Metode Untuk Menentukan Konsensus Ranking Problem

METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS
RANKING PROBLEM

TESIS

Oleh
GIM TARIGAN
087021016/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS
RANKING PROBLEM

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh
GIM TARIGAN
087021016/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: METODE UNTUK MENENTUKAN

KONSENSUS RANKING PROBLEM
Nama Mahasiswa : Gim Tarigan
Nomor Pokok
: 087021016
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof.Dr.Tulus,MSi)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof.Dr.Opim Salim S,M.Sc)
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc.)

Tanggal lulus: 17 Februari 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 17 Februari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota

: Prof.Dr.Tulus, MSi
: 1. Prof.Dr.Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Marwan Ramli, M.Si
3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Masalah dasar dalam penentuan pemeringkatan konsensus adalah masalah pengkombinasian pemeringkatan-pemeringkatan menjadi pilihan kelompok atau pemeringkatan konsensus dengan diketahuinya sekumpulan pemeringkatan atas himpunan berhingga alternatif. Pengambil keputusan (DM) sering diminta menyampaikan preferensi mereka atas sekumpulan objek, misalnya penentuan proyek
baru, produk baru, kandidat dalam pemilu, dan lain-lain. Masalah pemeringkatan
bisa diklasifikasikan dalam dua katagori dasar, yaitu masalah kardinal dan ordinal. Adapun tujuan dari tulisan ini adalah untuk memperoleh konsensus ranking,
dengan menggunakan beberapa algoritma-algoritma dan metode. Dalam tulisan
ini algoritma atau metode yang digunakan adalah algoritma parsial, pemeriksaan
heuristik, algoritma konsensus ranking optimal, model Borda-Kendal (BAK), model Pemeringkatan Konsensus (CRM), Memaksimalkan model hauristik persesuaian (MAH) dan Model berbasis-jarak hybrid (DCM). Untuk melihat keefektifan
dan efisiensi algoritma dan metode dibuat beberapa contoh.

Kata kunci: Konsensus Ranking Ordinal.

i

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
The basic issue in determining of the consensus ranking is a combination of ranking to be a group alternative or consensus level by a group of grading or any
alternatives. Decision makers (DM) are always required to submit their preference on a group of object, such as determining of new project, new product, candidate

in general election etc. The ranking issue is classified into two basic categories,
i.e. cardinal and ordinal issue. This thesis aims to study the ranking using any
algorithm and method. In this thesis, the applied algorithm or method is are partial algorithm, heuristic assessment, optimal ranking consensus algorithm, Borda
- Kendal (BAK) model, Consensus ranking model (CRM), maximize the adjustment heuristic model (MAH) and hybrid distance based model (DCM). In order
to study the effectiveness and efficiency of algorithm, any sample are prepared.

Keyword: Ordinal Ranking Consensus

ii

Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita,penulis mengucapkan
puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkatNya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul : METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING
PROBLEM. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi
pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya
kepada :

Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM),Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU dan Staf Pengajar pada
Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang
telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris dan Staf Pengajar Program Studi
Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
iii

Universitas Sumatera Utara

selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan moril dan dorongan kepada
penulis.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua dan mertua serta seluruh keluarga
yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih pada istri tersayang Suryani Br Pinem, S.Kep yang dengan setia mendampingi
dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan
tesis ini selesai. Terakhir, ucapan terima kasih kepada anak-anak tersayang :
Satya Pratama Tarigan, Arya Gina Br Tarigan, Nico Septianta Tarigan, Dimas Hardi Putra Tarigan, Christin Natalia Br Tarigan yang telah
memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga
tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.

Medan, Februari 2011
Penulis,
Gim Tarigan

iv

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

DAFTAR ISI

v

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Kontribusi Penelitian

4

1.5 Metodologi Penelitian

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

2.1 Perbandingan berpasangan

5

2.2 Pelanggaran Konsensus

6

2.3 Bobot

7

BAB 3 LANDASAN TEORI

9

3.1 Konsensus Ranking

9

3.2 Model Borda-Kendal (BK)

9

3.3 Model Konsensus Ranking (CRM)

9

3.4 Memaksimalkan model Heuristik persesuaian (MAH)

10

3.5 Model berbasis-jarak hybrid (DCM)

10

v

Universitas Sumatera Utara

3.6 Posedur Meranking.

10

BAB 4 IMPLEMENTASI

12

4.1 Pendekatan berbasis - jarak

12

4.2 Algoritma Parsial.

16

4.3 Pemeriksaan Heuristik

17

4.4 Algoritma Utama - Konsensus ranking Optimal

18

4.5 Menyelesaikan permasalahan numeric.

19

4.6 Model

21

BAB 5 KESIMPULAN

29

DAFTAR PUSTAKA

31

vi

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Masalah dasar dalam penentuan pemeringkatan konsensus adalah masalah pengkombinasian pemeringkatan-pemeringkatan menjadi pilihan kelompok atau pemeringkatan konsensus dengan diketahuinya sekumpulan pemeringkatan atas himpunan berhingga alternatif. Pengambil keputusan (DM) sering diminta menyampaikan preferensi mereka atas sekumpulan objek, misalnya penentuan proyek
baru, produk baru, kandidat dalam pemilu, dan lain-lain. Masalah pemeringkatan
bisa diklasifikasikan dalam dua katagori dasar, yaitu masalah kardinal dan ordinal. Adapun tujuan dari tulisan ini adalah untuk memperoleh konsensus ranking,
dengan menggunakan beberapa algoritma-algoritma dan metode. Dalam tulisan
ini algoritma atau metode yang digunakan adalah algoritma parsial, pemeriksaan
heuristik, algoritma konsensus ranking optimal, model Borda-Kendal (BAK), model Pemeringkatan Konsensus (CRM), Memaksimalkan model hauristik persesuaian (MAH) dan Model berbasis-jarak hybrid (DCM). Untuk melihat keefektifan
dan efisiensi algoritma dan metode dibuat beberapa contoh.

Kata kunci: Konsensus Ranking Ordinal.

i

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
The basic issue in determining of the consensus ranking is a combination of ranking to be a group alternative or consensus level by a group of grading or any
alternatives. Decision makers (DM) are always required to submit their preference on a group of object, such as determining of new project, new product, candidate
in general election etc. The ranking issue is classified into two basic categories,
i.e. cardinal and ordinal issue. This thesis aims to study the ranking using any
algorithm and method. In this thesis, the applied algorithm or method is are partial algorithm, heuristic assessment, optimal ranking consensus algorithm, Borda
- Kendal (BAK) model, Consensus ranking model (CRM), maximize the adjustment heuristic model (MAH) and hybrid distance based model (DCM). In order
to study the effectiveness and efficiency of algorithm, any sample are prepared.

