Penyelesaian Numerik Persamaan Schrödinger untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse
PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN SCHRöDINGER
UNTUK MOLEKUL BaO DAN SrO MENGGUNAKAN MODEL
POTENSIAL MORSE
NUGRAHA WANDA SANJAYA
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Numerik
Persamaan Schrödinger untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model
Potensial Morse adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2014
Nugraha Wanda Sanjaya
NIM G74100071
ABSTRAK
NUGRAHA WANDA SANJAYA. Penyelesaian Numerik Persamaan Schrödinger
untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse. Dibimbing
oleh SIDIKRUBADI PRAMUDITO dan TONY IBNU SUMARYADA.
Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk
menerangkan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom. Tujuan penelitian ini
adalah memperoleh nilai energi disosiasi, energi eigen dari masing-masing tingkat
energi, serta menggambarkan bentuk fungsi gelombang dari molekul BaO dan SrO
pada keadaan vibrasi. Energi disosiasi dihitung dengan menambahkan energi
disosiasi ekperimen dan energi eigen pada keadaan dasar. Dilakukan penghitungan
energi eigen dari tingkat energi ke 0 hingga ke 4 menggunakan metode shooting
yang diintegrasi dengan metode Numerov dan Runge-Kutta. Nilai energi eigen dari
masing-masing tingkat energi yang dihitung secara numerik memilliki ketepatan
100% dengan energi eigen yang dihitung secara analitik. Bentuk fungsi gelombang
yang digambarkan juga menunjukkan keadaan masing-masing tingkat energi dan
memenuhi kondisi ternormalisasi fungsi gelombang.
Kata kunci: BaO, energi disosiasi, energi eigen, potensial Morse, SrO
ABSTRACT
NUGRAHA WANDA SANJAYA. Numerical Solution of Schrodinger Equation
for Molecules BaO and SrO Using Morse Potential Model. Supervised by
SIDIKRUBADI PRAMUDITO and TONY IBNU SUMARYADA.
Morse potential is a potential model used to describe the behavior of a
molecular vibration between atoms. This study aimed to obtain the value of the
dissociation energy, the energy eigenvalues of each energy level, and describe the
shape of the wave function of the molecule BaO and SrO on the vibrational state.
Dissociation energy is calculated by adding the experimental dissociation energy
and the ground state energy eigenvalues. Calculating the energy eigenvalues of the
energy levels 0 to 4 using shooting method integrated with Numerov and RungeKutta method. Energy eigenvalues of each levels that calculated numerically having
accuracy of 100% compared with the calculated analytically. The profil of wave
functions accurately show the corresponding states and their normalized
wavefunctions.
Keywords: BaO, dissociation energy, energy eigenvalues, Morse potential, SrO
PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN SCHRöDINGER
UNTUK MOLEKUL BaO DAN SrO MENGGUNAKAN MODEL
POTENSIAL MORSE
NUGRAHA WANDA SANJAYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penyelesaian Numerik Persamaan Schrödinger untuk Molekul BaO
dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse
Nama
: Nugraha Wanda Sanjaya
NIM
: G74100071
Disetujui oleh
Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
Pembimbing I
Dr Tony Ibnu Sumaryada
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu, MSi
Ketua Departemen Fisika
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Alhamdulillahirabbil’alamin. Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah
subhanahu wa ta’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Penyelesaian Numerik Persamaan
Schrödinger untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse”
yang dilaksanakan sejak bulan Agustus 2013. Shalawat serta salam semoga tetap
tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
dan Bapak Dr Tony Ibnu Sumaryada sebagai dosen yang membimbing penulis
selama penelitian, Bapak Heriyanto Syafutra, MSi yang telah banyak memberi
saran, serta rekan satu penelitian Bima Maha Putra yang banyak membantu
penelitian penulis. Ungkapan terimakasih setulus hati penulis sampaikan kepada
ayah, ibu, serta adik-adik tercinta, atas doa dan kasih sayangnya kepada penulis.
Begitu juga dengan rekan-rekan mahasiswa/i Fisika angkatan 47 yang senantiasa
memberikan motivasi, saran dan bimbingannya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat untuk mengembangkan
pemodelan sifat molekul di Departemen Fisika FMIPA-IPB.
Bogor, April 2014
Nugraha Wanda Sanjaya
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Hipotesis
TINJAUAN PUSTAKA
Molekul BaO dan SrO
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
Energi Vibrasional Molekul Diatomik
Potensial Morse
Metode Numerov
Metode Runge-Kutta
Metode Shooting
METODE
Waktu dan Tempat
Alat
Studi Pustaka
Menghitung Energi Disosiasi Ikatan Molekul BaO dan SrO
Menentukan Bentuk Fungsi Gelombang dan Tingkat-tingkat Energi Molekul
BaO dan SrO
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Anharmonik
ix
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
6
6
6
6
6
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Harmonik
7
Pembuatan Program Penggambaran Fungsi Gelombang dan Penghitungan
Energi Eigen
7
Prosedur Analisis Data
HASIL DAN PEMBAHASAN
Energi Disosiasi Molekul BaO dan SrO
Energi Eigen Vibrasi Untuk Osilator Anharmonik
Energi Eigen Vibrasi Pada Osilator Harmonik dan Anharmonik
Bentuk Fungsi Gelombang Osilator Anharmonik
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
7
8
8
8
9
11
16
16
16
16
18
29
DAFTAR TABEL
1 Perbandingan energi disosiasi perhitungan dan eksperimen molekul BaO
dan SrO
8
2 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul BaO 9
3 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul SrO 9
4 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik molekul
BaO
10
5 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik molekul
SrO
10
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Model Molekul BaO
Model Molekul SrO
Kurva Potensial Anharmonik
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan Metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat 4 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
2
2
4
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Algoritma program perhitungan energi eigen dan penggambaran fungsi
gelombang
18
2 Parameter-parameter input
18
3 Tabel konversi energi
19
4
5
6
7
8
9
10
11
Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Numerov untuk
tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Numerov untuk
tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Penyelesaian analitik energi eigen untuk molekul (a) BaO dan (b) SrO
Fungsi gelombang osilator harmonik molekul BaO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
Fungsi gelombang osilator harmonik molekul SrO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
Perhitungan energi disosiasi molekul (a) BaO dan (b) SrO
19
20
22
23
24
26
27
28
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi, terdapat
peningkatan penggunaan ferroelektrik material yang diaplikasikan dalam berbagai
hal diantaranya: (1) sensor dengan detektornya menggunakan sifat pizzoelektrik,
(2) multilayer kapasitor dengan memanfaatkan nilai konstanta dielektrik yang
tinggi, (3) infra red detector yang memanfaatkan prinsip piroelektrik. Jenis material
ferroelektrik yang sering dipergunakan adalah Barium Strontium Titanate (BST).1
Pada pembuatannya BST disintesis dari beberapa molekul seperti barium oksida
(BaO), strontium oksida (SrO) dan titanium dioksida (TiO2). Molekul BaO dan SrO
tergolong molekul diatomik yang berguna sebagai reagen atau reaktan dalam
sintesis BST. Untuk mensintesis suatu material tertentu diperlukan kajian tentang
molekul penyusunnya. Kajian tentang molekul BaO dan SrO telah banyak diteliti
oleh berbagai kalangan, namun kedepannya diperlukan pemodelan suatu molekul
agar lebih mudah dipahami karakteristiknya.
Ikatan antar atom dalam molekul diatomik bersifat elastis yang
mengakibatkan atom-atom penyusunnya tidak berada pada posisi yang tetap
melainkan bervibrasi di sekitar titik kesetimbangan.2 Potensial Morse merupakan
model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku vibrasi suatu
molekul antar atom. Pendekatan yang baik untuk struktur vibrasi dari molekul pada
osilator harmonik kuantum, karena secara eksplisit mencakup efek pemutusan
ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu molekul.3
Karakteristik molekul diatomik BaO dan SrO dapat diketahui dengan cara
pemodelan yang tepat. Dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger secara
numerik akan didapatkan bentuk fungsi gelombang serta tingkat-tingkat energi
vibrasi molekul BaO dan SrO, sedangkan dengan melakukan penghitungan kembali
energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO akan dibandingkan dengan energi
disosiasi eksperimennya.
Perumusan Masalah
Molekul BaO dan SrO dibutuhkan dalam mensintesis molekul BST, maka
peneliti menyimpulkan bahwa dibutukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui
karakteristik molekul BaO dan SrO. Perumusan masalah dari penelitian ini adalah :
1. Bagaimana menentukan dan menggambarkan bentuk fungsi gelombang
molekul BaO dan SrO ?
2. Bagaimana menentukan tingkat-tingkat energi molekul BaO dan SrO ?
3. Bagaimana menentukan energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO ?
Tujuan Penelitian
1.
2.
Berdasarkan permasalahan diatas maka penelitian ini bertujuan untuk :
Menentukan dan menggambarkan bentuk fungsi gelombang molekul BaO dan
SrO secara numerik.
Menentukan tingkat-tingkat energi molekul BaO dan SrO secara numerik.
2
3.
Menghitung kembali energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO secara
numerik.
Hipotesis
Bentuk fungsi gelombang serta tingkat-tingkat energi molekul BaO dan SrO
dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger secara numerik
dengan menggunakan metode shooting yang diintegrasi dengan metode Numerov
dan metode Runge-Kutta.
Energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO dapat dihitung dengan
menambahkan energi disosiasi eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar
TINJAUAN PUSTAKA
Molekul BaO dan SrO
Barium oksida (BaO) adalah adalah senyawa higroskopis putih yang
dibentuk melalui pembakaran senyawa barium pada oksigen, namun juga terbentuk
melalui dekomposisi garam barium lainnya. Barium oksida merupakan kristal tak
berwarna dan berbentuk kubus atau heksagonal.
