∫
=
t
du u
h x
t S
exp ,
,
maka
exp
_
, ,
β x
x t
S x
t S
=
2.14 dengan S
t,x adalah sebuah fungsi survival saat semua kovariat bernilai nol.
2.4 Model Parametrik
Walaupun model parametrik tidak mempunyai kemudahan seperti pada model Cox proportional hazard
karena memerlukan pengecekan terhadap asumsi-asumsi, akan tetapi hasil yang diperoleh dari model paremetrik lebih baik.
Pada beberapa keadaan, Efron dan Oakes menunjukan bahwa nilai parameter pada model parametrik lebih tepatguna daripada hasil model Cox proportional
hazard [6].
Dalam skripsi ini dilakukan perbandingan antara model Cox proportional hazard
dengan dua model parametrik, yaitu model eksponensial dan model Weibull..
2.4.1 Distribusi Eksponensial
Dalam teori peluang dan statistik, distribusi eksponensial termasuk distribusi yang kontinu. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk model
waktu antara kejadian-kejadian bebas yang terjadi pada nilai rata-rata konstan [10].
Distribusi eksponensial mempunyai satu parameter λ dan fungsi
hazard nya selalu konstan.
λ λ
λ
1 lim
2
− ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ =
∫
− ∞
→ u
t u
dt e
t .
1 1
1 lim
1 lim
lim 1
lim
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
= −
− =
− −
= +
− =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
=
− ∞
→ −
− ∞
→ −
− ∞
→ −
− ∞
→
∫ ∫
e e
e te
dt e
te dt
e e
t
u u
u t
t u
u t
t u
u t
t u
Fungsi kepadatan peluang pdf dari distribusi eksponensial adalah: ,
, ≥
=
−
λ λ
λ
t e
t f
t
. 2.15
Sifat-sifat distribusi eksponensial: 1
ET =
∫
=
− ∞
→ u
t u
dt e
t 1
lim
λ λ
λ
.
Bukti:
dt e
t dt
e t
T E
t u
u u
t u
λ λ
λ λ
− ∞
→ −
∞ →
∫ ∫
= =
lim lim
2 VarT = ET
2
– ET
2
=
2
1 λ
. Bukti:
∫
− =
− =
∞ →
u t
u
dt e
t T
E T
E T
Var
2 2
2 2
1 lim
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
1 2
1 lim
2
− ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− =
∫
− −
∞ →
u t
t u
tdt e
e t
λ
λ λ
1 2
lim
2
− ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− =
∫
− −
∞ →
u t
t u
dt te
e t
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡−
=
− ∞
→ u
t t
u
e
λ
λ λ
1 lim
u t
t u
e
λ
− ∞
→
− = lim
t u
u
e e
λ λ
− −
∞ →
+ −
= lim
t
e
λ
−
=
t T
P t
S e
e e
t t
t t
Δ =
Δ =
= =
Δ −
− Δ
+ −
λ λ
λ
. 1
1 2
1 2
lim
2 2
2 2
2 2
λ λ
λ λ
λ
λ
= −
+ =
− ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− =
− ∞
→ t
u
e t
3
t u
t t
u
e dt
e t
S
λ λ
λ
− −
∞ →
= =
∫
lim
.
Bukti:
dt e
dt e
t S
u t
t u
u t
t u
∫ ∫
− ∞
→ −
∞ →
= =
λ λ
λ λ
lim lim
. 4
λ λ
λ λ
= =
=
− −
t t
e e
t S
t f
t h
, nilai hazard konstan. 5
PT t + |
t T
P t
T t
Δ =
Δ , sifat ini disebut “memoryless property”.
Bukti: PTt+
, |
t S
t t
S t
T P
t t
T P
t T
P t
T t
t T
P t
T t
Δ +
= Δ
+ =
Δ +
= Δ
.
2.4.2 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull adalah generalisasi dari distribusi eksponensial. Pada distribusi eksponensial nilai hazardnya adalah konstan. Hal ini sering kali
tidak sesuai dengan keadaan sebenarnya. Akan tetapi pada distribusi Weibull nilai hazardnya tidak konstan. Oleh karena itu distribusi Weibull lebih
mendekati pada keadaan sebenarnya. Distribusi Weibull mempunyai dua parameter, yaitu
λ dan γ . Fungsi
kepadatan peluang pdf dari distribusi Weibull adalah: λ
= t
f γ
] exp[
1
γ γ
λ λ
t t
−
−
; ,
, ,
γ λ
t 2.16
dan fungsi survival dari distribusi Weibull adalah: ]
exp[
γ
λt t
S −
= .
2.17 Fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah:
1 −
=
γ
λ λγ t
t h
. 2.18
Jika 1
γ maka
t h
monoton naik, 1
= γ
maka t
h konstan dan jika
1 γ
maka t
h monoton turun. Kondisi ini menjelaskan bahwa hazard akan
meningkat ketika 1
γ , konstan seperti halnya pada distribusi eksponensial
jika 1
= γ
, dan menurun pada 1
γ .
2.5 Residual