Keyword: Ordinal Ranking Consensus

ii

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Secara umum dapat dikatakan bahwa mengambil atau membuat keputusan
berarti memilih satu diatara sekian banyak alternatif. Minimal ada dua alternatif
dan dalam prakteknya lebih dari dua alternatif dimana pengambil atau pembuat keputusan (decision makers) harus memilih salah satu berdasarkan pertimbangan atau kriteria tertentu. Inti dari pengambilan keputusan ialah terletak
dalam perumusan berbagai alternatif pemilihan yang tepat setelah suatu evaluasi
atau penilaian mengenai efektivitasnya dalam mencapai tujuan yang dikehendaki
pengambil keputusan. Salah satu komponen terpenting dari proses pembuatan
keputusan ialah kegiatan pengumpulan informasi dari mana suatu apresiasi mengenai suatu keputusan dapat dibuat.
Setiap manusia hampir selalu membuat keputusan, bahkan dalam kehidupannya sehari-hari. Ketika manusia membuat keputusan, ada suatu proses yang
terjadi pada otak manusia yang akan menentukan keputusan yang dibuat. Ketika keputusan yang akan dibuat sederhana seperti memilih warna baju, manusia
dapat dengan mudah membuat keputusan. Namun jika keputusan yang akan diambil bersifat kompleks dengan risiko yang besar, seperti masalah penggabungan
dari sekumpulan ranking untuk memperoleh satu konsensus ranking secara keseluruhan yang mewakili kelompok maka persoalan pengambilan keputusan menjadi
rumit. Pengambil keputusan sering memerlukan alat bantu dalam bentuk analisis
yang bersifat ilmiah, logis dan berstruktur. Alat analisis tersebut adalah berupa
model pembuat keputusan yang dipakai untuk membuat keputusan masalah yang
bersifat kompleks. Persoalan menggabungkan sekumpulan ranking agar diperoleh suatu konsensus keseluruhan atau ranking kompromi yang representative
telah banyak diteliti. Konsensus ranking dikaji dalam banyak bidang ilmu seperti
: ilmu organisasi, psikologi, administrasi kebijakan publik, penelitian marketing
1

Universitas Sumatera Utara

2
dan ilmu managemen. Beberapa pendekatan yang berbeda diajukan untuk menggabungkan respon-respon Pengambil Keputusan (DM) menjadi satu kompromi
atau konsensus. Beberapa metode untuk penggabungan preferensi individu diajukan antara lain oleh : Kemeny dan Snell (1962), Kendall (1962), Inada (1969).
Masalah konsensus ranking dapat dikatagorikan menjadi dua kelompok dasar
yaitu masalah Kardinal dan masalah Ordinal. Formulasi ranking Kardinal terjadi dimana DM dapat menyatakan tinggkat preferensi satu arternatif atas alternatif lainnya . Ranking Kardinal adalah suatu bentuk fungsi utilitas. Sebaliknya
ranking Ordinal tidak mengharuskan tingkat preferensi tertentu. Ranking Ordinal lengkap dari n alternatif haruslah berupa susunan bilangan-bilangan bulat
(1, 2, . . . , n). Perolehan konsensus ranking Kardinal melibatkan optimisasi fungsifungsi kontinu atas keseluruhan daerah konveks. Akan tetapi, ranking Ordinal
lebih kompleks karena melibatkan optimisasi sedemikian atas daerah tertentu.
Dalam tesis ini penulis berkonsentrasi pada masalah ranking Ordinal. Daya tarik
representasi dan formulasi ranking Ordinal adalah sebagian jumlah informasi minimal dibutuhkan dimana masing masing DM hanya mengambil preferensi satu
alternatif atas alternative lainnya. Bentuk pengembangan konsensus paling sederhana dari pemeringkatan Ordinal adalah kaidah mayoritas.
Borda. J.C (1781) mengajukan ”metode tanda” untuk mengembangkan
konsensus tentang opini-opini dengan menentukan rata-rata dari ranking-ranking
yang dialokasikan DM kepada masing -masing alternatif dengan alternatif pemenang merupakan alternatif dengan rata-rata terendah. Versi serupa dari model ini dipresentasikan Kendall (1962) kemudian. Kendall adalah orang pertama
mengkaji masalah ranking Ordinal dalam kerangka statistik dengan mendekati
masalah sebagai masalah penaksiran. Solusi Kendall menyusun ranking alternatifalternatif menurut jumlah ranking ekuivalen dengan metoda tanda. Teknik Borda - Kendall (BK) adalah metode konsensus ranking yang paling luas digunakan di dalam praktek karena kesederhanaan perhitungannya. Cook dan Seiford
(1982) mengkaji lebih lanjut teknik BK dan mengajukan metode ”variansi minimum”untuk menentukan konsensus ranking.

Universitas Sumatera Utara

3
Metode popular untuk mengembangkan konsensus adalah mendefenisikan
fungsi jarak pada kumpulan semua ranking-ranking dan kemudian menentukan
ranking Ordinal terdekat yang mungkin dalam artian jarak minimum.
Beberapa peneliti lainnya menggunakan integer programming dan goal programming untuk menyelesaikan masalah konsensus ranking. Ali et al (1986) mempresentasikan pendekatan integer untuk mengembangkan konsensus ranking dari
fungsi jarak. Cook et al (2006) menggunakan percobaan simulasi yang ekstensif
untuk membandingkan pendekatan integer programming dengan prosedur heuristik. Iz dan Jelassi (1991) menggunakan goal programming untuk mengukur preferensi individu dari anggota-anggota kelompok melalui skema ranking Ordinal.
Kriteria ganda juga umum digunakan untuk merumuskan dan menyelesaikan
masalah konsensus ranking Cook dan Kress (1991) mengajukan model ranking
Ordinal berbobot dimana masing-masing kumpulan n alternatif diberi peringkat
Ordinal atas sekumpulan kriteria. Kriteria tersebut adalah :
1. Pentingnya bobot yang dialokasikan pada masing masing kriteria.
2. Pentingnya berbagai posisi pada mana alternatif bisa ditempatkan, dan
3. Presisi dengan mana DM bisa membedakan antara alternatif-alternatif atas
kriteria tertentu.
Menyimpulkan bahwa metode konsensus ranking optimal tidak bisa ditekankan
kepada DM. Lebih baik memahami kekuatan dan kelemahan dari masing masing
metode dan menyerahkan pilihan metode tertentu kepada DM.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini timbul dimana kelompok k pengambil keputusan diminta menyusun peringkat n alternatif, dan bagaimana menggabungkan ranking-ranking pengambil keputusan menjadi satu konsensus ranking.

Universitas Sumatera Utara

4
1.3 Tujuan Penelitian
1. Tujuan penelitian ini adalah menggabungkan ranking - ranking individu
menjadi konsensus ranking tunggal dari seluruh n alternatif untuk seluruh
k DM.
2. Dari algoritma: Algoritma Parsial, Pemeriksaan Heuristik, DCM, BK, MAH
dan CRM, akan ditentukan hasil pengurutan ranking atas suatu rentang
masalah dengan k DM dan n alternatif.