Ba
O
Gambar 1 Model Molekul BaO
Molekul barium oksida memiliki karakteristik antara lain mempunyai jarak
antar atom sebesar 1.939692 Å, berdasarkan eksperimen memiliki energi disosiasi
atau energi yang dibutuhkan untuk memutuskan ikatan barium dan oksigen sebesar
47063 cm-1. Penggunaan barium oksida yang telah banyak diaplikasikan antara lain
digunakan sebagai pelapis pada katoda panas dan sebagai reagen yang digunakan
dalam sintesis Barium Strontium Titanat (BST).4
Sedangkan Strontium oksida (SrO) adalah senyawa higroskopis yang
dibentuk ketika strontium direaksikan dengan oksigen, selain itu molekul SrO dapat
dibentuk dari dekomposisi strontium karbonat (SrCO3) molekul ini tergolong
oksida basa kuat.5
Sr
O
Gambar 2 Model Molekul SrO
Molekul strontium oksida memiliki karakteristik antara lain mempunyai jarak
antar atom sebesar 1.919809 Å, berdasarkan ekperimen memiliki energi disosiasi
sebesar 37951 cm-1. Penggunaan strontium oksida yang telah banyak diaplikasikan
antara lain sebagai pembuatan tabung kaca televisi dan juga sebagai bahan untuk
sintesis Barium Strontium Titanat (BST).6
3
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
Persamaan Schrödinger bebas waktu dapat dituliskan sebagai:
2 d 2
V ( x ) E
2m dx 2
(1)
ℏ adalah konstanta Planck per � , m adalah massa partikel, adalah fungsi
gelombang, x adalah perpindahan partikel dari posisi kesetimbangan, V adalah
energi potensial dan E adalah tingkat energi .
Untuk kasus dua partikel pada keadaan vibrasi, massa partikel diganti dengan
massa tereduksi dan x menjadi distorsi jarak antara dua partikel dari panjang ikatan
kesetimbangan.7
Energi Vibrasional Molekul Diatomik
Tingkat energi vibrasional molekul diatomik adalah:
1
E h
2
(2)
dengan = / π √k/ adalah frekuensi osilasi dan adalah bilangan kuantum
vibrasional yang nilainya = 0,1,2,3... .
Keadaan vibrasional yang lebih tinggi dari sebuah molekul diatomik tidak
mengikuti persamaan (2) karena aproksimasi parabolik untuk kurva energi
potensialnya makin tidak cocok untuk energi yang semakin tinggi. Sebagai gantinya
molekul diatomik harus dipandang dengan pendekatan osilator anharmonik.8
Tingkat energi vibrasional untuk pendekatan osilator anharmonik dinyatakan
dengan:
1
1
E e e x e
2
2
2
(3)
Potensial Morse
Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk
menerangkan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom. Pendekatan yang baik
untuk struktur vibrasi dari molekul pada osilator harmonik kuantum, karena secara
eksplisit mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada
suatu model molekul.3
Kurva energi potensial harmonik dan anharmonik (Morse) untuk molekul
diatomik ditunjukkan oleh gambar berikut :
4
Gambar 3 Kurva Potensial Anharmonik
Bentuk energi potensial untuk osilator anharmonik dinyatakan secara empiris
oleh P.M. Morse menurut persamaan berikut :
V ( x ) De (1 e ( x x0 ) ) 2
(4)
� adalah energi disosiasi yang diukur dari posisi kesetimbangan, x0 adalah jarak
keseimbangan molekul dan � adalah konstanta untuk setiap molekul tertentu atau
dapat dikatakan konstanta untuk menentukan kesempitan atau kelengkungan dari
sumur potensial.10
Energi disosiasi ikatan dapat dihitung dengan menambahkan energi disosiasi
molekul eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar sumur potensial.3
De D0
1
h
2
(5)
Metode Numerov
Metode Numerov adalah metode orde tinggi yang dikenal dengan metode tiga
titik. Metode Numerov merupakan algoritma yang efisien untuk memecahkan
persamaan diferensial orde dua, tanpa perlu merubah menjadi persamaan
differensial orde satu.11 Penggunaan metode Numerov, integrasi numerik dapat
dilakukan dengan akurasi yang relatif tinggi bahkan dengan ukuran step size yang
lebih besar.12
Bentuk umum metode Numerov:
2
6
k 1 2 k k 1 x f k k O( x )
(6)
Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta adalah suatu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial secara numerik atau pendekatan sehingga
mendapatkan penyelesaian yang lebih signifikan dibandingkan penyelesaian secara
5
eksak atau analitik. Metode ini memperoleh akurasi dari pendekatan deret Taylor
tanpa memerlukan perhitungan derivatif yang lebih tinggi.13
Bentuk umum metode Runge-Kutta :
k
k
k
k
y n 1 y n 1 2 3 4 ( h 5 )
3
3
6
6
(7)
dengan:
k1 f (t i , y i )
(8)
1
1
k 2 f t i h, y i k1 h
2
2
(9)
1
1
k 3 f t i h, y i k 2 h
2
2
(10)
k 4 f (t i h, y i k 3 h)
(11)
dy
f (t , y )
dt
(12)
Metode Shooting
Dalam analisis numerik, metode shooting adalah metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah nilai batas dengan menggunakan metode iterasi
numerik untuk mencapai kemiringan yang sebenarnya. Prinsip metode shooting
adalah menembak ke salah satu jalur fitting point, di mana solusi untuk persamaan
dan kondisi batas ditemukan dengan meluncurkan "tembakan" dari kedua sisi
interval dan mencoba untuk mencocokkan kondisi kontinuitas dibeberapa titik
tengah. Fungsi diperoleh dengan mengintegrasikan N persamaan diferensial dari x1
ke x2.14
METODE
Waktu dan Tempat
Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor dilaksanakan pada bulan Agustus 2013 sampai bulan April 2014.
6
Alat
Penelitian ini menggunakan peralatan berupa alat tulis (kertas/ buku tulis,
pena, pensil), laptop/komputer dengan memori 3 GB dan menggunakan Windows
8. Komputer tersebut dilengkapi dengan Microsoft Office dan software Matlab.
Studi Pustaka
Tahap ini merupakan penelusuran tinjauan pustaka untuk mendukung
penelitian lebih lanjut. Penelitian ini dimulai dengan studi pustaka dari molekul
BaO dan SrO, persamaan Schrödinger, potensial Morse, teori vibrasi molekul,
metode Numerov, metode Runge-Kutta dan metode shooting.
Menghitung Energi Disosiasi Ikatan Molekul BaO dan SrO
Pada tahap ini energi disosiasi ditentukan dengan menambahkan energi
disosiasi eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar. Perumusannya :
De D0
1
h
2
(13)
D0 merupakan nilai energi disosiasi eksperimen.
Menentukan Bentuk Fungsi Gelombang dan Tingkat-tingkat Energi Molekul
BaO dan SrO
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Anharmonik
Pada tahap ini persamaan potensial Morse :
V ( x ) De (1 e ( x x0 ) ) 2
(14)
Dimodelkan ke persamaan Schrödinger bebas waktu :
2 d 2
V ( x ) E
2m dx 2
(15)
Sehingga persamaan Schrödinger menjadi :
d 2
2m
2 ( E V ( x))
2
dx
(16)
Untuk metode Numerov persamaan (16) diinputkan ke persamaan (6),
sehingga :
k 1 2 k k 1
2m
2
( E V ( x )) x k
2
(17)
7
Sedangkan untuk metode Runge-Kutta, persamaan (16) harus diubah
menjadi persamaan differensial orde satu, yaitu :
d
2m
2 ( E V ( x )) F ( , , x )
dx
(18)
dengan :
d
f ( )
dx
(19)
Untuk menentukan bentuk fungsi gelombang dan energi eigen masingmasing tingkat energi digunakan metode shooting yang diitegrasikan dengan
persamaan (17), (18) dan (19). Referensi yang digunakan untuk mencari fungsi
gelombang yang sesuai adalah nilai analitik energi vibrasi osilator yang diteliti.
Dengan memberikan beberapa inisialiasi seperti N, E_initial, delta_x, delta_E,
xmin, xmax,
, dan
.
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Harmonik
Pada tahap ini fungsi potensial :
V ( x)
1
m 2 ( x x 0 ) 2
2
(20)
Dimodelkan ke persamaan (15) dan dengan langkah yang sama seperti metode
sebelumnya untuk menentukan bentuk fungsi gelombang dan energi eigen.
Pembuatan Program Penggambaran Fungsi Gelombang dan Penghitungan
Energi Eigen
Pembuatan program perhitungan energi eigen dan penggambaran fungsi
gelombang dimulai dengan menyusun algoritma sebagai langkah-langkah yang
jelas untuk mendapatkan energi eigen dari masing-masing tingkat energi.
Penyusunan algoritma juga melibatkan penebakan parameter-parameter yang tidak
diperoleh dalam tahapan studi pustaka. Parameter-parameter yang dimaksud adalah
nilai konstanta anharmonik (wexe) dan konstanta kedalaman atau kesempitan sumur
potensial (β). Setelah penyusunan algoritma selesai, program dibuat menggunakan
bahasa pemrograman MATLAB.
