MODUL TRO DUALITAS DAN SENSITIVITAS
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
MODUL 3
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
a. DUALITAS
Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik
ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah
bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling
berkaitan yang disebut “dual”, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang
disebut "primal”) juga memberi solusi pada dualnya. Pendefinisian dual ini akan
tergantung pada jenis pembatas, tanda - tanda variabel, dan bentuk optimasi dari persoalan
primalnya. Akan tetapi, karena setiap persoalan programa linier harus dibuat dalam bentuk
standar lebih dahulu sebelum modelnya dipecahkan , maka pendefinisian dibawah ini akan
secara otomatis meliputi ketiga hal di atas.
Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling
berlawanan. Konsep yang pertama disebut Primal dan yang kedua Dual. Bentuk Dual
adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:
Masalah Primal (atau Dual)
Koefisien fungsi tujuan ………………
Maksimumkan Z (atau Y) …………...
Batasan i ……………………………..
Bentuk ≤ ……………………………..
Bentuk = ……………………………..
Variabel Xj …………………………..
Xj ≥ 0 ………………………………...
Xj ≥ 0 dihilangkan …………………...
Masalah Dual (atau Primal)
Nilai kanan fungsi batasan
Minimumkan Y (atau Z)
Variabel yi (atau xi)
yi ≥ 0
yi ≥ dihilangkan
Batasan j
Bentuk ≥
Bentuk =
Hubungan Prmal Dan Dual:
Y1, dan Y2 dinamakan variable dual.
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-1-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Bila masalah primal dan dual dibandingkan, terlihat beberapa hubungan sebagai berikut:
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstan sisi kanan masalah dual, sebaliknya,
konstan sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.
2. Tanda pertidaksamaan batasan dibalik.
3. Tujuan diubah dari minimalisasi (maksimalisasi) dalam primal menjadi maksimalisasi
(minimalisasi) dalam dual.
4. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (batasan) dalam dual,
sehingga banyaknya batasan dalam dual sama dengan banyaknya variable primal.
5. Setiap baris (batasan) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual,
sehingga ada satu variable dual untuk setiap batasan primal.
6. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal.
Mencari Solusi Optimum Bentuk Dual
Primal
Minimumkan: Z = 3X1 + 2.5X2
Batasan: 2X1 + 4X2 ≥ 40
3X1 + 2X2 ≥ 50
X1, X2 ≥ 0
Bentuk standar simpleks:
Minimumkan: Z = 3X1 + 2.5X2 + MR1 + MR2
Batasan: 2X1 + 4X2 – X3 + R1 = 40;
3X1 + 2X2 – X4 + R2 = 50;
R1 = 40 - 2X1 - 4X2 + X3
R2 = 50 - 3X1 - 2X2 + X4
Fungsi tujuan menjadi:
Z = 3X1 + 2.5X2 + MR1 + MR2
Z = 3X1 + 2.5X2 + M(40 - 2X1 - 4X2 + X3) + M(50 - 3X1 - 2X2 + X4)
Z = 3X1 + 2.5X2 + 40M – 2MX1 – 4MX2 + MX3 + 50M – 3MX1 – 2MX2 + MX4
Z = 3X1 + 2.5X2 - 5MX1 - 6MX2 + MX3 + MX4 + 90M
Z = (3 – 5M)X1 + (2.5 – 6M)X2 + MX3 + MX4 + 90M
Z - (3 – 5M)X1 - (2.5 – 6M)X2 - MX3 - MX4 = 90M
Table simpleks optimum:
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-2-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Dual
Maksimalkan: W = 40Y1 + 50Y2
Batasan: 2Y1 + 3Y2 ≤ 3
4Y1 + 2Y2 ≤ 2.5
Bentuk standar simpleks:
Maksimalkan: W = 40Y1 + 50Y2
Batasan: 2Y1 + 3Y2 + Y3 = 3
4Y1 + 2Y2 + Y4 = 5/2
Tabel solusi optimum simpleks
Dari segi ekonomi, solusi optimum bentuk dual dapat ditafsirkan sebagai sumbangan per
unit batasan sumber daya. Nilai optimum fungsi tujuan primal dan dual adalah sama. Suatu
masalah seharusnya dirumuskan dalam bentuk primal atau dual, tergantung sepenuhnya
kepada kemudahan perhitungan dalam menyelesaikan suatu masalah. Jika suatu masalah
bentuk primalnya memiliki sejumlah besar batasan sementara variablenya hanya sedikit,
masalah tersebut dapat diselesaikan dengan efektif jika dirumuskan dalam bentuk dual.