1.4 Kontribusi Penelitian
Kontribusi dari penelitian ini akan berguna kiranya untuk memahami apakah
algoritma konsensus sangat mencerminkan keputusan konsensus yang dicapai kelompok - kelompok yang anggota-anggotanya telah lebih dahulu menyelesaikan
ranking individual.
1.5 Metodologi Penelitian
a. Dapat memahami metode/algoritma-algoritma, yaitu : Metoda Borda Kendall (BK), Model Konsensus Ranking (CRM), Memaksimalkan model
Heuristik persesuaian (MAH), Model Berbasis-jarak hybrid (DCM), Algoritma Parsial, Algoritma Utama-Konsensus Ranking Optimal.
b. Dengan menggunakan metode/algoritma-algotitma diatas, maka dapat digabungkan sejumlah ranking-ranking menjadi satu konsensus ranking.
c. Model/Algoritma-algoritma diatas dapat digunakan dalam menyelesaikan
persoalan Numerik

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Perbandingan berpasangan
Format yang umum untuk mengekspresikan preferensi adalah menggunakan
perbandingan berpasangan. Cara ekspresi orang untuk mengambil pilihan langsung atas satu objek ketimbang yang lainnya bila dibandingkan dua objek dan
bukan mengharuskan orang membandingkan semua objek secara simultan. Cook
dan Kress (1990) membahas, preferensi konsumen atas serangkaian produk umumnya didapat dari responden dengan cara perbandingan berpasangan. Kepada
konsumen umumnya diajukan pertanyaan berbentuk selera,” apakah anda lebih
menyukai produk a atau produk b?”. Sebagai perbandingan berpasangan misalnya, a mengalahkan b. Dengan demikian, perbandingan berpasangan memberikan
kerangka praktis, dalam berbagai keadaan, untuk mengumpulkan informasi tentang preferensi ordinal.
Memang sangat menarik bila perbandingan semua objek tidak dimungkinkan
dan hanya ranking parsiel yang bisa diberikan. Dalam kasus dimana pemilih atau
anggota komisi, hanya bisa menyampaikan preferensi tentang subset objek yang
tepat, maka rangking parsial lah informasi yang paling bisa diberikan orang lain.
Dalam sebagian setuasi, dapat dispesifikasi ranking total dari n objek atas skala
ordinal dalam format vektor A = (a1 , a2, ..., an) di mana ai ∈ {1, 2, ..., n} adalah
posisi ranking yang ditempati oleh objek i. Gambaran vektor seperti ini, tidak
banyak artinya secara praktis, dan karenanya orang harus kembali ke perbandingan berpasangan. Metode berpasangan jelas menguntungkan dalam aplikasi ini
dimana masing-masing DM akan diminta menilai hanya suatu subset proposal.
Masalah pengembangan konsensus diantara serangkaian preferensi ordinal
adalah masalah yang timbul dalam berbagai situasi. Banyak peneliti yang bertujuan untuk mencapai konsensus atau kompromi opini diantara serangkaian preferensi konsumen. Disejumlah bidang seperti ilmu komputer, tulisan yang di5

Universitas Sumatera Utara

6
ajukan ke konferensi utama dinilai sebelum diterima untuk dimasukkan dalam
program. Pengajuan dikirimkan kepada banyak DM, yang mengembalikan evaluasi mereka kepada komisi program yang kemudian bertemu selama berhari-hari
untuk menyepakati daftar tulisan-tulisan yang diterima. Para DM umumnya tidak
memperlakukan pengajuan dengan cara yang sama dengan yang mereka lakukan
pada pengajuan jurnal (yaitu, mereka tidak bersedia menginvestasikan waktu dan
usaha untuk melakukan peninjauan sepenuhnya). Karenanya, layak kiranya meminta masing-masing DM untuk mengurutkan sejumlah ranking yang diajukan,
dan kemudian menggabungkan hasilnya. Karena ranking hanya berfungsi sebagai
bahan baku bagi komisi (yang mungkin menggantikan urutan yang direkomendasikan sebagian DM), ranking ordinal dan terutama penggunaan perbandingan
berpasangan adalah pendekatan yang sangat diinginkan.
Terakhir, aplikasi yang menarik lainnya yang melibatkan penggabungan ranking dari ranking-ranking parsial yang diperoleh melalui mesin pencari di World
Wide Web. Cara ini berfungsi untuk menggambarkan kemungkinan aplikasi yang
luas dari ranking ordinal dan perbandingan berpasangan di lingkungan praktek.
Masalah pengembangan konsensus ranking dari preferensi-preferensi yang
diberikan dalam format berpasangan dikaji pertama kali oleh Kemeny dan Snell
(1962) dan kemudian oleh Borgart (1975) yang memperluas struktur urutan parsial. Dalam kedua kasus metode penyelesaian yang mungkin tidak ada dipresentasikan. Masalah konsensus ranking dalam kasus dimana preferensi-preferensi
digambarkan dalam format vektor (urutan ranking) ada diteliti secara ekstensif
oleh banyak peneliti antara lain Cook dan Seiford (1978), Kirkwood dan Sarin
(1985) serta Cook dan Kress (1991),dan berbagai metoda penyelesaian yang didasarkan pada fungsi jarak.
2.2 Pelanggaran Konsensus
Terlepas dari penggambaran yang digunakan untuk mendatangkan preferensi, apakah itu dalam format vektor atau perbandingan berpasangan,salah satu
criteria yang paling umum digunakan untuk mengembangkan kompromi atau kon-

Universitas Sumatera Utara

7
sensus ranking adalah meminimalkan jumlah pelanggaran (umumnya disebut dengan konsensus ranking pelanggaran minimum). Idenya adalah untuk memperoleh ranking keseluruhan yang menunjukkan jumlah terkecil kasus di mana opini
para pemilih atau responden dilanggar. Misalnya, jika pemilih lebih menyukai a
ketimbang b, namun konsensus ranking mengharuskan b lebih disukai ketimbang
a, maka pelanggaran a terjadi. Walaupun ada kriteria lain untuk mengembangkan
konsensus seperti teknik jarak aturan kaki Spearman, metoda pelanggaran minimumlah yang paling banyak digunakan dalam praktek. Sebagai contoh misalnya,
ranking keseluruhan pemain dalam turnamen bertingkat dimaksudkan untuk menjadi ranking yang menyimpang dari hasil kompetisi aktual hingga tingkat paling
kecil yang mungkin. Sebagian besar alat praktis untuk menggabungkan preferensipreferensi konsumen didasarkan pada ide ini. Dalam kasus ini, di mana preferensi
dispesifikasi ranking dalam format vektor, umumnya dihitung jumlah atau ratarata ranking. Objek dengan penjumlahan atau rata-rata terendah menempati
ranking pertama,dan seterusnya.
Cook et al (2006) mengembangkan algoritma cabang dan batas untuk mencapai konsensus ranking proposal-proposal dengan pelanggaran minimum. Di
catat bahwa masalah pelanggaran minimum adalah NP-hard karena ekuivalensinya dengan masalah himpunan arc feedback minimum. Dengan demikian, menggunakan prosedur cabang dan batas adalah pendekatan yang layak. Walaupun
mungkin hanya perlu menentukan proposal pemenang, dan bukan ranking total
semua alternatif, metode berbasis-jarak yang di gunakan pada umumnya agar
konsensus ranking total disusun sebelum proposal ’ranking puncak’ benar-benar
ditemukan. Seperti yang akan dijelaskan, proposal pemenang bisa muncul sebelum algoritma mencapai ranking total seluruh alternatif.
2.3 Bobot
Metoda Borda - Kendall (BK) merupakan prosedur yang paling banyak digunakan untuk menentukan bobot. Dengan metoda BK,tempat pertama diberi
bobot atau nilai m, tempat kedua diberi bobot atau nilai m − 1, yang diikuti