Prosedur Analisis Data
Nilai energi disosiasi yang didapat akan dibandingkan dengan nilai energi
disosiasi eksperimen. Sedangkan nilai eigen dari masing-masing tingkat energi
yang dihitung secara numerik akan dibandingkan dengan nilai eigen yang dihitung
secara analitik. Nilai eigen pada osilator harmonik dan anharmonik juga akan
dibandingkan dan dihitung selisih energinya. Selanjutnya bentuk fungsi gelombang
akan dijelaskan sifat fisis kuantum dari masing-masing tingkat energi.
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
Energi Disosiasi Molekul BaO dan SrO
Hasil energi disosiasi perhitungan tersaji pada Tabel 1, terlihat ada perbedaan
antara energi disosiasi perhitungan (De ) dengan energi disosiasi eksperimen (D0).
Energi disosiasi yang didapat dari perhitungan untuk molekul BaO dan SrO masingmasing adalah 47397.88 cm-1 dan 38277.70 cm-1.
Selisih dari energi disosiasi perhitungan dengan energi disosiasi eksperimen
untuk molekul BaO dan SrO masing-masing adalah 334.88 cm-1 dan 326.70 cm-1.
Nilai selisih tersebut merupakan nilai energi eigen pada keadaan dasar atau tingkat
energi ke 0 osilator harmonik. Hal ini sesuai dengan teori, yaitu energi disosiasi
dapat dihitung dengan menambahkan energi disosiasi eksperimen dan nilai eigen
pada tingkat ke 0.
Tabel 1 Perbandingan energi disosiasi perhitungan dan eksperimen molekul BaO
dan SrO
Molekul
BaO
SrO
D0
De
Selisih
47063.00 cm-1
(5.835 eV)
37951.00 cm-1
(4.7052 eV)
47397.88 cm-1
(5.8764 eV)
38277.70 cm-1
(4.7457 eV)
334.88 cm-1
(0.0414 eV)
326.70 cm-1
(0.0405 eV)
Energi disosiasi terkait dengan energi yang diperlukan untuk memutuskan
ikatan senyawa molekul. Pada molekul BaO diperlukan energi sebesar 47397.88
cm-1 agar ikatan Ba dan O terputuskan, sedangkan pada molekul SrO diperlukan
energi sebesar 38277.70 cm-1 untuk memutuskan ikatan Sr dan O. Ketika ikatan
molekul diatomik putus, maka tidak akan terjadi keadaan vibrasi pada molekul
tersebut.
Perhitungan energi disosiasi molekul BaO dan SrO (Lampiran 10) dilakukan
dengan membuat guide user interface (GUI) yang akan memudahkan dalam
perhitungan energi disosiasi untuk molekul diatomik lainnya, tetapi perlu dilakukan
konversi energi terlebih dahulu sebelum menggunakannya.
Energi Eigen Vibrasi Untuk Osilator Anharmonik
Untuk menentukan energi eigen pada tiap-tiap level energi diperlukan nilai
tebakan awal energi sebelum terjadi proses iterasi dalam menentukan energi eigen
yang cocok.
Seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2, energi eigen perhitungan secara
numerik dan analitik molekul BaO untuk tingkat energi ke 0 hingga ke 4 memiliki
ketepatan sebesar 100%. Tidak terdapat perbedaan dari hasil kedua perhitungan
tersebut. Energi eigen pada tingkat ke 0 sebesar 334.29 cm-1, merupakan energi
vibrasi yang dilakukan oleh molekul BaO ketika bervibrasi ketika berada disekitar
titik kesetimbangannya, sedangkan pada tingkat ke 4 energi yang dilakukan oleh
molekul BaO untuk bervibrasi sebesar 2966.10 cm-1. Meningkatnya level energi,
9
molekul BaO akan bervibrasi menjauhi titik kesetimbangannya dan memerlukan
energi yang lebih besar untuk bervibrasi. Untuk penelitian ini tingkat energi ke 4
merupakan level energi tertinggi yang dihitung energi vibrasinya.
Tabel 2 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul BaO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Analitik
334.29 cm-1 (0.0414 eV)
999.33
(0.1239 )
1659.70
(0.2058 )
2315.30
(0.2871 )
2966.10
(0.3677 )
Numerik
334.29 cm-1 (0.0414 eV)
999.33
(0.1239 )
1659.70
(0.2058 )
2315.30
(0.2871 )
2966.10
(0.3677 )
Ketepatan
(%)
100
100
100
100
100
Pada molekul SrO seperti yang ditunjukkan pada Tabel 3, energi eigen
perhitungan secara numerik dan analitik untuk tingkat energi ke 0 hingga ke 4
memiliki ketepatan sebesar 100%. Tidak terdapat selisih atau gap dari kedua
perhitungan. Energi yang dilakukan oleh molekul SrO ketika bervibrasi pada
tingkat energi ke 0 sampai 4 masing-masing sebesar 326.00 cm-1, 973.85 cm-1,
1616.10 cm-1, 2252.80 cm-1 dan 2884.00 cm-1. Meningkatnya energi vibrasi
molekul SrO sebanding dengan kenaikan tingkat energi. Hal ini menandakan
molekul SrO akan bervibrasi menjauhi titik kesetimbangannya.
Tabel 3 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul SrO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Analitik
Numerik
326.00 cm-1 (0.0404 eV) 326.00 cm-1 (0.0404 eV)
973.85
(0.1207 ) 973.85
(0.1207 )
1616.10
(0.2004 ) 1616.10
(0.2004 )
2252.80
(0.2793 ) 2252.80
(0.2793 )
2884.00
(0.3576 ) 2884.00
(0.3576 )
Ketepatan
(%)
100
100
100
100
100
Ketepatan perhitungan secara numerik menandakan keakuratan metode
shooting dalam menentukan nilai harga eigen untuk kasus persamaan differensial.
Secara sederhana metode shooting akan mencocokkan kondisi kontinuitas
dibeberapa titik tengah dengan menembakkan nilai tebakan awal dari kedua interval
xmin dan xmax.
Energi Eigen Vibrasi Pada Osilator Harmonik dan Anharmonik
Nilai energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik untuk molekul
BaO memiliki gap atau selisih pada masing-masing tingkat energi. Seperti yang
ditunjukkan pada Tabel 4, pada tingkat energi ke 0 hingga 4 terdapat selisih energi
masing-masing sebesar 0.59 cm-1, 5.27 cm-1, 14.70 cm-1, 28.90 cm-1, 47.80 cm-1 .
10
Selisih energi eigen semakin meningkat seiring meningkatnya tingkat
energi, hal ini disebabkan pada osilator anharmonik nilai eigen vibrasi dipengaruhi
oleh nilai konstanta anharmonisitas (wexe) dari molekul BaO.
Tabel 4 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik
molekul BaO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Osilator Harmonik
334.88 cm-1 (0.0415 eV)
1004.60
(0.1236 )
1674.40
(0.2076 )
2344.20
(0.2906 )
3013.90
(0.3737 )
Osilator Anharmonik
334.29 cm-1 (0.0414 eV)
999.33
(0.1239
)
1659.70
(0.2058
)
2315.30
(0.2871
)
2966.10
(0.3677
)
Selisih
(cm-1)
0.59
5.27
14.70
28.90
47.80
Selisih energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik untuk molekul
SrO pada tingkat energi ke 0 hingga 4 ditunjukkan pada Tabel 5 masing-masing
sebesar 0.59 cm-1, 5.27 cm-1, 14.70 cm-1, 28.90 cm-1, 47.80 cm-1. Selisih energi
eigen pada molekul SrO meningkat seiring dengan bertambahnya tingkat energi.
Molekul SrO memiliki nilai konstanta anharmonisitas yang lebih besar
dibandingkan molekul BaO (Lampiran 2), sehingga nilai energi eigen pada molekul
SrO lebih kecil dibandingkan molekul SrO.
Tabel 5 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik
molekul SrO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Osilator Harmonik
326.70 cm-1 (0.0405 eV)
980.10
(0.1215 )
1633.50
(0.2025 )
2286.90
(0.2835 )
2940.30
(0.3645 )
Osilator Anharmonik
326.00 cm-1 (0.0404 eV)
973.85
(0.1207
)
1616.10
(0.2004
)
2252.80
(0.2793
)
2884.00
(0.3576
)
Selisih
(cm-1)
0.70
6.25
17.40
34.10
56.30
Adanya selisih energi yang semakin besar pada setiap kenaikan tingkat
energi menuju tingkat energi yang lebih tinggi dikarenakan keadaan vibrasional
yang lebih tinggi dari sebuah molekul diatomik tidak mengikuti tingkat energi
osilator harmonik karena aproksimasi parabolik untuk kurva energi potensialnya
makin tidak cocok untuk energi yang semakin tinggi. Sebagai gantinya molekul
diatomik harus dipandang dengan pendekatan osilator anharmonik.
Osilator anharmonik atau potensial Morse merupakan pendekatan yang baik
untuk struktur vibrasi dari molekul pada osilator harmonik kuantum, karena secara
eksplisit mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada
suatu molekul.
11
Bentuk Fungsi Gelombang Osilator Anharmonik
Pada kasus osilator anharmonik, persamaan Schrödinger dimodelkan
dengan potensial Morse. Pada Gambar 4 dan 5 ditunjukkan bentuk fungsi
gelombang menyatakan keadaan tingkat energi ke 0 molekul BaO pada saat
keadaan vibrasi, hal ini terlihat dari jumlah puncak gelombang yang memiliki 1
puncak gelombang yang berosilasi.
Gambar 4 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan Metode
Numerov
Gambar 5 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
12
Tidak terdapat perbedaan dari kedua plot fungsi gelombang, Gambar 4
(metode Numerov) dan Gambar 5 (metode Runge-Kutta) namun untuk penelitian
ini metode Numerov lebih akurat perhitungannya karena memiliki nilai error yang
lebih kecil dibandingkan metode Runge-Kutta, karena metode Numerov memiliki
orde lebih tinggi dibandingkan metode Runge-Kutta orde 4.