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-3-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Contoh 2 :
Primal Minimumkan Z = 2X1 + X2
Fungsi batasan:
1) X1 + 5X2 ≤ 10
2) X1 + 3X2 ≤ 6
3) 2X1 + 2X2 ≤ 8 X1,
X2 ≥ 0
Dual
Maksimumkan Y = 10 y1 + 6y2 + 8y3
Fungsi batasan :
1) y1 + y2 + 2y3 ≥ 2
2) 5y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 1 y1,
y2 ≥ 0
Contoh 3:
Primal
Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3
Fungsi batasan:
1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25
2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30
X1, X2, X3 ≥ 0
Dual
Minimumkan Y= 25y1 + 30y2
Fungsi batasan:
1) 4y1 + 7y2 ≥ 1
2) 8y1 + 5y2 ≥ 3
3) 6y1 + 9y2 ≥ -2
b. ANALISIS SENSITIVITAS
Analisis sensitivitas merupakan analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit
parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimum
nulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter
menyebabkan perubahan drastic dalam solusi, dikatakan bahwa solusi sangat sensitive
terhadap nilai parameter tersebut. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai
pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relative insensitive terhadap nilai
parameter itu.
Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui akibat/pengaruh dari
perubahan yang terjadi pada parameter - parameter Program Linear terhadap solusi optimal
yang telah dicapai.
Ada enam tipe perubahan dalam analisis sensitivitas dengan menggunakan tabel simpleks
yaitu :
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-4-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis.
2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis.
3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas.
4. Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis.
5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru.
6. Penambahan suatu pembatas baru.
Contoh :
1. Fungsi Tujuan:
Maksimumkan : Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
2. Fungsi Pembatas:
Bahan A : X1 + X2=0
Tabel Simpleks
Iterasi-0
Iterasi-1
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-5-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Tabel solusi optimum
Untuk melakukan perubahan-perubahan parameter dalam analisis sensitivitas, perlu
diperhatikan matriks invers A (A-1) pada table solusi optimum di atas, yaitu :
Matrik A-1 disebut Matrix Starting Solution yang dijadikan pedoman dalam melakukan
perubahan parameter :
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj)
Pada solusi optimum : (C2 C1) kalikan dengan matyrix starting solution, maka
G = 600 (9) + 1.000 (3) = 8.400
2. Perubahan kapasitas sumberdaya bi (NK) :
Pada solusi optimum, kapasitas sumberdaya bi (NK) yang dipergunakan adalah
Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
= 150.000 (400) + 100.000 (200)
= 60.000.000 + 20.000.000
= 80.000.000
Jika setelah solusi optimum terjadi perubahan, misalnya :
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-6-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Jadi :
X1 = 300, X2 = 400 dan Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
= 150.000 (300) + 100.000 (400)
= 45.000.000 + 40.000.000
= 85.000.000
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-7-
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
MODUL 3
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
a. DUALITAS
Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik
ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah
bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling
berkaitan yang disebut “dual”, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang
disebut "primal”) juga memberi solusi pada dualnya. Pendefinisian dual ini akan
tergantung pada jenis pembatas, tanda - tanda variabel, dan bentuk optimasi dari persoalan
primalnya. Akan tetapi, karena setiap persoalan programa linier harus dibuat dalam bentuk
standar lebih dahulu sebelum modelnya dipecahkan , maka pendefinisian dibawah ini akan
secara otomatis meliputi ketiga hal di atas.
Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling
berlawanan. Konsep yang pertama disebut Primal dan yang kedua Dual. Bentuk Dual
adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:
Masalah Primal (atau Dual)
Koefisien fungsi tujuan ………………
Maksimumkan Z (atau Y) …………...
Batasan i ……………………………..
Bentuk ≤ ……………………………..
Bentuk = ……………………………..
Variabel Xj …………………………..
Xj ≥ 0 ………………………………...
Xj ≥ 0 dihilangkan …………………...
Masalah Dual (atau Primal)
Nilai kanan fungsi batasan
Minimumkan Y (atau Z)
Variabel yi (atau xi)
yi ≥ 0
yi ≥ dihilangkan
Batasan j
Bentuk ≥
Bentuk =
Hubungan Prmal Dan Dual:
Y1, dan Y2 dinamakan variable dual.
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-1-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Bila masalah primal dan dual dibandingkan, terlihat beberapa hubungan sebagai berikut:
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstan sisi kanan masalah dual, sebaliknya,
konstan sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.
2. Tanda pertidaksamaan batasan dibalik.
3. Tujuan diubah dari minimalisasi (maksimalisasi) dalam primal menjadi maksimalisasi
(minimalisasi) dalam dual.
4. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (batasan) dalam dual,
sehingga banyaknya batasan dalam dual sama dengan banyaknya variable primal.
5. Setiap baris (batasan) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual,
sehingga ada satu variable dual untuk setiap batasan primal.
6. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal.