Universitas Sumatera Utara

8
dengan m − 2, ..., 2 dan tempat terakhir diberi bobot atau nilai 1(satu). Karena
kesederhanaan perhitungannya, metode BK sangat populer. Tetapi penentuan
bobot agak bersifat subjektif.
Untuk menghindari subjektivitas dalam penentuan bobot, Cook Dan Kress
(1990) mengajukan penggunaan data envelopment analisis (DEA) untuk menentukan bobot paling menguntungkan untuk masing-masing kandidat. Kandidat
yang berbeda-beda menggunakan kumpulan bobot yang berbeda untuk menghitung total bobot mereka, yang disebut sebagai total bobot relatip terbaik dan
semuanya dibatasi pada lebih kecil dari atau sama dengan satu. Kandidat dengan
totol bobot relatip terbesar dari satu disebut efficient DEA dan bisa dianggap sebagai pemenang. Pendekatan ini sangat efektif, tetapi sangat sering menghasilkan
lebih dari satu kandidat yang efisient DEA.
Untuk memilih pemenang dari antara kandidat-kandidat efisient DEA, Cook
dan Kress (1990) mengajukan maksimisasi gap antara bobot-bobot sehingga hanya
satu kandidat yang merupakan eficient DEA yang tersisa.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
LANDASAN TEORI

3.1 Konsensus Ranking
Masalah dasar dalam prioritas konsensus ranking adalah masalah pengkombinasian ranking-ranking menjadi pilihan kelompok atau konsensus ranking dengan diketahuinya sekumpulan ranking atas alternatif himpunan berhingga. Masalah perankingan dapat diklasifikasikan dalam dua katagori dasar, yaitu masalah kardinal dan masalah ordinal. Perumusan ranking kardinal mengharuskan
individu menyatakan tingkat preferensi dalam ranking, sementara dalam ordinal
tidak diperlukan. Masalah ordinal disebut ranking ordinal lengkap bila tidak
ada ikatan dalam ranking dan sifat transitivitas ada. Masalah pengkombinasian
ranking-ranking ordinal menjadi konsensus ranking yang paling sederhana adalah
aturan mayoritas. Kendall (1962) mengajukan suatu pendekatan dimana preferensi individu-individu, yang dinyatakan sebagai fator-faktor prioritas, cukup
dijumlahkan dan kemudian diambil rata-rata sebagai pilihan konsensus.
3.2 Model Borda-Kendal (BK)
Dengan menggunakan model BK, hitunglah nilai rata-rata dari peringkat
untuk masing masing proyek atas semua DM. Proyek dengan bobot gabungan
terendah adalah proyek yang paling diinginkan dan proyek dengan bobot gabungan tertinggi adalah proyek yang paling sedikit diinginkan.
3.3 Model Konsensus Ranking (CRM)
Dengan menggunakan CRM, mula-mula di bentuk matriks intensitas preferensi yang menujukkan berapa kali proyek i lebih diinginkan ketimbang proyek j
untuk masing-masing DM. CRM mengevaluasi semua permutasi urutan ranking
yang mungkin dengan mengembangkan matriks frekwensi dari total persesuaian
9

Universitas Sumatera Utara

10
(ideal) untuk masing-masing permutasi. Selanjutnya, untuk masing-masing matriks frekwensi persesuaian total, jarak dari matriks ke matriks intensitas preferensi dihitung dengan menghitung jumlah selisih absolute antara matriks frekwensi
persesuaian total dan matriks intensitas preferensi.
3.4 Memaksimalkan model Heuristik persesuaian (MAH)
MAH menggunakan matriks persesuaian untuk masing-masing ranking proyek satu per satu. Jika untuk proyek i, Pi = 0, yang menyatakan secara tidak
langsung bahwa tidak ada DM lebih menginginkan proyek i ketimbang proyek
lainnya, proyek i ditempatkan di dasar pemeringkatan konsensus akhir. Akan
tetapi, jika untuk proyek i, Ni = 0, yang menyatakan secara tidak langsung bahwa tidak ada DM lebih menginginkan salah satu alternatif lainnya ketimbang
proyek i, proyek i ditempatkan di puncak ranking.
3.5 Model berbasis-jarak hybrid (DCM)
DCM membentuk matriks preferensi tunggal yang menggambarkan berapa
kali masing-masing proyek menempati ranking di atas ranking semua proyek lainnya dan seperti halnya CRM, DCM menggunakan metodologi perbandingan matriks ideal sebagai pengganti tugas berulang-ulang membangun kembali matriks
persesuaian dalah MAH. Langkah pertama dalam DCM adalah mengembangkan
matriks frekwensi awal yang menunjukkan berapa kali proyek i menempati ranking di atas ranking proyek j.
3.6 Posedur Meranking.
Ranking total dari suatu himpunan N proposal P = {p1 , . . . , pn } adalah
permutasi R = (pj1 , . . . , pjn ) dari P . Suatu sub-ranking dari R adalah himpunan terurut dari beberapa proposal berturut-turut dalam R dengan urutan
yang sama seperti dalam R. Akhiran (awalan) dari suatu rangking R adalah subranking R yang memuat proposal terakhir (pertama) dari R atau suatu ranking
kosong. Suatu ranking parsial dari himpunan P adalah suatu himpunan bagian

Universitas Sumatera Utara

11
terurut dari P . Dalam tulisan ini diasumsikan bahwa preferensi untuk peninjau k
diberikan oleh struktur perbandingan berpasangan biner melalui matriks ranking


Ak = akpq , dimana
akpq

=

(

1
−1
0

jika proposal p lebih diinginkan ketimbang q
jika proposal q lebih diinginkan ketimbang p
jika p dan q tidak dibandingkan

Karena tidak ada artinya membandingkan proposal p dengan dirinya sendiri, maka ditetapkan akpp = 0 untuk semua p dan k. Diasumsikan bahwa setiap peninjau
menyampaikan preferensi yang jelas terhadap satu proposal ketimbang dua proposal. Pengikatan dua proposal yang dievaluasi bukanlah pilihan yang sah bagi
peninjau.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
IMPLEMENTASI

4.1 Pendekatan berbasis - jarak
Kemeny dan Snell (1962) membuktikan bahwa dengan keberadaan himpunan aksioma-aksioma natural, fungsi jarak dalam ruang ranking adalah fungsional nilai absolut. Pada dasarnya, jarak d antara setiap ranking dua matriks
A = (apq ) dan B = (bpq ) diberikan oleh
N

N

1 XX
|apq − bpq |
d(A, B) =
2 p=1 q=1


Definisi 1 Diketahui koleksi ranking parsial A1, A2 , . . . , Ak nilai konsensus ranking dari B (dalam representsi matriks) diberikan oleh
M(B) =

K
X
k=1

K

N

N


1 X X X  k
apq − bpq 
d(A , B) =
2
p=1 q=1
k

(4.1)

k=1

Untuk selanjutnya, kita sederhanakan notasi dengan menggunakan rumus M(R)
di mana argumen R adalah ranking (dalam gambaran vektor) dan bukan matriks
yang dihasilkannya.
Definisi 2 Sebuah ranking R∗ adalah konsensus ranking optimal jika meminimalkan nilai konsensus M(R) atas semua ranking yang mungkin di R.