Pada gambar 6 dan 7 ditunjukkan bentuk fungsi gelombang menyatakan
keadaan tingkat energi ke 4 molekul BaO pada saat keadaan vibrasi, hal ini terlihat
dari 5 puncak gelombang yang berosilasi.
Gambar 6 Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Gambar 7 Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
13
Pada Gambar 8 dan 9 ditunjukkan bentuk fungsi gelombang yang
menyatakan keadaan tingkat energi ke 0 molekul SrO, hal ini terlihat dari 1 puncak
gelombang yang berosilasi.
Gambar 8 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Gambar 9 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
14
Pada Gambar 10 dan 11 ditunjukkan bentuk fungsi gelombang menyatakan
keadaan tingkat energi ke 4 molekul SrO, hal ini terlihat dari 5 puncak gelombang
yang berosilasi.
Gambar 10 Fungsi gelombang tingkat 4 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Gambar 11 Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
Pada masing-masing kurva diplotkan dinding potensial dan tingkat energi
masing-masing keadaan. Fungsi gelombang akan menuju energi eigen secara
15
eksponensial ketika mengenai dinding potensial yang bernilai tak hingga. Sehingga
terlihat bahwa partikel hanya dapat ditemukan didalam dinding potensial karena
partikel hanya berosilasi disekitar titik kesetimbangan dalam dinding potensial.
Fungsi gelombang yang diplotkan juga telah memenuhi kondisi normalisasi
karena nilai luasan dalam kurva fungsi gelombang bernilai 1.
Gambar 12 Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Gambar 13 Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Pada Gambar 12 dan 13 tersaji fungsi gelombang tingkat energi ke 85 pada
molekul BaO dan SrO. Fungsi gelombang pada tingkat energi tinggi tersebut tidak
berosilasi secara harmonik melainkan anharmonik. Kurva potensial Morse
16
mempengaruhi osilasi dari gelombang, karena kurva akan menuju ke titik dimana
energi potensial sama dengan energi disosiasi.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Energi disosiasi dapat ditentukan dengan menambahkan energi disosiasi
eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar. Metode shooting yang diintegrasi
dengan metode Numerov dan Runge-Kutta telah berhasil menentukan energi eigen
yang akurat pada setiap tingkat-tingkat energi yang dihitung dan fungsi gelombang
yang tergambar sesuai dengan keadaan masing-masing tingkat energi. Semakin
tinggi tingkat energi maka energi eigen semakin besar nilainya. Osilator
anharmonik atau potensial Morse merupakan pendekatan yang baik untuk struktur
vibrasi pada molekul BaO dan SrO karena memiliki aproksimasi pendekatan
tingkat energi yang lebih tinggi.
Saran
Tingkat energi yang lebih tinggi perlu ditentukan untuk mengetahui pada
tingkat energi ke berapa terjadi efek pemutusan ikatan pada suatu molekul
diatomik. Serta perlu dilakukan rancangan program yang lebih fleksibel sehingga
dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA
1. Saha S. 2000. Study of pulsed laser ablated Barium Strontium Titanate Thin
films for dynamic Random Access Memory Application [thesis]. Bangalore
(IN) : Indian Institute of Science.
2. Anam C. 2001. Kajian Teoretis Penentuan Tenaga Vibrasi-Rotasi Molekul
Diatomik [skripsi]. Semarang (ID): Universitas Diponegoro.
3. Lima EF, Hornos, JEM. 2005. Matrix Elements for the Morse Potential
Under an External Field [jurnal]. Sao Carlos (BR): Instituto de Fisica de
Sao Carlos.
4. [SU] Sheffield University. 2007. Compounds of Barium: barium (II) oxide
[internet].
[diunduh
2013
Okt
27].
Tersedia
pada
http://www.webelements.com/barium/ [27 Oktober 2013]
5. [SU] Sheffield University. 2007. Compounds of Strontium: strontium (II)
Oxide [internet]. [diunduh 2013 Okt 27]. Tersedia pada
http://www.webelements.com/strontium/ [27 Oktober 2013]
6. Ober JA, Polyak DE. 2007. Mineral Yearbook 2007:Strontium. United
States: United States Geological Survey.
17
7. Barrow GM. 1962. Introduction to Molecular Spectroscopy. New York
(US): McGraw-Hill Book Company, Inc.
8. Fitrianto D. 2000. Kajian Teoretis Analisis Spektroskopi Penentuan
Temperatur Vibrasional Molekul Diatomik [skripsi]. Semarang: Universitas
Diponegoro
9. Schlick T., & Pesikin CS. 1989. Can Classical Equations Simulate
Quantum-Mechanical Behavior? A Molecular Dynamics Investigation of a
Diatomic Molecule with a Morse Potential. Communications on Pure and
Applied Mathematics, Vol. XLII , 1141-1163
10. Herzberg G. 1950. “Spectra of Diatomic Molecules,” chap. 3. Princeton
(US): D. Van Nostrand Company, Inc.
11. Gonzalez JLMQ., & Thompson, D. 1997. Getting started with Numerov’s
method [jurnal]. Peru: Pontifica Universidad Catolica del Peru.
12. Pillai M., Goglio J., & Walker TG. 2012. Matrix Numerov method for
solving Schrödinger’s equation[jurnal]. Wisconsin (US): University of
Wisconsin-Madison.
13. Chapra SC. 2012. Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers
and Scientist. Massachusetts (US): The MathWorks, Inc.
14. Press W H. 2007. Numerical Recipes: The art of Scientific Computing. New
York (US): Cambridge University Press.
18
LAMPIRAN
Lampiran 1 Algoritma program perhitungan energi eigen dan penggambaran
fungsi gelombang
Start
Inisialisasi energi,
xmin, xmax dan
yawal
Inisialisasi N,
delta_x, delta_E
dan b
Inisialisasi y1 dan
y2
Inisialisasi
minimum_delta_E
Menghitung y
Normalisasi y
Plot y, V dan E
delta_E >
minimum_delta_
E?
Lampiran 2 Parameter-parameter input
Molekul
BaO
SrO
Massa
(amu)
14.33225
13.52657
De
(cm-1)
47397.88
38277.70
x0
(Å)
1.939692
1.919809
we
(cm-1)
669.76
653.40
wexe
(cm-1)
2.36
2.78
19
Lampiran 3 Tabel konversi energi
Tabel Konversi Energi
cm-1
kJ/mol
8065.73
96.4869
eV
eV
1
J
1.6021x10-19
cm-1
1.23981x10-4
1
0.0119627
1.9863x10-23
kJ/mol
0.0103641
83.593
1
1.66x10-21
J
6.24181x1018
5.03445x1022
6.02x1020
1
Lampiran 4 Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Numerov
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
(b) 2
20
(c) 3
Lampiran 5 Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
21
(b) 2
(c) 3
22
Lampiran 6 Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Numerov
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
(b) 2
23
(c) 3
Lampiran 7 Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
24
(b) 2
(c) 3
Lampiran 8 Penyelesaian analitik energi eigen untuk molekul (a) BaO dan (b) SrO
E=
-ʋ=0
E =
E =
.
.
( + )- .
cm-
( + )
e(
+ )-
e xe (
+ )
(A.1)
25
- ʋ=1
E =
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
E =
. cm- ʋ=2
E =
. cm- ʋ=3
E =
. cm- ʋ=4
E =
E =
E =
E =
.
cm-
(a) BaO
- ʋ=0
E =
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
E =
. cm- ʋ=1
E =
. cm- ʋ=2
E =
. cm- ʋ=3
E =
E =
E =
3
=
.
- ʋ=4
E =
E =
.
��−1
cm-
(b) SrO
26
Lampiran 9 Fungsi gelombang osilator harmonik molekul BaO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
(a) 0
(b) 4
27
Lampiran 10 Fungsi gelombang osilator harmonik molekul SrO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
(a) 0
(b) 4
28
Lampiran 11 Perhitungan energi disosiasi molekul (a) BaO dan (b) SrO
(a) BaO
(b) SrO
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Padang pada tanggal 10
September 1992. Penulis adalah anak pertama dari 5
bersaudara, dari pasangan Bapak Syamsul Bahar dan Ibu
Roslinda. Pada tahun 2010 penulis berhasil
menyelesaikan studi di SMA Negeri 3 Padang dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Saringan
Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Fisika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif
sebagai asisten berbagai mata kuliah, diantaranya asisten
praktikum Elektronika Lanjut tahun ajaran 2012/2013,
asisten praktikum Sensor dan Transduser tahun ajaran
2012/2013 dan asisten praktikum Elektronika 1 Diploma IPB tahun ajaran
2012/2013. Penulis juga aktif mengajar mata kuliah Pengantar Matematika,
Kalkulus dan Fisika Dasar 2 TPB di bimbingan belajar dan privat mahasiswa
Gemilang Excellent. Penulis juga pernah aktif menjadi ketua bagian poster pada
seminar nasional semirata bidang MIPA 2014 di Bogor.
UNTUK MOLEKUL BaO DAN SrO MENGGUNAKAN MODEL
POTENSIAL MORSE
NUGRAHA WANDA SANJAYA
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Numerik
Persamaan Schrödinger untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model
Potensial Morse adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2014
Nugraha Wanda Sanjaya
NIM G74100071
ABSTRAK
NUGRAHA WANDA SANJAYA. Penyelesaian Numerik Persamaan Schrödinger
untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse. Dibimbing
oleh SIDIKRUBADI PRAMUDITO dan TONY IBNU SUMARYADA.
Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk
menerangkan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom. Tujuan penelitian ini
adalah memperoleh nilai energi disosiasi, energi eigen dari masing-masing tingkat
energi, serta menggambarkan bentuk fungsi gelombang dari molekul BaO dan SrO
pada keadaan vibrasi. Energi disosiasi dihitung dengan menambahkan energi
disosiasi ekperimen dan energi eigen pada keadaan dasar. Dilakukan penghitungan
energi eigen dari tingkat energi ke 0 hingga ke 4 menggunakan metode shooting
yang diintegrasi dengan metode Numerov dan Runge-Kutta. Nilai energi eigen dari
masing-masing tingkat energi yang dihitung secara numerik memilliki ketepatan
100% dengan energi eigen yang dihitung secara analitik. Bentuk fungsi gelombang
yang digambarkan juga menunjukkan keadaan masing-masing tingkat energi dan
memenuhi kondisi ternormalisasi fungsi gelombang.
Kata kunci: BaO, energi disosiasi, energi eigen, potensial Morse, SrO
ABSTRACT
NUGRAHA WANDA SANJAYA. Numerical Solution of Schrodinger Equation
for Molecules BaO and SrO Using Morse Potential Model. Supervised by
SIDIKRUBADI PRAMUDITO and TONY IBNU SUMARYADA.
Morse potential is a potential model used to describe the behavior of a
molecular vibration between atoms. This study aimed to obtain the value of the
dissociation energy, the energy eigenvalues of each energy level, and describe the
shape of the wave function of the molecule BaO and SrO on the vibrational state.
Dissociation energy is calculated by adding the experimental dissociation energy
and the ground state energy eigenvalues. Calculating the energy eigenvalues of the
energy levels 0 to 4 using shooting method integrated with Numerov and RungeKutta method. Energy eigenvalues of each levels that calculated numerically having
accuracy of 100% compared with the calculated analytically. The profil of wave
functions accurately show the corresponding states and their normalized
wavefunctions.
Keywords: BaO, dissociation energy, energy eigenvalues, Morse potential, SrO
PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN SCHRöDINGER
UNTUK MOLEKUL BaO DAN SrO MENGGUNAKAN MODEL
POTENSIAL MORSE
NUGRAHA WANDA SANJAYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penyelesaian Numerik Persamaan Schrödinger untuk Molekul BaO
dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse
Nama
: Nugraha Wanda Sanjaya
NIM
: G74100071
Disetujui oleh
Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
Pembimbing I
Dr Tony Ibnu Sumaryada
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu, MSi
Ketua Departemen Fisika
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Alhamdulillahirabbil’alamin. Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah
subhanahu wa ta’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Penyelesaian Numerik Persamaan
Schrödinger untuk Molekul BaO dan SrO Menggunakan Model Potensial Morse”
yang dilaksanakan sejak bulan Agustus 2013. Shalawat serta salam semoga tetap
tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Sidikrubadi Pramudito, MSi
dan Bapak Dr Tony Ibnu Sumaryada sebagai dosen yang membimbing penulis
selama penelitian, Bapak Heriyanto Syafutra, MSi yang telah banyak memberi
saran, serta rekan satu penelitian Bima Maha Putra yang banyak membantu
penelitian penulis. Ungkapan terimakasih setulus hati penulis sampaikan kepada
ayah, ibu, serta adik-adik tercinta, atas doa dan kasih sayangnya kepada penulis.
Begitu juga dengan rekan-rekan mahasiswa/i Fisika angkatan 47 yang senantiasa
memberikan motivasi, saran dan bimbingannya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat untuk mengembangkan
pemodelan sifat molekul di Departemen Fisika FMIPA-IPB.
Bogor, April 2014
Nugraha Wanda Sanjaya
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Hipotesis
TINJAUAN PUSTAKA
Molekul BaO dan SrO
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
Energi Vibrasional Molekul Diatomik
Potensial Morse
Metode Numerov
Metode Runge-Kutta
Metode Shooting
METODE
Waktu dan Tempat
Alat
Studi Pustaka
Menghitung Energi Disosiasi Ikatan Molekul BaO dan SrO
Menentukan Bentuk Fungsi Gelombang dan Tingkat-tingkat Energi Molekul
BaO dan SrO
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Anharmonik
ix
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
6
6
6
6
6
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Harmonik
7
Pembuatan Program Penggambaran Fungsi Gelombang dan Penghitungan
Energi Eigen
7
Prosedur Analisis Data
HASIL DAN PEMBAHASAN
Energi Disosiasi Molekul BaO dan SrO
Energi Eigen Vibrasi Untuk Osilator Anharmonik
Energi Eigen Vibrasi Pada Osilator Harmonik dan Anharmonik
Bentuk Fungsi Gelombang Osilator Anharmonik
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
7
8
8
8
9
11
16
16
16
16
18
29
DAFTAR TABEL
1 Perbandingan energi disosiasi perhitungan dan eksperimen molekul BaO
dan SrO
8
2 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul BaO 9
3 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul SrO 9
4 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik molekul
BaO
10
5 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik molekul
SrO
10
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Model Molekul BaO
Model Molekul SrO
Kurva Potensial Anharmonik
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan Metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat 4 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
2
2
4
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Algoritma program perhitungan energi eigen dan penggambaran fungsi
gelombang
18
2 Parameter-parameter input
18
3 Tabel konversi energi
19
4
5
6
7
8
9
10
11
Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Numerov untuk
tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Numerov untuk
tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
Penyelesaian analitik energi eigen untuk molekul (a) BaO dan (b) SrO
Fungsi gelombang osilator harmonik molekul BaO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
Fungsi gelombang osilator harmonik molekul SrO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
Perhitungan energi disosiasi molekul (a) BaO dan (b) SrO
19
20
22
23
24
26
27
28
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi, terdapat
peningkatan penggunaan ferroelektrik material yang diaplikasikan dalam berbagai
hal diantaranya: (1) sensor dengan detektornya menggunakan sifat pizzoelektrik,
(2) multilayer kapasitor dengan memanfaatkan nilai konstanta dielektrik yang
tinggi, (3) infra red detector yang memanfaatkan prinsip piroelektrik. Jenis material
ferroelektrik yang sering dipergunakan adalah Barium Strontium Titanate (BST).1
Pada pembuatannya BST disintesis dari beberapa molekul seperti barium oksida
(BaO), strontium oksida (SrO) dan titanium dioksida (TiO2). Molekul BaO dan SrO
tergolong molekul diatomik yang berguna sebagai reagen atau reaktan dalam
sintesis BST. Untuk mensintesis suatu material tertentu diperlukan kajian tentang
molekul penyusunnya. Kajian tentang molekul BaO dan SrO telah banyak diteliti
oleh berbagai kalangan, namun kedepannya diperlukan pemodelan suatu molekul
agar lebih mudah dipahami karakteristiknya.
Ikatan antar atom dalam molekul diatomik bersifat elastis yang
mengakibatkan atom-atom penyusunnya tidak berada pada posisi yang tetap
melainkan bervibrasi di sekitar titik kesetimbangan.2 Potensial Morse merupakan
model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku vibrasi suatu
molekul antar atom. Pendekatan yang baik untuk struktur vibrasi dari molekul pada
osilator harmonik kuantum, karena secara eksplisit mencakup efek pemutusan
ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada suatu molekul.3
Karakteristik molekul diatomik BaO dan SrO dapat diketahui dengan cara
pemodelan yang tepat. Dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger secara
numerik akan didapatkan bentuk fungsi gelombang serta tingkat-tingkat energi
vibrasi molekul BaO dan SrO, sedangkan dengan melakukan penghitungan kembali
energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO akan dibandingkan dengan energi
disosiasi eksperimennya.
Perumusan Masalah
Molekul BaO dan SrO dibutuhkan dalam mensintesis molekul BST, maka
peneliti menyimpulkan bahwa dibutukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui
karakteristik molekul BaO dan SrO. Perumusan masalah dari penelitian ini adalah :
1. Bagaimana menentukan dan menggambarkan bentuk fungsi gelombang
molekul BaO dan SrO ?
2. Bagaimana menentukan tingkat-tingkat energi molekul BaO dan SrO ?
3. Bagaimana menentukan energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO ?
Tujuan Penelitian
1.
2.
Berdasarkan permasalahan diatas maka penelitian ini bertujuan untuk :
Menentukan dan menggambarkan bentuk fungsi gelombang molekul BaO dan
SrO secara numerik.
Menentukan tingkat-tingkat energi molekul BaO dan SrO secara numerik.
2
3.
Menghitung kembali energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO secara
numerik.
Hipotesis
Bentuk fungsi gelombang serta tingkat-tingkat energi molekul BaO dan SrO
dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger secara numerik
dengan menggunakan metode shooting yang diintegrasi dengan metode Numerov
dan metode Runge-Kutta.
Energi disosiasi ikatan molekul BaO dan SrO dapat dihitung dengan
menambahkan energi disosiasi eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar
TINJAUAN PUSTAKA
Molekul BaO dan SrO
Barium oksida (BaO) adalah adalah senyawa higroskopis putih yang
dibentuk melalui pembakaran senyawa barium pada oksigen, namun juga terbentuk
melalui dekomposisi garam barium lainnya. Barium oksida merupakan kristal tak
berwarna dan berbentuk kubus atau heksagonal.
