operations Research,Vol.2,pp.139156.
Cooper W.W. K.S. Park, J.T. Pastor.(1999).RAM : A Range Adjusted Measure of Inefficiency for Use With Additive Models, and Relations to Other Models and Measures in DEA,Journal of Productivity Analysis, Vol.11,pp.5-24.
Cooper W.W, K.S. Park, G. Yu.(1999).IDEA and AR-IDEA: Models for Dealing With Imprecise Data in DEA,Management ScienceVol.45,pp.597-607.
Cooper W.W. K.S. Park, G. Yu.(2001).IDEA (Imprecise Data Envelopment Analysis) with CMDs (Column Maximum Decision Making Units),The Journal of the Operational Research Society,Vol.52,pp.176-181.
Cooper W.W. K.S. Park, G. Yu.(2001).An Illustrative Application of IDEA (Imprecise Data Envelopment Analysis) to a Korean Mobile Telecommunication Company,Operations Research, Vol.49,pp.807-820.
Entani T, Y. Maeda, H. Tanaka.(2002).Dual Models of Interval DEA and its Extension to Interval Data,European Journal of Operational Research,no.136,pp.32