Masalah konsensus ranking perbandingan berpasangan, sepanjang pengetahuan penulis, tidak pernah dipandang sebelumnya dari perspektif programming matematik murni. Kesulitan utama dalam mengembangkan struktur programming matematik adalah dalam persyaratan bahwa elemen-elemen bpq dalam
ranking matriks B yang bersesuaian memenuhi syarat transitivitas.
12

Universitas Sumatera Utara

13
Kita bisa menyatakan masalah sebagai rumus integer programming sebagai
berikut. Definisikan himpunan variabel biner xpq untuk semua p 6= q di mana
xpq = 1 jika proposal p lebih diinginkan dari pada proposal q dan 0 untuk lainnya.
Juga, untuk setiap pasang proporsal {p, q}, misalkan statistik rangkuman rpq
adalah jumlah peninjau yang lebih menginginkan q ketimbang p. Karenanya, rpq
merupakan jumlah pelanggaran yang akan terjadi jika p mempunyai ranking di
atas q dalam ranking akhir. Sekarang, selesaikan masalah integer programming
biner.
X

max

rpq xpq

(4.2)

{p,q}∈P 2 :p6=q

∀{p, q, s} ∈ P 3 : p 6= q, p 6= s, q 6= s

s.t xpq + xqs ≤ 1 + xps

xpq + xqp = 1

∀{p, q} ∈ P 2

xpq ∈ {0, 1}
Perlu ditegaskan bahwa walaupun secara teoritis kita bisa mengembangkan
konsensus ranking dengan menyelesaikan masalah di atas, ukuran menjadi isu utama. Pada pokoknya, jumlah batasan diberikan oleh N(N −1)(N − 2) +0, 5N(N −
1), yang untuk kasus, katakanlah, 60 proposal menghasilkan sekitar 207.090 batasan. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma cabang dan batas.
Sekali lagi, jelas bahwa sejumlah prosedur untuk berbagai representasi ranking
ada dibahas dalam Cook dan Kress (1991). Akan tetapi, tidak ada metodologi
formal dengan test perhitungan yang menyertainya dipresentasikan untuk metode
konsensus Kemeny dan Snell (1962).
Untuk menginisiasi algoritma cabang dan batas di definisikan uk sebagai
jumlah proporsal yang dievaluasi peninjau k. Di catat bahwa nilai dari rpq dan
uk semuanya merupakan informasi yang dibutuhkan untuk menghitung nilai konsensus M(R) untuk suatu ranking R.
M(R) =

X

{p,q}∈P :p≻R q

K
1 X  N − uk 
rpq +
2
2

(4.3)

k=1

Universitas Sumatera Utara

14
Di mana p ≻R q menotasikan fakta bahwa p mendahului q dalam ranking R.
Penjumlahan pertama dalam (3) menghitung jumlah kasus di mana peninjau lebih
menginginkan p ketimbang q tetapi g mendapat ranking pada posisi lebih tinggi
dalam ranking R. Setiap kasus sedemikian mengkontribusikan 1 kepada M(R).
Penjumlahan kedua menghitung kasus di mana peninjau tidak menyampaikan
preferensi antara p dan q (karena ia tidak meninjau kedua proposal ini). Setiap
kasus sedemikian mengkontribusikan

1
2

kepada nilai konsensus. Diketahui bahwa

penjumlahan kedua didefinisikan secara unik oleh nilai N dan u1, . . . , uk yang
tetap konstan untuk semua ranking. Karena itu, ranking yang meminimalkan
M(R) =

X

rpq

(4.4)

{p,q}∈P :p≻R q

juga meminimalkan M(R). Karenanya, untuk selanjutnya akan dikaji minimisasi
M(R) sebagai pengganti M(R).
Proposisi 4.1 (Sifat separabilitas) Perhatikan konsensus ranking optimal R∗ dari
suatu himpunan proposal P .

Misalkan R1 , . . . , Rm adalah partisi dari R∗ ke

dalam m sub-ranking berturut-turut yang membagi P menjadi P1 , . . . , Pm . Maka
R1 , . . . , Rm adalah konsensus ranking optimal dari P1 , . . . , Pm berkenaan dengan
preferensi peninjau yang sama.
Bukti. Perhatikan nilai dari ranking R∗
M(R∗) =

X

{p,q}∈P :p>Rq

rpq =

m−1
X

m
X

X

i=1 j=i+1 p∈Pi ,q∈Pj

rpq +

m
X

X

rpq

(4.5)

i=1 {p,q}∈Pi :p>Rq

Sekarang, melalui kontradiksi asumsikan bahwa untuk suatu i terdapat suatu
ri′

(ranking proposal-proposal Pi ) sedemikian sehingga M(R′i ) < M (Ri ). Dengan

mengganti Ri dengan R′i hanya mempengaruhi suku ke-i dalam penjumlahan kedua dalam (5) dan karenanya optimalitas R∗ kontradiksi.
Definisi 3 (Awalan Memenuhi Syarat (EP)) : Suatu awalan R = (q1 , . . . , qs )
disebut memenuhi syarat jika syarat-syarat berikut dipenuhi

Universitas Sumatera Utara

15
1.
2.
3.
4.

P

q∈P \R rqs ,q

Ps−1
i=a

Ps−1
i=a

Ps−1
i=a

6

rqs,qi >
rqi ,qa >
rqs,qi >

qa > qs .

P

q∈P \R rq,qs

Ps−1
i=a

Ps−1
i=a

Ps−1
i=a

rqi ,qsi untuk semua a = 1, . . . , s − 1
rqa ,qi untuk semua a = 1, . . . , s − 1
rqi ,qsi untuk semua a = 1, . . . , s − 1 sedemikian sehingga

Proposisi 4.2 Setiap awalan dari suatu ranking optimal memenuhi syarat 1-3
Definisi 3.3.

Bukti. Perhatikan ranking R = (q1 , . . . , qs , . . . , qn ). Jika syarat 1 dilanggar untuk
awalan (q1, . . . , qs) maka ranking (q1 , . . . , qs−1 , qs+1 , . . . , qn .qs ) lebih baik daripada
R. Untuk mengetahuinya, catat bahwa dengan menggeser qs ke ujung, ukuran
P
konsensus meningkat hingga q∈P \R rq,qs karena peninjau yang lebih menginginkan
P
qs ketimbang proposal {qs+1 , . . . , qn } tetapi berkurang hingga q∈P \R rqs,q karena

peninjau yang lebih menginginkan proposal ini ketimbang qs .