Ba
O
Gambar 1 Model Molekul BaO
Molekul barium oksida memiliki karakteristik antara lain mempunyai jarak
antar atom sebesar 1.939692 Å, berdasarkan eksperimen memiliki energi disosiasi
atau energi yang dibutuhkan untuk memutuskan ikatan barium dan oksigen sebesar
47063 cm-1. Penggunaan barium oksida yang telah banyak diaplikasikan antara lain
digunakan sebagai pelapis pada katoda panas dan sebagai reagen yang digunakan
dalam sintesis Barium Strontium Titanat (BST).4
Sedangkan Strontium oksida (SrO) adalah senyawa higroskopis yang
dibentuk ketika strontium direaksikan dengan oksigen, selain itu molekul SrO dapat
dibentuk dari dekomposisi strontium karbonat (SrCO3) molekul ini tergolong
oksida basa kuat.5
Sr
O
Gambar 2 Model Molekul SrO
Molekul strontium oksida memiliki karakteristik antara lain mempunyai jarak
antar atom sebesar 1.919809 Å, berdasarkan ekperimen memiliki energi disosiasi
sebesar 37951 cm-1. Penggunaan strontium oksida yang telah banyak diaplikasikan
antara lain sebagai pembuatan tabung kaca televisi dan juga sebagai bahan untuk
sintesis Barium Strontium Titanat (BST).6
3
Persamaan Schrödinger Bebas Waktu
Persamaan Schrödinger bebas waktu dapat dituliskan sebagai:
2 d 2
V ( x ) E
2m dx 2
(1)
ℏ adalah konstanta Planck per � , m adalah massa partikel, adalah fungsi
gelombang, x adalah perpindahan partikel dari posisi kesetimbangan, V adalah
energi potensial dan E adalah tingkat energi .
Untuk kasus dua partikel pada keadaan vibrasi, massa partikel diganti dengan
massa tereduksi dan x menjadi distorsi jarak antara dua partikel dari panjang ikatan
kesetimbangan.7
Energi Vibrasional Molekul Diatomik
Tingkat energi vibrasional molekul diatomik adalah:
1
E h
2
(2)
dengan = / π √k/ adalah frekuensi osilasi dan adalah bilangan kuantum
vibrasional yang nilainya = 0,1,2,3... .
Keadaan vibrasional yang lebih tinggi dari sebuah molekul diatomik tidak
mengikuti persamaan (2) karena aproksimasi parabolik untuk kurva energi
potensialnya makin tidak cocok untuk energi yang semakin tinggi. Sebagai gantinya
molekul diatomik harus dipandang dengan pendekatan osilator anharmonik.8
Tingkat energi vibrasional untuk pendekatan osilator anharmonik dinyatakan
dengan:
1
1
E e e x e
2
2
2
(3)
Potensial Morse
Potensial Morse merupakan model potensial yang digunakan untuk
menerangkan tingkah laku vibrasi suatu molekul antar atom. Pendekatan yang baik
untuk struktur vibrasi dari molekul pada osilator harmonik kuantum, karena secara
eksplisit mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada
suatu model molekul.3
Kurva energi potensial harmonik dan anharmonik (Morse) untuk molekul
diatomik ditunjukkan oleh gambar berikut :
4
Gambar 3 Kurva Potensial Anharmonik
Bentuk energi potensial untuk osilator anharmonik dinyatakan secara empiris
oleh P.M. Morse menurut persamaan berikut :
V ( x ) De (1 e ( x x0 ) ) 2
(4)
� adalah energi disosiasi yang diukur dari posisi kesetimbangan, x0 adalah jarak
keseimbangan molekul dan � adalah konstanta untuk setiap molekul tertentu atau
dapat dikatakan konstanta untuk menentukan kesempitan atau kelengkungan dari
sumur potensial.10
Energi disosiasi ikatan dapat dihitung dengan menambahkan energi disosiasi
molekul eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar sumur potensial.3
De D0
1
h
2
(5)
Metode Numerov
Metode Numerov adalah metode orde tinggi yang dikenal dengan metode tiga
titik. Metode Numerov merupakan algoritma yang efisien untuk memecahkan
persamaan diferensial orde dua, tanpa perlu merubah menjadi persamaan
differensial orde satu.11 Penggunaan metode Numerov, integrasi numerik dapat
dilakukan dengan akurasi yang relatif tinggi bahkan dengan ukuran step size yang
lebih besar.12
Bentuk umum metode Numerov:
2
6
k 1 2 k k 1 x f k k O( x )
(6)
Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta adalah suatu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial secara numerik atau pendekatan sehingga
mendapatkan penyelesaian yang lebih signifikan dibandingkan penyelesaian secara
5
eksak atau analitik. Metode ini memperoleh akurasi dari pendekatan deret Taylor
tanpa memerlukan perhitungan derivatif yang lebih tinggi.13
Bentuk umum metode Runge-Kutta :
k
k
k
k
y n 1 y n 1 2 3 4 ( h 5 )
3
3
6
6
(7)
dengan:
k1 f (t i , y i )
(8)
1
1
k 2 f t i h, y i k1 h
2
2
(9)
1
1
k 3 f t i h, y i k 2 h
2
2
(10)
k 4 f (t i h, y i k 3 h)
(11)
dy
f (t , y )
dt
(12)
Metode Shooting
Dalam analisis numerik, metode shooting adalah metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah nilai batas dengan menggunakan metode iterasi
numerik untuk mencapai kemiringan yang sebenarnya. Prinsip metode shooting
adalah menembak ke salah satu jalur fitting point, di mana solusi untuk persamaan
dan kondisi batas ditemukan dengan meluncurkan "tembakan" dari kedua sisi
interval dan mencoba untuk mencocokkan kondisi kontinuitas dibeberapa titik
tengah. Fungsi diperoleh dengan mengintegrasikan N persamaan diferensial dari x1
ke x2.14
METODE
Waktu dan Tempat
Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor dilaksanakan pada bulan Agustus 2013 sampai bulan April 2014.
6
Alat
Penelitian ini menggunakan peralatan berupa alat tulis (kertas/ buku tulis,
pena, pensil), laptop/komputer dengan memori 3 GB dan menggunakan Windows
8. Komputer tersebut dilengkapi dengan Microsoft Office dan software Matlab.
Studi Pustaka
Tahap ini merupakan penelusuran tinjauan pustaka untuk mendukung
penelitian lebih lanjut. Penelitian ini dimulai dengan studi pustaka dari molekul
BaO dan SrO, persamaan Schrödinger, potensial Morse, teori vibrasi molekul,
metode Numerov, metode Runge-Kutta dan metode shooting.
Menghitung Energi Disosiasi Ikatan Molekul BaO dan SrO
Pada tahap ini energi disosiasi ditentukan dengan menambahkan energi
disosiasi eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar. Perumusannya :
De D0
1
h
2
(13)
D0 merupakan nilai energi disosiasi eksperimen.
Menentukan Bentuk Fungsi Gelombang dan Tingkat-tingkat Energi Molekul
BaO dan SrO
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Anharmonik
Pada tahap ini persamaan potensial Morse :
V ( x ) De (1 e ( x x0 ) ) 2
(14)
Dimodelkan ke persamaan Schrödinger bebas waktu :
2 d 2
V ( x ) E
2m dx 2
(15)
Sehingga persamaan Schrödinger menjadi :
d 2
2m
2 ( E V ( x))
2
dx
(16)
Untuk metode Numerov persamaan (16) diinputkan ke persamaan (6),
sehingga :
k 1 2 k k 1
2m
2
( E V ( x )) x k
2
(17)
7
Sedangkan untuk metode Runge-Kutta, persamaan (16) harus diubah
menjadi persamaan differensial orde satu, yaitu :
d
2m
2 ( E V ( x )) F ( , , x )
dx
(18)
dengan :
d
f ( )
dx
(19)
Untuk menentukan bentuk fungsi gelombang dan energi eigen masingmasing tingkat energi digunakan metode shooting yang diitegrasikan dengan
persamaan (17), (18) dan (19). Referensi yang digunakan untuk mencari fungsi
gelombang yang sesuai adalah nilai analitik energi vibrasi osilator yang diteliti.
Dengan memberikan beberapa inisialiasi seperti N, E_initial, delta_x, delta_E,
xmin, xmax,
, dan
.
Fungsi Gelombang dan Energi Eigen Untuk Osilator Harmonik
Pada tahap ini fungsi potensial :
V ( x)
1
m 2 ( x x 0 ) 2
2
(20)
Dimodelkan ke persamaan (15) dan dengan langkah yang sama seperti metode
sebelumnya untuk menentukan bentuk fungsi gelombang dan energi eigen.
Pembuatan Program Penggambaran Fungsi Gelombang dan Penghitungan
Energi Eigen
Pembuatan program perhitungan energi eigen dan penggambaran fungsi
gelombang dimulai dengan menyusun algoritma sebagai langkah-langkah yang
jelas untuk mendapatkan energi eigen dari masing-masing tingkat energi.
Penyusunan algoritma juga melibatkan penebakan parameter-parameter yang tidak
diperoleh dalam tahapan studi pustaka. Parameter-parameter yang dimaksud adalah
nilai konstanta anharmonik (wexe) dan konstanta kedalaman atau kesempitan sumur
potensial (β). Setelah penyusunan algoritma selesai, program dibuat menggunakan
bahasa pemrograman MATLAB.
Prosedur Analisis Data
Nilai energi disosiasi yang didapat akan dibandingkan dengan nilai energi
disosiasi eksperimen. Sedangkan nilai eigen dari masing-masing tingkat energi
yang dihitung secara numerik akan dibandingkan dengan nilai eigen yang dihitung
secara analitik. Nilai eigen pada osilator harmonik dan anharmonik juga akan
dibandingkan dan dihitung selisih energinya. Selanjutnya bentuk fungsi gelombang
akan dijelaskan sifat fisis kuantum dari masing-masing tingkat energi.