Mencari Solusi Optimum Bentuk Dual
Primal
Minimumkan: Z = 3X1 + 2.5X2
Batasan: 2X1 + 4X2 ≥ 40
3X1 + 2X2 ≥ 50
X1, X2 ≥ 0
Bentuk standar simpleks:
Minimumkan: Z = 3X1 + 2.5X2 + MR1 + MR2
Batasan: 2X1 + 4X2 – X3 + R1 = 40;
3X1 + 2X2 – X4 + R2 = 50;
R1 = 40 - 2X1 - 4X2 + X3
R2 = 50 - 3X1 - 2X2 + X4
Fungsi tujuan menjadi:
Z = 3X1 + 2.5X2 + MR1 + MR2
Z = 3X1 + 2.5X2 + M(40 - 2X1 - 4X2 + X3) + M(50 - 3X1 - 2X2 + X4)
Z = 3X1 + 2.5X2 + 40M – 2MX1 – 4MX2 + MX3 + 50M – 3MX1 – 2MX2 + MX4
Z = 3X1 + 2.5X2 - 5MX1 - 6MX2 + MX3 + MX4 + 90M
Z = (3 – 5M)X1 + (2.5 – 6M)X2 + MX3 + MX4 + 90M
Z - (3 – 5M)X1 - (2.5 – 6M)X2 - MX3 - MX4 = 90M
Table simpleks optimum:
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-2-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Dual
Maksimalkan: W = 40Y1 + 50Y2
Batasan: 2Y1 + 3Y2 ≤ 3
4Y1 + 2Y2 ≤ 2.5
Bentuk standar simpleks:
Maksimalkan: W = 40Y1 + 50Y2
Batasan: 2Y1 + 3Y2 + Y3 = 3
4Y1 + 2Y2 + Y4 = 5/2
Tabel solusi optimum simpleks
Dari segi ekonomi, solusi optimum bentuk dual dapat ditafsirkan sebagai sumbangan per
unit batasan sumber daya. Nilai optimum fungsi tujuan primal dan dual adalah sama. Suatu
masalah seharusnya dirumuskan dalam bentuk primal atau dual, tergantung sepenuhnya
kepada kemudahan perhitungan dalam menyelesaikan suatu masalah. Jika suatu masalah
bentuk primalnya memiliki sejumlah besar batasan sementara variablenya hanya sedikit,
masalah tersebut dapat diselesaikan dengan efektif jika dirumuskan dalam bentuk dual.
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-3-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Contoh 2 :
Primal Minimumkan Z = 2X1 + X2
Fungsi batasan:
1) X1 + 5X2 ≤ 10
2) X1 + 3X2 ≤ 6
3) 2X1 + 2X2 ≤ 8 X1,
X2 ≥ 0
Dual
Maksimumkan Y = 10 y1 + 6y2 + 8y3
Fungsi batasan :
1) y1 + y2 + 2y3 ≥ 2
2) 5y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 1 y1,
y2 ≥ 0
Contoh 3:
Primal
Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3
Fungsi batasan:
1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25
2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30
X1, X2, X3 ≥ 0
Dual
Minimumkan Y= 25y1 + 30y2
Fungsi batasan:
1) 4y1 + 7y2 ≥ 1
2) 8y1 + 5y2 ≥ 3
3) 6y1 + 9y2 ≥ -2
b. ANALISIS SENSITIVITAS
Analisis sensitivitas merupakan analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit
parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimum
nulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter
menyebabkan perubahan drastic dalam solusi, dikatakan bahwa solusi sangat sensitive
terhadap nilai parameter tersebut. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai
pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relative insensitive terhadap nilai
parameter itu.
Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui akibat/pengaruh dari
perubahan yang terjadi pada parameter - parameter Program Linear terhadap solusi optimal
yang telah dicapai.
Ada enam tipe perubahan dalam analisis sensitivitas dengan menggunakan tabel simpleks
yaitu :
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-4-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis.
2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis.
3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas.
4. Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis.
5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru.
6. Penambahan suatu pembatas baru.
Contoh :
1. Fungsi Tujuan:
Maksimumkan : Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
2. Fungsi Pembatas:
Bahan A : X1 + X2=0
Tabel Simpleks
Iterasi-0
Iterasi-1
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-5-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Tabel solusi optimum
Untuk melakukan perubahan-perubahan parameter dalam analisis sensitivitas, perlu
diperhatikan matriks invers A (A-1) pada table solusi optimum di atas, yaitu :
Matrik A-1 disebut Matrix Starting Solution yang dijadikan pedoman dalam melakukan
perubahan parameter :
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj)
Pada solusi optimum : (C2 C1) kalikan dengan matyrix starting solution, maka
G = 600 (9) + 1.000 (3) = 8.400
2. Perubahan kapasitas sumberdaya bi (NK) :
Pada solusi optimum, kapasitas sumberdaya bi (NK) yang dipergunakan adalah
Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
= 150.000 (400) + 100.000 (200)
= 60.000.000 + 20.000.000
= 80.000.000
Jika setelah solusi optimum terjadi perubahan, misalnya :
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-6-
DUALITAS DAN SENSITIVITAS
Teknik Riset Operasional
STMIK Kaputama Binjai
Jadi :
X1 = 300, X2 = 400 dan Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
= 150.000 (300) + 100.000 (400)
= 45.000.000 + 40.000.000
= 85.000.000
Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom
-7-