Untuk pertimbangan serupa, jika syarat 2 dilanggar maka ranking (q1 , . . .
, qa−1 , qs , qa, . . . , qs−1 , qs+1 , . . . , qs ) lebih baik daripada R. Jika syarat ketiga dilanggar maka ranking (q1 , . . . , qa−1, qa+1 , . . . , qs−1 , qa, qa+1 , . . . , qs−1 , qa, qs , . . . , qn )
lebih baik.
Proposisi 4.3 Ada ranking optimal yang memenuhi syarat 4 untuk semua awalannya.
Bukti. Perhatikan ranking R1 = (q1, . . . , qn) di mana awalan (q1, . . . , qs ) adalah
sub-ranking terpendek yang menunjukkan pelanggaran atas syarat 4 untuk a′ < s
dan misalkan a indeks minimal sedemikian berkenaan dengan s. Catat bahwa
karena R adalah ranking optimal maka syarat 2 berlaku dan karenanya ketakPs−1
Ps−1
rqs ,qi = i=a
rqi ,qsi .
samaan syarat 4 dilanggar dengan kesamaan. Yaitu, i=a
Sekarang, dengan menggeser qs ke lokasi sebelum qa kita bentuk ranking optimal

Universitas Sumatera Utara

16
baru R2 = (q1, . . . , qa−1, qs , qa, . . . , qn ). Jika ranking R2 tetap melanggar syarat
4 kita bisa mengaplikasikan prosedur yang sama berulang-ulang. Karena jumlah
ranking yang mungkin (dan khususnya ranking optimal) berhingga maka hanya
ada dua kemungkinan yang harus dipertimbangkan. Prosedur ini diakhiri dalam
Rk yang memenuhi syarat 4 atau ini merupakan prosedur siklik dan karenanya untuk suatu k kita peroleh Rk = R1 . Asumsikan melalui kontradiksi bahwa prosedur
mungkin siklik. Misalkan b lokasi ”tertinggi” dalam ranking yang berubah selama
siklus R1, . . . , Rk . Yaitu setiap proposal yang rankingnya di atas qb dalam R1
melanggengkan lokasinya sepanjang siklus. Mari kita tinjau rangkaian proposal
yang mendapat ranking tertinggi sepanjang siklus. Catat bahwa setiap proposal
sedemikian harus memenuhi indeks yang lebih rendah daripada pendahulunya di
lokasi ke-b. Untuk lainnya, ini tidak bisa melanggar syarat 4. Karenanya prosedur
tidak bisa siklus dan proposisi terbukti.
4.2 Algoritma Parsial.
Dalam algoritma di bawah ini di mulai dengan ranking parsial kosong R.
Untuk setiap proposal p yang belum di ranking dan merupakan suksesor persis
dari R yang memenuhi syarat batas bawah. Jika batas bawah ini lebih rendah
dari pada nilai penyelesaian terbaik yang diketahui, di cantumkan proposal p ke
ranking parsial dan di simpan ranking ini sebagai node baru dalam tree cabang dan
batas yang di tentukan. Selanjutnya jalankan pemeriksaan heuristik, yang telah
dijelaskan di atas, untuk memperluas awalan yang diperoleh ke dalam ranking
total untuk membentuk batas atas. Jika batas atas ini lebih rendah dari nilai
penyelesaian terbaik yang diketahui saat ini, maka di ambil sebagai penyelesaian
terbaik incumbent baru yang diketahui.
Batas bawah untuk semua ranking dengan awalan R diberikan oleh,
M(R) =

X

{p,q}∈P1 :p≻R q

rpq =

X

p∈P1 :p≻R q

rpq +

X

min{rpq , rqp }

(4.6)

{p,q}⊆P2

di mana P1 adalah himpunan proposal-proposal yang di ranking oleh R dan P2
adalah himpunan komplementer dari proposal-proposal lainnya. Juga kita catat

Universitas Sumatera Utara

17
bahwa R′ adalah ranking yang dibentuk dengan membubuhkan proposal tunggal
p pada ranking R (di dasar) maka
M (R′ ) = M (R) +

X

{rpq − min{rpq , rqp }}

(4.7)

q∈P2

Dengan demikian, meng-update batas bawah setelah memperluas ranking parsial
tertentu lebih mudah daripada menghitungnya dari goresan.
Batas atas dapat dihitung dengan memperluas ranking parsial di setiap node
dengan menggunakan metode heuristik cepat. Di bawah ini di uraikan bagaimana
aturan mayoritas diaplikasikan secara literatur untuk melaksanakan tugas ini.
4.3 Pemeriksaan Heuristik
Input: himpunan proposal-proposal P , dengan peninjau lebih menginginkan
statistik rangkuman {rpq }.
Output: Ranking total dengan R sebagai awalan dan ukuran konsensus yang
dihasilkan.
Inisialisasi: Misalkan P adalah himpunan proposal yang bukan di dalam R.
Iterasi
Sementara P 6= ∅, tentukan suatu proposal p ∈ P dengan ratio
P
P

q∈P

q∈P1 rpq
P
rpq + q∈P rqp

minimum. Tambahkan p pada R sebagai proposal terakhir, coret

proposal tersebut dari P dan ulangi.
Output Kembali ke ranking R.
Prosedur ini dapat diganti dengan setiap heuristik yang baik, termasuk
heuristik pencarian neighborhood. Akan tetapi karena prosedur ini akan digunakan pada setiap node yang dimasukkan pada tree percabangan, maka prosedur
ini haruslah prosedur yang cepat.
Sekarang siap mempresentasikan algoritma utama untuk menghasilkan konsensus ranking optimal.

Universitas Sumatera Utara

18
4.4 Algoritma Utama - Konsensus ranking Optimal
Langkah-langkah yang dilakukan untuk memperoleh penyelesaian optimal
adalah sebagai berikut :
Input: Himpunan proposal-proposal P dan statistik rangkuman keputusan peninjau {rpq } untuk semua {p, q} ⊆ P .
Langkah 0 (Inisialisasi): Tentukan ranking parsial yang mendominasi dan yang
didominasi berkenaan dengan himpunan semua proposal. Tetapkan proposalproposal ini sebagai proposal puncak dan proposal dasar masing-masing T dan
B dan coret dari P . Misalnya R0 adalah ranking awal kosong . Gunakan (6)
untuk menghitung batas bawah M(R0 ) dan simpan sebagai node akar dari tree
cabang dan batas. Definisikan node ini sebagai node aktif. Gunakan heuristik
pemeriksaan untuk memperoleh ranking terbaik awal yang diketahui dan menyimpan ukuran konsensusnya sebagai batas atas Y . Jika batas bawah dari node
akan sama dengan batas atas, maka lanjutkan ke Tahap 3.
Langkah 1 (Memilih node untuk percabangan): Pilih dari himpunan nodenode aktif dari tree cabang dan batas himpunan dengan batas bawah terendah.
Dalam kasus ikatan, pilih node dengan ranking parsial terpanjang. Notasikan
ranking node yang dipilih sebagai Rc . Nonaktifkan node yang dipilih. Jika batas
bawahnya M (R) lebih rendah daripada penyelesaian terbaik yang diketahui, maka lanjutkan ke Tahap 3.
Langkah 2: Untuk semua suksesor segera dari Rc yang memenuhi syarat, p ∈
S(Rc ) :
Langkah 2a(Pencabangan): Bentuk ranking parsial kandidat Rn dengan Rc
yang diikuti dengan p.
Langkah 2b (Pembatasan): Gunakan (7) untuk menghitung batas bawah
M (Rn ). Jika batas bawah ini tidak lebih rendah daripada penyelesaian terbaik
yang diketahui, maka lanjutkan ke Tahap 3.
Langka 2c (Bentuk node baru): Tambahkan Rn sebagai node aktif pada tree
dan simpan M(Rn ) dengan node ini.
Langkah 2d (Penyelidikan): Gunakan heuristik penyelidikan untuk memperluas ranking parsial ini menjadi ranking total Rcn . Gunakan (7) [atau (4)] untuk