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
Energi Disosiasi Molekul BaO dan SrO
Hasil energi disosiasi perhitungan tersaji pada Tabel 1, terlihat ada perbedaan
antara energi disosiasi perhitungan (De ) dengan energi disosiasi eksperimen (D0).
Energi disosiasi yang didapat dari perhitungan untuk molekul BaO dan SrO masingmasing adalah 47397.88 cm-1 dan 38277.70 cm-1.
Selisih dari energi disosiasi perhitungan dengan energi disosiasi eksperimen
untuk molekul BaO dan SrO masing-masing adalah 334.88 cm-1 dan 326.70 cm-1.
Nilai selisih tersebut merupakan nilai energi eigen pada keadaan dasar atau tingkat
energi ke 0 osilator harmonik. Hal ini sesuai dengan teori, yaitu energi disosiasi
dapat dihitung dengan menambahkan energi disosiasi eksperimen dan nilai eigen
pada tingkat ke 0.
Tabel 1 Perbandingan energi disosiasi perhitungan dan eksperimen molekul BaO
dan SrO
Molekul
BaO
SrO
D0
De
Selisih
47063.00 cm-1
(5.835 eV)
37951.00 cm-1
(4.7052 eV)
47397.88 cm-1
(5.8764 eV)
38277.70 cm-1
(4.7457 eV)
334.88 cm-1
(0.0414 eV)
326.70 cm-1
(0.0405 eV)
Energi disosiasi terkait dengan energi yang diperlukan untuk memutuskan
ikatan senyawa molekul. Pada molekul BaO diperlukan energi sebesar 47397.88
cm-1 agar ikatan Ba dan O terputuskan, sedangkan pada molekul SrO diperlukan
energi sebesar 38277.70 cm-1 untuk memutuskan ikatan Sr dan O. Ketika ikatan
molekul diatomik putus, maka tidak akan terjadi keadaan vibrasi pada molekul
tersebut.
Perhitungan energi disosiasi molekul BaO dan SrO (Lampiran 10) dilakukan
dengan membuat guide user interface (GUI) yang akan memudahkan dalam
perhitungan energi disosiasi untuk molekul diatomik lainnya, tetapi perlu dilakukan
konversi energi terlebih dahulu sebelum menggunakannya.
Energi Eigen Vibrasi Untuk Osilator Anharmonik
Untuk menentukan energi eigen pada tiap-tiap level energi diperlukan nilai
tebakan awal energi sebelum terjadi proses iterasi dalam menentukan energi eigen
yang cocok.
Seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2, energi eigen perhitungan secara
numerik dan analitik molekul BaO untuk tingkat energi ke 0 hingga ke 4 memiliki
ketepatan sebesar 100%. Tidak terdapat perbedaan dari hasil kedua perhitungan
tersebut. Energi eigen pada tingkat ke 0 sebesar 334.29 cm-1, merupakan energi
vibrasi yang dilakukan oleh molekul BaO ketika bervibrasi ketika berada disekitar
titik kesetimbangannya, sedangkan pada tingkat ke 4 energi yang dilakukan oleh
molekul BaO untuk bervibrasi sebesar 2966.10 cm-1. Meningkatnya level energi,
9
molekul BaO akan bervibrasi menjauhi titik kesetimbangannya dan memerlukan
energi yang lebih besar untuk bervibrasi. Untuk penelitian ini tingkat energi ke 4
merupakan level energi tertinggi yang dihitung energi vibrasinya.
Tabel 2 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul BaO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Analitik
334.29 cm-1 (0.0414 eV)
999.33
(0.1239 )
1659.70
(0.2058 )
2315.30
(0.2871 )
2966.10
(0.3677 )
Numerik
334.29 cm-1 (0.0414 eV)
999.33
(0.1239 )
1659.70
(0.2058 )
2315.30
(0.2871 )
2966.10
(0.3677 )
Ketepatan
(%)
100
100
100
100
100
Pada molekul SrO seperti yang ditunjukkan pada Tabel 3, energi eigen
perhitungan secara numerik dan analitik untuk tingkat energi ke 0 hingga ke 4
memiliki ketepatan sebesar 100%. Tidak terdapat selisih atau gap dari kedua
perhitungan. Energi yang dilakukan oleh molekul SrO ketika bervibrasi pada
tingkat energi ke 0 sampai 4 masing-masing sebesar 326.00 cm-1, 973.85 cm-1,
1616.10 cm-1, 2252.80 cm-1 dan 2884.00 cm-1. Meningkatnya energi vibrasi
molekul SrO sebanding dengan kenaikan tingkat energi. Hal ini menandakan
molekul SrO akan bervibrasi menjauhi titik kesetimbangannya.
Tabel 3 Nilai energi eigen perhitungan secara numerik dan analitik molekul SrO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Analitik
Numerik
326.00 cm-1 (0.0404 eV) 326.00 cm-1 (0.0404 eV)
973.85
(0.1207 ) 973.85
(0.1207 )
1616.10
(0.2004 ) 1616.10
(0.2004 )
2252.80
(0.2793 ) 2252.80
(0.2793 )
2884.00
(0.3576 ) 2884.00
(0.3576 )
Ketepatan
(%)
100
100
100
100
100
Ketepatan perhitungan secara numerik menandakan keakuratan metode
shooting dalam menentukan nilai harga eigen untuk kasus persamaan differensial.
Secara sederhana metode shooting akan mencocokkan kondisi kontinuitas
dibeberapa titik tengah dengan menembakkan nilai tebakan awal dari kedua interval
xmin dan xmax.
Energi Eigen Vibrasi Pada Osilator Harmonik dan Anharmonik
Nilai energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik untuk molekul
BaO memiliki gap atau selisih pada masing-masing tingkat energi. Seperti yang
ditunjukkan pada Tabel 4, pada tingkat energi ke 0 hingga 4 terdapat selisih energi
masing-masing sebesar 0.59 cm-1, 5.27 cm-1, 14.70 cm-1, 28.90 cm-1, 47.80 cm-1 .
10
Selisih energi eigen semakin meningkat seiring meningkatnya tingkat
energi, hal ini disebabkan pada osilator anharmonik nilai eigen vibrasi dipengaruhi
oleh nilai konstanta anharmonisitas (wexe) dari molekul BaO.
Tabel 4 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik
molekul BaO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Osilator Harmonik
334.88 cm-1 (0.0415 eV)
1004.60
(0.1236 )
1674.40
(0.2076 )
2344.20
(0.2906 )
3013.90
(0.3737 )
Osilator Anharmonik
334.29 cm-1 (0.0414 eV)
999.33
(0.1239
)
1659.70
(0.2058
)
2315.30
(0.2871
)
2966.10
(0.3677
)
Selisih
(cm-1)
0.59
5.27
14.70
28.90
47.80
Selisih energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik untuk molekul
SrO pada tingkat energi ke 0 hingga 4 ditunjukkan pada Tabel 5 masing-masing
sebesar 0.59 cm-1, 5.27 cm-1, 14.70 cm-1, 28.90 cm-1, 47.80 cm-1. Selisih energi
eigen pada molekul SrO meningkat seiring dengan bertambahnya tingkat energi.
Molekul SrO memiliki nilai konstanta anharmonisitas yang lebih besar
dibandingkan molekul BaO (Lampiran 2), sehingga nilai energi eigen pada molekul
SrO lebih kecil dibandingkan molekul SrO.
Tabel 5 Perhitungan energi eigen pada osilator harmonik dan anharmonik
molekul SrO
Tingkat
Energi
0
1
2
3
4
Energi Eigen
Osilator Harmonik
326.70 cm-1 (0.0405 eV)
980.10
(0.1215 )
1633.50
(0.2025 )
2286.90
(0.2835 )
2940.30
(0.3645 )
Osilator Anharmonik
326.00 cm-1 (0.0404 eV)
973.85
(0.1207
)
1616.10
(0.2004
)
2252.80
(0.2793
)
2884.00
(0.3576
)
Selisih
(cm-1)
0.70
6.25
17.40
34.10
56.30
Adanya selisih energi yang semakin besar pada setiap kenaikan tingkat
energi menuju tingkat energi yang lebih tinggi dikarenakan keadaan vibrasional
yang lebih tinggi dari sebuah molekul diatomik tidak mengikuti tingkat energi
osilator harmonik karena aproksimasi parabolik untuk kurva energi potensialnya
makin tidak cocok untuk energi yang semakin tinggi. Sebagai gantinya molekul
diatomik harus dipandang dengan pendekatan osilator anharmonik.
Osilator anharmonik atau potensial Morse merupakan pendekatan yang baik
untuk struktur vibrasi dari molekul pada osilator harmonik kuantum, karena secara
eksplisit mencakup efek pemutusan ikatan, seperti adanya keadaan terikat pada
suatu molekul.
11
Bentuk Fungsi Gelombang Osilator Anharmonik
Pada kasus osilator anharmonik, persamaan Schrödinger dimodelkan
dengan potensial Morse. Pada Gambar 4 dan 5 ditunjukkan bentuk fungsi
gelombang menyatakan keadaan tingkat energi ke 0 molekul BaO pada saat
keadaan vibrasi, hal ini terlihat dari jumlah puncak gelombang yang memiliki 1
puncak gelombang yang berosilasi.
Gambar 4 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan Metode
Numerov
Gambar 5 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
12
Tidak terdapat perbedaan dari kedua plot fungsi gelombang, Gambar 4
(metode Numerov) dan Gambar 5 (metode Runge-Kutta) namun untuk penelitian
ini metode Numerov lebih akurat perhitungannya karena memiliki nilai error yang
lebih kecil dibandingkan metode Runge-Kutta, karena metode Numerov memiliki
orde lebih tinggi dibandingkan metode Runge-Kutta orde 4.
