24
melihat apakah nilai tersebut berbeda nyata dari nol. Nilai autokorelasi dari data yang random akan tidak berbeda nyata dari nol.
2.4.4 Runtun Waktu Stasioner
2.4.4.1 Proses Autoregresif AR
Bentuk umum suatu proses autoregresif tingkat p AR p adalah
t p
t p
t t
t
a Z
Z Z
Z +
+ +
+ =
− −
−
φ φ
φ ....
2 2
1 1
Yaitu nilai sekarang suatu proses dinyatakan sebagai jumlah tertimbang nilai-nilai yang lalu ditambah dengan satu sesatan sekarang yakni a
t
dan φ
merupakan parameter autoregresi. Jadi dapat dipandang Z
t
diregresikan pada p nilai Z yang lalu Soejoeti, 1987: 3. 2.
Dimana, Z
t
: nilai variabel dependen pada waktu t Z
p t
−
: variabel independent yang dalam hal ini merupakan lag beda waktu dari variabel dependen pada satu periode
sebelumnya hingga p periode sebelumnya a
t
: sesatan goncangan random
1
φ
,
2
φ
,
p
φ
: koefisien parameter dari model Autoregresive. 2.4.4.1.1
Proses AR 1 Model dari proses AR 1 adalah
t t
t
a Z
Z +
=
−1
φ .
dengan suku sesatan
t
a ~ ,
2 a
N σ . Model ini dianggap stasioner karena
t
a independen dengan Z
t-1
, maka variansinya adalah
25
2 2
2 2
1 2
a z
z t
t t
a Var
Z Var
Z Var
σ σ
φ σ
φ
+ =
+ =
−
atau
2 2
2
1
a z
σ σ
φ =
− .
Soejoeti, 1987:
3. 3
Supaya
2 z
σ berhingga dan tidak negatif, haruslah -1 φ 1. Ketidaksamaan tersebut merupakan syarat agar runtun waktunya
stasioner. Karakteristik yang dimunculkan oleh koefisien autokorelasi pada
model AR 1 adalah terdapatnya sebuah autokorelasi yang berbeda nyata dengan nol.
Menurut Nachrowi, 2004:253 menyatakan bahwa berdasarkan analisis empiris didapat dua karakter model AR1, yaitu:
a. Autokorelasinya turun secara eksponensial
b. Ada sebuah parsial korelasi yang signifikan.
2.4.4.1.2 Proses AR 2
Model dari proses AR 2 adalah
t t
t t
a Z
Z Z
+ +
=
− −
2 2
1 1
φ φ
Untuk stasioneritasnya dapat disimpulkan μ = 0, maka
2 2
1 1
− −
+ =
k k
k
ρ φ
ρ φ
ρ Soejoeti,
1987: 3.
6
26
Variansinya adalah
1 1
1 .
1
2 1
2 1
2 2
2 2
φ φ
φ φ
φ σ
φ σ
− +
− −
+ −
=
a Z
Soejoeti, 1987:
3. 7
Supaya setiap faktor dalam penyebut positif yang memberikan daerah stasioner haruslah
-1
2
φ
1 1
2 1
2 1
+ −
+
φ φ
φ φ
Soejoeti, 1987:
3. 7
Secara umum ciri model AR p adalah fungsi autokorelasi parsial FAKP terputus pada lag-p.
2.4.4.2 Proses Moving Average MA
Bentuk umum suatu proses moving average tingkat q MA q adalah
q t
q t
t t
t
a a
a a
Z
− −
−
− −
− −
= θ
θ θ
....
2 2
1 1
. Dimana,
Z
t
: variabel dependen pada waktu t θ
1
, θ
2
, θ
3
: koefisien model MA yang menunjukkan bobot. a
t
: sesatan goncangan random Nilai varians dari model tersebut adalah
2 2
2 2
2 1
2
... 1
q q
Z
σ θ
θ θ
σ
+ +
+ +
=
27
dengan
q
θ merupakan parameter moving average ke-q dan
q t
t t
a a
a
− −
−
, ,
2 1
adalah nilai residual sebelumnya. Untuk q terhingga, proses ini selalu stasioner Soejoeti,
1987: 3. 17. 2.4.4.2.1
Proses MA 1 Model dari proses MA 1 adalah
1 1
−
− =
t t
t
a a
Z θ
, dimana
1 1
−
θ Mean Z
t
yaitu μ = 0 untuk semua k.
Rumus variansinya adalah
2 2
2
1
a Z
σ θ
γ σ
+ =
=
2 1
a
θσ γ =
dan =
k
γ , k1.
Soejoeti, 1987: 3. 18 Maka fungsi autokorelasi FAK dan fungsi autokorelasi parsial
FAKP adalah
2 1
1 θ
θ ρ
+ =
1 ,
= k
k
ρ dan
1 2
2 1
1 1
1
+ −
− −
− =
k k
k kk
θ θ
θ φ
. Soejoeti, 1987: 3. 19
Salah satu sifat MA yaitu fungsi autokorelasi FAK terputus setelah lag 1, tetapi fungsi autokorelasi parsial FAKP tidak terputus.
Menurut Nachrowi, 2004:253 menyatakan bahwa studi empiris menunjukkan bahwa pola fak dan fakp dalam model MA berbeda antara
28
nilai θ yang bertanda positif dan negatif. Model MA1 akan terlihat
pola. a. Positif
1. Ada satu autokorelasi yang signifikan.
2. Autokorelasi parsialnya mendekati nol secara eksponensial.
b. Negatif 1.
Ada satu autokorelasi yang signifikan 2.
Autokorelasi parsialnya mendekati nol secara eksponensial tetapi bertukar-tukar tanda
2.4.4.2.2 Proses MA 2
Proses ini mempunyai model:
2 2
1 1
− −
+ −
=
t t
t t
a a
a Z
θ θ
. Untuk mencari fungsi autokorelasi FAK:
2 2
2 1
2 1
1
1 1
θ θ
θ θ
ρ
+ +
+ =
2 2
2 1
2 2
1
θ θ
θ ρ
+ +
=
2 ,
= k
k
ρ .
Soejoeti, 1987: 3. 20 2.4.4.3
Proses Campuran ARMA Model ARMA p,q berbentuk:
q t
q t
t p
t p
t t
t
a a
a Z
Z Z
Z
− −
− −
−
+ +
+ +
+ +
+ =
θ θ
φ φ
φ ...
...
1 1
2 2
1 1
. Soejoeti, 1987: 3. 28
29
Untuk proses ARMA 1,1 mempunyai model:
1 1
− −
+ +
=
t t
t t
a a
Z Z
θ φ
. Syarat stasioner dan invertebel yaitu:
-1 φ 1
-1 θ 1
Diperoleh E Z
t
= 0 karena φ ≠ 1.
Soejoeti, 1987: 3. 29
2.4.5 Runtun Waktu Nonstasioner