Universitas Sumatera Utara

19
menghitung ukuran konsensus M(Rcn ). Jika ukuran ini lebih rendah daripada
nilai penyelesaian terbaik yang diketahui maka, simpanlah sebagai penyelesaian
terbaik incumbent baru yang diketahui dan nonaktifkan semua node yang batas
bawahnya lebih besar daripada batas atas baru.
Langkah 3 (Pengakhiran): Jika masih ada node aktif, kembali ke Tahap 1.
Untuk lainnya, berhenti dan kembali ke ranking incumbent yang didahului T dan
diikuti dengan B.
Perlu dicatat bahwa penulis dapat menemukan optimum-optimum berselangseling sewaktu mengaplikasikan algoritma yang diberikan . Dalam kasus sedemikian, mungkin ada baiknya dimasukkan fungsi tujuan sekunder yang akan dipilih
dari penyelesaian-penyelesaian optimal alternatip, fungsi tujuan yang ”paling seimbang” dalam bentuk pendistribusian pelanggaran semerata mungkin atas para
peninjau. Dengan cara ini, hasil akan dipandang peninjau sebagai representasi
yang adil dari opini-opini mereka. Mekanisme sedemikian bisa menjadi cara yang
berarti dalam menyelesaikan ikatan dalam penyelesaian optimal untuk masalah.
Akan tetapi, mengimplementasikan mekanisme sedemikian mengharuskan pengoperasian algoritma utama. Karenanya, dalam tulisan ini penulis tidak berusaha
mengatasi isu ini. Ini bisa menjadi topik penelitian masa mendatang.
4.5 Menyelesaikan permasalahan numeric.
Persoalan numerik berikut dapat diselesaikan dengan menggunakan Model
atau Algoritma-algoritma yang diajukan untuk menggambarakan aplikasi pemenang dan menghasilkan satu konsensus ranking. Perhatikan contoh yang diselidiki
oleh Cook at al (2005) seperti tabel berikut : Matriks di bawah ini merangkumkan
Tabel 4.1 : Dengan
Peninjau
1
2
3
4
5

N = 6 proposal dan K = 5 peninjau:
Proposal
Ranking
{1,2,3,5} 1 ≻ 3 ≻ 2 ≻ 5
{1,2,4,6} 2 ≻ 1 ≻ 4 ≻ 6
{3,4,5,6} 4 ≻ 3 ≻ 5 ≻ 6
{1,4,5,6} 6 ≻ 1 ≻ 4 ≻ 5
{1,2,3,6} 6 ≻ 2 ≻ 3 ≻ 1

Universitas Sumatera Utara

20
data untuk pasangan-pasangan proposal:

0 2 1
 1 0 1

rpq =  12 11 00

2 1 2
1 1 1

0
0
1
0
2
2

0
0
0
0
0
1

Hasil algoritma

2
1
1
1
1
0







Inisialisasi: Mula-mula di identifikasi ranking parsial yang mendominasi dan yang
didominasi. Catat bahwa untuk semua p ∈ P = {1, . . . , 6} di peroleh r2p ≤ rp2
dan karenanya menetapkan T = (2) dan di coret {2} dari P . Selanjutnya, di
identifikasi proposal 5 sebagai proposal yang didominasi dan karenanya dapat
di tetapkan B = (5) dan P = {1, 3, 4, 6}. Dengan P baru, proposal 3 juga
didominasi dan karenanya di tambahkan pada B(B = (3, 5)) dan mencoretnya
dari P (P = {1, 4, 6}). Sampai di sini tidak ada proposal yang mendominasi atau
yang didominasi tersisa. Sebagai contoh misalnya, proposal 1 bukan proposal
yang mendominasi berkenaan dengan P karena r16 > r61 dan proposal ini bukan
proposal yang didominasi karena r14 < r41. Matriks evaluasi peninjau yang tersisa
sekarang diberikan oleh:

rpq =

(1)
(4)
(6)

(1)
0
2
1

(4)
0
0
2

(6)
2
1
0

Selanjutnya, di hitung batas bawah untuk semua ranking (dari proposal tersisa) dengan menggunakan (6) dan di peroleh M (ranking kosong) = 2. Untuk
memperoleh batas atas, di gunakan heuristik penyelidikan. Mula-mula di hitung
2
3
3
= 0, 4, M4 =
= 0, 5, M6 =
= 0, 5.
indeks mayoritas M1 =
2+3
3+3
3+3
Di peroleh ranking 1 ≻ 4 ≻ 6 dan di simpan sebagai penyelesaian incumbent.
Dengan menggunakan (4) dihitung hitung ukuran konsensus ranking ini M(1 ≻
4 ≻ 6) = 2 + 1 = 3. Ini adalah batas atas untuk saat ini.

Pencabangan: Di proses node akar dengan ranking kosong. Karena semua proposal dalam P = {1, 4, 6} adalah suksesor yang memenuhi syarat dari ranking ini,

Universitas Sumatera Utara

21
maka di periksa semuanya.
• Menambahkan proposal 1: Tersisa proposal P = {4, 6} di mana proposal
4 mendominasi proposal 6 dan karenanya di peroleh ranking 1 ≻ 4 ≻ 6
dengan M(1 ≻ 4 ≻ 6) = 2 + 1 = 3. Ini merupakan ranking total yang tidak
lebih baik daripada penyelesaian optimal pada saat ini karenanya tidak perlu
menambahkannya pada tree cabang dan batas.
• Menambahkan proposal 4: Tersisa proposal P = {1, 6} di mana proposal
6 mendominasi proposal 1 dan karenanya di peroleh ranking 4 ≻ 6 ≻ 1
dengan M(4 ≻ 6 ≻ 1) = 4. Ini merupakan ranking total yang tidak lebih
baik daripada penyelesaian optimal pada saat ini karenanya tidak perlu
menambahkannya pada tree cabang dan batas.
• Menambahkan proposal 6: Tersisa proposal P = {1, 4} di mana proposal
4 mendominasi proposal 1 dan karenanya di peroleh ranking 6 ≻ 4 ≻ 1
dengan M(6 ≻ 4 ≻ 1) = 5. Ini merupakan ranking total yang sekali lagi
tidak lebih baik daripada penyelesaian optimal saat ini.
Sekarang tidak ada tersisa node aktif dalam tree cabang dan batas dan karenanya
dapat di nyatakan penyelesaian terbaik yang diketahui saat ini sebagai ranking
optimal dari P = {1, 4, 6}. Terakhir, di ”gabungkan” ranking-ranking yang mendominasi dan yang didominasi, yang diperoleh pada tahap inisialisasi, dengan
ranking ini diperoleh penyelesaian optimal 2 ≻ 1 ≻ 4 ≻ 6 ≻ 3 ≻ 5.
4.6 Model
DCM adalah model hybrida yang menggabungkan algoritma MAH paling
singkat dan tepat, dan CRM menjadi model intuitif dan mudah dalam perhitungannya. Seperti halnya MAH, DCM membentuk matriks preferensi tunggal
yang menggabarkan berapa kali setiap alternatif ditempatkan di peringkat yang
mendahului masing-masing alternatif lainnya. MAH mengefaluasi masing-masing