Pada gambar 6 dan 7 ditunjukkan bentuk fungsi gelombang menyatakan
keadaan tingkat energi ke 4 molekul BaO pada saat keadaan vibrasi, hal ini terlihat
dari 5 puncak gelombang yang berosilasi.
Gambar 6 Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Gambar 7 Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul BaO menggunakan metode
Runge-Kutta
13
Pada Gambar 8 dan 9 ditunjukkan bentuk fungsi gelombang yang
menyatakan keadaan tingkat energi ke 0 molekul SrO, hal ini terlihat dari 1 puncak
gelombang yang berosilasi.
Gambar 8 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Gambar 9 Fungsi gelombang tingkat ke 0 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
14
Pada Gambar 10 dan 11 ditunjukkan bentuk fungsi gelombang menyatakan
keadaan tingkat energi ke 4 molekul SrO, hal ini terlihat dari 5 puncak gelombang
yang berosilasi.
Gambar 10 Fungsi gelombang tingkat 4 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Gambar 11 Fungsi gelombang tingkat ke 4 molekul SrO menggunakan metode
Runge-Kutta
Pada masing-masing kurva diplotkan dinding potensial dan tingkat energi
masing-masing keadaan. Fungsi gelombang akan menuju energi eigen secara
15
eksponensial ketika mengenai dinding potensial yang bernilai tak hingga. Sehingga
terlihat bahwa partikel hanya dapat ditemukan didalam dinding potensial karena
partikel hanya berosilasi disekitar titik kesetimbangan dalam dinding potensial.
Fungsi gelombang yang diplotkan juga telah memenuhi kondisi normalisasi
karena nilai luasan dalam kurva fungsi gelombang bernilai 1.
Gambar 12 Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul BaO menggunakan metode
Numerov
Gambar 13 Fungsi gelombang tingkat ke 85 molekul SrO menggunakan metode
Numerov
Pada Gambar 12 dan 13 tersaji fungsi gelombang tingkat energi ke 85 pada
molekul BaO dan SrO. Fungsi gelombang pada tingkat energi tinggi tersebut tidak
berosilasi secara harmonik melainkan anharmonik. Kurva potensial Morse
16
mempengaruhi osilasi dari gelombang, karena kurva akan menuju ke titik dimana
energi potensial sama dengan energi disosiasi.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Energi disosiasi dapat ditentukan dengan menambahkan energi disosiasi
eksperimen dan energi eigen pada keadaan dasar. Metode shooting yang diintegrasi
dengan metode Numerov dan Runge-Kutta telah berhasil menentukan energi eigen
yang akurat pada setiap tingkat-tingkat energi yang dihitung dan fungsi gelombang
yang tergambar sesuai dengan keadaan masing-masing tingkat energi. Semakin
tinggi tingkat energi maka energi eigen semakin besar nilainya. Osilator
anharmonik atau potensial Morse merupakan pendekatan yang baik untuk struktur
vibrasi pada molekul BaO dan SrO karena memiliki aproksimasi pendekatan
tingkat energi yang lebih tinggi.
Saran
Tingkat energi yang lebih tinggi perlu ditentukan untuk mengetahui pada
tingkat energi ke berapa terjadi efek pemutusan ikatan pada suatu molekul
diatomik. Serta perlu dilakukan rancangan program yang lebih fleksibel sehingga
dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA
1. Saha S. 2000. Study of pulsed laser ablated Barium Strontium Titanate Thin
films for dynamic Random Access Memory Application [thesis]. Bangalore
(IN) : Indian Institute of Science.
2. Anam C. 2001. Kajian Teoretis Penentuan Tenaga Vibrasi-Rotasi Molekul
Diatomik [skripsi]. Semarang (ID): Universitas Diponegoro.
3. Lima EF, Hornos, JEM. 2005. Matrix Elements for the Morse Potential
Under an External Field [jurnal]. Sao Carlos (BR): Instituto de Fisica de
Sao Carlos.
4. [SU] Sheffield University. 2007. Compounds of Barium: barium (II) oxide
[internet].
[diunduh
2013
Okt
27].
Tersedia
pada
http://www.webelements.com/barium/ [27 Oktober 2013]
5. [SU] Sheffield University. 2007. Compounds of Strontium: strontium (II)
Oxide [internet]. [diunduh 2013 Okt 27]. Tersedia pada
http://www.webelements.com/strontium/ [27 Oktober 2013]
6. Ober JA, Polyak DE. 2007. Mineral Yearbook 2007:Strontium. United
States: United States Geological Survey.
17
7. Barrow GM. 1962. Introduction to Molecular Spectroscopy. New York
(US): McGraw-Hill Book Company, Inc.
8. Fitrianto D. 2000. Kajian Teoretis Analisis Spektroskopi Penentuan
Temperatur Vibrasional Molekul Diatomik [skripsi]. Semarang: Universitas
Diponegoro
9. Schlick T., & Pesikin CS. 1989. Can Classical Equations Simulate
Quantum-Mechanical Behavior? A Molecular Dynamics Investigation of a
Diatomic Molecule with a Morse Potential. Communications on Pure and
Applied Mathematics, Vol. XLII , 1141-1163
10. Herzberg G. 1950. “Spectra of Diatomic Molecules,” chap. 3. Princeton
(US): D. Van Nostrand Company, Inc.
11. Gonzalez JLMQ., & Thompson, D. 1997. Getting started with Numerov’s
method [jurnal]. Peru: Pontifica Universidad Catolica del Peru.
12. Pillai M., Goglio J., & Walker TG. 2012. Matrix Numerov method for
solving Schrödinger’s equation[jurnal]. Wisconsin (US): University of
Wisconsin-Madison.
13. Chapra SC. 2012. Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers
and Scientist. Massachusetts (US): The MathWorks, Inc.
14. Press W H. 2007. Numerical Recipes: The art of Scientific Computing. New
York (US): Cambridge University Press.
18
LAMPIRAN
Lampiran 1 Algoritma program perhitungan energi eigen dan penggambaran
fungsi gelombang
Start
Inisialisasi energi,
xmin, xmax dan
yawal
Inisialisasi N,
delta_x, delta_E
dan b
Inisialisasi y1 dan
y2
Inisialisasi
minimum_delta_E
Menghitung y
Normalisasi y
Plot y, V dan E
delta_E >
minimum_delta_
E?
Lampiran 2 Parameter-parameter input
Molekul
BaO
SrO
Massa
(amu)
14.33225
13.52657
De
(cm-1)
47397.88
38277.70
x0
(Å)
1.939692
1.919809
we
(cm-1)
669.76
653.40
wexe
(cm-1)
2.36
2.78
19
Lampiran 3 Tabel konversi energi
Tabel Konversi Energi
cm-1
kJ/mol
8065.73
96.4869
eV
eV
1
J
1.6021x10-19
cm-1
1.23981x10-4
1
0.0119627
1.9863x10-23
kJ/mol
0.0103641
83.593
1
1.66x10-21
J
6.24181x1018
5.03445x1022
6.02x1020
1
Lampiran 4 Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Numerov
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
(b) 2
20
(c) 3
Lampiran 5 Fungsi gelombang molekul BaO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
21
(b) 2
(c) 3
22
Lampiran 6 Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Numerov
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
(b) 2
23
(c) 3
Lampiran 7 Fungsi gelombang molekul SrO menggunakan metode Runge-Kutta
untuk tingkat energi (a) 1 (b) 2 (c) 3
(a) 1
24
(b) 2
(c) 3
Lampiran 8 Penyelesaian analitik energi eigen untuk molekul (a) BaO dan (b) SrO
E=
-ʋ=0
E =
E =
.
.
( + )- .
cm-
( + )
e(
+ )-
e xe (
+ )
(A.1)
25
- ʋ=1
E =
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
E =
. cm- ʋ=2
E =
. cm- ʋ=3
E =
. cm- ʋ=4
E =
E =
E =
E =
.
cm-
(a) BaO
- ʋ=0
E =
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
.
( + )- .
( + )
E =
. cm- ʋ=1
E =
. cm- ʋ=2
E =
. cm- ʋ=3
E =
E =
E =
3
=
.
- ʋ=4
E =
E =
.
��−1
cm-
(b) SrO
26
Lampiran 9 Fungsi gelombang osilator harmonik molekul BaO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
(a) 0
(b) 4
27
Lampiran 10 Fungsi gelombang osilator harmonik molekul SrO untuk tingkat
energi (a) 0 dan (b) 4
(a) 0
(b) 4
28
Lampiran 11 Perhitungan energi disosiasi molekul (a) BaO dan (b) SrO
(a) BaO
(b) SrO
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Padang pada tanggal 10
September 1992. Penulis adalah anak pertama dari 5
bersaudara, dari pasangan Bapak Syamsul Bahar dan Ibu
Roslinda. Pada tahun 2010 penulis berhasil
menyelesaikan studi di SMA Negeri 3 Padang dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Saringan
Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Fisika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif
sebagai asisten berbagai mata kuliah, diantaranya asisten
praktikum Elektronika Lanjut tahun ajaran 2012/2013,
asisten praktikum Sensor dan Transduser tahun ajaran
2012/2013 dan asisten praktikum Elektronika 1 Diploma IPB tahun ajaran
2012/2013. Penulis juga aktif mengajar mata kuliah Pengantar Matematika,
Kalkulus dan Fisika Dasar 2 TPB di bimbingan belajar dan privat mahasiswa
Gemilang Excellent. Penulis juga pernah aktif menjadi ketua bagian poster pada
seminar nasional semirata bidang MIPA 2014 di Bogor.