Universitas Sumatera Utara

22
alternatif, meranking satu per satu alternatif, hingga semua alternatif dibuat rankingnya. Seperti halnya CRM, DCM menggunakan metodologi perbandingan matriks ideal sebagai pengganti tugas berulang-ulang membangun kembali matriks
persesuaian MAH. Matrik ideal dikembangkan untuk masing-masing permutasi
yang mungkin. Matriks ideal adalah matriks persesuaian yang akan dihasilkan jika semua DM mencapai persesuaian total atas ranking semua alternatif. Perbandingan jarak (jumlah selisih absolut matriks aktual versus masing-masing matriks
ideal) digunakan untuk menentukan solusi optimal atau matriks ideal yang paling
mendekati matriks preferensi awal.
Untuk merumuskan model aljabar DCM, perhatikan masalah konsensus ranking umum dengan k DM dan n alternatif. Didefenisikan matriks preferensi awal,
A = (aij ), dimana aij adalah berapa kali alternatoif i mendapat ranking didepan
j. Lebih lanjut didefenisikan matriks ideal, C = (cij (,dimana ranking seluruh n
alternatif untuk semua k DM identik dan cij = k, bila i mendapat ranking di
depan j dan cij = 0,bila i tidak mendapat ranking di depan j. Perlu di ingat
bahwa cii = 0 untuk i = 1, 2, . . . , n.
Selanjutnya, di defenisikan suatu himpunan sifat, defenisi dan aksioma yang
serupa dengan yang diajukan Cook dan Kress. Perhatikan semua matriks ideal
C = (cij ), masing- masing matriks menyatakan ranking n alternatif oleh k DM.
Sifat 4.1. (trasitivitas). Untuk masing-masing matriks C, jika alternatif i lebih
diinginkan ketimbang alternatif j dan j lebih diinginkan ketimbang k, maka alternatif i lebih diinginkan ketimbang alternatif k.
Sifat 4.2. Ranking C1 disebut adiacent dengan ranking C2 jika terdapat i dan j
sedemikian sehingga (c1ij = k dan c2ij = 0) atau (c1ij = k dan c2ij = k) dan c1ij = c2ij
untuk semua pasangan (i, j) lainnya.
Defenisi 4.3. Ranking C1 disebut adjacent ber-degree m dengan ranking C2 jika
terdapat m pasang (i, j) yang berbeda sedemikian sehingga (c1ij = k dan c2ij = 0).
Perbedaan antara dua ranking C1 yang berbeda akan diukur dalam bentuk
fungsi jarak atas himpunan semua ranking. Himpunan syarat atau aksioma yang
harus dipenuhi fungsi jarak sedemikian adalah sebagai berikut.

Universitas Sumatera Utara

23
Aksioma 4.4. (persyaratan matriks). Untuk setiap tiga ranking C1 , C2, C3 ,
(a) d(C1 , C2 ) ≥ 0,
(b) d(C1 , C2 ) = d(C2 , C1 ),
(c) d(C1 , C2 ) + d(C2 , C3) ≥ d(C1 , C3)
Aksioma 4.5 (proporsionalitas). Jarak antara dua ranking yang adjacent sebanding dengan degree adjacency.
Dengan diberikannya defenisi dan aksioma ini, fungsi jarak berikut bisa
n P
n 

P
c1 − c2 .
didefenisikan antara setiap dua ranking C1 dan C2 : d(C1, C2 ) =
ij
ij
i=1 j=1

Sekarang, perhatikan semua matriks ideal yang mungkin dan hitung jarak

antara masing-masing matriks dan matriks preferensi awal. Gunakan fungsi jarak
yang didefenisikan diatas untuk menghitung jarak antara matriks ideal C dan
matriks preferensi A sebagai berikut :
d(C, A) =

n
n X
X

|cij − aij |

i=1 j=1

Solusi optimal dinotasikan oleh konsensus ranking matriks ideal yang meminimalkan jarak antara C dan A.
Contoh.
Kita perhatikan masalah pemeringkatan proyek teknologi-canggih oleh Shuttle Project Engineering Office di Kennedy Space Center (KSC) digunakan untuk
menguraikan lebih lanjut model DCM yang dikembangkan dalam tulisan ini. Evaluasi proyek adalah tanggung jawab utama panitia kerja sistem-darat, yang mempunyai tujuh anggota. Kita sebut ketujuh anggota sebagai DM. Kontraktor dan
divisi-divisi di dalam KSC mengajukan secara rutin proposal untuk evaluasi dan
pembiayaan yang mungkin. Panitia kerja mempertimbangkan arti penting dari
masing-masing proyek relatip terhadap jangka waktu program ulang-alik angkasa
luar. Masing-masing ke tujuh DM diminta memberikan pemeringkatannya atas ke

Universitas Sumatera Utara

24
lima proyek yang dipertimbangkan dalam contoh ini. Tabel 4.1 memperlihatkan
pemeringkatan untuk DM A hingga G dan proyek 1 hingga 5.
(Madjid Tavana ,et al, 2007).

DM
A
B
C
D
E
F
G

Tabel 4.2 : Peringkat awal individu
Proyek
Pilihan Pilihan Pilihan Pilihan Pilihan
Pertama Kedua Ketiga Keempat Kelima
3
1
2
4
5
3
2
5
1
4
4
3
1
5
2
4
5
2
1
3
3
2
5
4
1
1
4
3
5
2
4
5
1
3
2

em Model Borda-Kendall (BAK). Dengan menggunakan BAK, kita hitung
nilai rata-rata dari ranking untuk masing-masing proyek atas semua DM. Sebagai
contoh misalnya, dalam Tabel 4.1, proyek 1 menempati ranking 2 oleh DM A,
ranking 4 oleh DM B, ranking 3 oleh DM C, ranking 4 oleh DM D dan ranking 5
oleh DM E, ranking 1 oleh DM F dan ranking 3 oleh DM G. Ranking rata-rata
untuk proyek 1 atas semua DM adalah (2 + 4 + 3 + 4 + 5 + 1 + 3)/7 = 3, 14. Tabel
4.2 memperlihatkan nilai ranking rata-rata untuk semua Proyek bersama-sama
dengan konsessus ranking. Proyek dengan skor gabungan terendah adalah proyek
ya